Carrés en cascade
Problème D233 de Diophante
Sur les côtés AB, BC et AC d'un triangle ABC, on construit respectivement les carrés intérieurs ABDE, BCFG et ACHI dont les centres sont les points J, K et L. On désigne par M,N et P les milieux des segments BC, DH et EI. Le point Q est le
symétrique de N par rapport à EI.
Démontrer que les quadrilatères JMLP, BNCK et ENIQ sont tous trois des carrés.
Nota : le carré ABDE (et alii) est dit intérieur si les trois points C, D et E sont du même côté par rapport à AB.
Solution
A C
D E
F
G
H
I J
K L
M
B N
P
Q
Dans le plan complexe, notons A, B, … les affixes respectives des points en jeu et supposons que le triangle ABC est orienté dans le sens direct..
Ainsi 2J = A + B + i(B – A) 2M = B + C
2L = A + C + i(A – C)
2P = E + I = A + i(B – A) + A + i(A – C)
Il apparaît, d’une part, que JL et MP ont même milieu car. 2J + 2L = 2M + 2P et, d’autre part, que le triangle LMJ est rectangle isocèle car 2(L – M) = 2i(J - M).
Le quadrilatère JMLP est donc un carré (indirect).
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La composée de la rotation de centre B, d’angle π/2, et de la rotation de centre C, d’angle π/2, est une rotation de centre U, d’angle π.
Dans cette composition, D vient en A puis A en H. Donc U est le milieu DH.
Autrement dit, U est le point N, qui est le point invariant de cette isométrie. Le
triangle NCB est rectangle (en N) isocèle direct ainsi que le triangle KBC. Collés par leur diagonale commune, ces deux triangles forment le carré BNCK (direct).
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La composée de la similitude de centre B, d’angle π/4, de rapport 1/√2, et de la similitude de centre C, d’angle π/4, de rapport 1/√2, est une rotation de centre U, d’angle π/2.
Dans cette composition, E vient en A puis A en I. Donc U, qui est le point invariant de cette isométrie, est le point N car, dans la première similitude, N vient en M et, dans la seconde, M vient en N.
Ainsi le triangle NEI est rectangle (en N) isocèle direct et son symétrique (par rapport à EI) QEI est rectangle (en Q) isocèle indirect. Collés par leur diagonale commune, ces deux triangles forment le carré ENIQ (indirect).
