D1977. Les points limites Problème inspiré par Pierre Jullien
Soient un point courant A sur l’axe des y et les points B et C d’abscisses – 3 et + 3 sur l’axe des x.On trace le point D sur l’axe des x négatifs tel que BD = AB = CD – CB. Le cercle tangent en A à AC passant par D recoupe l’axe des x en E et la médiatrice de AE coupe AC en F.
Q1 Quel est le point limite de F quand A tend vers l’origine ?
Q2 Quels sont les points limites de F quand A tend vers + ∞ et vers – ∞ sur l’axe des y ? Q3 Pour les plus courageux : Déterminer le lieu de F quand A parcourt l’axe des ordonnées.
Je pose angle CBA = 2α , et t = tan α
Ordonnée de A = 3 tan(2α) = 6t/(1-t²), BA = 3/ cos(2α) = 3(1+t²)/(1-t²) abscisse de D = –3 – BA = –3 – 3(1+t²)/(1-t²) = – 6/(1 – t²) = xD . Soit G le centre du cercle tangent en A à AC passant par D,
c'est l'intersection de la perpendiculaire en A à AC : y = 6t/(1-t²) + x(1-t²)/(2t) et de la bissectrice de l'angle DBA : y = – (x+3)/t
On trouve abscisse de G : xG = – 6(t²+1)/((t²-1)(t²-3))
xE = 2xG – xD = – 12(t²+1)/((t²-1)(t²-3)) + 6/(1 – t²), xE = – 6(3t²-1)/((t²-1)(t²-3)) Pente de AE : - yA /xE = [-6t/(1-t²)]/[– 6(3t²-1)/((t²-1)(t²-3))] = (3t – t3)/(3t² – 1) = – tan(3α) Expression des angles : CEA=180°- 3α, OAE=90° - 3α, OAC=90° -2α, EAC= α
AE=OA/cos(90°-3α) AE= 3tan(2α)/sin(3α) AF=AE/(2cosα) = 3tan(2α)/(2sin(3α).cosα) AC= 3/cos(2α) et CF= AC – AF = 3/cos(2α) - 3tan(2α)/(2sin(3α).cosα)
CF = 3/cos(2α) [1 – 1(2cos(2α) +1)] = 6/(2cos(2α) +1)
Q1) Quand A→O, cos(2α) → 1, CF→ 2 le point F a pour limite le point (1, 0)
Q2) A→+∞ sur l'axe Oy, cos(2α) → 0, CF → 6
Les points limites ont pour coordonnées (3 , 6) et (3, -6).
Q3) En coordonnées polaires d'origine C, avec θ = 180° - 2α, F se déplace sur la courbe d'équation ρ = 6/(1 – 2cosθ)
C'est l'hyperbole dont les sommets sont le point B et le point (1,0), et dont les foyers sont le point C et le point (-5, 0).
F décrit, sur la branche x > 0 , uniquement l'arc -6 ≤ y ≤ +6
Dans le repère cartésien d'origine O, cette hyperbole a pour équation y = + √ [3(x² + 2x – 3)].
On aurait pu aussi chercher à prouver que 2xF = FC et en déduire que F est sur l'hyperbole dont un foyer est C, la directrice étant l'axe Oy, et l'excentricité 2.
