PanaMaths
[1 - 2]Décembre 2006
Pour tout entier naturel non nul n, on pose :
( )
1 2 2 3 ... 1
S
n= × + × + + × + n n Démontrer par récurrence que l’on a :
( )( )
*
1 2
,
n3
n n n
n S + +
∀ ∈ ` =
Analyse
Une récurrence standard, application directe du cours …
Résolution
On considère ici la propriété Pn «
(
1)(
2)
n 3
n n n
S + +
= ».
Pour n=0, on a : S0= × =1 2 2 et 1
(
1 1) (
1 2)
1 2 33 3 2
× + × + = × × = .
P0 est donc vraie.
Soit maintenant un entier naturel n quelconque fixé . On suppose que Pn est vraie, c’est à dire que Sn est égale à
(
1)(
2)
3 n n+ n+
.
On a donc :
( ) (
1)(
2)
1 2 2 3 ... 1
3
n n n
n n + +
× + × + + × + = .
On s’intéresse à : Sn+1. On a :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2 3 ... 1 1 2
1 2
n n
S
n
S n n n n
S n n
+ = × + × + + × + + + × +
= + + × +
PanaMaths
[2 - 2]Décembre 2006
En appliquant l’hypothèse de récurrence, il vient alors :
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( )( )
1 1 2
1 2
1 2
3
1 2 1
3
1 2 3
3
1 2 3
3
n n
S S n n
n n n
n n
n n n
n n n
n n n
+ = + + × + + +
= + + × +
⎛ ⎞
= + + ⎜⎝ + ⎟⎠
= + + +
+ + +
=
La proposition Pn+1 est donc vraie.
Résultat final
( ) (
1)(
2)
, 1 2 2 3 ... 1
3
n n n
n n n + +
∀ ∈` × + × + + × + =