Décembre 2006

(1)

PanaMaths

[1 - 2]

Décembre 2006

Pour tout entier naturel non nul n, on pose :

( )

1 2 2 3 ... 1

S

n

= × + × + + × + n n Démontrer par récurrence que l’on a :

( )( )

*

1 2

,

ⁿ

3 n n n

n S + +

∀ ∈ ` =

Analyse

Une récurrence standard, application directe du cours …

Résolution

On considère ici la propriété P_n «

(

¹

)(

²

)

n 3

n n n

S + +

= ».

Pour n=0, on a : S₀= × =1 2 2 et ¹

(

^{1 1}

) (

^{1 2}

)

1 2 3

3 3 2

× + × + = × × = .

P0 est donc vraie.

Soit maintenant un entier naturel n quelconque fixé . On suppose que P_n est vraie, c’est à dire que S_n est égale à

(

¹

)(

²

)

3 n n+ n+

.

On a donc :

( ) (

¹

)(

²

)

1 2 2 3 ... 1

3

n n n

n n + +

× + × + + × + = .

On s’intéresse à : S_n₊₁. On a :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2 2 3 ... 1 1 2

1 2

n n

S

n

S n n n n

S n n

+ = × + × + + × + + + × +

= + + × +

(2)

PanaMaths

[2 - 2]

Décembre 2006

En appliquant l’hypothèse de récurrence, il vient alors :

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( )( )

1 1 2

1 2

3

1 2 1

3

1 2 3

3

1 2 3

3

n n

S S n n

n n n

n n

n n n

+ = + + × + + +

= + + × +

⎛ ⎞

= + + ⎜⎝ + ⎟⎠

= + + +

+ + +

=

La proposition P_n₊₁ est donc vraie.

Résultat final

( ) (

¹

)(

²

)

, 1 2 2 3 ... 1

3

n n n

n n n + +

∀ ∈` × + × + + × + =