Problème G247 – Solution de Jean Drabbe
Les propriétés décrites ci-dessous sont mentionnées sans démonstration sur [1].
Nous les présentons dans un ordre qui permet des vérifications réduites à des calculs élémentaires.
Notons a(n) le nombre de triangles scalènes constructibles à l'aide des n-1 tiges métalliques.
Trivialement, a(1) = a(2) = a(3) = 0 .
Propriété 1 : Pour n > 0 ,
a(2n + 1) = a(2n) + (n-1)n
a(2n + 2) = a(2n + 1) + n^2 .
Propriété 2 : Pour n > 0 ,
a(2n + 2) – a(2n) = n(2n – 1)
a(2n + 3) - a(2n + 1) = n(2n + 1) .
Corollaire : Comme n(2n – 1) et n(2n + 1) sont des nombres triangulaires, on retrouve la représentation des a(n) comme sommes partielles de nombres triangulaires alternés (voir [1]).
Propriété 3 : Pour n > 0 ,
a(2n) = (n-1) n (4n-5) / 6
a(2n + 1) = (n-1) n (4n + 1) / 6 .
Vérification : utiliser la propriété 2 et l'identité classique
1^2 + 2^2 + .... k^2 = n (n+1) (2n + 1) / 6 .
Propriété 4 : Pour tout n > 3
a(n) = [(n – 2) n (2n – 5) / 24]
(où [q] désigne la partie entière de q).
Un programme informatique utilisant la propriété 4 permet d'obtenir rapidement les deux solutions :
n = 40 et k = 10 ,
n = 90 et k = 23 .
Remarque : La programmation permet de constater l'absence d'autres solutions lorsque l'on change 100 et 20000.
[1] www.research.att.com/~njas/sequences
(sequence number A002623)
