On remplace chacune des valeurs x au sommet du pentagone par x 2017 , on noteX = (−9,−12,23,−24,27)le quintuplet obtenu etX0 son transformé par l’un des processus autorisés . La somme des coordonnées de X ou deX0 est toujours égale à 5 . On définit alors une fonction f à valeur dans N par f(X) = (x1 − x3)2 + (x2 −x4)2 + (x3 − x5)2 + (x4 − x1)2 + (x5 −x2)2 . En choisissant une coordonnée y négative , par exemple : y = x2 , on va transformer X = (x1, x2, x3, x4, x5) en X0 = (x1+x2,−x2, x3+x2, x4, x5) et alorsf(X0) = (x1−x3)2+(x2+x4)2+(x2+x3−x1)2+(x1−x4)2+x1+x2−x5)2 .f(X0) =f(X) + 2x2(x1+x2+x3+x4+x5) = f(X) + 10y. Tout autre choix sur y < 0 donne évidemment le même résultat . f(X) va donc décroitre à chaque itération avant de se stabiliser sur un X dont toutes les coordonnées sont positives ou nulles . Or les coordonnées de X modulo 5 évoluent selon les valeurs décrites sur le diagramme ci-dessous avec U = (1,1,1,1,1) et S = (1,2,4,2,1) ( la position initiale étant 3S ).
On remarque qu’il n’y a pas de0dans les coordonnées des points atteints or une somme de cinq entiers strictement positifs dont la somme fait 5 ne peut se réaliser qu’avec des termes tous égaux à 1 . La position finale est donc (1,1,1,1,1)soit (2017,2017,2017,2017,2017)en revenant aux données initiales .
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