D352. Un produit maximal
On rep`ere le pointM par ses coordonn´ees barycentriques (a, b, c, d)par rap- port au t´etra`edre. a vaut 0 quand M est dans le plan BCD, et 1quand il est dans le plan parall`ele au pr´ec´edent et passant parA, et de mˆeme pour les coordonn´eesb, cetd. La sommea+b+c+dvaut1en tout point de l’espace.
La relation entre une coordonn´ee et la distance au plan o`u elle vaut 0 est un rapport constant. Il en r´esulte que le produit des distances est maximum quand le produit des coordonn´ees l’est aussi.
Le produit de N nombres dont la somme vaut1est maximum quand tous les nombres valent 1
N. Pour d´emontrer cette propri´et´e, on peut faire appel `a une sorte de r´ecurrence:
- elle est vraie pourN = 2
- avec N − 2 coordonn´ees fix´ees, le produit est maximum quand les 2 coor- donn´ees restantes sont ´egales
- on introduit une coordonn´ee variable suppl´ementaire et on applique le principe pr´ec´edent `a 2 coordonn´ees parmi les 3, en permutant `a chaque maximum pro- visoire. Il est ´evident qu’on tend ainsi vers 3 coordonn´ees ´egales
- et ainsi de suite.
Le pointM cherch´e a donc les coordonn´ees(0.25,0.25,0.25,0.25). C’est le centre de gravit´e du t´etra`edre.
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