Etudier la convergence des s´eries

UNIVERSIT´E DE GEN`EVE Facult´e des sciences

Section de math´ematiques

Analyse II r´eelle

S´erie 1 19 octobre 2004

1. SoitM un nombre r´eel etnun entier naturel. Montrer que

n→∞lim Mⁿ

n! = 0 , lim

n→∞

nⁿ n! =∞ de mani`ere directe.

2. Etudier la convergence des s´eries :

∞

X

n=1

n n²+ 1 ,

∞

X

n=1

1 n(n+ 1) ,

∞

X

n=1

(−1)ⁿn n²+ 1

3. Soientx,bdes nombres r´eels, avec x >0. Etudier la fonction x→x^b

selon queb <0,b= 0 oub >0, et en particulier trouver lim^x→∞x^b. Que se passe-t-il six <0 ? 4. On consid`ere les ensembles suivants :

A=

(x, y)∈R²|0< x+y≤1 B =

(x, y)∈R²|y²+ (x²−1)(x²−4) = 0 C=

(x, y)∈R²|x²+y²<2y D=

(x, y, z)∈R³|x= cos(z), y= sin(z) Lesquels sont ferm´es, ouverts, born´es, compacts ?

5.Soitnun entier positif. Dessiner le graphe de la fonction suivante, d´efinie pour 0≤x≤1 ; montrer qu’elle est continue et trouver son supremum :

fⁿ(x) = (√

n−n√

nx si 0≤x≤1/n,

0 si 1/n≤x≤1 .