Les réseaux dans les groupes semi-simples ne sont pas intérieurement moyennables

Texte intégral

(1)Article. Les réseaux dans les groupes semi-simples ne sont pas intérieurement moyennables. DE LA HARPE, Pierre, SKANDALIS, Georges. Reference DE LA HARPE, Pierre, SKANDALIS, Georges. Les réseaux dans les groupes semi-simples ne sont pas intérieurement moyennables. Enseignement mathématique, 1994, vol. 40, no. 3/4, p. 291-311. Available at: http://archive-ouverte.unige.ch/unige:12813 Disclaimer: layout of this document may differ from the published version..

(2) L'Enseignement Mathématique. de la Harpe, Pierre / Skandalis, Georges. LES RÉSEAUX DANS LES GROUPES SEMI-SIMPLES NE SONT PAS INTÉRIEUREMENT MOYENNABLES. Persistenter Link: http://dx.doi.org/10.5169/seals-61115 L'Enseignement Mathématique, Vol.40 (1994). PDF erstellt am: 6 déc. 2010. Nutzungsbedingungen Mit dem Zugriff auf den vorliegenden Inhalt gelten die Nutzungsbedingungen als akzeptiert. Die angebotenen Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in Lehre, Forschung und für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und unter deren Einhaltung weitergegeben werden. Die Speicherung von Teilen des elektronischen Angebots auf anderen Servern ist nur mit vorheriger schriftlicher Genehmigung des Konsortiums der Schweizer Hochschulbibliotheken möglich. Die Rechte für diese und andere Nutzungsarten der Inhalte liegen beim Herausgeber bzw. beim Verlag.. SEALS Ein Dienst des Konsortiums der Schweizer Hochschulbibliotheken c/o ETH-Bibliothek, Rämistrasse 101, 8092 Zürich, Schweiz retro@seals.ch http://retro.seals.ch.

(3) SEMI-SIMPLES NE SONT PAS INTÉRIEUREMENT MOYENNABLES. LES RÉSEAUX DANS LES GROUPES. la Harpe. par Pierre de. Georges. et. Skandalis. show that any lattice in a semi-simple connectée! real Lie group G with trivial center and without compact factor is a group which is not inner amenable. The results carry over to lattices in groups defined over. Abstract.. We. local fields of characteristic zéro, and to some other cases.. montre que tout réseau dans un groupe de Lie réel G connexe semi-simple de centre trivial et sans facteur compact est un groupe non intérieurement moyennable. Les résultats s'étendent aux réseaux dans les groupes définis sur des corps locaux de caractéristique nulle, ainsi qu'à Résumé.. On. quelques autres cas.. Introduction. 1 .. travail est d'obtenir le résultat suivant. Rappelons groupe localement compact G est un sous-groupe. Le premier objet de ce. qu'un. réseau. discret r. d'un. qu'il existe sur T\ G une mesure de probabilité G-invariante. moyennabilité intérieure est rappelée au chapitre 2 ci-dessous.. de G tel. La notion de. Proposition. Soit. Lie réel connexe, semi-simple, centre réduit à un élément, et sans facteur compact. Alors tout réseau de G est non intérieurement moyennable.. Notons que lorsque G est. [GiH] pour voir [BeH].. et. 1980. 1. .. ce. de le. G. un. groupe. de. de T. résultat était déjà connu quand G est de plus supposé simple: rang réel 1, voir [HaJ] pour le cas où F est sans torsion cas général; lorsque G a la propriété (T) de Kazhdan,. Keywords: Groupes intérieurement Mathematics subject classifications:. moyennables, 22. D. 10,. réseaux,. 22 E 40.. groupes. semi-simples.

(4) La. proposition. ci-dessous.. technique et. Z(x, G). centralisateur d'un élément. le. Théorème A. et. conséquence presque immédiate du résultat plus Dans un groupe G, on note e l'élément neutre. est une. 1. x e G.. localement compacts. On considère des groupes. GH. GTG ,. T. un réseau. ayant. propriétés suivantes.. les. Le groupe. agit par homéomorphismes sur un espace compact Q Q. De plus et il n'existe aucune mesure de probabilité G H -invariante sur z GH ne soit pas relativement compact dans pour tout xeGH tel que x (a). GHG. H. y. ,. il existe une mesure de. Le groupe. (b). tout dans. GTG. xeGT - {e}, G. T. Alors. Z(x,. G H )-. invariante sur. Q.. possède la propriété (T) de Kazhdan. De plus. T. le. centralisateur. Z(x,. G. 3. T). n. est pas de. pour covolume fini y. .. Tn. Le groupe. (c). probabilité. (G. H. {e}). x. est sans. torsion.. n'est pas intérieurement moyennable.. F. Pour appliquer ce théorème, considérons un ensemble fini non vide A ainsi que, pour tout aeA, un corps local k a et un groupe algébrique affine G a défini sur k a on suppose G a connexe, simple, k a -isotrope, et de centre ;. réduit. {e}. On note G le groupe des points k a -rationnels de G a qui est non compact [Mar, §1.2.3], et G le produit direct Y[ aeA G a On peut décomposer Genle produit H des facteurs de rang déployé un (l'indice H indique que ces facteurs, au moins lorsque k a = R, agissent sur des espaces hyperboliques) fois le produit facteurs (l'indice T T des autres à. .. a. .. GHG. GTG. possède la propriété de Kazhdan). Les hypothèses du indique que T théorème A sont alors satisfaites (voir le chapitre 4 ci-dessous) et on obtient le résultat suivant. GTG. Proposition. 2.. Soit. qui est sans torsion. Alors Si. k. comme ci-dessus et soit. G F. o. =R pour tout aeA,. est non. F. o. On trouve au chapitre. 4. G. intérieurement moyennable.. les. composantes connexes de la proposition 2 coïncident précisément avec les groupes sition1. (Voir par exemple [Zim, 3.1.6].) a. un réseau de. une généralisation de la. des G. groupes. de la. proposition. 2.. G. propo.

(5) Corollaire. k. corps. comme àla proposition 2; on suppose de plus les caractéristique nulle. Alors tout réseau Y de G est non. de. a. Soit. G. intérieurement moyennable. Preuve.. Les hypothèses du. corollaire impliquent que Y Remark (i) du n° IX. 1.2];. type fini;. est de. si k a = R pour voir [Mar, Theorem 1X.3.2.i et tout a eA, voir aussi [Rai, Remarks 6.18 et 13.21]. Or, en caracté ristiquenulle, le groupe linéaire de type fini Y possède nécessairement un sous. groupeT d'indice fini qui est sans torsion [Sel]. Il en résulte que F n'est pas intérieurement moyennable (proposition 2), et Y non plus (proposition 4 ou [GiH]). o. o. En présence de corps de caractéristiques non nulles, notons d'abord qu'il existe des réseaux qui ne sont pas de type fini: c'est par exemple le cas de T = SL(2 T q [t\) dans G = SL(2,F q ((t))) et plus généralement de tout 9. 9. réseau non cocompact dans un groupe G de rang un sur un corps J? q ((t)) (voir [Lui] et [Lu2]). Notons aussi que le «lemme de Selberg» invoqué dans la preuve du corollaire ne s'applique pas: par exemple, pour tout. d'indice fini dans Y une série infinie convergente. sous-groupe égal. où. à. les. Y. Y. sont. x. =. o. certains. SL(2,F [t]),. de la. de. G/Y. o. est. forme. finis. sous-groupes. volume. le. g. de. F. o. [Ser,. de. 1.5],. 11.. sorte. toujours de la torsion. Toutefois, étant donné un réseau Y d'un groupe G = Y[ aeA G comme à la proposition 2, on peut encore montrer que Y est non intérieurement moyennable dans certains cas, comme (1) et (2) ci-dessous. Rappelons d'abord que F est produit direct de réseaux irréductibles, et qu'un tel produit est non intérieurement moyennable si et seulement s'il en est de même de chaque facteur [BeH, Corollaire 3]. Il résulte donc de [Mar, Corollary 1X. 4. 4] qu'on ne restreint pas la généralité de ce qui suit en supposant que les corps k a ont que F o. a. a. tous la même caractéristique;. vu. corollaire précédent,. le. caractéristique non nulle. Ceci dit, on (1). Si. (2). Si. a. tes. suppose cette. on. résultats suivants.. tous les G a sont de rang déployé au moins 2, alors le réseau T a la propriété (T) de Kazhdan, et n'est donc pas intérieurement moyennable. A. =. {a}. est. réduit. à. un. élément,. si. k. a. = F. q. ((tj). et. si. G. a. est. de. rang déployé un, alors le réseau Y possède un sous-groupe Y d'indice fini qui est un produit libre non banal (voir [Lui] et [Lu2]), donc Y o n'est pas o. intérieurement moyennable [BeH],. et. Y. non plus. (proposition. 4. ci-après)..

(6) Mais nous n'avons pas. caractéristiques dans. le. éliminer. su. toute généralité l'hypothèse sur. en. les. corollaire ci-dessus.. proposition 2 ou son corollaire, les méthodes utilisées pour montrer la non moyennabilité intérieure de F s'appliquent à d'autres sous-groupes qu'à des réseaux. Pour illustrer ces généralisations sans trop alourdir notre rédaction, nous montrons au chapitre 4 un théorème B, qui est un raffinement du théorème A ci-dessus, et qui implique le résultat suivant. Sur un corps local k, on considère toujours la valeur Si. G. absolue x de. comme dans. est. Haar). h>. |. x. de. associant. |. Proposition. 3.. sous-groupe. S. si. d=2on. module (au. x le. à. on ne. y. \-+. xy. Alors. On considère un entier. G= PGL(d,. du groupe. suppose que. 3on suppose que. Par. exemple,. mesure. S. contient. S. 2,. k).. Déplus,. contient pas. ne. un. k. et. sous-groupe résoluble un élément représenté par une. S X, ,. un. corps local. d. de. telles que. œ. réseau de. \Xa \<\Xœ. |. ,. G.. intérieurement moyennable.. est non. S. de la. du. d'indice fini, et qu'il existe dans matrice de valeurs propres X a si d. théorie. sens de la. groupe additif de k. Dans la fait aucune hypothèse sur la caractéristique de k.. l'automorphisme. proposition qui suit,. un. la. pour. tout. d. 2,. le. groupe. n'est pas. PSL(d,Q). intérieurement moyennable. Si. [respectivement. T. S]. est. un. groupe comme dans l'un. des. résultats. précédents, la non moyennabilité intérieure de ce groupe implique que son algèbre de von Neumann est un facteur plein. (Ceci grâce à un résultat dû à Effros [Efr]; voir aussi l'observation (1) à la fin du § de [BeH].) 1. propriétés élémentaires (relatives à la contenance faible) de l'induction des représentations unitaires. Avant la preuve, nous rappelons quelques-unes des notions en jeu. On utilise enfin (dans de [GiH] la preuve du corollaire) le résultat suivant. Il généralise le théorème en ceci que F n'est pas nécessairement supposé être de type fini. Pour montrer. ces. résultats, on utilise. des. 1. Proposition. sous-groupe d'indice fini. On suppose que F est intérieurement moyennable et cci (c'est-à-dire sont toutes infinies). {e} que ses classes de conjugaison autres que est aussi intérieurement moyennable. Alors F o. 4.. Soient. F. un. groupe. et. F. o. un.

(7) Rappels et preuve de la proposition. 2.. 4. Soit G un groupe localement compact, avec élément unité noté e. Dans la suite, on entend par «représentation» de G une «représentation unitaire. continue. dans. un. espace. représentation unité. G. de. Hilbert. complexe». On désigne dans l'espace de dimension 1. de. par. \. G. la. Soit H un sous-groupe fermé de G. Pour toute représentation n de H, on désigne par Ind%(n) la représentation de G induite de n. (Voir ci-dessous les. rappels dans la preuve du lemme 4.) Lorsque n= tationquasi-régulière de G associée à l'espace plus H = Si. et n. 7i. 11. H. >. on obtient la. représen. homogène H\G; si de {e}, on obtient la représentation régulière droite de G, notée p G ' sont deux représentations de G, la notation n < n (respectivement -. '. r. représentation tc est faiblement contenue dans n (resp. est faiblement équivalente an;'); pour ces notions, voir [Dix]. il yade nombreuses autres Le groupe G est dit moyennable si p G G < définitions équivalentes (voir par exemple [Gre] et [Eym]). Un groupe de Lie réel connexe semi-simple est moyennable si et seulement s'il est compact: c'est un résultat qui remonte à Furstenberg [Fur]. Considérons plus particulièrement le cas d'un groupe discret, noté F. Si X est une partie de F invariante par conjugaison, on introduit l'espace (X) des fonctions F - C de carré sommable à supports dans X et la représen tationaa ,x de F dans (X) définie par. 71-71') indique. que. la. 1. ;. 12(X)1. 12(X)1. 2. 2. Y. pour tous simplement. yeF, £e. 12(X)1. 2. (X). et. xeX.. X=F-. Lorsque. {e}. ,. on. écrit. intérieurement moyennable si l r < a r Il y a plusieurs autres définitions de cette notion [BeH], mais il faut de plus noter que certains auteurs utilisent les mêmes mots pour une notion distincte [Pat, page 84]. a r. Le groupe F est dit. .. Rappelons deux. .. conditions standard suffisantes pour qu'un groupe F soit intérieurement moyennable. La première est qu'il possède une classe de conjugaison finie et distincte de {e}, c'est-à-dire que a r contienne la représentation unité l r au sens fort. La seconde est que F soit moyennable et non réduit à {e} (L'argument usuel apparaît dans [Gre, Lemma 1.1.3]; une variante apparaît ci-dessous après le lemme 4.) des. .. Il. existe. par. moyennables:. moyennable. et. c'est. ailleurs le. cas. lorsque F!. des. groupes. intérieurement. d'un produit direct est. F. o. x. moyennable non réduit. 1"^ à. moyennables non lorsque F o est non un élément..

(8) nombreux «exemples naturels» de groupes non moyennables sont aussi non intérieurement moyennables, et les résultats de la présente note fournissent des illustrations supplémentaires de ce fait. Soit F un sous-groupe d'indice fini d'un groupe F intérieurement moyennable. Il se peut que F ne soit pas intérieurement moyennable (exemple: r=Fo xTI avec Fi fini non réduit à un élément). Toutefois,. Toutefois,. de. o. o. lorsque on. les. a. plus cci (ou, en toutes lettres,. F est de. à. lemmes suivants, desquels découle la. (proposition 4). Introduisons d'abord l'algèbre de convolution. infinies), moyennabilité intérieure de F. classes de conjugaison. o. (T) notations. On désigne par des fonctions sommables de F dans C, qui I• Ç est une algèbre de Banach pour la norme définie par = £Y er X (y) Comme F est discret, tout élément Ce/ (F) possède aussi des normes 1/2 et finies. sont £IU = sup Ye rU(ï) lUII2 = Œ erU(Y)l ) qui Pour £ e / (F) et y e F, on définit l'adjoint £* e (Y) et l'opérateur a (y). quelques. ll(T)l. ||. ||. l. i. 1. 2. II. I. Y. !. sur. ll(Y)l. l. ll(Y)l. (Y) par. pour tout. fonctions. le convexe de On désigne par (Y) formé des (Y)q valeurs positives, telles que Ç(e) = 0, et de norme £ ||i = 1.. x e Y. à. £. 1. 11(Y)1. dans. /. !. traduit [BeH] par l'existence d'une asymptotiquement invariante au sens où. (F)q. tl. qui est. se. F.. e. y. intérieurement moyennable dans (F) asymptotiquement invariante (£,„)„> suivantes: Lemme. Si. 1. .. T. est. l1l. 1. 1. (i). (ii). (iii). \. est. n. lim,,lim. Preuve.. l. ||. (£,,)/iî. pour tout. ll(Y)l. {. La moyennabilité intérieure de F. suite. l. rt. support fini pour tout. à. «. -,oo. lim*-o-^'(x). £x. ayant. les. propriétés. 1,. lUJU =0, ||. £,„ I2. Soit (££')*. Premier. n. et cci, il existe une suite. pas. = 0.. =0. 1. une suite. Montrons. asymptotiquement invariante. d'abord. que,. pour. tout. de. Z. xeY. 1. (F)q on. x.. a.

(9) 2. On peut trouver y l9 ...,y eF Pour cela, choisissons un entier c deux à deux. Il existe tels que les éléments yf^Yi ..., Y^-XYc sont distincts c. ,. aussi. entier. un. k0. grand. assez. pour. que. a (yy. ||. )££'-££'. Par suite tout ye {1, ..., c} et pour tout k ' cZ,'k '(x) pour tout y 6{1,...,c}, donc I=|| \'k h L'entier c étant arbitraire, la suite pour tout k. ||i. .. kO.k. 0. .. 1. pour. £*'(*) -. kO.k. 0. c". <. l. c~. -let (£>'k. '(x)). 1. k>. i. tend bien. vers 0.. formé des fonctions à ne restreint donc pas la généralité de ce qui suit en supposant a priori les fonctions Z,' ' à supports finis. Soit k alors (k ) n> une suite strictement croissante d'entiers strictement positifs. Pour tout n lon pose Le sous-ensemble de Deuxième pas. On (F) q supports finis est dense dans /l/. l. ll(^)o,il. (^)o,i. l. j. .. i. n. fonction caractéristique de S Montrons que, pour un choix convenable de {k ) on peut définir une suite asymptotique invariante (Z,' )nî de /HOo, de «-ièrne terme (c'est une partie finie de F). note. et on. %„ la. n. n. n. Xo. deux. à. =o)de. telle sorte que. supposant. donc. 1,. ÇJ, ...,. _. n. c'est-à-dire tel que donc un sens,. et. Troisième pas.. Cette. suite. même. |£„. e. ll(T),l. l. \'. ||. k. la. ' n. kk. suite. Soit. nln-in. ln-i. (^)î. (£„)„£ ila. satisfait évidemment \\. œ. le. n. tel que. X. -. procède par récurrence sur premier pas, on a. on. déjà définis. Par. {. -. puis. =. ff. On peut choisir k n > k n. a. sont alors finis et disjoints. des. supports. deux.. On pose ki = en. les. ,. i. n. (avec. i. .. <l- pour tout. n. (T), elle satisfait aussi la. 111. a. >V-. définition ci-dessus. La. évidemment. suite définie. conditions 1). Comme condition (iii). les. ||. les. et. \\ <|| D. \'. n. propriétés annoncées.. àla Cesàro. (i). de. du. (ii) ||. i. ||. par. lemme (on ||. «,. a. pour tout.

(10) Lemme. Soit. groupe intérieurement moyennable et cci, et soit (£«)« une suite asymptotiquement invariante de (r)£ possédant les la suite définie par propriétés du lemme 1. Soit (y\ n ) n> = £* * r\ n T et soit Y To] un sous-groupe de d'indice fini. Alors 2.. F. un. l1l. 1. 1. l. i. n. f=[T:. o. Preuve. classe. où de. Désignons par. gauche. à. se T/T. Q. .. %s%. s. :T->. {0, 1} la. Posons. II désigne une réunion disjointe. Pour tout r\. n. à. On. rO.r. 0. .. fonction caractéristique d'une. lon. n. note r\' la restriction n. a. ainsi que. (on. utilisé. a. l'inégalité. de. Cauchy-Schwarz. pour. la. somme. sur. r/r. 0. ).. Par suite. n^\.. pour tout tend vers résulte.. 0. Notons lemmes. 3. il. ailleurs, n. tend vers. lemmes. les. résulte. l'infini.. 2. et. 1. [GiH]. situation du lemme. du. La. ci-dessus. lemme. 1. que. r\. n. (e) =. \\. conclusion du lemme. sont. des. raffinements. £,„ \\\ 2. en. des. et 4 de. 1,. où. restriction. de. pour tout la. lorsque. que. Dans la. (,'„. Par. n. ô C,. 2,. posons de plus. désigne la fonction caractéristique de {e} dans T. Notons l (T 0 ). Le lemme 2se sa norme dans àFo et n ||. ||. ll(l.

(11) reformule. HCill^/". inégalités. les. en. 1. )*^. asymptotiquement invariante (C« C« ll" est intérieurement moyennable, que T I. II. Soit d'abord. conjugaison de précédent, on a. plus. de. F. F. ainsi. y c e. C;. Pour. spécifié.. c. notons. ,F)\r. WYW. Soit. 3.. et. on. Par hypothèse, on. En induisant. Par ailleurs,. Le. de. la. à. G. on. {ïclce. e. Conj'ÇT), choisissons. la. sous-ensemble. le. co^cn classe. C. s'identifie. à. a. y c a. on. dans. Fet. où. ~. indique l'équi. donc. un réseau dans un. intérieurement moyennable,. Preuve.. dans G.. F. =. Y. Ce Conj*(T),. tout. c. est. preuve. résulte. .. élément. un. Lemme F. la. en. préliminaires. Lemmes. ,F) désigne le centralisateur de valenceunitaire des représentations. On. Si. achève. qui. suite. une. groupe discret. Notons Conj'(T) l'ensemble des classes distinctes de {e} Avec les notations du début du chapitre. l'espace homogène Z(y. Z(y. définir H. désigne une somme orthogonale. Pour tout C. de. eut. F un. de. où. P. 4. 3.. où ©. on. dans. ce. o. proposition. et. ». groupe localement compact. G.. a. a. obtient. sous-représentation de Ind°(\ T ), car F est un réseau La conclusion résulte donc de l'assertion (ii) du lemme suivant. 1. lemme. Herz» [EyL].. G. est une. qui. suit. est. essentiellement. le. «principe. de. majoration. de.

(12) Lemme. Soient. 4.. {Hj} jeJ. {Hj}. et. deux familles de sous-groupes telles que H] CHj pour. JeJ. fermés d'un groupe localement compact tout j e J.. G. S'il existe pour tout jeJ une représentation unitaire G G telle que G < ® jeJ lnd Hj {Tij), alors G < ® je jlnd Hj (\ Hj (i). \\. Si. (ii). 1. G. <®jejInd. \G<®jejln\. G. Précisons. (l. H}. H}. ). alors. i. l. lnd%(l. < ® JeJ. G. de. %j. Hj. ).. Hj. ). modèle considéré ici pour les représentations induites en rappelant ceci. On considère d'abord un sous-groupe fermé H de G et une représentation n de H dans un espace de Hilbert On choisit une mesure \x sur l'espace homogène H\G dont la classe est. Preuve,. (a). le. .. invariante par l'action à droite de G. (On peut par exemple prendre l'image par la projection canonique G -> H\ G d'une mesure de probabilité sur G dans la classe de la mesure de Haar.) Pour tout g e G, on a donc une dérivée de Radon-Nikodym décrite par l'application. satisfaisant l'identité. de. À (s. cocycle. introduit l'espace vectoriel L. On. £:G-» 3f (modulo l'égalité. gg'). 1. ,. 2. (G,. presque. n. A(s, g) A(s g'). ) H des applications mesurables g. =. ,. K. partout) qui sont /f-équivariantes,. c'est-à-dire telles que. et. de. carré sommable au sens où. comme. d'écrire. ||. £>(x) ce. \\. 2. ne. nombre. de la classe x =. dépend que ||. £(x). ||. 2 .. L'espace L. 2. Hx. (G,. n. de x, on a ). H. est. commis l'abus. muni d'un produit. scalaire défini par. qui en fait un espace de Hilbert. On définit la représentation. n= Indîn). de. G. dans L. 2. (G,. 2f. n. ). H. par.

(13) pour tous vérifie que est. eG,. g n. est. Çe L. 2. (G,. H. JK). e. g. G et. £. sous-groupe. HdeG.. composition. avec la. Elle. L. e. 2. (G,. J^. ). n. 8. x=Hxe H\G).. norme. -équi variante. qu'elle. ). (i). du. a=l#ets=. Posons. et. On. H. Montrons d'abord l'assertion. (b). (avec. bien une représentation de G, car A est un cocycle,. bien unitaire, car (en posant y = x. pour tous. xeG. et. lemme. lorsqu'il n'y a qu'un Ind%(\ H ). L'application de. Jtfn s'écrit. de. représentations n et a), lipschitzienne de rapport 1, et N&) = \\Z, pour tout Ç e L (G, %fn ) H Dire que G -< n, c'est dire que, pour toute partie compacte Kde G et H telle = (G, pour tout nombre s>o,il existe une fonction )£ eL G. est. ||. (via. les. 2. ||. \\. .. 1. 2. que. Ç. ||. Ces. =. 1. et. telle que. propriétés impliquent qu'on. II en (c) en. ||. résulte que. 1. On montre. G. a. aussi. ||. N{l). |. =. 1. et. <o. le cas. général. de. l'assertion. utilisant une application. avec Nj comme dans (b) pour tout j. e. J.. (i) grâce au même. argument,.

(14) (d). de. L'hypothèse. (ii) s'écrit aussi. de. sorte que l'assertion (ii) est un cas particulier de (i).. D. l'un des arguments montrant qu'un groupe T qui est moyennable et non réduit à {e} est aussi intérieurement moyennable. Rappelons que F est moyennable si et seulement si l r < PrPour toute classe de conjugaison C C T — {e}, si on choisit un élément y de C, on a (avec les notations comme au chapitre 3) Remarque.. Le lemme 4.i. On. a. donc. Lemme. a. fermés. de. mesure de. implique qu'on. fortiori. 1. Soit. 5.. propriété (T). illustrer. Pour. de. r. -<. G. a. lemme. 4,. répétons. aussi. ar. un. Kazhdan. le. et. groupe localement compact soit (Hj) JeJ une famille. qui possède. la. de. sous-groupes G. On suppose que, pour tout jeJ, il n'existe aucune probabilité G-invariante sur l'espace homogène Hj\G. Alors. Supposons par l'absurde que l'on ait G < ®jejl n d% .(!//,)• Comme G a la propriété (T), la contenance aurait lieu au sens fort. Comme la représentation \ G est irréductible, il existerait tel que 1- G soit une Preuve.. IG<1. jeJ. sous-représentation de Ind%.(l Hj ), c'est-à-dire que Hj\G possède mesure de probabilité G-invariante, contrairement à l'hypothèse.. une. localement compact agissant continûment dans un espace compact Q, et soit (Hj) jeJ une famille de sous-groupes On suppose qu'il n'existe aucune mesure de probabilité fermés de G. G-invariante sur Q, et qu'il existe pour tout une mesure de proba bilitéH j -invariante Vj sur Q. Alors Lemme. 6.. Soit. G. un groupe. jeJ.

(15) On convient ici que. Preuve.. l'action. de G. sur Q est. droite.. à. /, on choisit une mesure de probabilité \ij sur Hj\G qui est quasi-invariante par G (voir la preuve du lemme 4). On introduit l'espace de. Pour tout. e. y. Hilbert. la. de. représentation. introduit. ®jejlnd%.{j. e. jInd%.{\. Hj. ). ainsi. que. sphère. sa. unité. c¥f. x. .. On. Prob(Q) des mesures de probabilité sur Q, muni de la topologie vague; c'est naturellement un G-espace compact. Nous allons définir en deux temps une application aussi l'espace. lipschitzienne Dans. Mes. +. et. G. -équi variante.. premier. un. (Hj\G). temps,. des mesures. on. introduit. pour. positives finies sur. tout. Hj\G,. je. J. ainsi que. le. G-espace. l'application. qui est évidemment lipschitzienne sur les parties bornées. De plus, comme G agit à gauche via Ind%. (l Hj ) sur L 2 (Hj\G, \ij) et à droite sur Mes + (Hj\G), on. a. (avec des notations dont nous espérons. pour tout. g. e. des. l'application. où. sens. évident au lecteur). G.. Dans un second temps, on. formé. le. familles de. (Xj) JeJ. convolution. introduit. telles. que. le. sous-espace. IJeJXj(Hj\G)l. JeJ. Xj(Hj\G). <. <x,. ainsi. que.

(16) Pour tout ge Gde projection canonique la. mesure Il. v. g. e. Hj\G,. l'image (v,-). g. par. g. de. sur Q ne dépend que de g, et nous avons noté. y. (v,)* cette mesure est une application. nouveau évident que (kj) h> £ v,- • Xj lipschitzienne, et qu'elle est G-équivariante pour les actions à droite naturelles de G à la source et au but. On obtient par composition l'application %f -> Prob(Q) annoncée, qui. image.. est. à. x. applique un vecteur unité. /=. (fj). Je j. sur la mesure de. probabilité. Supposons alors qu'on ait. II. existerait dans. une suite de vecteurs. asymptotiquement G-invariante. au sens où. pour toute partie compacte K de G. Il en résulterait que la suite corres pondante(Vf ) n^\ de Prob (Q) serait aussi asymptotiquement invariante au n. où. sens. pour toute partie compacte K de G. Quitte à passer à une suite extraite, on obtiendrait à la limite une mesure de probabilité G-invariante sur Q, en contradiction avec les hypothèses du lemme /L'hypothèse de contenance faible ci-dessus est donc impossible,. Preuve. 4.. Enonçons d'abord. Théorème. B.. le. des. et la. preuve est achevée.. résultats. de. raffinement suivant. On considère des groupes. D. l'introduction du théorème A.. localement compacts. GH. GTG ,. T. un réseau. et un. sous-groupe. S. de. G. contenant. T,. ayant les propriétés suivantes..

(17) Le groupe. agit par hornéomorphismes sur un espace compact £2 et il n'existe aucune mesure de probabillité G H -invariante sur Q. De plus, xeGH - {e} tel que (x, e) eS, il existe une mesure de pour tout probabilité Z(x, G H )- invariante sur Q. (a). GHG. (b) Le groupe. xeGT -. tout dans. possède la propriété (T) de Kazhdan. De plus, pour centralisateur Z(x, G T ) n'est pas de covolume fini. T. {e},. le. n'est pas intérieurement moyennable.. S. Notons. Preuve.. chapitre. Si. GTG. Gj-. Alors. S-. sur. H. S. Soit. 2.. (3. un système de. E. {e} par (y,. s*) i->. àFdela. restriction. la. r. ~. ysy. 1 .. représentation as définie au représentants des orbites de l'action de T. On. a. était intérieurement moyennable, on aurait. restriction àT. Il suffit donc obtient une contradiction. Si. lemme. on 4). avait la. lr-<l. r -<. (3. r. on. ,. de. supposer que. lr-<l. l. s. r -<. aurait par induction. -<a (3. r. de. s. ,. et. donc de. < r par montrer qu'on l r. TàG. (3. (comme. au. relation. (*) Pour tout. s. E,. e. écrivons. Posons. ainsi que. Le. membre. droite. de. de la. relation. (*). se. décompose naturellement. en une. lui-même une somme sur l'un des H H une relation de contenance faible de la forme Ir-< ©î<ns:7v (tlh ) où N est un nombre fini implique que Ir< pour l'un des n au moins. Il résulterait donc de (•) que l'une au moins des relations somme de ensembles. deux ,. termes, E r Or. chacun. étant. .. rmn. (*//). (T) aurait lieu.. n.

(18) d'abord. Supposons. (*. que. lieu.. ait. 7 ). Pour. s=. tout. (s H. s T ). ,. e. I. r ,. posons. Le lemme 4.ii. et. implique que l'on aurait. donc aussi la relation équivalente. Comme que. Z(s. s T =é T. ,. G. e. T ). T les hypothèses pour tout seT n'est pas de covolume fini dans G T. contenance faible ci-dessus serait donc. théorème. stipulent La dernière relation de du. ,. .. contradiction. en. avec le lemme 5.. Supposons alors que la relation (•#) ait lieu. Le même argument que plus haut implique que l'on aurait aussi. théorème B, il existe sur Q une mesure de proba bilitéZ(s H G H ) -invariante. La dernière relation de contenance faible ci-dessus serait alors en contradiction avec le lemme 6 appliqué àGH agissant. Vu. les. du. hypothèses ,. sur Q.. Preuve du. théorème. xeGH -. théorème. du. A. A.. impliquent. {e} tel que (x,. e). Il. suffit. celles. du. de. vérifier. théorème. eF. L'hypothèse. (c). que. les. hypothèses. lorsque S= F. Soit du théorème A implique B. d'ordre infini; comme F est discret dans G, cela implique que x z n'est pas relativement compact. L'hypothèse (a) du théorème A implique donc l'hypothèse (a) du théorème B. Comme les hypothèses (b) coïncident dans les. que x est. deux théorèmes, ceci achève la preuve du théorème A.. Preuve. de. la. proposition. simple non compact. et de. 2.. G=. Soit. centre réduit. à. {e}, comme. UD,. peut supposer les notations telles que A = B un pour. tout. |3. e. On pose alors. réseau. sans. théorème A.. torsion. G. a. =. proposition. la. G(k 2.. a. ). On. o. avec G. p. de. GTG. GHG. F. à. avec. rang déployé avec G§ de rang déployé au moins deux pour tout On considère un U T = H = U^ eB G^ et 6eD G^.. B et. ôeD.. ILe^â,. de. G=GH. x. G. T. .. Vérifions. les. hypothèses. du.

(19) Pour. (a). qui. X$. espace. Pes,. chaque est. un. le. G. groupe. agit. p. les. p. un. est approprié (lorsque k autres cas). Notons Q le bord de X$ (à n'est pas relativement compact dans G p. p. Gromov). Soit g e G tel que g Alors g a exactement un ou deux points fixes dans G ) -invariante une mesure de probabilité Z(g p. sur. hyperbolique. espace. archimédien) ou un arbre (dans la. isométries. par. p. p. Q. p. p. p. ,. p. existe sur Q. et il. ,. support. (à. un. ces. .. p. ou. deux points). Le. groupe. ((Sfj)M*)*. GHG. agit. H. Q. XG. = £Po X P° Ur. réunion. la. sur. Q=. disjointe. IIp G. 5Q. par. p. Po'. e B, la mesure G-invariante sur Q; pour tout induite |i sur Q est G -invariante, donc réduite à zéro puisque G n'est pas moyennable; par suite \i =0. Soit g= (g ) eB eGH tel que g z ne soit pas il existe relativement compact dans eB tel que (g Po ) z ne soit pas H relativement compact dans G Po et par suite il existe comme ci-dessus une mesure de probabilité Z(g Po G Po ) -invariante sur Q Po en prolongeant cette. Soit. une mesure finie. \i. p. p. p. p. (3. p. GG. p. (3. \. 0. ,. ;. ,. mesure. par. Z(g,. ). G H. zéro. sur. p^ Q.. -invariante sur. Q. Po. p. obtient. on. ,. L'action. de. GHG. H. mesure. une sur. Q. probabilité. de. vérifie donc bien. les. hypothèses (a) du théorème. Le. propriété (T) car c'est un produit direct de groupes qui ont cette propriété. D'autre part, pour tout 8 e D et pour tout x e G - {e}, le centralisateur Z(x ,G ) n'est pas Zariski-dense Il résulte donc du théorème de densité de Borel que Z(# dans G G ) n'est pas de covolume fini dans G (voir [Zim, Theorem 3.2.5] si le corps local k (b). groupe. ô. GTG. T. la. a. ô. 5. 6. 8. .. 6. ô. ,. ô. archimédien,. est. on. Z(x,. a. dans. GG. (c). G. =. T. ô. 6j. dG. ô. 6. ). et. suite,. Z(x,. théorème A. du. proposition. la. de. G. Par. G. si T ). x=. (x. 8. n'est pas. ). - {e} covolume fini e. 6eD de. GTG. T. ,. .. Cette hypothèse. hypothèses. la. II. sinon).. ïïôe^Ûô,. =. T ). [Wan]. et. ô. est. strictement contenue dans. les. 2.. Le théorème B permet par exemple de généraliser comme suit proposition 2. On considère un groupe G= [] G a. eA. a. l'énoncé. de. =GH xGT. comme dans la preuve précédente.. Proposition de. G. groupeS. tel. 2 bis. que de. G. .. Tn. Soit (G. H. G. x. contenant. T comme ci-dessus et soit soit sans torsion. Alors {e}) T. est non. un. réseau. tout. sous. intérieurement moyennable.. Notons d'une part que S n'est pas nécessairement fermé dans G, et d'autre part que l'assertion de non moyennabilité intérieure porte sur S vu comme «groupe discret»..

(20) Preuve. proposition indiqué dans l'introduction. de. Avant. d'entreprendre. Elle. 1.. la. résulte. la. de. proposition. proposition. la. de. preuve muni d'une valeur absolue. k. corps. la. comme. 2,. considérons. 3,. un. corps local (c'est-à-dire est localement compact non discret). On sait qu'une telle valeur absolue possède un prolongement. par et. rapport. unique. laquelle. à. clôture algébrique. une. à. k est un. k. de. a. k. Section 18.4]. [Wae,. et. donc. à. la. complétion correspondante Kde k a La droite projective P^ hérite ainsi de K une topologie qui rend continue l'action naturelle de PGL(2, k). (On prendra garde que PP K n'est en général pas compact, car K n'est en général pas localement compact.) .. l. Soit. xe PGL(2,. x&. k),. élément. un. e. représenté. matrice. une. par. Rappelons que x est dit propres X\,X Ek a si [respectivement parabolique, hyperbolique elliptique,] \Xi\^\X =é 1]. Ainsi x possède exactement deux et |X\\=| [resp. Xi = X 2i points fixes sur PP K si x est hyperbolique ou elliptique, et un point fixe. xe GL(2,. de. k). valeurs. 2. .. 2. X2X. X2l].X. 2. 2. l. si. parabolique.. x est. Pour un élément hyperbolique he PGL(2, k), on note (ù h le point fixe 1}, correspondant àla valeur propre X a de h telle que |Xa |= max{| Xi l et a l'autre point fixe de h dans PP K Etant donné des voisinages A h Q h de dans PP K il existe alors un entier n tel que h ,(ù h |. |. X2l},X. 2. ,. h. .. ,. l. aa. Q. ,. pour tout Lemme. |n\. tel que. n. Soient. 7.. n. 0. un corps local et. k. S. un. de. sous-groupe. PGL(2,. k).. On suppose que. contient pas. (i). S. ne. (ii). S. contient. Alors. un. de. sous-groupe résoluble d'indice fini,. élément hyperbolique.. n'est pas intérieurement moyennable.. S. Soit. Preuve. IK.l. h. 0. eS. un. élément. hyperbolique Zariski-dense dans. Le. groupe S est algébriques connexes car les sous-groupes résolubles. Il existe donc Xi ,x ,x e S tels. ao,ca. o. ,co. 0. e. PP. K. .. 2. 3. de. que. G. les. de. fixes. points. G= PGL{2,. distincts. de. huit. points. sont. G ao,ca. k),. o. ,co. 0.

(21) Xj(a. et. hj = Xjh. Xj((ù. ),. 0. l. xJ éléments. des. o. 0. on note a. et h. o. Pour ye {1,2,3}, on pose ,co ses points fixes. Quitte à remplacer chacun par une puissance convenable, on peut alors. <y <3) sont distincts.. (1. ). ,hi,h. ,h. 2. -. y. 3. y. trouver des. voisinages Ej. un. domaine. contenant. de. {a,-,. fondamental. les. disjoints deux. co,-}. D. pour. l'action. à. deux de. (1. <y sur. Hq. < 3) et. Pk-{(Xo,cûo}. Ej. tels que. Posons. c. K-d. =. On vérifie qu'on. a. (*) En effet, tout élément. ssT)et. s. h. e. x. Th. l x. n'en possède aucun dans. E2E. possède un point fixe dans E u E. 2. 3. ,. sinon h^. 1. sh. x. eTen. {. (par suite. posséderait. contrairement àla définition de T (par suite u h Th^ ); les autres vérifications sont analogues. s$h Th Il résulte de (*) que S n'est pas intérieurement moyennable. (Voir [HaS]; un argument de ce type apparaît dans la preuve du théorème 5 de [BeH] mais n'y est pas correct, car une transformation elliptique de l'arbre de Bruhat-Tits D concerné peut posséder plusieurs points fixes.) l. ~l(~. dans. hh. l. ~. 2. (E 2 u E. 3. 22. E. C. ). l. x. ,. 1. 3. ,. caractéristique nulle ou impaire, on sait qu'il de k contenant les racines de tous les polynômes du second degré à coefficients dans k, donc les valeurs propres de toute matrice x e GL(2, k). Mais ceci n'est pas vrai lorsque k = ((0)» d'où l'introduc (1) Si k Remarques. existe une extension finie. est de. F2((0)»F. 2. tiondu (2). Le. corps K ci-dessus.. Considérons. groupe S contient pas. le. PSL{2,. Z) du groupe G =. PSL(2, Q p ). ne contient pas de sous-groupe résoluble d'indice fini, et ne d'élément hyperbolique (car S est contenu dans le sous-groupe. compact PSL(2,Z P ) supprimer du lemme. sous-groupe. de 7. S. =. G). Pour la preuve ci-dessus, on ne peut donc pas l'hypothèse (ii)..

(22) On peut. [Tit], ce PSL(2, R).. de. l'ambition. doute supprimer (ii) en raisonnant comme au lemme 4.1 qui pour l'exemple ci-dessus revient à plonger PSL(2,Z) dans Mais la preuve du cas général sans l'hypothèse (ii) dépasse sans. travail.. du présent. Preuve de. proposition. la. L'assertion pour. d. 3. L'assertion pour. 3.. d=2. résulte du lemme. 7.. résulte du théorème B.. Le premier. auteur remercie Bachir Bekka, Marc Burger pour d'utiles commentaires.. et. Alain Valette. RÉFÉRENCES [BeH]. [Dix] [Efr]. Harpe. Moyennabilité intérieure des groupes: définitions et exemples. L'Enseignement math. 32 (1986), 139-157. Dixmier, J. Les C*-algèbres et leurs représentations. Gauthier- Villar s, 1969. Effros, E.G. Property F and Inner Amenability. Proc. Amer. Math. Soc. 47. Bedos,. E.. et. P.. la. de. (1975), 483-486.. [Eym]. Eymard,. P.. Initiation àla théorie. des groupes. moyennables. Springer Lecture. Notes 497 (1975), 89-107.. Lohoué.. Sur la racine carrée du noyau de Poisson dans les une conjecture de E.M. Stein. Ann. scient. Ec.. [EyL]. Eymard,. [Fur]. espaces symétriques et Norm. Sup. 8 (1975), 179-188. Furstenberg, H. A Poisson Formula for Semisimple Lie Groups.. P. et N.. Math.. [GiH] [Gre]. Giordano,. 77. Annals of. (1963), 335-383.. la Harpe. Groupes. moyennabilité intérieure. Arkiv for Mat. 29 (1991), 63-72. Greenleaf, F. P. Invariant Means on Topological Groups. Van Nostrand, T.. et. P.. de. de. tresses. et. 1969.. [HaJ]. [HaS]. [Lui] [Lu2]. [Mar]. Jhabvala. Quelques propriétés. d'un groupe discontinu d'isométries hyperboliques. In: Ergodic Theory (Séminaire, Les Plans-sur-Bex, 1980), Monographie de l'Enseignement Math. 29 (1981), 47-55. de la Harpe, P. et G. Skandalis. Un résultat de Tarski sur les actions moyennables de groupes et les partitions paradoxales. L'Enseignement Math. 32 (1986), 121-138. Lubotzky, A. Trees and Discrète Subgroups of Lie Groups over Local Fields. Bull. Amer. Math. Soc. 20 (1989), 27-30. Lattices in Rank One Lie Groups over Local Fields. Geom.-Funct.Anal. 1 (1991), 406-431. Margulis, G. A. Discrète Subgroups of Semisimple Lie Groups. Springer, de. la Harpe,. P.. et. K.. des. algèbres. 1991.. [Pat]. [Rai] [Ra2]. Paterson, A.. T.. Amenability. Math. Surveys and Monographs. 29,. Amer.. Math. Soc, 1988. Raghunathan, M. S. Discrète Subgroups of Lie Groups. Springer, 1972. Discrète Subgroups of Algebraic Groups over Local Fields of Positive Characteristics. Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. 99 (1989), 127-146..

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