Exercice 2: SoientA= (1,0,2),B = (0,1,1) etC= (1,−1,0) trois points de l’espace

L1 PCST Printemps 2016 S2 Math´ematiques

Contrˆole du 25 mars 2016

Dur´ee 1h30. Aucun document ni calculatrice autoris´e

Exercice 1: Dans le rep`ere orthonorm´e (O,~i,~j, ~k) de l’espace, on consid`ere les trois vecteurs ~u =~i+~j +~k,

~

v =−~j+ 2~k, et w~ =−2~k.

1. Calculer ~u∧~v,~v∧~u. Qu’observe-t-on? Quelle propri´et´e est v´erifi´ee par cette observation?

2. Calculer (~u∧~v)·~u. Qu’observe-t-on? Quelle propri´et´e est v´erifi´ee par cette observation?

3. D´eterminer le produit mixte~u·(~v∧w) puis comparer avec le d´~ eterminant de la matrice_{1 0 0}

1−1 0 1 2 −2

. Exercice 2: SoientA= (1,0,2),B = (0,1,1) etC= (1,−1,0) trois points de l’espace. D´eterminer :

1. l’´ecriture param´etrique de la droite ∆ passant parA et de vecteur directeur −−→ BC ; 2. un point Dde ∆ distinct de A ;

3. l’´equation du plan P, contenant la droite ∆ et passant par l’origine O ; 4. l’´equation du plan P⁰, passant parE = (1,2,3) et orthogonal `a ∆ ; 5. le point d’intersection F, de P⁰ et ∆.

6. V´erifier que les droite (EF) et ∆ sont perpendiculaires.

Exercice 3: SoientA= (2,5,0),B = (8,−1,1) et C= (10,5,−2).

1. D´eterminer les coordonn´ees du point D tel que −−→

AD =~j −3~k et montrer que les points B,C et Dsont align´es.

2. D´eterminer le point E tel queABEC soit un parall´elogramme et en calculer l’aire.

Exercice 4: Soit A_m=_{1 1 0}

2 2 m 1 2−1)

et S le syst`eme d’´equations lin´eaires







x+y= 1 2x+ 2y+z= 2 x+ 2y−z= 3

.

1. Ecrire la condition sur m pour que la matrice A_m soit inversible.

2. Montrer que la matrice ₄ −1−1

−3 1 1

−2 1 0

est l’inverse de A₁. 3. Ecrire S sous forme matricielle et r´esoudre.