Ecole des Hautes Etudes Commerciales

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Ecole des Hautes Etudes Commerciales

CONCOURS D’ADMISSION DE 1980

Composition de Mathématiques (4 a)

1‘. EPREUVE

Dans tout le problkme on désigne par n un naturel strictement positif, par I l’intervalle [

-

1,

+

^11.

PREMIBRE PARTIE

Pour x E 1, on pose T a (x) = 1 e t T, (x) =

2”-‘

1 ^cos⁽ⁿArc cos x).

10 Expliciter les polynômes T I , T r , T.,.

Prouver que T, est un polynôme en x de degr6 n e t calculer le coefficient de x n . (On pourra poser x = cos fj avec 0

<

8

<

^{x ) .}

2

O Montrer que T,, n E N*, admet exactement n racines réelles, distinctes, toutes dans l’intervalle 1.

On les note x , , X P ,

. . . .,

x, en les classant par valeurs décroissantes. Expliciter x i en fonction de 2 j - 1

l’angle (-1 7:

.

n

30 Soit E l’espace vectoriel d e l des fonctions numériques continues sur 1 a) Montrer que, pour tout f E E , l’intégrale J (f) =

b) Calculer, à l’aide du changement de variable x = cos t , les intégrales suivantes : J (l), dx existe.

+

¹ ^f^(x)

J-l ^iG=F

J (T;f), J (T,

.

T,) avec m # n.

IR, [XI des polynômes réels de degré au plus n.

c) Vtrifier, rapidement, que les polynômes To, T:,

. . . .

^,T, forment une base de l’espace vectoriel En déduire que, si P E IRn-l[X], J (T,.P) = O. @e vaut J ( T , . P ) si P est de degré n ?

DEUXIBME PARTIE

On se donne dans cette partie n nombres réels distincts de 1 : x 9 ,

. . . .

, _x,.

n

On pose, pour tout j E

\

^1,^2,

. . . .

, n

1,

^L~^{(x) =}

(s)

^{e t}^on^note^Lile polyn8me

k = l n

dérivC de L i

. n

(a,) dCsigne le produit

k # i

(

^{k = l}

10 Calculer, en distinguant les cas i = j e t 20 Soit P l’application de IR

,

^{- l}[ X I dans V P E I R z n - l [XI, F ( P ) = O?(X,), *...t

derive de P).

k # i

des nombres-a,, a2,

. . . .

, a

,

excepté a i .

i # j, le nombre d e l L i ( x i ) .

R Z n dtfinie par :

P ( x n ) , P’(x,),

....,

P ’ ( x , ) ) . (On note P’ le polynôme

(2)

-2. -

- 2 4 4 -

a) Vdrifier que F est lintaire.

b) Montrer que le noyau de F est rdduit au polyn8me nul.

c) En ddduire que P est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

30 Soit f : 1 -+ IR ddrivable sur 1. Utiliser la question prdcddente pour prouver qu’il existe un et un seul polyn8me de degrd au plus 2 n

-

1, que l’on note

r,

^{tel que}^:

v

j E 11, 2,

....,

n

1,

? ( x i ) = f ( x i ) et

i.

( x i ) = f’ ( x i ) . 4 O VBrifier que :

n n

i = 1 j = 1

TROISIBME PARTIE

Dans cette partis f est une fonction numdrique 2 n fois ddrivable sur 1 et x I , x t ,

. . . .

, x, sont n points donnds distincts de 1.

10 On suppose que f s’annule ainsi que sa dCrivCe f ‘ en chacun des x

, .

On se donne x E 1 disrinct des x i et on ddfinit une fonction ^Qpar :

y ( t ) = f (t)

-

A ( t

-

¹¹⁾⁾ (t

-

x2)*

. . . .

( t

-

x n ) * où la constante d e l l e A est ddterminde par la condition ^Q(x) = O.

a) Montrer, en utilisant le thCort?me de Rolle, que la dCrivde ‘9’ s’annule en a u moins 2 n points distincts de 1.

b) Bn dCduire que chaque ddrivCe d‘ordre p, y(p), 1

<

^p

!<

2 n, s’annule en au moins 2 n

-

p

+

¹

c) En dMuire qu’il existe au moins un c E 1 tel que f (x) = ( x

-

x i ) l

. . . .

( x

-

x,)’

d) Est-ce encore vrai si x E 1 x l , x y ,

. . . .

, x n \ ?

20 On ne suppose plus que f et f’ s’annulent ndcessairement aux points x , , et on adopte les notations points distincts de 1.

f ( 2 n ) (c) (2n)! *

du 30 de la deuxieme partie. Montrer que :

f ( 2 n ) (c)

v

x E 1, 3 c E 1, f (x) = F ( x )

+

( . - x i ) * ( X - X y ) Z

,...

(x-x,)Z

( 2 n ) ! ^’ (1)

QUATRIEME PARTIE Soit f : 1 + R, une fonction 2 n fois continfiment ddrivable sur 1.

Dans cette partie, on choisit pour n-uple ( X I , xq,

.. ..

^,^{x n ) ,}^len-uple constitue des n racines du polyn6me T,

.

Pour chaque x E 1 on fait choix d‘un c E 1 satisfaisant h I’Bgalitd (1) du 20 de la troisieme partie.

+ l (x-Xj) LT(x)

10 Montrer que, quel que soit j E

{

1, 2,

. . . . ,

n

1,

^dx^{= O.} (On pourra utiliser le 30 c) de la premihre partie.)

n

j = 1

20 On pose a i = J

( ~ f ) .

Montrer, h l’aide des parties II et III, qu’il existe un rBel d ^E1 tel que : n

n

30 On dit que la somme

c

^{a , f}^(x^i), ^notde

³

(f), est une valeur opprochde de I’intdgrale J (f).

Montrer que

3

( f ) = J _{( f )}si f est un polyn6me de degrC au plus 2 n

-

1.

N. B,

-

^{O n}peut ddmontrer, ce que l’on ne demande pas de faire, que les coefficients a i ,

. . . . ,

a n sont

j = 1

tous Cgaux h

-.

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