R´evision(Int´egration) Exercice 1
Pour chacune des fonctions suivantes, donner le domaine de d´efinition, justifier que la fonction est C1 sur son domaine de d´efinition et expliciter sa d´eriv´ee.
a : x 7→
Z x
1
lnt dt b : x 7→
Z x
−2
dt
1−t2 c : x 7→
Z x
−3
pt4−1dt d:x7→
Z 1
x
√ t
t3+ 1dt e : x 7→
Z x
−1
dt
t4+ 1 f : x 7→
Z x
1
exp
−1 t2
dt g : x 7→
Z −4
x
p1 +t2dt h:x7→
Z x
1/2
dt t2−t.
Exercice 2
Pour chacune des fonctions suivantes, donner le domaine de d´efinition, le signe sur le domaine de d´efinition et ´etudier la parit´e
´eventuelle a : x 7→
Z x
0
t
et−e−tdt b : x 7→
Z x
0
et−e−t
et+e−tdt c : x 7→
Z x
0
|t|dt d:x7→
Z x
1
|t|3dt e : x 7→
Z x
0
√tdt
t4+ 1 f : x 7→
Z x
1
exp −t2
dt g : x 7→
Z x
0
p1 +t2dt h:x7→
Z x
0
dt 1−t4 Exercice 3
On consid`ere la fonction d´efinie parF(x) =Rx 0
dt 1 +t2.
1. Justifier queF estC1 surR,que F est impaire et donner le signe deF surR.
2. En justifiant que ∀t ∈R+, 1
1 +t2 6 2
(1 +t)2,montrer que
∀x>0, F(x)62.
3. En d´eduire que la fonction F admet une limite Len +∞et queL62.
4. Montrer que∀x>0, F(x)>
Z x
0
dt
(1 +t)2 et en d´eduire que L>1.
5. D´emontrer que l’´equationF(x) = 1
2 admet une et une seule solution surR.
6. Une identit´e remarquable. On poseG(x) =F(x) +F(1/x).
(a) Justifier queGest d´erivable surR×+ et calculer G′.Que dire deG?
(b) En faisant tendrexvers +∞,montrer queL= 2F(1).
Exercice 4
On consid`ere la fonctionF(x) =Rx 2
s2 s2−1ds.
1. Justifier queF est de classeC1 surDF et expliciterF′. 2. Etablir que∀s>1,
Z x
2
sds6F(x)6 Z x
2
s+ 1
s−1
ds.
En d´eduire les limites limx→+∞F(x) et limx→+∞
F(x) x2 . Exercice 5
On consid`ere les fonctions F(x) = Rx 1
lnt
1 +t2dt et G(x) = Rx
1/x
lnt 1 +t2dt
1. Montrer queF estC1 surDf et calculerF′. 1
2. Expliciter DG puis exprimer G(x) en fonction de F(x) et F
1 x
.
3. Montrer queGest d´erivable surDG.CalculerG′ etG(1).En d´eduireG.
Exercice 6
On consid`ere la fonction F(x) =R2x x
√ 1
t2+ 1dt.
1. Donner le domaine de d´efinition deF.
2. Montrer que : ∀t>0 1
t+ 1 6 1
√t2+ 1 6 1 t .
Donner un encadrement deF et d´eterminer sa limite en +∞. 3. Etudier la d´erivabilit´e deG:x7→
Z x
0
√ 1
t2+ 1.Exprimer F
`
a l’aide deG.
En d´eduire queF est d´erivable surDF et calculerF′. Exercice 7
On consid`ere la fonction num´erique Φ d´efinie par Φ(x) = R2x
x
√ dt 4 +t4.
1. CalculerDΦet montrer que Φ est une fonction impaire 2. Etablir, pour toutx∈R+, x
√4 + 16x4 6Φ(x)6 x
√4 +x4. En d´eduire la limite de Φ(x) quandxtend vers +∞. 3. Etudier la d´erivabilit´e de Γ :x7→Rx
0
√ dt
4 +t4. Exprimer Φ `a l’aide de Γ.
4. Justifier la d´erivabilit´e de Φ surRet calculer Φ′(x).
2
