L'objet de ce problème est la démonstration du théorème de l'hexagramme de Pascal (g 3). Les parties I, II, IV, V sont indépendantes entre elles.

Énoncé

L'objet de ce problème est la démonstration du théorème de l'hexagramme de Pascal (g 3). Les parties I, II, IV, V sont indépendantes entre elles.

Notations communes à tout le problème.

On désigne par E un R espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 . Le produit scalaire est noté (./.) , une base orthonormée B

E

= (i, j, k) est xée.

Le plan ane P dans E est déni par k + Vect(i, j) (g. 1).

On désigne par S l'ensemble des matrices symétriques 3 × 3 . En particulier, on note :

S 1 =





1 0 0 0 0 0 0 0 0



 S 2 =





0 1 0 1 0 0 0 0 0



 S 3 =





0 0 1 0 0 0 1 0 0





S 4 =





0 0 0 0 1 0 0 0 0



 S 5 =





0 0 0 0 0 1 0 1 0



 S 6 =





0 0 0 0 0 0 0 0 1





On utilisera (la démonstration n'est pas demandée) le fait que B

_S

= (S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 , S 6 ) est une base de S .

On dénit une application s de la manière suivante :

s :

( E → S

x 7→ (Mat

BE

x)

^t

(Mat

BE

x)

On sera amené à considérer les déterminants det

_BE

et det

_BS

. On prendra bien garde aux espaces de départ :

det

BE

est déni dans E ³ . det

BS

est déni dans S ⁶

Des fonctions λ et µ , dénies dans E ⁶ , sont introduites dans les parties I et II et utilisées ensuite.

a ₁

b 2

b ₁ a ₂

P

k

Fig. 1: Le plan ane P dans E

Partie I. Condition d'alignement.

1. On se donne quatre vecteurs a 1 , a 2 , b 1 , b 2 dans P (g. 1). Montrer que P ∩ Vect ((a 1 ∧ b 2 ) ∧ (a 2 ∧ b 1 )) = (a 1 b 2 ) ∩ (a 2 b 1 ) où (a 1 b 2 ) et (a 2 b 1 ) désignent les droites dans le plan P .

2. Soit c 1 , c 2 , c 3 trois vecteurs n'appartenant pas à Vect(i, j) . Montrer que les points d'intersection de Vect(c 1 ) , Vect(c 2 ) , Vect(c 3 ) avec P sont alignés si et seulement si

det

BE

(c 1 , c 2 , c 3 ) = 0

3. On dénit une fonction λ de E ⁶ dans R par :

∀(a ₁ , a ₂ , a ₃ , b ₁ , b ₂ , b ₃ ) ∈ E ⁶ : λ(a ₁ , a ₂ , a ₃ , b ₁ , b ₂ , b ₃ ) = det

BE

((a 1 ∧ b 2 ) ∧ (a 2 ∧ b 1 ), (a 2 ∧ b 3 ) ∧ (a 3 ∧ b 2 ), (a 3 ∧ b 1 ) ∧ (a 1 ∧ b 3 )) On se donne six vecteurs a 1 , a 2 , a 3 , b 1 , b 2 , b 3 dans P (g. 2). Lorsque les points d'intersection c 1 , c 2 , c 3 existent, montrer qu'ils sont alignés si et seulement si

λ(a 1 , a 2 , a 3 , b 1 , b 2 , b 3 ) = 0

a 1

a 2

a 3

b 3

b 2

b ₁ c ₃

c 2

c 1

Fig. 2: Une conguration de 6 points dans P

Partie II. Condition de coconicité .

Une conique est une ligne de niveau d'une fonction du second degré. En particulier, des points M

_i

(avec i entre 1 et 6 ) du plan P de coordonnées (x

_i

, y

_i

, 1) sont sur une même conique si et seulement si :

∃(A, B, C, D, E, F ) ∈ R ⁶ non tous nuls et tels que ∀i ∈ {1, · · · , 6}

Ax ²

_i

+ Bx

_i

y

_i

+ Cx

_i

+ Dy ²

_i

+ Ey

_i

+ F = 0 On dénit une fonction µ de E ⁶ dans R par :

∀(u 1 , u ₂ , u ₃ , u ₄ , u ₅ , u ₆ ) ∈ E ⁶ :

µ(u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , u 6 ) = det

BS

(s(u 1 ), s(u 2 ), s(u 3 ), s(u 4 ), s(u 5 ), s(u 6 )) 1. Soit u ∈ E de coordonnées (x, y, z) dans la base B

E

. Calculer la matrice s(u) . En

déduire les coordonnées de s(u) dans B

S

.

2. Montrer que les u

i

(avec i entre 1 et 6 ) du plan P de coordonnées (x

i

, y

i

, 1) sont sur une même conique si et seulement si :

µ(u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , u 6 ) = 0

Partie III. Démonstration par force brute .

a

1

b

2

b

1

a

2

c

3

b

3

a

3

c

1

c

2

Fig. 3: Hexagramme de Pascal À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on établit :

λ = µ

Formuler et démontrer un théorème relatif à l'hexagramme de Pascal (g 3).

Dans les parties suivantes, on ramène la démonstration de cette égalité à des calculs accessibles à un humain.

Partie IV. Étude d'un endomorphisme de S .

Pour toute matrice M ∈ M ₃ ( R ) , on dénit une application c

_M

dans S par :

∀S ∈ S : c

M

(S) = M S

^t

M

1. a. Montrer que c

M

∈ L(S) .

b. Pour toutes matrices M et M

⁰

dans M 3 ( R ) , préciser c

M⁰

◦ c

M

. c. Montrer que c

_M

est bijectif si et seulement si M est inversible.

2. Dans cette question

M = P 1,2 =





0 1 0 1 0 0 0 0 1





a. Soit A ∈ M 3 ( R ) . Comment obtient-on A

^t

M à partir de A ? Comment obtient-on M A à partir de A ?

b. Calculer c

M

(S) avec

S =





a b c b d e c e f





c. Former la matrice de c

_M

dans B

S

. En déduire det c

_P1,2

.

On admet que l'on obtient un résultat analogue pour tout couple (i, j) d'entiers distincts entre 1 et 3 .

3. Dans cette question

M = A 1,2 (λ) =





1 λ 0 0 1 0 0 0 1





a. Soit A ∈ M 3 ( R ) . Comment obtient-on A

^t

M à partir de A ? Comment obtient-on M A à partir de A ?

b. Calculer c

M

(S) avec

S =





a b c b d e c e f





c. Former la matrice de c

M

dans B

S

. En déduire det c

A_1,2

(λ) .

On admet que l'on obtient un résultat analogue pour tout couple (i, j) d'entiers distincts entre 1 et 3 .

4. Dans cette question

M = D ₁ (λ) =





λ 0 0 0 1 0 0 0 1





a. Soit A ∈ M 3 ( R ) . Comment obtient-on A

^t

M à partir de A ? Comment obtient-on M A à partir de A ?

b. Calculer c

M

(S) avec

S =





a b c b d e c e f





c. Former la matrice de c

M

dans B

_S

. En déduire det c

_D1

_(λ) .

On admet que l'on obtient un résultat analogue pour tout i entier entre 1 et 3 . 5. Montrer que

∀M ∈ M 3 ( R ) : det c

M

= (det M ) ⁴

Partie V. Adjoint et image d'un produit vectoriel.

1. Questions de cours.

a. Soit f ∈ L(E) et U = (u 1 , u 2 , u 3 ) une base orthonormée de E . Quel est le terme i, j de la matrice de f dans U ?

b. Soit (a, b, c) ∈ E ³ , g ∈ L(E) , U une base quelconque. Donner une autre expression pour :

det

U

(g(a), g(b), g(c)) 2. Soit f ∈ L(E) , on dénit l'adjoint de f (noté

^t

f ) par : Mat

_BE ^t

f =

^t

(Mat

_BE

f ) a. Montrer que pour toute base orthonormée U :

Mat

_U ^t

f =

^t

(Mat

_U

f ) b. Montrer que :

∀(x, y) ∈ E ² : (f (x)/y) = (x/

^t

f (y))

c. Montrer que

^t

f est un automorphisme si et seulement si f est un automorphisme avec

t

f

−1

=

^t

f

⁻¹

noté

^t

f

⁻¹

3. Soit f un automorphisme de E . Montrer que :

∀(a, b) ∈ E ² : f (a) ∧ f (b) = (det f )

^t

f

⁻¹

(a ∧ b)

4. Soit f un automorphisme de E et A sa matrice dans une base orthonormée. Quelle est

la matrice de (det f )

^t

f

⁻¹

dans la même base orthonormée ?

Partie VI. Démonstration classique ¹ .

1. En développant suivant la première colonne, vérier l'égalité entre déterminants réels :

w 2 u 1 u 3 u 2 u 1 v 3

v 2 w 1 u 3 v 2 v 1 v 3

w 2 w 1 w 3 u 2 v 1 w 3

=

u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3

v 1 w 1 v 2 w 2 v 3 w 3

u 1 w 1 u 2 w 2 u 3 w 3

2. Montrer que, pour tout (a ₁ , a ₂ , a ₃ , b ₁ , b ₂ , b ₃ ) ∈ E ⁶ et tout f ∈ GL(E) ,

λ (f (a 1 ), f (a 2 ), f (a 3 ), f(b 1 ), f (b 2 ), f (b 3 )) = (det f ) ⁴ λ (a 1 , a 2 , a 3 , b 1 , b 2 , b 3 ) 3. Soit f ∈ GL(E) et M la matrice de f dans B

E

.

Montrer que, pour tout (a 1 , a 2 , a 3 , b 1 , b 2 , b 3 ) ∈ E ⁶ ,

µ (f(a 1 ), f(a 2 ), f (a 3 ), f (b 1 ), f(b 2 ), f(b 3 )) = (det M ) ⁴ µ (a 1 , a 2 , a 3 , b 1 , b 2 , b 3 ) 4. Pour i entre 1 et 3 , les coordonnées dans B

E

du vecteur b

i

de E sont (u

i

, v

i

, w

i

) .

a. Exprimer λ(i, j, k, b 1 , b 2 , b 3 ) comme un déterminant 3 × 3 .

b. Exprimer µ(i, j, k, b ₁ , b ₂ , b ₃ ) comme un déterminant 6 × 6 puis 3 × 3 . Que peut-on en déduire ?

5. Soit a ₁ , · · · , a ₆ six vecteurs de E tels que (a ₁ , a ₂ , a ₃ ) soit libre. Montrer que λ(a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ) = µ(a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 )

6. Dans S × S , on dénit < ./. > par :

∀(S, S

⁰

) ∈ S ² : < S/S

⁰

>= tr(SS

⁰

) a. Montrer que < ./. > est un produit scalaire de S . b. Montrer que :

∀(x, y) ∈ E ² : < s(x)/s(y) >= (x/y) ² c. Montrer que B

_S

est orthogonale. Est-elle orthonormée ? d. Montrer que, pour tous vecteurs x 1 , · · · , x 6 de E ,

8 (µ(x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ , x ₅ , x ₆ )) ² =

(x ₁ /x ₁ ) ² (x ₁ /x ₂ ) ² · · · (x ₁ /x ₆ ) ² (x 2 /x 1 ) ² (x 2 /x 2 ) ² · · · (x 2 /x 6 ) ²

... ...

(x 6 /x 1 ) ² (x 6 /x 2 ) ² · · · (x 6 /x 6 ) ²

1

en géométrie projective, les démonstrations consistent souvent à expédier des objets à l'inni

Corrigé

Partie I. Condition d'alignement.

1. Notons truc le produit des quatres vecteurs. Rappelons la formule du double produit vectoriel :

(u ∧ v) ∧ w = (u/w)v − (v/w)u

On peut l'utiliser de deux manières pour truc en faisant jouer à a 2 ∧ b 1 ou à a 1 ∧ b 2 le rôle de w .

truc =(a 1 ∧ b 2 ) ∧ w ∈ Vect(a 1 , b 2 ) truc =(b ₁ ∧ a ₂ ) ∧ w ∈ Vect(a ₂ , b ₁ ) )

⇒ truc ∈ Vect(a ₁ , b ₂ ) ∩ Vect(a ₂ , b ₁ )

Les droites (a 1 b 2 ) et (a 2 b 1 ) sont respectivement les intersections de P avec les plans Vect(a 1 , b 2 ) et Vect(a 2 , b 1 ) . On en tire la relation demandée.

2. Les trois points d'intersection sont alignés si et seulement si ils sont dans une même droite. cela se produit si et seulement si les trois vecteurs sont dans un même plan ce qui se traduit par la nullité du déterminant.

3. Les points c

i

de la gure 2 sont d'après la question 1 les points d'intersection de P avec les droites vectorielles engendrées par les triples produits vectoriels. D'après la question 2, ces points sont alignés si et seulement si leur déterminant est nul.

Partie II. Condition de coconicité .

1. Par dénition :

s(u) =



 x y z



 x y z

=





x ² xy xz yx y ² yz zx zy z ²





Les coordonnées de s(u) dans B

S

se lisent directement : (x ² , xy, xz, y ² , yz, z ² )

2. Les points u

_i

sont sur une même conique si et seulement si il existe des réels A, · · · F

non tous nuls tels que



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ax ² ₁ + Bx ₁ y ₁ + Cx ₁ + Dy ² ₁ + Ey ₁ + F = 0 Ax ² ₂ + Bx ₂ y ₂ + Cx ₂ + Dy ² ₂ + Ey ₂ + F = 0 Ax ² ₃ + Bx 3 y 3 + Cx 3 + Dy ² ₃ + Ey 3 + F = 0 Ax ² ₄ + Bx 4 y 4 + Cx 4 + Dy ² ₄ + Ey 4 + F = 0 Ax ² ₅ + Bx ₅ y ₅ + Cx ₅ + Dy ² ₅ + Ey ₅ + F = 0 Ax ² ₆ + Bx 6 y 6 + Cx 6 + Dy ² ₆ + Ey 6 + F = 0

Cela se produit si et seulement si le système linéaire d'équations aux inconnues (A, B, C, D, E, F ) admet une solution autre que (0, 0, 0, 0, 0, 0) . C'est à dire lorsque la matrice de ce système n'est pas inversible. Or cette matrice est la transposée de la matrice des coordonnées de la famille (s(u 1 ), · · · , s(u 6 )) . La condition de non inversi- bilité est donc la nullité du déterminant :

µ(u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , u 6 ) = 0

Partie III. Démonstration par force brute .

Le code suivant permet de réaliser en Maple le calcul des deux déterminants. Il utilise la bibliothèque LinearAlgebra.

> with(LinearAlgebra):

a1:=<x1,y1,z1>:

a2:=<x2,y2,z2>:

a3:=<x3,y3,z3>:

b1:=<u1,v1,w1>:

b2:=<u2,v2,w2>:

b3:=<u3,v3,w3>:

C3:=CrossProduct(CrossProduct(a1,b2),CrossProduct(a2,b1)):

C1:=CrossProduct(CrossProduct(a2,b3),CrossProduct(a3,b2)):

C2:=CrossProduct(CrossProduct(a3,b1),CrossProduct(a1,b3)):

#calcul du lambda

dd:=Determinant(<C1|C2|C3>):

lign:= V -><V[1]^2|V[1]*V[2]|V[1]*V[3]|V[2]^2|V[2]*V[3]|V[3]^2>:

#calcul du mu

DD:=Determinant(<lign(a1),lign(a2),lign(a3),lign(b1),lign(b2),lign(b3)>):

dd-DD;

Les expressions des déterminants sont trop importantes pour que leur achage apporte quelque chose. La dernière instruction seulement ache un résultat et celui ci est 0 . Une implémentation en Python (utilisant le module de calcul formel sympy est aussi pro- posée.

import sympy as smp

## déclaration des symboles

x1, y1, z1 = smp.symbols('x1 y1 z1') x2, y2, z2 = smp.symbols('x2 y2 z2') x3, y3, z3 = smp.symbols('x3 y3 z3') u1, v1, w1 = smp.symbols('u1 v1 w1') u2, v2, w2 = smp.symbols('u2 v2 w2') u3, v3, w3 = smp.symbols('u3 v3 w3')

## initialisation

a1 = smp.Matrix([x1, y1, z1]) a2 = smp.Matrix([x2, y2, z2]) a3 = smp.Matrix([x3, y3, z3]) b1 = smp.Matrix([u1, v1, w1]) b2 = smp.Matrix([u2, v2, w2]) b3 = smp.Matrix([u3, v3, w3])

## produits vectoriels

X12 = a1.cross(b2) ; X13 = a1.cross(b3) X21 = a2.cross(b1) ; X23 = a2.cross(b3) X31 = a3.cross(b1) ; X32 = a3.cross(b2) C1 = X23.cross(X32)

C2 = X31.cross(X13)

C3 = X12.cross(X21)

## calcul du lambda C = C1.col_insert(1,C2) C = C.col_insert(2,C3) dlambda = C.det()

## calcul du mu def li(L):

return [L[0]**2, L[0]*L[1],L[0]*L[2],L[1]**2,L[1]*L[2], L[2]**2]

M = smp.Matrix([li(a1),li(a2),li(a3),li(b1),li(b2),li(b3)]) mu = M.det()

## vérification print(dlambda - mu)

De l'égalité des deux déterminants, on déduit évidemment que la nullité de l'un est équivalente à la nullité de l'autre. Ceci démontre le théorème de l'hexagramme de Pascal.

Les trois points c 1 , c 2 , c 3 de la conguration de la gure 2 sont alignés si et seulement si les six points donnés sont situés sur une même conique.

Partie IV. Étude d'un endomorphisme de S .

1. a. La fonction c

_M

est bien à valeurs dans S . En eet,

∀S ∈ S :

^t

(M S

^t

M ) =

^t

(

^t

M )

^t

S

^t

M = M S

^t

M

car S est symétrique. De plus c

_M

est linéaire à cause de la linéarité du produit matriciel.

b. Soit M et M

⁰

deux matrices 3 × 3 . Pour toute S symétrique :

c

_M⁰

◦ c

_M

(S) = c

_M⁰

(M S

^t

M ) = M

⁰

M S

^t

M

^t

M

⁰

= (M

⁰

M )S

^t

(M

⁰

M ) On en déduit c

M⁰

◦ c

M

= c

M⁰M

.

c. Il est évident que c

I

est l'identité de M 3 ( R ) . On en déduit que, lorsque M est inversible, c

M

est bijective de bijection réciproque c

_M⁻¹

.

Montrons maintenant la contraposée de la réciproque. Supposons M non inver- sible. Il existe une colonne X non nulle telle que M X est la colonne nulle. En répétant la colonne X , on peut former une matrice M

⁰

telle que M M

⁰

est la

matrice nulle. On en déduit que c

M

◦ c

M⁰

est l'application identiquement nulle de S dans lui même. Cette application n'est évidemment pas surjective ce qui montre que c

_M

n'est pas bijective. Ceci montre bien que c

_M

bijective entraine M inversible.

2. a. On reconnait une matrice d'opération élémentaire.

A

^t

M est obtenue à partir de A en permutant les colonnes 1 et 2 . M A est obtenue à partir de A en permutant les lignes 1 et 2 .

b. La matrice c

_M

(S) est obtenue par les opérations élémentaires décrites en a. (on commence par les colonnes)

S =





a b c b d e c e f



 →





b a c d b e e c f



 →





d b e b a c e c f



 = c

_M

(S)

c. Le calcul précédent permet d'écrire la matrice de c

_M

dans B

_S

. Cette matrice est :

















0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1

















Cette matrice est obtenue à partir de I ₆ en permutant les colonnes 1 et 4 puis 3 et 5 . Son déterminant est donc 1 .

det C

P_1,2

= 1 3. a. On reconnait une matrice d'opération élémentaire.

A

^t

M est obtenue à partir de A en ajoutant λ fois la colonne 2 à la colonne 1 . M A est obtenue à partir de A en ajoutant λ fois la ligne 2 à la ligne 1 . b. La matrice c

_M

(S) est obtenue par les opérations élémentaires décrites en a. (on

commence par les colonnes)





a b c b d e c e f



 →





a + λb b c b + λd d e c + λe e f



 →





a + 2λb + λ ² d b + λd c + λe

b + λd d e

c + λe e f





c. Le calcul précédent permet d'écrire la matrice de c

M

dans B

S

. Cette matrice est :

















1 2λ 0 λ ² 0 0

0 1 0 λ 0 0

0 0 1 0 λ 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

















Cette matrice est triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale, son déter- minant est donc 1 .

det C

_A1,2

_(λ) = 1 4. a. On reconnait une matrice d'opération élémentaire.

A

^t

M est obtenue à partir de A en multipliant par λ la colonne 1 . M A est obtenue à partir de A en multipliant par λ la ligne 1 .

b. La matrice c

M

(S) est obtenue par les opérations élémentaires décrites en a. (on commence par les colonnes)





a b c b d e c e f



 →





λa b c λb d e λc e f



 →





λ ² a λb λc

λb d e

λc e f





c. Le calcul précédent permet d'écrire la matrice de c

M

dans B

_S

. Cette matrice est :

















λ ² 0 0 0 0 0

0 λ 0 0 0 0

0 0 λ 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

















Cette matrice est diagonale avec λ ² , λ , λ sur la diagonale, son déterminant est donc λ ⁴ .

det C

_D1

_(λ) = λ ⁴

5. Remarquons d'abord que la formule proposée par l'énoncé est valable pour les matrices élémentaires des questions précédentes.

Soit M une matrice inversible xée. En utilisant l'algorithme du pivot partiel, on peut

trouver des matrices M 1 , · · · M

s

élémentaires de la forme P

i,j

ou A

i,j

(λ) avec j > i telles que

M

s

· · · M 1 M = U : matrice triangulaire supérieure

si on s'autorise maintenant les A

i,j

(λ) avec i > j on peut trouver de nouvelles ma- trices élémentaires M

s+1

, · · · , M

t

permettant de nettoyer la partie supérieure de la matrice.

M

t

· · · M 1 M = D : matrice diagonale

Les termes de la diagonale sont non nuls, cette matrice diagonale est clairement un produit de trois matrices D

i

(λ) . Les matrices élémentaires considérées sont inversibles avec des inverses de même forme :

P

_i,j⁻¹

= P

i,j

A

i,j

(λ)

⁻¹

= A

i,j

(−λ) D

i

(λ)

⁻¹

= D

i

( 1 λ ) La matrice M est donc le produit de matrices élémentaires P 1 , · · · , P

q

.

M = P ₁ · · · P

_q

⇒ c

_M

= c

_P1

◦ · · · ◦ c

_Pq

⇒ det c

M

= det c

P1

· · · det c

Pq

= (det P 1 ) ⁴ · · · (det P

q

) ⁴

= (det(P 1 · · · P

q

)) ⁴ = (det M ) ⁴

Partie V. Adjoint et image d'un produit vectoriel.

1. Question de cours

a. Le terme i, j de la matrice de f dans une base orthonormée (u 1 , u 2 , u 3 ) est (u

i

/f(u

j

)) .

b. Par dénition du déterminant d'une application linéaire :

∀(a, b, c) ∈ E ³ : det

U

(g(a), g(b), g(c)) = det g det

U

(a, b, c)

2. a. Soit U une base orthonormée quelconque. La matrice de passage P de B

E

dans U est alors orthogonale. Écrivons les formules de changement de base :

Mat

_U

(

^t

f ) = P

⁻¹

Mat

_BE

(

^t

f )P =

^t

P

^t

Mat

_BE

(f )P (car P est orthogonale)

=

^{t t}

P Mat

_BE

(f )P

=

^t

P

⁻¹

Mat

_BE

(f )P (car P est orthogonale)

=

^t

(Mat

_U

(f ))

b. La relation que l'énoncé demande de vérier est la dénition même de

^t

f lorsque x et y sont deux vecteurs de la base B

E

. On étend cette formule à tous les vecteurs par linéarité.

c. Pour une matrice carrée, comme le déterminant d'une matrice carrée est égal au déterminant de sa transposée, l'inversibilité d'une matrice est équivalente à celle de sa transposée. De plus :

AA

⁻¹

= A

⁻¹

A = I ⇒

^t

A

^−1t

A =

^t

A

^t

A

⁻¹

= I

Ce qui montre que l'inverse de la transposée est la transposée de l'inverse.

3. On utilise la dénition du produit vectoriel avec le déterminant dans une base ortho- normée quelconque (produit mixte). Pour tout vecteur c ∈ E :

(f (a) ∧ f (b)/c) = det(f (a), f (b), c) = det(f (a), f(b), f (f

⁻¹

(c)))

= (det f ) det(a, b, f

⁻¹

(c)) = (det f )(a ∧ b/f

⁻¹

(c)) = (det f )(

^t

f

⁻¹

(a) ∧ b/c) Comme ceci est valable pour tous les c , on obtient bien :

f (a) ∧ f (b) = (det f )

^t

f

⁻¹

4. Dans le cours gure une expression de l'inverse d'une matrice à l'aide de la transposée de la matrice des cofacteurs. On en déduit que, si A est la matrice de f dans une base orthonormée, la matrice de (det f )

^t

f

⁻¹

est la matrice des cofacteurs de A .

Partie VI. Démonstration classique.

1. Comme l'énoncé nous y invite, on développe chaque déterminant suivant la première colonne.

w 2 u 1 u 3 u 2 u 1 v 3

v 2 w 1 u 3 v 2 v 1 v 3

w 2 w 1 w 3 u 2 v 1 w 3

= w 2 u 1 u 3 v 2 v 1 w 3

N

− w 2 u 1 w 3 u 2 v 1 v 3

H

− v 2 w 1 u 3 u 2 v 1 w 3

+ v 2 w 1 w 3 u 2 u 1 v 3

F

+ w 2 w 1 u 3 u 2 v 1 v 3

♠

− w 2 w 1 u 3 v 2 u 1 v 3

♣

u ₁ v ₁ u ₂ v ₂ u ₃ v ₃ v 1 w 1 v 2 w 2 v 3 w 3

u 1 w 1 u 2 w 2 u 3 w 3

= u ₁ v ₁ v ₂ w ₂ u ₃ w ₃

N

− u ₁ v ₁ u ₂ w ₂ v ₃ w ₃

H

− v ₁ w ₁ u ₂ v ₂ u ₃ w ₃

+ v 1 w 1 u 2 w 2 u 3 v 3

♠

+ u 1 w 1 u 2 v 2 v 3 w 3

F

− u 1 w 1 v 2 w 2 u 3 v 3

♣

On en déduit l'égalité.

2. Le λ des f (u

i

) est un déterminant de trois vecteurs. Examinons le premier : truc 1 = (f (a 1 ) ∧ f (b 2 )) ∧ (f(a 2 ) ∧ f (b 1 ))

Notons g =

^t

f

⁻¹

et appliquons plusieurs fois la question V.3 et la linéarité :

f(a ₁ ) ∧ f (b ₂ ) =(det f )g(a ₁ ∧ b ₂ ) f(a 2 ) ∧ f (b 1 ) =(det f )g(a 2 ∧ b 1 ) )

⇒ truc 1 = (det f ) ² g(a 1 ∧ b 2 ) ∧ g(a 2 ∧ b 1 )

= (det f ) ² (det g)

^t

g

⁻¹

((a ₁ ∧ b ₂ ) ∧ (a ₂ ∧ b ₁ )) = (det f )f





 (a ₁ ∧ b ₂ ) ∧ (a ₂ ∧ b ₁ )

| {z }

=c

1







car det g = 1

det f et

^t

g

⁻¹

= f On obtient des formules analogues pour les autres vecteurs. Par trilinéarité et dénition du déterminant d'un endomorphisme, il vient enn :

λ (f (a 1 ), f(a 2 ), f(a 3 ), f(b 1 ), f(b 2 ), f (b 3 )) = (det f ) ³ det

BE

(f (c 1 ), f (c 2 ), f(c 3 ))

= (det f ) ⁴ det

BE

(c 1 , c 2 , c 3 ) = (det f ) ⁴ λ (a 1 , a 2 , a 3 , b 1 , b 2 , b 3 )

3. Soit f un automorphisme de matrice M dans B

E

. Soit u un vecteur de E dont la matrice colonne des coordonnées est notée X . Examinons s(f (u) .

s(f (u)) = Mat

_BE

(f (u))

^t

Mat

_BE

(f (u)) = (AX)

^t

(AX) = AX

^t

X

^t

A = c

A

(s(u)) On en déduit :

λ (f (a ₁ ), f(a ₂ ), f(a ₃ ), f(b ₁ ), f(b ₂ ), f (b ₃ ))

= det

BS

(c

A

(s(a 1 )), c

A

(s(a 2 )), c

A

(s(a 3 )), c

A

(s(b 1 )), c

A

(s(b 2 )), c

A

(s(b 3 )))

= det c

A

det

BS

(s(a 1 ), s(a 2 ), s(a 3 ), s(b 1 ), s(b 2 ), s(b 3 ))

= (det A) ⁴ λ (a 1 , a 2 , a 3 , b 1 , b 2 , b 3 )

4. a. On calcule les coordonnées des produits vectoriels dans la base B = (i, j, k) . On

trouve :

Mat

_B

(i ∧ b 2 ) =



 0

−w 2

v 2





Mat

_B

(j ∧ b 1 ) =



 w 1

0

−u 1







 

 

 



 

 

 



⇒ Mat

_B

((i ∧ b 2 ) ∧ (j ∧ b 1 )) =



 w 2 u 1

v 2 w 1

w 2 w 1





Mat

_B

(j ∧ b 3 ) =



 w 3

0

−u 3





Mat

B

(k ∧ b 2 ) =





−v 2

u 2

0







 

 

 



 

 

 



⇒ Mat

_B

((j ∧ b 3 ) ∧ (k ∧ b 2 )) =



 u 3 u 2

u 3 v 2

w 3 u 2





Mat

_B

(k ∧ b 1 ) =





−v 1

u 1

0





Mat

_B

(i ∧ b 3 ) =



 0

−w 3

v 3







 

 

 



 

 

 



⇒ Mat

_B

((k ∧ b 1 ) ∧ (i ∧ b 3 )) =



 u 1 v 3

v 1 v 3

v 1 w 3





On en déduit :

λ(i, j, k, b 1 , b 2 , b 3 ) =

w 2 u 1 u 3 u 2 u 1 v 3

v 2 w 1 u 3 v 2 v 1 v 3

w 2 w 1 w 3 u 2 v 1 w 3

b. Par dénition de µ :

µ(i, j, k, b 1 , b 2 , b 3 ) =

1 0 0 u ² ₁ u ² ₂ u ² ₃ 0 0 0 u ₁ v ₁ u ₂ v ₂ u ₃ v ₃ 0 0 0 u ₁ w ₁ u ₂ w ₂ u ₃ w ₃ 0 1 0 v ₁ ² v ₂ ² v ² ₃ 0 0 0 v ₁ w ₁ v ₂ w ₂ v ₃ w ₃ 0 0 1 w ₁ ² w ² ₂ w ₃ ²

=

1 0 0 u ² ₁ u ² ₂ u ² ₃ 0 1 0 v ₁ ² v ₂ ² v ² ₃ 0 0 1 w ₁ ² w ² ₂ w ₃ ² 0 0 0 u ₁ v ₁ u ₂ v ₂ u ₃ v ₃ 0 0 0 v ₁ w ₁ v ₂ w ₂ v ₃ w ₃ 0 0 0 u 1 w 1 u 2 w 2 u 3 w 3

en permutant les lignes 2 et 4 puis 3 et 6. On en déduit :

µ(i, j, k, b ₁ , b ₂ , b ₃ ) =

u ₁ v ₁ u ₂ v ₂ u ₃ v ₃ v ₁ w ₁ v ₂ w ₂ v ₃ w ₃ u ₁ w ₁ u ₂ w ₂ u ₃ w ₃

On en déduit, d'après la question 1. que ces deux déterminants sont égaux.

5. Considérons six vecteurs a ₁ , · · · , a ₆ dont les trois premiers forment une famille libre.

Il existe un unique automorphisme f qui envoie respectivement a ₁ , a ₂ , a ₃ sur i , j , k . Notons b ₁ , b ₂ , b ₃ les images par f des vecteurs suivants et M la matrice de f dans B

_E

. On peut alors écrire :

λ(a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ , a ₅ , a ₆ ) = (det f )

⁻⁴

λ(i, j, k, b ₁ , b ₂ , b ₃ )

= (det M )

⁻⁴

µ(i, j, k, b 1 , b 2 , b 3 ) = µ(a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ) 6. a. La bilinéarité est évidente, la symétrie vient du caractère symétrique des matrices

et de l'invariance de la trace par transposition. La positivité vient de ce que

< S/S > est la somme des carrés des termes de S .

b. Notons respectivement X et Y les colonnes de coordonnées de x et y dans B

_E

. Par dénition :

< s(x)/s(y) >= tr





 X

^t

XY

| {z }

∈R t

Y





 = (

^t

XY ) tr(X

^t

Y ) = (

^t

XY ) ² = (x/y) ² après examen de la matrice X

^t

Y .

c. En calculant les < S

i

/S

j

> , on vérie facilement que la base B

S

est orthogonale.

Elle n'est pas orthonormée car S 1 , S 4 et S 6 sont de norme 1 mais les autres sont de norme 2 .

d. Considérons six vecteurs a 1 , · · · , a 6 de E et notons P la matrice dans B

_S

des images de ces vecteurs par S . D'après b. :

< s(a

i

)/s(a

j

) >= (a

i

/a

j

) ² mais c'est aussi le terme i, j de la matrice

t

P DP

où D est la matrice du produit scalaire < ./. > dans B

S

. Cette matrice est

diagonale avec trois 1 et trois 2. L'égalité des déterminants obtenue à partir de

cette égalité matricielle conduit à la relation demandée.