DS 0 : 4 sept. 2020
Questions de cours
1. Citer le théorème des valeurs intermédiaires.
2. Citer le théorème des bornes atteintes.
3. Soit(un)une suite numérique. un−→asi et seulement si
4. SoitUn l’ensemble des racinesn-ème de l’unité. AlorsUn= . . . ReprésenterU6 etU8.
5. 1 +eit= ,cos(p+q) = ,sin(p+q) =
cosacosb= ,sinacosb=
6. Soitf une application deE dansF. On dit quef est linéaire si et seulement si
7. Dans ce cas, on appelle noyau def l’ensembleKerf = . . .
8. Citer le théorème du rang en dimension finie.
9. Soient AetB des événements. On dit que AetB sont indépendants si et seulement si
10. Citer la formule des probabilités totales.
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Exercice 63
Déterminer les limites éventuelles des suites dont le terme général est donné ci-dessous : 1. n3lnn−en
(lnn)2+n2; 2. Å
1 + 1 2n
ãn2
;
3. sin n1 en1 −1 ; 4. exp −2n12
−cos 1n
»1−n1−1 . Exercice 22
Soientnun entier naturel impair etq∈R\ {−1,1}. On poseS1= X
062k6n
q2k etS2= X
062k+16n
q2k+1. 1. Calculer « directement » les sommesS1 etS2.
2. Simplifier S1+S2 etS1−S2 et en déduire les valeurs deS1et S2. Exercice 60
On considère la suiteudéfinie par :
√2
2 6u061
∀n∈N, un+1= 1 +un 1 + 2un
1. Justifier que la suiteuest bien définie.
2. Montrer que, pour toutn∈N,un∈1 2; 1.
3. Montrer que, pour toutn∈N,√22 6u2n61, que(u2n)est monotone puis que(u2n)est convergente.
Calculer la limite de(u2n).
4. Montrer que(u2n+1)est convergente, et calculer sa limite.
5. En déduire que la suiteuest convergente, et calculer sa limite.
Exercice 85
1. Montrer que, pour toutn∈N∗,X(X+ 1)(2X+ 1)divise(X+ 1)2n−X2n−2X−1.
2. Montrer que, pour toutn∈N∗,(X2+X+ 1)2divise(X+ 1)6n+1−X6n+1−1. Exercices 8 et 40
Trouver les solutionsx∈Rou bienz∈Cdes équations suivantes.
1. 4 cos(x)2= 1; 4 sin(x)3+ 4√
3 sin(x)2= 9 sin(x); sin(3x) = cos(x); 2. (z+ 1)n = (z−1)n (oùn∈N\ {0,1}) ;
Exercice 64 SoitA=
Ö2 1 0 0 2 1 0 0 2
è
. Calculer, pour toutn∈N,An.On pourra écrireA= 2I3+· · · Exercice 66
Déterminer, pour chacune des matrices suivantes, si elle est inversible, et calculer, le cas échéant, son inverse :
1.
Ö −1 0 2
0 0 1
0 −1 1 è
2.
Ö 1 +a 1 1
1 1 +a 1
1 1 1 +a
è
, oùa∈R
Exercice 104
Soitp:R2−→R2 l’application définie parp(x, y) = (4x−6y,2x−3y). 1. Montrer quepest linéaire.
2. Montrer quepest une projection.
3. Déterminer une base des sous-espacesE1 et E2 tels quepest la projection surE1 parallèlement à E2.
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