Montrer que les x tels quex≡0[2π] ne sont jamais solutions

Lyc´ee Schuman Perret

Janvier 2021 S´erie d’exercices _TERM^expertes

EXERCICE 1 A l’aide des formules d’Euler et du binˆome de Newton.

1. Lin´eariser sin⁴t.

2. lin´eariser cos²tsin²t (on pourra utiliser le r´esultat pr´ec´edent)

EXERCICE 2 On souhaite r´esoudre 1 + cos(x) + cos(2x) +· · ·+ cos(nx) = 0.

1. Montrer que les x tels quex≡0[2π] ne sont jamais solutions.

2. On noteS_n(x) = 1+cos(x)+cos(2x)+· · ·+cos(nx) etT_n(x) = 0+sin(x)+sin(2x)+· · ·+sin(nx).

Montrer que pour toutx6≡0[2π], on a :S_n(x) +iT_n(x) = 1−e^i(n+1)x 1−e^ix .

3. Montrer que pour toutx6≡0[2π], on a :S_n(x) +iT_n(x) =e^in2x×e^i(n+1)x/2−e^−i(n+1)x/2 e^ix/2−e^−ix/2 . 4. En d´eduire que pour toutx6≡0[2π], on a :S_n(x) = cosnx

2

×sin(ⁿ⁺¹₂ x) sin(ⁿ₂x) . 5. En d´eduire les solutions de l’´equation propos´ee au d´epart.

EXERCICE 3 On souhaite r´esoudre z³ = 1 1. Ecrire 1 sous la forme exponentielle.´

2. Montrer que 0 n’est pas solution. On notez=ρe^iθ, ´ecrirez³ sous forme exponentielle.

3. Montrer quez³ = 1 ´equivaut `a ρ= 1 etθ≡0

2π

3

.

4. Placer les points images des solutions sur le cercle trigonom´etrique.

5. Montrer que ces points forment un triangle ´equilat´eral.

EXERCICE 4 Reprendre l’exercice pr´ec´edent avec z⁶ = 1 et montrer que les points images des solutions forment un h´exagone r´egulier.

EXERCICE 5 Soit n∈N^∗, d´eterminer toutes les solutions de l’´equation zⁿ= 1.

EXERCICE 6 R´esoudre z⁴ =i.

EXERCICE 7

1. Peut-on r´esoudrez²= 3−4iavec une m´ethode analogue ? 2. Poserz=a+ibet montrer que a²−b² = 3 et queab=−2.

3. Calculer le module dez² en fonction deaetb et calculer le module de 3−4i.

4. En d´eduire une troisi`eme ´equation liantaet b.

5. D´eterminer alors tous les complexesz=a+ibtels que z² = 3−4i.

St´ephane Le M´eteil Page 1 sur 1