CHAPITRE 12

(1)

CHAPITRE 12

SUITES NUMÉRIQUES

I Généralité sur les suites réelles . . . . 3

I.1 Vocabulaire . . . . 3

I.2 Relation d’ordre . . . . 4

I.3 Propriété vraie à partir d’un certain rang . . . . 8

II Limite d’une suite réelle. . . . 9

II.1 Suites convergentes . . . . 9

II.2 Limites infinies. . . . 12

II.3 Caractère asymptotique de la notion de limite . . . . 15

III Opération sur les limites . . . . 17

III.1 Opérations sur les suites convergentes . . . . 17

III.2 Opérations sur les limites infinies . . . . 18

III.3 Inverse et quotient . . . . 19

III.4 Résumé des paragraphes précédents . . . . 21

III.5 Passage à la limite dans les inégalités . . . . 22

III.6 Utilisation de la continuité. . . . 23

IV Théorèmes d’existence d’une limite . . . . 24

IV.1 Quand on a une idée de la limite . . . . 24

IV.2 Théorème d’encadrement. . . . 24

IV.3 Approximation décimale . . . . 25

IV.4 Théorème de la limite monotone . . . . 26

IV.5 Suites adjacentes . . . . 27

V Suite extraite . . . . 29

VI Suites complexes. . . . 33

VII Suites définies par récurrence. . . . 38

VII.1 Suites définies par une formule explicite – Suites définies par récurrence . . . . 38

VII.2 Suites arithmétiques . . . . 38

VII.3 Suites géométriques. . . . 39

VII.4 Suites arithmético-géométriques . . . . 41

VII.5 Suites récurrentes de la formeu_n₊₁=f(u_n) . . . . 42

VIII Suites récurrentes linéaires d’ordre 2. . . . 48

IX Comment étudier la convergence d’une suite ? . . . . 50

X Suites implicites . . . . 51

(2)

Extrait du programme

CONTENUS CAPACITÉS&COMMENTAIRES

b) Généralités sur les suites réelles

Suite majorée, minorée, bornée. Suite stationnaire, monotone, strictement monotone.

Une suite (un)_n_∈_Nest bornée si et seulement si¡

|un|¢

n∈Nest majo- rée.

Mode de définition d’une suite réelle : explicite, implicite, par récur- rence.

c) Limite d’une suite réelle

Limite finie ou infinie d’une suite. Les définitions sont énoncées avec des inégalités larges.

Unicité de la limite. Notationsun−→`, limun.

Suite convergente, divergente.

Toute suite convergente est bornée.

Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, quotient. Produit d’une suite bornée et d’une suite de limite nulle.

Passage à la limite d’une inégalité large.

Si (un)_n_∈_Nconverge vers`>0, alorsun>0 à partir d’un certain rang.

Existence d’une limite par encadrement (limite finie), par minoration (limite+∞), par majoration (limite−∞).

Utilisation d’une majoration de la forme |un−`| Évn, où (vn) converge vers 0.

d) Suites monotones

Théorème de la limite monotone.

Théorème des suites adjacentes.

Approximations décimales d’un réel. Valeurs décimales approchées à la précision 10⁻ⁿpar défaut et par excès. Tout réel est limite d’une suite de rationnels.

e) Suites extraites

Suite extraite. Tout développement théorique sur les suites extraites est hors pro-

gramme.

Si une suite possède une limite, toutes ses suites extraites possèdent la même limite.

Utilisation pour montrer la divergence d’une suite.

Si (u2n) et (u2n+1) tendent vers`, alors (un) tend vers`.

Le théorème de Bolzano-Weierstrass est hors programme.

f) Suites complexes

Brève extension des définitions et résultats précédents. Caractérisation de la limite en termes de parties réelle et imaginaire.

g) Suites particulières

Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques. Pour une relation de récurrenceu_n+1=aun+boùa∈C^{\{1} et}^b∈C^, recherche d’une solution constante, détermination des solutions.

Suites récurrentes linéaires homogènes d’ordre 2 à coefficients constants.

Présentation de l’étude des suites définies par une relation de récur- renceu_n+1=f(un) sur quelques exemples simples. Représentation géométrique. Si (u_n) converge vers un élément`en lequel f est continue, alorsf(`)=`.

Cette étude est l’occasion d’introduire la notion d’intervalle stable par une fonction. Pour l’étude de la monotonie de (un), on souligne l’intérêt, d’une part, de l’étude du signe def(x)−x, et, d’autre part, de l’utilisation de la croissance éventuelle def.

(3)

SUITES NUMÉRIQUES I. GÉNÉRALITÉ SUR LES SUITES RÉELLES

I. Généralité sur les suites réelles

I.1. Vocabulaire

Définition 12.1 – Suite Unesuite réelleest une applicationudeN^dansR^.

u: N → R n 7→ u(n).

Pour toutn∈N^{, le réel}u(n) est notéu_net est appelé len-ième terme de la suiteouterme de rang/d’indice n.

La suiteuest notée (u_n)_n∈_Net est appelée suite determe général u_n. L’ensemble des suites réelles est notéeR^N^.

1. Il ne faut pas confondre les notations (u_n)_n∈_Netu_n. La première désigne la suite et la seconde son terme général.

2. Soitn₀∈N. On appelle également suite réelle toute applicationu: n₀,+∞ → R n 7→ u(n).

La suiteuest notée (u_n)_nÊn₀et on dit que la suiteuestdéfinie à partir du rang n₀.Toutes les définitions et tous les résultats du chapitre s’étendent aux suites définies à partir d’un rang.

3. On note parfois (u_n) au lieu de (u_n)_n_∈_Nou (u_n)_nÊn₀, mais il ne faut pas oublier les parenthèses.

4. Soient A∈P(R^{) et}^u=(u_n)_n_∈_Nune suite. On dit que la suiteuestà valeurs dans Alorsque : pour tout n∈N^, u_n∈A. C’est équivalent à :©

u_n|n∈N^ª⊂A, l’ensemble des valeurs de la suiteuest inclus dansA.

Remarque 12.1

Il y a deux façons de représenter une suite.

Ï On peut utiliser la droite réelle.

0 u_n u₀

u₁

u₂ u₃

Ï On peut utiliser un graphe.

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4 5

u_n u₀

u₁ u₂

u₃

Remarque 12.2 – Représentation graphique d’une suite

(4)

I. GÉNÉRALITÉ SUR LES SUITES RÉELLES SUITES NUMÉRIQUES

Définition 12.2 – Suite constante, suite stationnaire Soitu=(u_n)_n∈_Nune suite. On dit que la suiteuest :

Ï constantelorsque, pour toutn∈N^,^un+1=u_n.

Ï stationnairelorsqu’il existeN∈Ntel que, pour toutnÊN,u_n₊₁=u_n. Dans ce cas, on dit que la suiteuest constante à partir d’un certain rang.

Ï Une suiteu=(u_n)_n∈_Nest constante si, et seulement si, pour toutn∈N^,^un=u₀.

Ï Soit u=(u_n)_n_∈_N une suite. La propriété « la suite u est stationnaire » s’écrit à l’aide de quantificateurs :

∃N∈N^,∀nÊN,u_n₊₁=u_n. Remarque 12.3

Définition 12.3 – Opération sur les suites Soientu=(u_n)_n_∈_Netv=(v_n)_n_∈_Ndeux suites et_λ∈R^.

Lasomme des suites u et vest la suite notée (u+v)_n∈_Ndéfinie par :

∀n∈N^{, (u}+v)_n=u_n+v_n. Leproduit des suites u et vest la suite notée (u×v)_n_∈_Ndéfinie par :

∀n∈N^{, (u}×v)_n=u_n×v_n.

Leproduit de la suite u par un scalaire_λ∈Rest la suite notée (_λ.u)_n∈_Ndéfinie par :

∀n∈N^{, (}λ.u)_n=λ×u_n.

On étend bien sûr ces définitions aux suites définies à partir d’un certain rang.

Remarque 12.4

I.2. Relation d’ordre

Définition 12.4 – Monotonie d’une suite Soitu=(u_n)_n_∈_Nune suite.

On dit que la suiteuest :

Ï croissantelorsque :∀n∈N^,^unÉu_n₊₁;

Ï strictement croissantelorsque :∀n∈N^,^un<u_n₊₁; Ï décroissantelorsque :∀n∈N^,^un+1Éu_n;

Ï strictement décroissantelorsque :∀n∈N^,^un+1<u_n; Ï monotonelorsque la suite est croissante ou décroissante ;

Ï strictement monotonelorsque la suite est strictement décroissante ou strictement croissante.

1. La suite (n²)_n_∈_Nest strictement croissante.

2. La suite µ1

n

¶

n∈N^?

est strictement décroissante.

Exemple 12.1

(5)

3. Soita∈R^?₊. La suite (aⁿ)_n_∈_Nest

• strictement décroissante lorsque 0<a<1 ;

• constante lorsquea=1 ;

• strictement croissante lorsquea>1.

Exercice 12.1

Soitf :R+→Rune fonction croissante.

1. Montrer que la suite¡ f(n)¢

n∈Nest croissante.

2. Montrer que la suite µ

f µ1

n

¶¶

n∈N^?

est décroissante.

Résolution

1. Soitn∈N. On sait quenÉn+1.

Donc, par croissance def, on a :f(n)Éf(n+1).

Donc, la suite¡ f(n)¢

n∈Nest croissante.

2. Soitn∈N^?. On sait que 0<nÉn+1.

D’où, 1 n+1É1

n

Donc, par croissance def, on a :f µ 1

n+1

¶ Éf

µ1 n

¶ . Donc, la suite

µ f

µ1 n

¶¶

n∈N^?

est décroissante.

Exercice 12.2

Déterminer l’ensemble des suites qui sont à la fois croissantes et décroissantes.

Résolution

On procède par analyse-synthèse.

Analyse.Soitu=(u_n)_n∈_Nune suite croissante et décroissante.

Soitn∈N^{. Comme}^uest croissante, on aunÉu_n+1. De plus, commeuest décroissante,u_n₊₁Éu_n. D’où,un=u_n+1. Ceci est vrai pour toutn∈N^. Donc,uest constante.

Synthèse.Soitu=(un)_n_∈_Nune suite constante.

Pour toutn∈N^{, on a}^unÉu_n+1. Donc,uest croissante.

Pour toutn∈N, on au_nÊu_n₊₁. Donc,uest décroissante.

ÏAinsi, l’ensemble des suites qui sont à la fois croissantes et décroissantes est l’ensemble des suites constantes.

Proposition 12.1 – Opérations sur les suites monotones La somme de deux suites croissantes est croissante.

La somme de deux suites décroissantes est décroissante.

Le produit d’une suite monotone par un scalaire est monotone. Plus précisément, on a le résultat suivant : uest croissante uest décroissante

λÊ0 (_λ.u) est croissante (_λ.u) est décroissante λÉ0 (_λ.u) est décroissante (_λ.u) est croissante

Le produit d’une suite strictement monotone par un scalairenon nulest strictement monotone. Plus précisé-

(6)

ment, on a le résultat suivant :

uest strictement croissante uest strictement décroissante λ>0 (_λ.u) est strictement croissante (_λ.u) est strictement décroissante λ<0 (_λ.u) est strictement décroissante (_λ.u) est strictement croissante Le produit de deux suites de même monotonie à valeurs positives est croissante.

Le produit de deux suites de monotonie contraire à valeurs positives est décroissante.

Démonstration

Conséquences immédiates des propriétés des relations de comparaisonÉet<.

Méthode 12.1 – Étudier la monotonie d’une suite Soitu=(u_n)_n∈_Nune suite.

Pour montrer queuestcroissante, il y a deux méthodes.

1. On peut vérifier que, pour toutn∈N^,^un+1−u_nÊ0.

2. Lorsque, pour tout n∈N^,^un>0, on peut vérifier que, pour toutn∈N^, ^uⁿ⁺¹ u_n Ê1.

Pour montrer queueststrictement croissante, il y a deux méthodes.

1. On peut vérifier que, pour toutn∈N^,^un+1−u_n>0.

2. Lorsque, pour tout n∈N^,^un>0, on peut vérifier que, pour toutn∈N^, ^uⁿ⁺¹ u_n >1.

Pour montrer queuestdécroissante, il y a deux méthodes.

1. On peut vérifier que, pour toutn∈N^,^un+1−u_nÉ0.

2. Lorsque, pour tout n∈N^,^un>0, on peut vérifier que, pour toutn∈N^, ^uⁿ⁺¹ u_n É1.

Pour montrer queueststrictement décroissante, il y a deux méthodes.

1. On peut vérifier que, pour toutn∈N^,^un+1−u_n<0.

2. Lorsque, pour tout n∈N^,^un>0, on peut vérifier que, pour toutn∈N^, ^uⁿ⁺¹ u_n <1.

Pour montrer queu n’est pas croissante, il suffit de déterminer Ntel queu_N>u_N+1 Pour montrer queu n’est pas décroissante, il suffit de déterminerNtel queu_N<u_N₊₁

La méthode précédente s’adapte évidemment au cas des suites définie à partir d’un certain rang (u_n)_nÊn₀, oùn₀∈N^. Remarque 12.5

Soitu=(u_n)_n∈_Nla suite de terme général

u_n= (2n)!

2²ⁿ×(n!)². Montrons que la suiteuest strictement monotone.

Ï Pour toutn∈N^,^un>0.

Ï Soitn∈N^{. On a :} u_n+1

u_n = (2n+2)!

2²ⁿ⁺²×((n+1)!)²×2²ⁿ×(n!)²

(2n)! =(2n+2)×(2n+1)

2²×(n+1)² =2n+1 2n+2<1.

Exemple 12.2

(7)

Donc, pour toutn∈N^,^un+1<u_n.

On en déduit que la suiteuest strictement décroissante.

Définition 12.5 – Suite majorée, suite minorée, suite bornée Soitu=(u_n)_n∈_Nune suite.

On dit que la suiteuest :

Ï majoréelorsque :∃M∈R^,∀n∈N^,^unÉM.

Ï minoréelorsque :∃m∈R^,∀n∈N^,^mÉu_n. Ï bornéelorsqueuest majorée et minorée.

Autrement dit, il existe (m,M)∈R²tel que, pour toutn∈N^,^mÉu_nÉM.

1. La suite de terme général (−1)ⁿest bornée : pour toutn∈N^,−1É(−1)ⁿÉ1.

2. La suite de terme généraln² est minorée (par 0) et n’est pas majorée.

Exemple 12.3

Une suiteu=(u_n)_n∈_Nest majorée (respectivement, minorée, bornée) si, et seulement si, l’ensemble©

u_n|n∈N^ª^est majoré (respectivement, minoré, borné).

Remarque 12.6

Proposition 12.2 Soitu=(u_n)_n∈_Nune suite.

La suiteuest bornée si, et seulement si, la suite (|u_n|)_n_∈_Nest majorée.

Démonstration

(⇒) On suppose queuest bornée. Il existe (m,M)∈R²tel que, pour toutn∈N^,^mÉu_nÉM.

On noteC=max(|m|,|M|). On a :MÉ |M| ÉCetmÊ −|m| Ê −C.

D’où, pour toutn∈N^{, on a :}−CÉmÉu_nÉMÉC. Donc, pour toutn∈N^,|u_n| ÉC.

Donc, la suite (|un|)_n∈_Nest majorée.

(⇐) On suppose la suite (|un|)n∈Nmajorée. Il existeC∈Rtel que, pour toutn∈N^,|un| ÉC.

D’où, pour toutn∈N^,−CÉu_nÉC.

Donc, la suiteuest minorée et majorée. Elle est donc bornée.

Proposition 12.3

ÏLa somme et le produit de deux suites bornées sont des suites bornées.

ÏLe produit d’une suite bornée par un scalaire est une suite bornée.

Démonstration

Conséquences immédiates des propriétés de la relation de comparaisonÉ

(8)

I.3. Propriété vraie à partir d’un certain rang

Définition 12.6 SoitP(n) une propriété dépendant den∈N^.

On dit qu’une suiteuvérifieP(n) à partir d’un certain rang lorsqu’il existeN∈Ntel que, pour toutnÊN,P(n) est vraie.

Ï Une suiteuest positive à partir d’un certain rang lorsqu’il existeN∈Ntel que, pour toutnÊN,u_nÊ0.

Par exemple, la suite (n−3)_n∈_Nest positive à partir d’un certain rang.

Ï La suiteuest croissante à partir d’un certain rang lorsqu’il existeN∈Ntel que, pour toutnÊN,u_nÉu_n+1. Exemple 12.4

(9)

SUITES NUMÉRIQUES II. LIMITE D’UNE SUITE RÉELLE

II. Limite d’une suite réelle

II.1. Suites convergentes

Définition 12.7 Soientu=(u_n)_n_∈_Nune suite et_`∈R^.

ÏOn dit queu converge (ou tend) vers_`lorsque :

∀ε>0,∃N∈N^,∀n∈N^,^£ⁿÊN ⇒ |u_n−`| Éε¤ . Dans ce cas, on noteu_n−−−−−→

n→+∞ `.

ÏOn dit queu convergelorsqu’il existe_`∈R^{tel que}^uconverge vers_`. Dans le cas contraire, on dit queu diverge.

Ï On peut réécrire la définition de la manière suivante :∀ε>0,∃N∈N^,∀nÊN,|u_n−`| Éε. Ï Les suites constantes et les suites stationnaires convergent.

Remarque 12.7

La définition de «uconverge (ou tend) vers_`» se réécrit :

∀ε>0,∃N∈N^, ∀n∈N^,^£ⁿÊN ⇒`−εÉu_nÉ`+ε¤

| {z }

à partir du rangN, tous les termes de la suiteu sont à une distance inférieure àεde`

.

On lira alors : pour tout réel_ε>0, il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suiteusont à une distance inférieure à_εde_`.

Ï Sur la droite réelle.

ε ε

u_N₋₁ u_N₊₁ u_N u_N₊₂ u_n(nÊN)

`

h ^`+iε

`−ε

Ï Sur un graphe.

Remarque 12.8 – Visualisation

(10)

II. LIMITE D’UNE SUITE RÉELLE SUITES NUMÉRIQUES

1. On considère la suite (u_n)_n_∈_N? de terme généralu_n=1

n. Montrons que 1

n−−−−−→

n→+∞ 0.

Soit_ε>0. On chercheN∈Ntel que, pour toutnÊN,|u_n| Éε. Soitn>0. On a :

|u_n−0| Éε ⇐⇒

¯

¯ 1 n

¯

¯Éε ⇐⇒ 0<1

nÉε ⇐⇒ nÊ1 ε. On noteN=

¹1 ε º

+1. On aN>1 ε. D’où, pour toutnÊN, on a :nÊ1 ε.

Ainsi, pour toutnÊN,|u_n−0| Éε. Ceci est vrai pour tout_ε>0.

Donc,u_n−−−−−→

n→+∞ 0.

2. Soitq∈]−1, 1[ avecq,0. On considère la suite (u_n)_n∈_Nde terme généralu_n=qⁿ. Montrons queqⁿ−−−−−→

n→+∞ 0.

Soit_ε>0. On chercheN∈Ntel que, pour toutnÊN,|u_n| Éε. Soitn∈N^{. On a :}

|u_n−0| Éε ⇐⇒ ¯

¯qⁿ¯

¯Éε ⇐⇒ |q|ⁿÉε ⇐⇒ n×ln(|q|)Éln(_ε) ⇐⇒ nÊ ln(_ε) ln(|q|). La dernière équivalence découle du fait que|q| ∈]0, 1[ et donc ln(|q|)<0.

On noteN=

¹ ln(_ε) ln(|q|)

º

+1. On aN> ln(_ε) ln(|q|). D’où, pour toutnÊN, on a :nÊ ln(_ε)

ln(|q|).

Ainsi, pour toutnÊN,|u_n−0| Éε. Ceci est vrai pour tout_ε>0.

n→+∞ 0.

3. On considère la suite (u_n)_n_∈_Nde terme généralu_n=(−1)ⁿ. Montrons que la suite (u_n)_n_∈_Ndiverge.

Par l’absurde, supposons qu’il existe_`∈R^{tel que :}^un−−−−−→

n→+∞ `. Prenons_ε=1

2 >0 dans la définition de convergence :∃N∈N^,∀nÊN,¯

¯(−1)ⁿ−`¯

¯É1 2. Or, 2NÊN et 2N+1ÊN. D’où,

|1−`| =¯

¯

¯(−1)²^N−`¯

¯

¯É1

2 et |1+`| = |−1−`| =¯

¯

¯(−1)²^N⁺¹−`¯

¯

¯É1 2. Donc, par inégalité triangulaire,

2= |2| = |(1−`)+(1+`)| É |1−`| + |1+`| É1 2+1

2É1.

Absurde.

Donc, (u_n)_n_∈_Ndiverge.

Exemple 12.5 – Résultats à connaître (on pourra les utiliser sans justification)

On sait que :|u_n−`| = |(u_n−`)−0|et|u_n−`| =¯

¯|u_n−`|¯

¯=¯

¯|u_n−`| −0¯

¯. Donc, on a les équivalences suivantes :

u_n−−−−−→_n

→+∞ ` ⇐⇒ u_n−`−−−−−→_n

→+∞ 0

⇐⇒ |u_n−`| −−−−−→_n

→+∞ 0.

Remarque 12.9

(11)

Théorème 12.1

Toute suite convergente est bornée.

Démonstration

Soitu=(u_n)_n∈_Nune suite qui converge vers`∈R^.

On applique la définition de convergence avecε=1>0. Donc,

∃N∈N^,∀nÊN,|u_n−`| É1.

D’où, par inégalité triangulaire, pour toutnÊN,|un| = |un−`+`| É |un−`| + |`| É1+ |`|.

À ce stade, on a montré que la suite est bornée à partir du rang N. En fait, lorsqu’une suite est bornée à partir d’un rang, alors elle est bornée. Montrons-le.

On noteM=max¡

|u0|,|u1|, . . . ,¯

¯u_N₋₁¯

¯, 1+ |`|¢

∈R+ Alors, pour toutn∈N^,|u_n| ÉM.

Donc, (un)_n_∈_Nest bornée.

Toute suite bornée n’est pas nécessairement convergente. La suite (u_n)_n∈_Nde terme général u_n=(−1)ⁿest un contre-exemple.

Attention

Théorème 12.2 Soit (u_n)_n∈_Nune suite.

1. On suppose que (u_n)_n_∈_Ntend vers_`>0. Montrer que les termes de la suite (u_n)_n_∈_Nsont strictement positifs à partir d’un certain rang. Autrement dit,

∃N∈N^,∀nÊN,u_n>0.

2. On suppose que (u_n)_n_∈_N tend vers _`<0. Montrer que les termes de la suite (u_n)_n_∈_N sont strictement négatifs à partir d’un certain rang.

Démonstration

1. Par définition, on a :∀ε>0,∃N∈N^,∀nÊN,`−εÉunÉε+`. En prenantε=`

2>0, il vient :∃N∈N^,∀nÊN,`−` 2Éu_n. D’où,∀nÊN,u_nÊ`

2>0.

Donc, les termes de la suite (u_n)_n∈_Nsont strictement positifs à partir d’un certain rang.

2. Par définition, on a :∀ε>0,∃N∈N^,∀nÊN,`−εÉu_nÉε+`. En prenantε= −`

2>0, il vient :∃N∈N^,∀nÊN,unÉ −` 2+`.

D’où,∀nÊN,unÉ` 2<0.

Donc, les termes de la suite (un)_n_∈_Nsont strictement négatifs à partir d’un certain rang.

Pour démontrer le théorème suivant, nous avons d’abord besoin d’un lemme.

Lemme 12.1

Soitx∈R^{tel que :}∀ε>0,|x| Éε. Alors,x=0.

Démonstration

On raisonne par l’absurde. On suppose quex,^0.

D’où,|x| >0.

On applique l’hypothèse avecε=|x|

2 >0.

(12)

D’où,|x| É|x|

2.

Comme|x| >0, il vient 1É1

2. Absurde.

Donc,x=0.

Théorème 12.3 – Unicité de la limite si elle existe Soitu=(u_n)_n∈_Nune suite.

Si la suite (u_n)_nÊn₀converge vers un réel_`, alors ce réel est unique et est appelélalimite de la suite(u_n)_n∈_N. On note_`= lim

n→+∞u_n. Démonstration

Soit (`1,`2)∈R²^{tel que}^un−−−−−→

n→+∞ `1etun−−−−−→

n→+∞ `2. En utilisant le lemme, montrons que`1−`2=0.

Soitε>0. On utilise la définition de convergence avecεremplacé parε 2:

∃N1∈N^,∀n∈N^,^£ⁿÊN₁⇒ |un−`1| Éε 2

¤ et ∃N2∈N^,∀n∈N^,^£ⁿÊN₂⇒ |un−`2| Éε 2

¤

On noteN=max(N₁,N₂)∈N. D’où, pour toutnÊN, on a :|u_n−`1| Éε

2et|u_n−`2| Éε 2. Donc, par l’inégalité triangulaire,

|`1−`2| =¯

¯(`1−u_N)−(`2−u_N)¯

¯É¯

¯`1−u_N¯

¯+¯

¯`2−u_N¯

¯Éε 2+ε

2Éε.

Ceci est vrai pour toutε>0. Donc, par le lemme,`1=`2.

Proposition 12.4 Soitu=(u_n)_n_∈_Nune suite.

Si (u_n)_n_∈_Ntend vers_`, alors (|u_n|)_n_∈_Ntend vers|`|. Démonstration

Soitε>0. On chercheN∈N^{tel que :}∀nÊN,¯

¯|u_n| − |`|¯

¯Éε. Soitn∈N. Par inégalité triangulaire, on a :¯

¯|un| − |`|¯

¯É |un−`|.

Or,u_n−−−−−→

n→+∞ `. Donc :∃N∈N^,∀nÊN,|u_n−`| Éε. Ainsi, pour toutnÊN,¯

¯|un| − |`|¯

¯É |un−`| Éε. Donc,|u_n| −−−−−→

n→+∞ |`|.

On considère la suite (u_n)_n_∈_Nde terme généralu_n=(−1)ⁿ. Ï On sait déjà que la suite (u_n)_n∈_Ndiverge.

Ï De plus, la suite (|u_n|)_n_∈_Nest la suite constante égale à 1, donc elle converge (vers 1).

Attention – La réciproque est fausse

II.2. Limites infinies

Définition 12.8 – Limites infinies Soitu=(u_n)_n∈_Nune suite.

ÏOn dit queu tend vers+∞lorsque :

∀A∈R^,∃N∈N^,∀n∈N^,^£ⁿÊN⇒u_nÊA¤ .

(13)

Dans ce cas, on noteu_n−−−−−→

n→+∞ +∞. ÏOn dit queu tend vers−∞lorsque :

∀A∈R^,∃N∈N^,∀n∈N^,^£ⁿÊN⇒u_nÉA¤ . Dans ce cas, on noteu_n−−−−−→

n→+∞ −∞.

Ï La définition de «utend vers+∞» se réécrit :

∀A∈R^,∃N∈N^,∀nÊN,u_nÊA.

De plus, on peut remplacer «∀A∈R^{» par «}∀A∈R+» ou encore «∀A∈R^?₊^».

Ï La définition de «utend vers−∞» se réécrit :

∀A∈R^,∃N∈N^,∀nÊN,u_nÉA.

De plus, on peut remplacer «∀A∈R^{» par «}∀A∈R−» ou encore «∀A∈R^?₋^».

Ï On a l’équivalence :u_n−−−−−→

n→+∞ +∞si, et seulement si−u_n−−−−−→

n→+∞ −∞. Remarque 12.12

La définition de «utend vers+∞» se réécrit :

∀A∈R^,∃N∈N^, ∀n∈N^,^£ⁿÊN ⇒u_nÊA¤

| {z }

à partir du rangN, tous les termes de la suiteusont supérieurs à A

.

Ï Sur la droite réelle.

u_N₋₁ u_N₊₁ u_N u_N₊₂

u_n(nÊN) Ah

Ï Sur un graphe.

Remarque 12.13 – Visualisation

1. On considère la suite (u_n)_n_∈_N? de terme généralu_n=n². Montrons quen²−−−−−→

n→+∞ +∞. SoitA∈R+. On chercheN∈Ntel que, pour toutnÊN,n²ÊA.

Exemple 12.6 – Connaître les résultats (on pourra les utiliser sans justification)

(14)

Soitn∈N^{. On a :}

u_nÊA ⇐⇒ n²ÊA ⇐⇒ nÊp A On noteN=jp

Ak

+1. On aN>p A.

D’où, pour toutnÊN, on a :nÊp A.

Ainsi, pour toutnÊN,u_nÊA. Ceci est vrai pour toutA∈R+. Donc,u_n−−−−−→

n→+∞ +∞.

2. Soitq>1. On considère la suite (u_n)_n_∈_Nde terme généralu_n=qⁿ. Montrons queqⁿ−−−−−→

n→+∞ +∞. SoitA∈R^?₊. On chercheN∈Ntel que, pour toutnÊN,u_nÊA.

Soitn∈N^{. On a :}

u_nÊA ⇐⇒ qⁿÊA ⇐⇒ n×ln(q)Êln(A) ⇐⇒ nÊln(A) ln(q). La dernière équivalence découle du fait queq>1 et donc ln(q)>0.

On noteN=

¹ln(A) ln(q) º

+1. On aN>ln(A) ln(q). D’où, pour toutnÊN, on a :nÊln(A)

ln(q).

Ainsi, pour toutnÊN,u_nÊA. Ceci est vrai pour toutA>0.

n→+∞ +∞. Proposition 12.5

Soit (u_n)_n∈_Nune suite. On suppose queu_n−−−−−→_n

→+∞ +∞. Alors,

1. (u_n)_n_∈_Nn’est pas majorée.

2. (u_n)_n_∈_Nest minorée. Plus précisément, (u_n)_n_∈_Nest minorée par un réel strictement positif à partir d’un certain rang.

Démonstration

On sait que,

∀A∈R^,∃N∈N^,∀nÊN,u_nÊA.

1. Par l’absurde, on suppose (un)_n_∈_Nmajorée.

Par définition, il existeM∈Rtel que, pour toutn∈N^,^unÉM.

Or, en prenantA=M+1∈R^{, on a :}^M+1Éu_NÉM. Donc, 1É0. Absurde.

Donc, (un)_n_∈_Nn’est pas majorée.

2. Il suffit de choisir unA>0 et il vient :∃N∈N^,∀nÊN,u_nÊA.

Donc, (un)_n_∈_Nest minorée par un réel strictement positif à partir du rangN.

En notantm=min¡

u₀, . . . ,u_N−1,A¢

, il vient :∀n∈N^,^unÊm.

Donc, (u_n)_n∈_Nest minorée.

Soit (u_n)_n_∈_Nune suite. On suppose queu_n−−−−−→

n→+∞ −∞. Alors,

1. (u_n)_n∈_Nn’est pas minorée.

2. (u_n)_n∈_Nest majorée. Plus précisément, (u_n)_n∈_Nest majorée par un réel strictement négatif à partir d’un certain rang.

Démonstration

Adapter la démonstration de la proposition précédent.

(15)

En particulier, si une suite (u_n)_n_∈_Ntend vers+∞ou−∞, alors elle n’est pas bornée.

Donc, la suite (u_n)_n_∈_Nne converge pas.

Remarque 12.14

Théorème 12.4 – Unicité de la limite lorsqu’elle existe Soit (u_n)_n_∈_Nune suite.

Si la suite (u_n)_n∈_N tend vers_`∈R∪{−∞,+∞}(c’est-à-dire_`est un réel ou_`= −∞ ou_`= +∞), alors_`est unique et est appelélalimite de la suite(u_n)_n_∈_N.

On note_`= lim

n→+∞u_n. Démonstration

Soient`1∈R∪{−∞,+∞}et`2∈R∪{−∞,+∞}tels queu_n−−−−−→

n→+∞ `1etu_n−−−−−→

n→+∞ `2. ÏCas 1:`1∈R. On sait alors que (un)_n_∈_Nest bornée.

Donc,`2∈R(sinon, d’après la remarque précédente, la suite (un)_n_∈_Nne serait pas bornée).

On a déjà vu qu’alors`1=`2. ÏCas 2:`1= +∞.

Donc, la suite (u_n)_n∈_Nest minorée. Donc,`2,−∞

De plus, (un)_n_∈_Nn’est pas majorée donc n’est pas bornée. Donc,`2∉R^. D’où,`2= +∞ =`1.

ÏCas 3:`1= −∞.

Donc, la suite (un)_n_∈_Nest majorée. Donc,`2,+∞

De plus, (u_n)_n∈_Nn’est pas minorée donc n’est pas bornée. Donc,`2∉R^.

D’où,`2= −∞ =`1.

II.3. Caractère asymptotique de la notion de limite

Soient (u_n)_n_∈_Net (v_n)_n_∈_Ndeux suites égales à partir d’un certain rang.

Siu_n−−−−−→

n→+∞ `1∈R∪{−∞,+∞}etv_n−−−−−→

n→+∞ `2∈R∪{−∞,+∞}, alors,_`₁=`2. Démonstration

Les suites (u_n)_n∈_Net (v_n)_n∈_Nsont égales à partir d’un certain rang. Donc, il existeN₁∈Ntel que, pour toutnÊN₁,u_n=v_n. ÏCas 1:`1∈R^.

Soitε>0.

On sait que :∃N2∈N^,∀nÊN₂,|un−`1| Éε.

En notant,N=max(N₁,N₂)∈N^{, on a :}∀nÊN,|v_n−`1| = |u_n−`1| Éε. Ceci est vrai, pour toutε>0. Donc,vn−−−−−→

n→+∞ `1. Donc, par unicité de la limite,`1=`2.

ÏCas 2:`1= +∞. SoitA∈R^.

On sait que :∃N2∈N^,∀nÊN₂,unÊA.

En notant,N=max(N₁,N₂)∈N^{, on a :}∀nÊN,v_n=u_nÊA.

Ceci est vrai, pour toutA∈R^{. Donc,}^vn−−−−−→

n→+∞ `1. Donc, par unicité de la limite,`1=`2.

ÏCas 3:`1= −∞. SoitA∈R^.

On sait que :∃N₂∈N^,∀nÊN₂,unÉA.

En notant,N=max(N₁,N₂)∈N^{, on a :}∀nÊN,v_n=u_nÉA.

Ceci est vrai, pour toutA∈R^{. Donc,}^vn−−−−−→

n→+∞ `1.

Donc, par unicité de la limite,`1=`2.

(16)

On peut reformuler ce résultat de la manière suivante : on ne change pas le comportement asymptotique d’une suite en changeant un nombre fini de termes.

On retiendra aussi quele comportement asymptotique d’une suite ne donne pas d’information sur ses premiers termes.

Remarque 12.15