Mathématiques – cours : Chap 12 : Suites réelles
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Chap 12 : Suites réelles
I. Généralités
1
{( ) , , } { }
( , , , ) : ( , , )
( , , ) ,
suites de termes réels
est une -algèbre est un anneau commutatif (non intègre) et est un -espace vectoriel
est croissante si pour tout n n
n n
n
u n u
u n u u +
= ∈ ∀ ∈ =
+ × ⋅ + ×
+ ⋅
∈ ≤
2 2
( ( , ) , ) t ( ( , ) , )
croissante k n strict croiss. k n
u ⇔ ∀ k n ∈ k≤ ⇒n u ≤u u ⇔ ∀ k n ∈ k < ⇔n u <u
( ) , ,
( ) ,| | ( ) { }
est majorée si
est bornée bornées
n n
n n
un M n u M
u ssi M u M u
∈
+
∃ ∈ ∀ ∈ ≤
∃ ∈ ≤ B = ∈
( (B ), , )+ × sous anneau, ( (B ), , )+ ⋅ sous-espace vectoriel de
II. Limites
0 0
( ) 0, , , | |
est limite de n n (en ) si : n
l u ∈ + ∞ ∀ >ε ∃ ∈N ∀ ≥n N u − ≤l ε
1 2
0
| | /3) 1,
La limite est unique (preuve : prendre
Toute suite convergente est bornée (preuve : valeurs avant n : borné) l l
ε ε
= −
=
N'utiliser la notation lim n que si on a déjà montré que cette limite existe
n u
→+∞
2
0 0 0
0 0
{ ( ), lim 0} ( , ) , ( , ) ,
, ),( )
est un sous-espace vectoriel : Pour tout
n n
u u n u u v u v
u v uv
α β α β
= = →+∞ = ∀ ∈ ∀ ∈ + ∈
∈ ∈ ∈
E E E
E B( E
1 2 1 2
1 2
lim lim lim lim
1 1
lim lim
n n n n n
n n n n
n n n n
n
u l v l u v l l u l
u v l l
u l
λ λ
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
→+∞ →+∞
= = + = + =
= =
Preuve : utiliser ce qui précède. 0 | | | | 1 2
| | | | | | | | :
2 2 | |
n n n
n
l l
n u l u l u l borné
u l
⇒ − ≤ ≥ − − ≥ ⇒ ≤ …
1 2 1 2
( ) ( ) , lim lim ( ) / 3
,
Si et convergentes, et (pr : contr. : , )
et mêmes limites même limite pour u
n n n n n n
n n
n
n n
n n n n
u v n u v u v l l l l
v u w v w
∈ ∈ ∀ ≤ ⇒ →+∞ ≤ →+∞ ≥ ε = −
≤ ≤ ⇒ ⇒
Les inégalités STRICTES NE PASSENT PAS à la limite
III. Limites infinies
0 0
lim n 0, , , n Une telle suite n'est pas bornée, ni convergente
n u A n n n u A
→+∞ = +∞ ⇔ ∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ ≥
1 1
lim n 0 lim
n n
n
u + u ε A
→+∞ →+∞
= ⇒ = +∞ =
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lim n , minorée lim n n
n u v n u v
→+∞ = +∞ ⇒ →+∞ + = +∞
IV. Résultats d’existence de limites
( ( )), ( )
Suite extraite : v= uϕ n ϕ strictement croissante (⇒ϕ n ≥n)
( ) ( )
( )
( ) ( )
lim , lim
Si alors ,
n n
n n
n n
w v u
u l u l
ψ ϕ ψ
ϕ ϕ
→+∞ →+∞
= =
= ∀ =
0 0
1 1
lim , lim
1 1
Moyenne de Césaro : n k Si k n k
n n
k k
u u l u l
n = →+∞ = →+∞n = =
+
∑
+∑
Preuve : lim finie : séparer la somme : valeurs pour n<N0, et valeurs pour N>n0 (epsilon/2 de chaque coté).
Si lim infinie : A0 = 2A + 1 lim
sup{ , }
lim 0
suite croissante : Soit
Soit est bornée et converge vers et adjacentes si : croissante, décroissante,
n n
n
n n
n
u u
u u n
u v u v u v
→+∞
→+∞
= +∞
∈
− =
et adjacentes n n (preuve par l'absurde), et et convergent vers la même limite.
u v ⇒u ≤v u v
[ , ] ( )
( ) ( ) 0, { }
Un segment est un intervalle
suite de segments emboités Si
n n n n
n n
a b a b
I I long I I α
∈ ∈
≤
⇒ ≠ ∅ → =
Preuve : an ≤an+1 ≤bn+1≤bn (an)maj b( )n min, liman ≤limb dbleinclusionn,
( ) ( ), [ , ]
(10 ) (10 ) 1
, lim lim
10 10
Dichotomie : 2 suites réelles n et n division par 2 des intervalles selon la moitié où se trouve
n n
n n n n n n n n n
n
n
a b a bn
E x E x
a b n a x b a b x
α
→+∞ →+∞
= = + ∀ ∈ ≤ ≤ = =
Preuve : (an):an+1−an ≥0 ( )bn :bn+1−bn ≤0
1 1
0
0 1
(10 ) 10 lim
10
10 Ecriture décimale :
pour les décimaux : constante égale à 0 à partir d'un rang n
n k
n n n n n n k
k n
k
n k
k
u E x x x u u x
a u
+ + →+∞ =
=
= = − ⇒ =
=
∑
∑
Preuve : Récurrence : x=an+10nxn
Bolzano-Weierstrass : toute suite bornée admet une sous-suite qui convergeu Preuve : dichotomie
V. Relations de comparaison
0 0
( ) , ,| | | |
est dominée par ( n n ) si et n n
u v u =O v ∃ ∈M + N ∈ ∀ ≥ n N u ≤M v
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3
0 0
( ) ( ) et ,( ) bornée, , n est bornée
n n n n n n n
n n
u O v w n w n n u w v u
v
= ⇔ ∃ ∈ ∀ ≥ = ⇔
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n n n n n n n
n n n n n n
u O w v O w u v O w
u O v v O w u O w
α β
= = ⇒ + =
= = ⇒ =
0 0
( ) 0, , ,| | | |
est négligeable devant ( n n ) si n n
u v u =o v ∀ >ε ∃N ∈ ∀ ≥ n N u ≤ε v
0 0
( ) ( ) , , , lim 0 0
( ) ( ) (1) lim 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
et
(ou l'inverse)
n
n n n n n n n
n n n
n n n n n n
n
n n n n n n
n n n n n n n
u o v n n n u v u
v
u o v u O v u o u
u o v v O w u o w
u o w v o w u v o w
ε ε ε
α β
→+∞
→+∞
= ⇔ ∃ ∈ ∀ ≥ = = ⇔ →
= ⇒ = = ⇔ =
= = ⇒ =
= = ⇒ + =
~ ( ) , , lim 0 lim n 0
n n n n n n n n n n n n
n
u v u v o v n n u v a u
α v
→+∞ →+∞
⇔ − = ⇔ ∀ ≥ = = ⇔ =
1
0 0
~ /
~ ( ) ( )
~ , ( ) ( ) ~
( ) ~
relation d'équivalence compatible avec et (PAS AVEC !) Si
n n n n n n
n n n n n n n
d d
j j d d
n j j n d
j j
u v u O v v O u
u v o v u v
u a n a n o n u a n
α α
−
= =
× +
⇒ = =
= ⇒ +
=
∑ ∑
= ⇒~ 0 lim ( )
(ln ) ( ) ( ) 1: ( ) ( !)
~ 0
! ( )
est nulle à partir d'un certain rang
n n n
n n n n
n n
u u u
n o n n o e a n o a a o n o n
u
α β α α α n
α α
≠ ⇔ →+∞ =
= = = = =
⇔
>
VI. Suites à valeurs complexes
Pareil, avec modules à la place des valeurs absolues, et sans relation d’ordre. Limites parties réelles et imaginaires
VII. Compléments
, ( ) , lim
dense dans n n n
A y x ∈ A n x y
⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ →+∞ =
1
1 1
1
Suite géométrique : n n q k p 1 q p Suite arithmétique : n n
k p
u au a a a u u a
a
− +
+ +
=
= = − = +
∑
−1
1
2 1
1
( ) ( ) ...
( ) 0
2 :
Suite arithmético-géométrique : similitude directe
Suites homographiques : Point fixe :
racines
n n
n n n n
n n
n n
n n
u au b f b
z az b a
f z a z v u u av
au b
u cz d a z b
cu d v u
u
ω
ω ω ω
λ µ
+
+
+
→
= + + ⇒ = −
− = − = − =
= + + − − =
+
= −
−
1 : 1
racine 2 n
n
a d
géom v
c u
λ λ
⇒ = − =
−
lim 1 , lim
Lemme de l'escalier : Si alors
n
n
n n n
u u h u h
→+∞ + − = →+∞ n =
