Conjecture de Goldbach
et syst`emes de congruences du second degr´e
Denise Vella-Chemla 14/8/11
1 Rappels
La conjecture de Goldbach stipule que tout nombre pair sup´erieur `a 2 est la somme de deux nombres premiers.
Cette conjecture est trivialement v´erifi´ee par les nombres pairs doubles de nombres premiers.
On rappelle quepest un d´ecomposant de Goldbach de nsipest un nombre premier incongru1 `anselon tout module premier inf´erieur `a √
n.
∀n≥6, n = p+q, p et q premiers impairs ⇐⇒ ∀q≤√
n, p6≡n(q) Posonsn = x2b avecx2 le plus grand carr´e divisantn.
best le produit des nombres premiers de valuation p-adique impaire (i.e. ´elev´es `a une puissance impaire) dans la factorisation den(ce faisant, on ob´eit en quelque sorte `a la pr´econisation de Gauss dans l’article 146 page 109 pointIII de la section Quatri`eme des Recherches Arithm´etiques : “Au reste, on voit facile- ment que si parmi les facteurs p, p0, p00, etc., il y en a un nombre pair d’´egaux entre eux, on peut les rejeter, puisqu’ils n’influent en rien sur la relation de p`an.”).
R´esoudre un syst`eme d’incongruences quadratiques de la forme 1
b.p 6≡ x2 (q) selon tous les modules premiers q inf´erieurs `a √
n en utilisant la loi de r´eciprocit´e quadratique, le th´eor`eme d’or selon Gauss, permet-il de trouver un d´ecomposant de Goldbach de nau moins ?
2 M´ ethode inductive ` a la recherche de la raison qui fait que...
Si l’on parvient `a d´emontrer qu’un nombre premierpau moins v´erifie les incongruences 1
b.p6≡x2(q) selon tous les modules premiersqinf´erieurs `a √
n, notre probl`eme sera r´esolu. Si l’on appelleAle produit 1 b.p, pest un diviseur deA. Il s’agit alors de r´esoudre l’incongruence x2−A6≡0 (q). Nous verrons que dans les articles 147 `a 149 des Recherches Arithm´etiques, Gauss fournit les formules qui contiennent tous les nombres premiers `aAdontAest r´esidu, ou tous ceux qui sont diviseurs des nombres de la formex2−A, x2 ´etant un carr´e ind´etermin´e.
2.1 Exemples 1 et 2
Commen¸cons par le nombre pair 98 = 2.72.
Les 3 modules premiers impairs `a consid´erer inf´erieurs `a la racine de 98 sont 3, 5 et 7.
L’incongruencep6≡2.72(mod3, 5et7) devient 1
2.p6≡72(mod3, 5et7).
L’´ecriture de 3 modules entre parenth`eses est non-conventionnelle mais nous permet de gagner de la place,
1On utilise le terme propos´e par Gauss dans les Recherches Arithm´etiques.
elle indique une conjonction de faits2.
L’inverse de 2 est 2 (mod 3), l’inverse de 2 est 3 (mod 5) et l’inverse de 2 est 4 (mod 7). 2 est non-r´esidu de 3. 3 est non-r´esidu de 5. 4 est r´esidu de 7.
Ici, on rappelle que tout nombre premier p est r´esidu de lui-mˆeme. D’autre part, bien qu’un nombre premier p ne soit pas inversible dans (Z/pZ,×), Gauss fournit `a l’article 109, section Quatri`eme des Recherches Arithm´etiques la convention selon laquelle si rest r´esidu de p, l’inverse de rnot´e 1
r est lui- aussi r´esidu deppourpun nombre premier (ceci est en particulier vrai depun nombre premier qui est toujours r´esidu de lui-mˆeme).
Le nombre premier recherch´e doit donc ˆetre :
• r´esidu de 3 pour que, en le multipliant par l’inverse de 2, on n’obtienne pas un carr´e ;
• r´esidu de 5 (pour la mˆeme raison) ;
• non-r´esidu de 7 (pour la raison oppos´ee).
19 et 31 v´erifient les 3 conditions exig´ees et sont des d´ecomposants de Goldbach de 98. Si on dresse une petite table “est r´esidu de” des nombres premiers inf´erieurs `a 49, la moiti´e de 98, selon les modules 3, 5 et 7, voici ce que l’on obtient :
3 5 7
19 × ×
31 × ×
37 × ×
3 ×
5 ×
7 × ×
11 × ×
13 × 17
23 ×
29 × ×
41 ×
43 × ×
47
Les deux solutions que sont 19 et 31 sont “semblables du point de vue de leur relation quadratique” aux modules 3, 5 et 7.
19 est aussi d´ecomposant de Goldbach de 242 = 2.112 mais ne l’est plus de 238 = 2.132. Le raisonnement est similaire mais il faut alors tenir compte de toute une s´erie d’autres modules qui se sont ajout´es `a l’ensemble des modules inf´erieurs `a la racine du nombre pair que l’on consid`ere.
2.2 Exemple 3
100 = 22.52 est un carr´e. En appliquant le mˆeme raisonnement que pr´ec´edem-ment, on cherche un nombre qui soit `a la fois non-r´esidu de 3, 5 et 7. C’est le cas de 17 et de 47 qui sont tous deux des d´ecomposants de Goldbach de 100.
2.3 Autres exemples
A partir de l`a, on d´ecide de suivre l’exemple d’Euler : dans l’article“D´ecouverte d’une loi tout extraordi- naire des nombres par rapport `a la somme de leurs diviseurs”, il fournit des r´esultats exhaustifs jusqu’`a 100.
2Elle correspond `a l’´ecriture suivante utilis´ee par Gauss dans l’article 105 de la section Quatri`eme des Recherches Arithm´etiques“selon les modules a, b, c, etc.”.
Peut-ˆetre que l’´etude des nombres pairs factoris´es jusqu’`a 100 (on laisse de cˆot´e les doubles de premiers qui v´erifient trivialement la conjecture) va petit `a petit nous faire comprendre comment il faut g´en´eraliser...
8 = 23.
Le raisonnement habituel am`ene `a chercher un r´esidu de 3 or 3 est bien un d´ecomposant de Goldbach de 8.
12 = 22.3.
L’inverse de 3 est r´esidu de 3. 5, qui est non r´esidu du seul diviseur impair de 12 de valuation p-adique impaire, est un d´ecomposant de Goldbach de 12.
16 = 24.
5 non r´esidu de 3 est d´ecomposant de Goldbach de 16.
18 = 2.32.
On cherche un r´esidu de 3 (selon le raisonnement habituel uniquement selon le module 3) et 7 fournit bien une d´ecomposition de Goldbach de 18.
20 = 22.5.
On cherche un r´esidu de 3. 3 ou bien 7 fournissent tous deux des d´ecompositions de Godlbach de 20.
24 = 23.3.
3 apparaˆıt avec une valuation p-adique impaire dans la factorisation de 24. L’inverse de 3 est r´esidu de 3.
Il s’av`ere que 5 et 11, tous deux non-r´esidus de 3, fournissent des d´ecompositions de Goldbach de 24 ainsi que 7 qui quant `a lui est non-r´esidu de 5.
28 = 22.7.
Modulo 3, l’inverse de 7 est 1 qui est r´esidu de 3. Modulo 5, l’inverse de 7 est 3 qui est non-r´esidu de 5.
On cherche donc un nombre qui soit non-r´esidu de 3 et r´esidu de 5. 5 et 11 sont dans ce cas et fournissent tous les deux des d´ecompositions de Goldbach de 28.
30 = 2.3.5.
Ici, faisons un petit apart´e : 30 a “beaucoup” de petits d´ecomposants, de mˆeme que 60, 90, 120, 150 ou 900, par exemple. L’´etude des points de la com`ete de Goldbach, en f´evrier 2011, nous a montr´e que ces nombres pairs ont un nombre de d´ecompositions de Goldbach “bien sup´erieurs” `a leurs voisins. On le constate en utilisant l’article de Cantor qui avait v´erifi´e la conjecture jusqu’`a 1000 et qui avait ´emis quelques conjectures que l’on retrouve notamment dans le chapitreCantor et la Conjecture de Goldbach de l’excellent livre d’Anne-Marie D´ecaillot “Cantor et la France”.
L’inverse de 3 est r´esidu de 3, l’inverse de 5 l’est de 5. On constate quetous les premiers autres que 2, 3 et 5 (les diviseurs de 30) fournissent des d´ecompositions de Goldbach : 7, 11 et 13.
Pour le nombre pair 60 = 22.3.5, mˆeme chose : tous les nombres premiers de 7 `a 29 sans exception fournissent des d´ecompositions de Goldbach de 60.
Pour 120 = 23.3.5, tous les premiers compris entre 7 et 59 fournissent une d´ecomposition de Goldbach de 120 sauf 29 et 43 (ce qui repr´esente 12 d´ecomposi-tions et 2 “ratages”).
Pour 150 = 2.3.52, les r´esidus de 19 que sont 11, 19 et 23 fournissent 3 d´ecompo-sants, tandis que les r´esidus de 17 que sont 43, 47, 53 et 67 en fournissent 4 autres.
Pour 90 = 2.33.5, 48 nombres premiers sur les 81 nombres premiers compris entre 13 et 443 permettent d’obtenir une d´ecomposition de Goldbach3.
Parmi ces nombres, 270 = 2.33.5 a un nombre de d´ecomposants de Goldbach (il en a 20) qui vaut environ le double de celui de ses voisins imm´ediats (268 et 272 en ont respectivement 9 et 8). On s’est int´eress´e `a lui car la conjecture de Goldbach aura 270 ans en 2012...
L’´etude de ces nombres qui ont beaucoup de petits facteurs premiers nous am`ene `a croire qu’il suffit peut- ˆetre parfois que la relation “non-r´esidu de” soit v´erifi´ee pour l’un des diviseurs seulement pour permettre
3On peut carr´ement (!) parler de rentabilit´e...
l’obtention d’un d´ecomposant de Goldbach. Cela nous fait vivement souhaiter comprendre la page 112 des Recherches Arithm´etiques dans laquelle Gauss utilise un raisonnement combinatoire4.
Poursuivons notre liste des nombres pairs inf´erieurs `a 100 non doubles de premiers.
32 = 25
On cherche un r´esidu de 3 et 5 `a la fois. 19 fournit une d´ecomposition de 32.
36 = 22.32
C’est un carr´e. 5 qui est non-r´esidu de 3 fournit une d´ecomposition mais 7 r´esidu de 3 en fournit une
´egalement.
40 = 23.5
Les r´esidus de 11 que sont 3 et 11 fournissent chacun une d´ecomposition. 17 non-r´esidu de 3 en fournit une ´egalement.
42 = 2.3.7
Les r´esidus de 5 que sont 5, 11, 19, 29 et 31 fournissent chacun une d´ecomposition.
44 = 22.11
Les r´esidus de 3 que sont 3, 7 et 13 fournissent chacun une d´ecomposition.
48 = 24.3
Les r´esidus de 5 que sont 5, 11, 19, 29, 31 et 41 fournissent une d´ecomposition.
50 = 2.52
Les r´esidus de 3 que sont 3, 7, 13 et 19 fournissent chacun une d´ecomposition.
52 = 22.13
Les non-r´esidus de 3 que sont 5, 11 et 23 fournissent chacun une d´ecomposition.
54 = 2.33
Les non-r´esidus de 3 que sont 7 et 13 fournissent une d´ecomposition.
56 = 23.7
Les r´esidus de 3 que sont 3, 13 et 19 (7 ´etant un diviseur de 56 ne peut fournir de d´ecomposition) four- nissent chacun une d´ecomposition.
64 = 26
Les non-r´esidus de 3 que sont 5, 11, 17 et 23 fournissent une d´ecomposition.
66 = 2.3.11
Les r´esidus de 29 que sont 5, 7, 13, 23 et 29 fournissent chacun une d´ecomposition.
68 = 22.17
Observons la table : pour ne conserver que 7 et 31, il faut qu’il y ait une croix en colonne 3 et que les colonnes 5 et 7 soient l’inverse l’une de l’autre. Cependant alors 19 et 43 v´erifient cette condition bien que ne fournissant pas de d´ecompositions de Goldbach. On constate que leur compl´ementaire `a nest `a chaque fois un carr´e (49 et 25).
4Malheureusement, on trouve `a la fin de cette page un“Mais pour abr´eger, nous sommes forc´es de ne pas donner plus de d´eveloppement `a la d´emonstration.” qui rappelle furieusement le“La marge est trop petite.” de Fermat...
70 = 2.5.7
Les non-r´esidus de 3 que sont 11, 17, 23 et 29 fournissent une d´ecomposition.
72 = 23.32
Les r´esidus de 5 que sont 5, 11, 19, 29 et 31 fournissent chacun une d´ecomposition.
76 = 22.19
Les non-r´esidus de 3 que sont 5, 17, 23 et 29 fournissent chacun une d´ecomposition.
78 = 2.3.13
Les r´esidus de 19 que sont 5, 7, 11, 17 et 19 fournissent chacun une d´ecomposition.
80 = 24.5
Les r´esidus de 3 que sont 7, 13, 19 et 37 fournissent chacun une d´ecomposition.
84 = 22.3.7
Les r´esidus de 5 que sont 5, 11, 31 et 41 fournissent chacun une d´ecomposition, ainsi que les r´esidus de 13 que sont 13, 17 et 23 et enfin le r´esidu de 7 qu’est 37.
88 = 23.11
Les r´esidus de 5 que sont 5 et 41 fournissent chacun une d´ecomposition, ainsi que les r´esidus de 13 que sont 17 et 29.
90 = 2.32.5
Les r´esidus de 19 que sont 7, 11, 17, 19 et 23 fournissent chacun une d´ecomposition ainsi que les r´esidus de 7 que sont 29, 37 et 43.
92 = 22.23
Tous les r´esidus de 3 inf´erieurs `a 36 que sont 3, 13, 19 et 31 fournissent chacun une d´ecomposition.
96 = 25.3
Les r´esidus de 29 que sont 7, 13, 23 et 29 fournissent chacun une d´ecomposition ainsi que les r´esidus de 3 que sont 37 et 43.
2.4 Pour r´ esumer et tenter d’aller plus avant
Dans les listes de nombres suivantes, on fournit entre parenth`eses apr`es chaque nombre les modulespdont les r´esidus (R suivi de p) ou non-r´esidu (N suivi de p)5permettent d’en trouver le plus de d´ecompositions de Goldbach.
On a trouv´e des d´ecomposants de Goldbach den:
• qui ´etaient non-r´esidus du plus petit non-r´esidu de n pour les nombres pairs suivants : 16 (N3), 24 (N5), 28 (N3), 40 (N3), 52 (N3), 54 (N3), 64 (N3), 70 (N3), 76 (N3), 100 (N3N5N7), 242 (N7)
;
• qui ´etaient r´esidus d’un non-diviseur denpour les nombres pairs suivants : 8 (R3), 20 (R3), 28 (R5), 30 (R7), 32 (R3), 40 (R11), 42 (R5), 44 (R3), 48 (R5), 50 (R3), 56 (R3), 60 (R7), 66 (R29), 68 (R3), 72 (R5), 78 (R19), 80 (R3), 84 (R5), 88 (R5), 90 (R7), 92 (R3), 96 (R3), 98 (R3), 120 (R7), 150 (R17), 242 (R3), 270 (R7), 900 (R7) ;
• qui ´etaient non-r´esidus d’un diviseur de valuation p-adique impaire pour les nombres pairs suivants : 12 (N3), 24 (N3) ;
5On reprend la notation de Gauss.
• qui ´etaient non-r´esidus d’un diviseur de valuation p-adique paire pour le nombre pair suivant : 36 (N3) ;
• qui ´etaient r´esidus d’un diviseur de valuation p-adique paire pour les nombres pairs suivants : 18 (R3), 36 (R3).
Les nombres des trois derni`eres cat´egories peuvent ais´ement ˆetre int´egr´es aux deux premi`eres cat´egories.
On a bien en tˆete la r`egle “moins par moins donne plus, moins par plus donne moins” pour les car- act`eres r´esidu/non-r´esidu d´emontr´ee par Gauss dans l’article 98 de la section Quatri`eme des Recherches Arithm´etiques.
Concernant la premi`ere cat´egorie, on fournit pour m´emoire en annexe 1 les r´esidus quadratiques des nom- bres inf´erieurs `a 100 pour v´erification de ce que l’on a constat´e.
Concernant la deuxi`eme cat´egorie, mˆeme si la conditionr´esidu d’un non-diviseur semble toujours perme- ttre l’obtention d’un d´ecomposant de Goldbach, on remarque ´egalement qu’on peut toujours trouver un nombre premier d´ecomposant de Goldbach denparmi les nombres premiers qui sont non-r´esidus de tous les diviseurs impairs de n et cette condition semble plus satisfaisante dans la mesure o`u Gauss fournit dans les articles 129 et 130 de la section Quatri`eme des Recherches Arithm´etiques la d´emonstration d’un th´eor`eme selon lequel tout nombre premier de la forme 4n+ 1 est toujours non-r´esidu d’un nombre premier au moins plus petit que lui. L’annexe 4 donne le d´etail de ce constat pour les nombres de la deuxi`eme cat´egorie.
On a cependant beau essayer d’induire certaines formes des r´esultats ci-dessus, on ne trouve pas grand chose : il semblerait que les nombres pairs qui sont des puissances paires de 2 appartiennent toujours `a la premi`ere classe identifi´ee alors que les nombres pairs puissances impaires de 2 appartiennent `a la seconde, ou bien que les nombres premiers de la forme 4n+3 apparaissent `a une puissance impaire dans les nombres de la premi`ere classe mais on peut difficilement envisager de g´en´eraliser `a partir de quelques nombres par ci, par l`a.
Il y a cependant une phrase de Gauss qui attire particuli`erement notre attention : dans l’article 105, le module est compos´e, produit de premiers ou de puissances de premiers (¸ca pourrait ˆetre n dans notre cas) et Gauss ´ecrit dans le deuxi`eme paragraphe de cet articleque les diff´erentes combinaisons donneront des valeurs diff´erentes, et qu’elles les donneront toutes. Est-ce `a dire qu’on peut toujours trouver un nombre premier satisfaisant les relations“non-r´esidu” qu’on cherche `a satisfaire quel que soit n? On a vu qu’on doit ´etudier si les nombres premiers de valuation p-adique impaire sont r´esidus ou pas des modules premiers inf´erieurs `a la racine du nombre pair consid´er´e. Gauss conseille d’affecter les nombres premiers de la forme 4n+1 du signe + et les nombres premiers de la forme 4n+3 du signe−6et compter s’ils se pr´esentent en nombre pair ou pas. Il faudrait peut-ˆetre mettre en oeuvre un raisonnement combinatoire tel que celui de l’article 148 page 111 pour montrer qu’un tel nombre premier existe toujours, qui fournit une d´ecomposition de Goldbach den. Dans l’article 148 en question, Gauss ´etablit un classement des nombres plus petits quenet premiers `anselon qu’ils sont dans le premier cas non-r´esidus d’aucun diviseur denou bien non-r´esidu d’un nombre pair de diviseurs denet dans le second cas non-r´esidus d’un nombre impair de diviseurs den. Un tel classement serait-il pertinent pour le probl`eme qui nous int´eresse ?
3 “Est r´ esidu quadratique de”, une relation
“presque-sym´ etrique”
3.1 Illustration de la loi de r´ eciprocit´ e quadratique pour les modules premiers
On rappelle que pest r´esidu quadratique deq s’il existe un carr´e auquelpest congru selon le moduleq.
Par exemple, 3 est r´esidu quadratique de 37 et r´eciproquement car 3≡152(mod37) et 37≡12(mod3).
6Gauss les appelle les 4n−1.
Selon un module premier, il y a autant de r´esidus que de non-r´esidus. Deux nombres compl´ementaires `a psont soit tous deux r´esidus ou bien tous deux non-r´esidus lorsque p est un 4n+ 1, soit l’un r´esidu et l’autre non-r´esidu lorsque pest un 4n+ 3.
Illustrons cela dans deux tableaux, l’un pour le module 13 de la forme 4n+ 1, l’autre pour le module 19, de la forme 4n+ 3 : commeqet n−qont mˆeme carr´e selon le module p, on va les mettre dans une mˆeme colonne du tableau (les plus grands dans la premi`ere ligne, les plus petits dans la deuxi`eme). On va indiquer pour m´emoire le r´esidu minimum absolu de leur carr´e selon le module consid´er´e dans la troisi`eme ligne. On va utiliser la couleur bleue pour les r´esidus seulement et constater la relation de sym´etrie ou d’anti-sym´etrie du caract`ere “r´esidu de”qui lie les deux nombres d’une mˆeme colonne.
Selon le module 13, de la forme 4n+ 1 :
13 12 11 10 9 8 7
0 1 2 3 4 5 6
0 1 4 9 3 12 10
Selon le module 19, de la forme 4n+ 3 :
19 18 17 16 15 14 13 12 11 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 4 9 16 6 17 11 7 5
Gauss fournit une application simple de la loi de r´eciprocit´e quadratique aux nombres premiers selon leur forme `a la page 116 des Recherches Arithm´etiques, article 151 : “il s’ensuit que la relation dep`aqest la mˆeme que celle deq `ap, quandpouq est de la forme4n+ 1, et qu’elle est inverse quand petq sont de la forme 4n+ 3”.
Rappelons la table de la relation qui en d´ecoule (c’est la table II des annexes des Recherches Arithm´etiques).
Cette table pr´esente une“presque-sym´etrie” selon sa diagonale. On a not´e par une croix noire la relation lorsqu’elle est sym´etrique (entre deux nombres premiers impairs dont l’un au moins est un 4n+ 1) et par une croix bleue la relation lorsqu’elle est anti-sym´etrique (lorsque les deux nombres premiers impairs sont des 4n+ 3).
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
2 × × × × × × ×
3 × × × × × × ×
5 × × × × × × ×
7 × × × × × × × ×
11 × × × × × × ×
13 × × × × × × ×
17 × × × × × ×
19 × × × × × ×
23 × × × × × × × × ×
29 × × × × × ×
31 × × × × × × × × ×
37 × × × × × × ×
41 × × × × × × ×
43 × × × × × × × ×
47 × × × × × × × × ×
En annexe 5, on illustre par les tables que les sym´etrie ou anti-sym´etrie du caract`ere r´esidu sont bien moins ´evidentes selon les modules impairs mais elles existent.
3.2 Illustrations du th´ eor` eme fondamental dans le cas des modules pairs
7Au tout d´ebut de ces recherches, j’avais la conviction que la section Quatri`eme des Recherches Arithm´etiques fournirait la solution au probl`eme de Goldbach. J’avais ´etudi´e les r´esidus quadratiques mais mon probl`eme
´etait que, pour aller plus vite, je ne consid´erais dans mes tables que les seuls nombres impairs, et je per- dais ainsi des informations pr´ecieuses qui permettent de faire apparaˆıtre une propri´et´e de sym´etrie ou anti-sym´etrie verticale qui va ˆetre pr´esent´ee maintenant.
3.2.1 Nombres pairs doubles de nombres premiers
On va maintenant s’int´eresser aux nombres pairs 2p qui sont doubles de nombres premiers. Bien que v´erifiant trivialement la conjecture, ils vont s’av´erer pr´esenter la propri´et´e qu’on a d´ecouverte, et qui lie le caract`ere r´esidu dex`a celui de x+pparce qu’ils sont tous de la forme 4n+ 28.
On s’int´eresse notamment `a ces nombres car l’´etude des points de la com`ete de Goldbach en f´evrier 2011 nous a montr´e que ces nombres semblent“minimiser” la com`ete (avoir peu de d´ecompositions de Gold- bach comparativement `a tous les autres). On a une explication heuristique de ce ph´enom`ene (ils n’ont pas de diviseurs autres qu’eux-mˆemes et par ce que j’ai appel´e la m´ethode du“pliage de tissu”, leurs colonnes s’´eliminent syst´ematiquement deux par deux au lieu de s’´eliminer une par une comme elles le font dans le cas des diviseurs, ce qui minimisent le nombre de d´ecompositions).
Si le nombre premier est un 4n+ 1, on voit selon 2p une sym´etrie verticale qui fait que x R 2p ⇐⇒
x+p R2p. ;
Si c’est un 4n+ 3, on voit selon 2p une anti-sym´etrie verticale qui fait ´egalement que x R 2p ⇐⇒
x+p R2p.
La diff´erence entre les deux sortes de nombres premiers est que dans un cas, les colonnes (qui contiennent un nombrexet son compl´ementaire `a 2pqui est 2p−x) soit contiennent deux r´esidus, soit contiennent deux non-r´esidus, alors que dans l’autre cas, ces deux cas peuvent se produire mais existent ´egalement des colonnes dans lesquelles l’un des nombres est un r´esidu et l’autre un non-r´esidu.
On omet dor´enavant la ligne des restes des carr´es dans les tables. On la remplace par une ligne de croix qui indique les d´ecompositions de Goldbach (on suit la convention de Cantor qui consiste `a consid´erer que 1 est un d´ecomposant de Goldbach de 2psi 2p−1 est premier).
On constate selon les modules 10,26,34,58,74,82 une sym´etrie verticale qui fait que x R 2p ⇐⇒
x+p R2p.
Selon le module 10, de la forme 2(4n+ 1) :
10 9 8 7 6 5
0 1 2 3 4 5
× ×
Selon le module 26, de la forme 2(4n+ 1) :
26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
× × ×
Selon le module 34, de la forme 2(4n+ 1) :
34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
× × × ×
7Ou encore pour paraphraser le titre de l’article d’Euler“D´ecouverte d’une loi tout extraordinaire des r´esidus/non-r´esidus des modules pairs4n+ 2: x R p ⇐⇒ x+p R2p
8Si 2aest de la forme 2(4n+ 1), 2a= 8n+ 2 = 2(4n) + 2 = 4(2n) + 2 = 4b+ 2 tandis que si 2aest de la forme 2(4n+ 3), 2a= 2(4n+ 3) = 8n+ 6 = 8n+ 4 + 2 = 4(2n) + 4 + 2 = 4(2n+ 1) + 2 = 4b+ 2.
Selon le module 58, de la forme 2(4n+ 1) :
58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
× ×
43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
× ×
Selon le module 74, de la forme 2(4n+ 1) :
74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
× × × ×
55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
× ×
Selon le module 82, de la forme 2(4n+ 1) :
82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
× ×
61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
× × ×
Voyons maintenant les modules doubles de premiers selon lesquels la sym´etrie devient une anti-sym´etrie.
Selon ces modules 6,14,22,38,46,62,86,94, on constate une anti-sym´etrie verticale qui fait que x R2p ⇐⇒ x+p R2p.
Selon le module 6, de la forme 2(4n+ 3) :
6 5 4 3
0 1 2 3
× ×
Selon le module 14, de la forme 2(4n+ 3) :
14 13 12 11 10 9 8 7
0 1 2 3 4 5 6 7
× × ×
Selon le module 22, de la forme 2(4n+ 3) :
22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
× × ×
Selon le module 38, de la forme 2(4n+ 3) :
38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
× × ×
Selon le module 46, de la forme 2(4n+ 3) :
46 45 44 4 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
× × × ×
Selon le module 62, de la forme 2(4n+ 3) :
62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
× ×
46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
× ×
Selon le module 86, de la forme 2(4n+ 3) :
86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
× × × ×
64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
×
Selon le module 94, de la forme 2(4n+ 3) :
94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
× × ×
70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
×
3.2.2 Nombres pairs doubles d’impairs-non premiers
Selon les modules qui sont des nombres pairs doubles d’impairs non-premiers (les 4n+ 2 qui ne sont pas doubles d’un nombre premier impair),x R2p ⇐⇒ x+p R2p.
Selon le module 18 = 2.32, de la forme 2(4n+ 3)2 :
18 17 16 15 14 13 12 11 10 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 4 9 16 7 0 13 10 9
Selon le module 30 = 2p= 2.3.5, de la forme 2(4n+ 3)(4n+ 1) :
30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 1 4 9 16 25 6 19 4 21 13 1 24 19 16 15
Selon le module 30, en ne conservant que les colonnes des nombres premiers `a 30, les relations verticales disparaissent :
29 23 19 17 1 7 11 13
1 19 1 19
Selon le module 42 = 2.3.7, de la forme 2(4n+ 3)(4n0+ 3) :
42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
× × × × ×
Selon le module 50 = 2.52, de la forme 2(4n+ 1)2 :
50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 1 4 9 16 25 36 49 14 31 0 21 44
37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 19 46 25 6 39 24 11 0 41 34 29 26 25
Selon le module 54 = 2.33, de la forme 2(4n+ 3)3 :
54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
× × × ×
40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
× ×
Selon le module 66 = 2.3.11, de la forme 2(4n+ 3)(4n0+ 3) :
66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
× × ×
49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
× × ×
Selon le module 70 = 2.5.7, de la forme 2(4n+ 1)(4n0+ 3) :
70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
× × ×
52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
× ×
Selon le module 78 = 2.3.13, de la forme 2(4n+ 3)(4n0+ 1) :
78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
× × × × ×
58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
× ×
Selon le module 90 = 2.32.5, de la forme 2(4n+ 3)2(4n0+ 1) :
90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
× × × × ×
67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
× × × × ×
Selon le module 98 = 2.72, de la forme 2(4n+ 3)2 :
98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
× ×
73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
× ×
Il semblerait que si la factorisation denne contient aucun nombre premier impair de la forme 4n+ 3, on constate une sym´etrie verticale qui fait que
x R2p ⇐⇒ x+p R2p.
Tandis que si la factorisation den contient un nombre premier de la forme 4n+ 3 au moins, on constate une anti-sym´etrie verticale qui fait ´egalement que
x R2p ⇐⇒ x+p R2p.
.
Cette propri´et´e d´ecoule vraisemblablement de la loi de r´eciprocit´e quadratique.
3.2.3 Nombres pairs doubles de pairs
Pour les nombres pairs doubles de pairs, on ne constate pas de sym´etrie ou d’anti-sym´etrie verticale par rapport `a la ligne m´ediane du tableau symbolis´ee par deux doubles barres verticales autour de la colonne m´ediane. On essaiera cependant de comprendre les relations existant entre les caract`eres r´esidu/non- r´esidu de 2pdexetx+p.
Selon le module 8, de la forme 23 :
8 7 6 5 4
0 1 2 3 4
× ×
Selon le module 12 = 22.3, de la forme 4(4n+ 3) :
12 11 10 9 8 7 6
0 1 2 3 4 5 6
× ×
Selon le module 16, de la forme 24 :
16 15 14 13 12 11 10 9 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
× ×
Selon le module 20 = 22.5, de la forme 4(4n+ 1) :
20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
× × ×
Selon le module 24 = 23.3, de la forme 23(4n+ 3) :
24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
× × × ×
Selon le module 28 = 22.7, de la forme 4(4n+ 3) :
28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
× ×
Selon le module 32, de la forme 25 :
32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
× × ×
Selon le module 36 = 22.32, de la forme 4(4n+ 3)2:
36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 2 20 19 18
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
× × × ×
Selon le module 40 = 24.5, de la forme 24(4n+ 1) :
40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
× × ×
Selon le module 44 = 22.11, de la forme 4(4n+ 3) :
44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
× × × ×
Selon le module 48 = 24.3, de la forme 24(4n+ 3) :
48 47 46 45 44 4 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
× × × × ×
Selon le module 52 = 22.13, de la forme 4(4n+ 1) :
52 51 50 49 48 47 46 45 44 4 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
× × ×
Selon le module 56 = 23.7, de la forme 23(4n+ 3) :
56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
× ×
41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
×
Selon le module 60 = 22.3.5, de la forme 4(4n+ 3)(4n0+ 1) :
60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
× × ×
44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
× × × ×
Selon le module 64, de la forme 26 :
64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
× × ×
47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
× ×
Selon le module 68 = 22.17, de la forme 4(4n+ 1) :
68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
× ×
50 49 48 47 46 45 44 4 42 41 40 39 38 37 36 35 34 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
×
Selon le module 72 = 23.32, de la forme 23(4n+ 3)2 :
72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18
× × × ×
53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
× × ×
Selon le module 76 = 22.19, de la forme 4(4n+ 3) :
76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19
× × ×
56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
× ×
Selon le module 80 = 24.5, de la forme 24(4n+ 1) :
80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 20
× × × ×
59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 2 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
×
Selon le module 84 = 22.3.7, de la forme 4(4n+ 3)(4n0+ 3) :
84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 20 21
× × × × ×
62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
× × × ×
Selon le module 88 = 23.11, de la forme 23(4n+ 3) :
88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
× ×
65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
× ×
Selon le module 92 = 22.23, de la forme 4(4n+ 3) :
92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 22 23
× × ×
68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
×
Selon le module 96 = 25.3, de la forme 25(4n+ 3) :
96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 22 23 24
× × × ×
71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
× × ×
Selon le module 100 = 22.52, de la forme 4(4n+ 1)2 :
100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
× × ×
74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
× × ×
3.3 Progressions arithm´ etiques
Gauss fait mention de nombres appartenant `a des progressions arithm´etiques dans les articles 104, 147, 148 et 149 de la section Quatri`eme des Recherches Arithm´etiques.
Voyons si les cas ´etudi´es permettent d’obtenir des g´en´eralisations.
La premi`ere cat´egorie, pour laquelle un non-r´esidu du plus petit non-r´esidu denfournit syst´ematiquement une d´ecomposition de Goldbach, les nombres sont 16,24,28,40,52,54,64,70,100 : `a part 3 d’entre eux, (24, 54 et 70), ils sont tous de la forme 12k+ 4. Cette notion denon-r´esidu d’un non-r´esiduest cependant probl´ematique car la relationr´esidu ou la relation non-r´esidu ne sont pas transitives.
Dans la deuxi`eme cat´egorie, pour lesquels on trouve toujours un non-r´esidu de tous les diviseurs impairs denfournissant une d´ecomposition de Goldbach, ils sont tous des formes suivantes : 12k, 12k+ 2, 12k+ 6, 12k+ 8 ou 12k+ 10.
Mais en unifiant les deux cat´egories en une, dans la mesure o`u l’on peut toujours pour les nombres de la premi`ere cat´egorie trouver un d´ecomposant de Goldbach qui soit non-r´esidu de tous les diviseurs den, il semblerait qu’on puisse pour tous les nombres pairsntrouver un nombre premier non-r´esidu de tous les diviseurs impairs denqui fournit une d´ecomposition de Godlbach de n.
Essayons sur un nombre plus grand : 1182666 = 2.3.439.449. Le nombre premier 157 est non-r´esidu `a la fois de 3, 49 et 449 et il fournit une d´ecomposition de Goldbach de 1182666.
4 Rˆ eves d’un prince
On peut trouver sur la toile le journal math´ematique de Gauss. On y lit que Gauss a ´etudi´e la conjecture de Goldbach le 14 mai 1796. On peut imaginer que les deux premi`eres lettres myst´erieuses du mot GEGAN qui apparaˆıt dans la citation “Vicimus GEGAN” du 11 octobre 1796 sont les initiales respectives de Goldbach et Euler...
Annexe 1 : R´ esidus quadratiques des nombres inf´ erieurs ` a 100
2 : 1
3 : 1
4 : 1
5 : 1 4
6 : 1 3 4 7 : 1 2 4
8 : 1 4
9 : 1 4 7 10 : 1 4 5 6 9 11 : 1 3 4 5 9 12 : 1 4 9
13 : 1 3 4 9 10 12 14 : 1 2 4 7 8 9 11 15 : 1 4 6 9 10 16 : 1 4 9
17 : 1 2 4 8 9 13 15 16 18 : 1 4 7 9 10 13 16 19 : 1 4 5 6 7 9 11 16 17 20 : 1 4 5 9 16
21 : 1 4 7 9 15 16 18
22 : 1 3 4 5 9 11 12 14 15 16 20 23 : 1 2 3 4 6 8 9 12 13 16 18 24 : 1 4 9 12 16
25 : 1 4 6 9 11 14 16 19 21 24
26 : 1 3 4 9 10 12 13 14 16 17 22 23 25 27 : 1 4 7 9 10 13 16 19 22 25
28 : 1 4 8 9 16 21 25
29 : 1 4 5 6 7 9 13 16 20 22 23 24 25 28 30 : 1 4 6 9 10 15 16 19 21 24 25
31 : 1 2 4 5 7 8 9 10 14 16 18 19 20 25 28 32 : 1 4 9 16 17 25
33 : 1 3 4 9 12 15 16 22 25 27 31
34 : 1 2 4 8 9 13 15 16 17 18 19 21 25 26 30 32 33 35 : 1 4 9 11 14 15 16 21 25 29 30
36 : 1 4 9 13 16 25 28
37 : 1 3 4 7 9 10 11 12 16 21 25 26 27 28 30 33 34 36 38 : 1 4 5 6 7 9 11 16 17 19 20 23 24 25 26 28 30 35 36 39 : 1 3 4 9 10 12 13 16 22 25 27 30 36
40 : 1 4 9 16 20 24 25 36
41 : 1 2 4 5 8 9 10 16 18 20 21 23 25 31 32 33 36 37 39 40 42 : 1 4 7 9 15 16 18 21 22 25 28 30 36 37 39
43 : 1 4 6 9 10 11 13 14 15 16 17 21 23 24 25 31 35 36 38 40 41 44 : 1 4 5 9 12 16 20 25 33 36 37
45 : 1 4 9 10 16 19 25 31 34 36 40
46 : 1 2 3 4 6 8 9 12 13 16 18 23 24 25 26 27 29 31 32 35 36 39 41 47 : 1 2 3 4 6 7 8 9 12 14 16 17 18 21 24 25 27 28 32 34 36 37 42 48 : 1 4 9 16 25 33 36
49 : 1 2 4 8 9 11 15 16 18 22 23 25 29 30 32 36 37 39 43 44 46 50 : 1 4 6 9 11 14 16 19 21 24 25 26 29 31 34 36 39 41 44 46 49 51 : 1 4 9 13 15 16 18 19 21 25 30 33 34 36 42 43 49
52 : 1 4 9 12 13 16 17 25 29 36 40 48 49
53 : 1 4 6 7 9 10 11 13 15 16 17 24 25 28 29 36 37 38 40 42 43 44 46 47 49 52 54 : 1 4 7 9 10 13 16 19 22 25 27 28 31 34 36 37 40 43 46 49 52
55 : 1 4 5 9 11 14 15 16 20 25 26 31 34 36 44 45 49 56 : 1 4 8 9 16 25 28 32 36 44 49
57 : 1 4 6 7 9 16 19 24 25 28 30 36 39 42 43 45 49 54 55
58 : 1 4 5 6 7 9 13 16 20 22 23 24 25 28 29 30 33 34 35 36 38 42 45 49 51 52 53 54 57
59 : 1 3 4 5 7 9 12 15 16 17 19 20 21 22 25 26 27 28 29 35 36 41 45 46 48 49 51 54 53 57
60 : 1 4 9 16 21 24 25 36 40 45 49
61 : 1 3 4 5 9 12 13 14 15 16 19 20 22 25 27 34 36 39 41 42 45 46 47 48 49 52 54 56 57 58 60
62 : 1 2 4 5 7 8 9 10 14 16 18 19 20 25 28 31 32 33 35 36 38 39 40 41 45 47 49 54 50 51 56 59
63 : 1 4 7 9 16 18 22 25 28 36 37 43 46 49 58 64 : 1 4 9 16 17 25 33 36 41 49 57
65 : 1 4 9 10 14 16 25 26 29 30 35 36 39 40 49 51 55 56 61 64
66 : 1 3 4 9 12 15 16 22 25 27 31 33 34 36 37 42 45 48 49 55 58 60 64
67 : 1 4 6 9 10 14 15 16 17 19 21 22 23 24 25 26 29 33 35 36 37 39 40 47 49 54 55 56 59 60 62 64 65
68 : 1 4 8 9 13 16 17 21 25 32 33 36 49 52 53 60 64
69 : 1 3 4 6 9 12 13 16 18 24 25 27 31 36 39 46 48 49 52 54 55 58 64 70 : 1 4 9 11 14 15 16 21 25 29 30 35 36 39 44 46 49 50 51 56 60 64 65
71 : 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 16 18 19 20 24 25 27 29 30 32 36 37 38 40 43 45 48 49 50 54 57 58 60 64
72 : 1 4 9 16 25 28 36 40 49 52 64
73 : 1 2 3 4 6 8 9 12 16 18 19 23 24 25 27 32 35 36 37 38 41 46 48 49 50 54 55 57 61 64 65 67 69 70 71 72
74 : 1 3 4 7 9 10 11 12 16 21 25 26 27 28 30 33 34 36 37 38 40 41 44 46 47 48 49 53 58 62 63 64 65 67 70 71 73
75 : 1 4 6 9 16 19 21 24 25 31 34 36 39 46 49 51 54 61 64 66 69 76 : 1 4 5 9 16 17 20 24 25 28 36 44 45 49 57 61 64 68 73
77 : 1 4 9 11 14 15 16 22 23 25 36 37 42 44 49 53 56 58 60 64 67 70 71 78 : 1 3 4 9 10 12 13 16 22 25 27 30 36 39 40 42 43 48 49 51 52 55 61 64 66
69 75
79 : 1 2 4 5 8 9 10 11 13 16 18 19 20 21 22 23 25 26 31 32 36 38 40 42 44 45 46 49 50 51 52 55 62 64 65 67 72 73 76
80 : 1 4 9 16 20 25 36 41 49 64 65
81 : 1 4 7 9 10 13 16 19 22 25 28 31 34 36 37 40 43 46 49 52 55 58 61 63 64 67 70 73 76 79
82 : 1 2 4 5 8 9 10 16 18 20 21 23 25 31 32 33 36 37 39 40 41 42 43 45 46 49 50 51 57 59 61 62 64 66 72 73 74 77 78 80 81
83 : 1 3 4 7 9 10 11 12 16 17 21 23 25 26 27 28 29 30 31 33 36 37 38 40 41 44 48 49 51 59 61 63 64 65 68 69 70 75 77 78 81
84 : 1 4 9 16 21 25 28 36 37 49 57 60 64 72 81
85 : 1 4 9 15 16 19 21 25 26 30 34 35 36 49 50 51 55 59 60 64 66 69 70 76 81 84 86 : 1 4 6 9 10 11 13 14 15 16 17 21 23 24 25 31 35 36 38 40 41 43 44 47 49 52
53 54 56 57 58 59 60 64 66 67 68 74 78 79 81 83 84
87 : 1 4 6 7 9 13 16 22 24 25 28 30 33 34 36 42 45 49 51 52 54 57 58 63 64 67 78 81 82
88 : 1 4 9 12 16 20 25 33 36 44 48 49 56 60 64 80 81
89 : 1 2 4 5 8 9 10 11 16 17 18 20 21 22 25 32 34 36 39 40 42 44 45 47 49 50 53 55 57 64 67 68 69 71 72 73 78 79 80 81 84 85 87 88
90 : 1 4 9 10 16 19 25 31 34 36 40 45 46 49 54 55 61 64 70 76 79 81 85 91 : 1 4 9 14 16 22 23 25 29 30 35 36 39 42 43 49 51 53 56 64 65 74 77 78 79
81 88
92 : 1 4 8 9 12 13 16 24 25 29 32 36 41 48 49 52 64 69 72 73 77 81 85
93 : 1 4 7 9 10 16 18 19 25 28 31 33 36 39 40 45 49 51 63 64 66 67 69 70 72 76 78 81 82 87 90
94 : 1 2 3 4 6 7 8 9 12 14 16 17 18 21 24 25 27 28 32 34 36 37 42 47 48 49 50 51 53 54 55 56 59 61 63 64 65 68 71 72 74 75 79 81 83 84 89
95 : 1 4 5 6 9 11 16 19 20 24 25 26 30 35 36 39 44 45 49 54 55 61 64 66 74 76 80 81 85
96 : 1 4 9 16 25 33 36 48 49 57 64 73 81
97 : 1 2 3 4 6 8 9 11 12 16 18 22 24 25 27 31 32 33 35 36 43 44 47 48 49 50 53 54 61 62 64 65 66 70 72 73 75 79 81 85 86 88 89 91 93 94 95 96 98 : 1 2 4 8 9 11 15 16 18 22 23 25 29 30 32 36 37 39 43 44 46 49 50 51 53
Annexe 2 : Extraits de la section Quatri` eme “Des Congruences du second degr´ e” des Recherches Arithm´ etiques
On ne fait ici que recopier des extraits de la section Quatri`eme des Recherches Arithm´etiques qu’il faudrait bien maˆıtriser pour pouvoir d´emontrer que l’existence d’un d´ecomposant de Goldbach pour chaque nombre pair d´ecoule de l’existence d’au moins une solution pour un certain syst`eme de congruences (ou incongru- ences, c’est quasiment l’oppos´e) quadratiques, cette derni`ere existence d´ecoulant quant `a elle du th´eor`eme d’or appliqu´e aux nombres ad´equats. Les articles les plus difficiles, mais peut-ˆetre les plus utiles pour notre probl`eme sontles articles 104 et105 puis 147,148 et149.
page 69, article 94: Th´eor`eme. Un nombre quelconquem´etant pris pour module, il ne peut y avoir dans la suite 1,2,3. . . m−1, plus de 12m+ 1 nombres, quandmest pair, et plus de 12m+12, quandmest impair, qui soient congrus `a un carr´e.
page 70, article 96: Le nombre premierp´etant pris pour module, la moiti´e des nombres 1,2,3. . . p−1, sera compos´ee de r´esidus quadratiques, et l’autre moiti´e de non-r´esidus, c’est-`a-dire qu’il y aura 1
2(p−1) r´esidus, et autant de non-r´esidus.
page 72, article 98: Th´eor`eme. Le produit de deux r´esidus quadratiques d’un nombre premier pest un r´esidu ; le produit d’un r´esidu et d’un non-r´esidu est non-r´esidu ; enfin le produit de deux non-r´esidus est r´esidu.
1◦. Soient A et B les r´esidus qui proviennent des carr´esa2, b2, ou soientA ≡a2 (mod p) etB ≡b2, on auraAB≡a2b2, c’est-`a-dire qu’il sera un r´esidu.
2◦. Quand Aest r´esidu, ou que A≡a2, mais queB est non-r´esidu, ABest non-r´esidu. Soit en effet, s’il se peutAB≡k2 et ka (mod p)≡b, on auraa2B≡a2b2 et partantB≡b2, contre l’hypoth`ese.
Autrement. Si l’on multiplie par A les p−12 nombres de la suite 1,2,3. . . p−1, qui sont r´esidus, tous les produits seront des r´esidus quadratiques, et ils seront tous incongrus. Or si l’on multiplie parAun nombre Bnon-r´esidu, le produit ne sera congru `a aucun des pr´ec´edents : donc, s’il ´etait r´esidu, il y aurait 12(p+ 1) r´esidus incongrus, parmi lesquels ne serait pas 0, ce qui est impossible (no96).
3◦. SoientAetB deux nombres non-r´esidus, en multipliant parAtous les nombres qui sont r´esidus dans la suite 1,2,3, . . . p−1, on aura p−12 non-r´esidus, incongrus entr’eux (2◦). Or le produitABne peut ˆetre congru `a aucun de ceux-l`a ; donc s’il ´etait non-r´esidu, on aurait p+12 non-r´esidus incongrus entr’eux ; ce qui est impossible (no96).
Ces th´eor`emes se d´eduisent encore plus facilement des principes de la section pr´ec´edente. En effet, puisque l’indice d’un r´esidu est toujours pair, et celui d’un non-r´esidu toujours impair, l’indice du produit de deux r´esidus ou non-r´esidus sera pair, et partant, le produit sera lui-mˆeme un r´esidu. Au contraire, si l’un des facteurs est non-r´esidu, et l’autre r´esidu, l’indice sera impair, et le produit non-r´esidu.
On peut aussi faire usage des deux m´ethodes pour d´emontrer ce th´eor`eme9 : la valeur de l’expression
a
b (mod p), sera un r´esidu, quand les nombres a et b seront tous les deux r´esidus ou non-r´esidus. Elle sera un non-r´esidu, quand l’un des nombres aet b sera r´esidu et l’autre non-r´esidu. On le d´emontrerait encore en renversant les th´eor`emes pr´ec´edents.
page 73, article 99: G´en´eralement, le produit de tant de facteurs qu’on voudra est un r´esidu, soit lorsque tous les facteurs en sont eux-mˆemes, soit lorsque le nombre de facteurs non-r´esidus est pair ; mais quand le nombre des facteurs non-r´esidus est impair, le produit est non-r´esidu. On peut donc juger facilement si un nombre compos´e est r´esidu ou non ; pourvu qu’on sache ce que sont ses diff´erents facteurs. Aussi dans la Table II, nous n’avons admis que les nombres premiers. Quant `a sa disposition, les modules sont en marge10, en tˆete les nombres premiers successifs ; quand l’un de ces derniers est r´esidu, on a plac´e un trait dans l’espace qui correspond au module et `a ce nombre ; quand il est non-r´esidu, on a laiss´e l’espace vide.
page 73, article 100: Si l’on prend pour module la puissancepn d’un nombre premier,p´etant> 2, une moiti´e des nombres non-divisibles parpet< pnseront des r´esidus, et l’autre des non-r´esidus ; c’est-`a-dire
9Ici, je mets les petites capitales `a ce mot bien qu’elles ne soient pas pr´esentes dans les Recherches Arithm´etiques dans la mesure o`u la d´emonstration de ce th´eor`eme n’est pas fournie.
10On verra bientˆot comment on peut se passer des modules compos´es.
qu’il y en aura p−1
2 .pn−1de chaque esp`ece.
En effet, sir est un r´esidu, il sera congru `a un carr´e dont la racine ne surpasse pas la moiti´e du module (no94) ; et l’on voit facilement qu’il y a 1
2pn−1(p−1) nombres<p2n et non-divisibles parp. Ainsi il reste
`
a d´emontrer que les carr´es de tous ces nombres sont incongrus, ou qu’ils donnent des r´esidus diff´erents.
Or si deux nombresaetbnon-divisibles parpet plus petits que la moiti´e du module, avaient leurs carr´es congrus, on auraita2−b2 ou (a+b)(a−b) divisible parpn, en supposanta > b, ce qui est permis. Mais cette condition ne peut avoir lieu, `a moins que l’un des deux nombres (a−b), (a+b) ne soit divisible par pn, ce qui est impossible, puisque chacun d’eux est plus petit quepn, ou bien que l’un ´etant divisible par pµ, l’autre le soit parpν−µou chacun d’eux parp; ce qui est encore impossible, puisqu’il s’ensuivrait que la somme 2aet la diff´erence 2b, et partantaet beux-mˆemes seraient divisibles parp, contre l’hypoth`ese.
Donc enfin parmi les nombres non-divisibles parpet moindres que le module, il y a p−1
2 pn−1r´esidus, et les autres, en mˆeme nombre, sont non-r´esidus.
page 74, article 101 : Tout nombre non-divisible parp, qui est r´esidu de p, sera aussi r´esidu de pn ; celui qui ne sera pas r´esidu de pne le sera pas non plus depn.
La seconde partie de cette proposition est ´evidente par elle-mˆeme ; ainsi si la premi`ere n’´etait pas vraie, parmi les nombres plus petits que pn et non-divisibles parp, il y en aurait plus qui fussent r´esidus dep qu’il n’y en aurait qui le fussent de pn, c’est-`a-dire plus de 1
2pn−1(p−1). Mais on peut voir sans peine que le nombre des r´esidus depqui se trouvent entre 1 etpn, est pr´ecis´ement 1
2pn−1(p−1).
Il est tout aussi facile de trouver effectivement un carr´e qui soit congru `a un r´esidu donn´e, suivant le modulepn, si l’on connaˆıt un carr´e congru `a ce r´esidu suivant le module p.
Soit en effeta2un carr´e congru au r´esidu donn´eA, suivant le modulepµ, on en d´eduira, de la mani`ere suiv- ante, un carr´e≡A, suivant le modulepν,ν ´etant> µet non plus grand que 2µ. Supposons que la racine du carr´e cherch´e soit ±a+xpµ ; et il est ais´e de s’assurer que c’est l`a la forme qu’elle doit avoir. Il faut donc qu’on aita2±2axpµ+x2p2µ≡A(mod pν), ou comme 2µ > ν, on aura ±2axpµ≡A−a2(mod pν).
SoitA−a2=pµ.d, on aura±2ax≡d(mod pν−µ) ; doncxsera la valeur de l’expression±2ad (mod pν−µ).
Ainsi ´etant donn´e un carr´e congru `aA, suivant le module p, on en d´eduira un carr´e congru `aA, suivant le modulep2 ; de l`a au modulep4, au modulep8, etc.
Exemple. Etant propos´e le r´esidu 6 congru au carr´e 1, suivant le module 5, on trouve le carr´e 92 auquel il est congru suivant le module 25, 162auquel il est congru suivant le module 125, etc.
page 75, article 102 : Quant `a ce qui regarde les nombres divisibles parp, il est clair que leurs carr´es seront divisibles parp2, et que partant tous les nombres qui seront divisibles parpet non parp2, seront non-r´esidus de pn. Et en g´en´eral, si l’on propose le nombre pkA,A n’´etant pas divisible parp, il y aura trois cas `a distinguer :
1◦. Si k≥n, on aurapkA≡0 (mod pn), c’est-`a-dire qu’il sera r´esidu.
2◦. Si k < net impair,pkAsera non-r´esidu.
3◦. Si k < net pair,pkAsera r´esidu ou non-r´esidu depn suivant queAsera r´esidu ou non-r´esidu dep.
page 76, article 103 : Comme nous avons commenc´e (no 100) par exclure le cas o`u p = 2, il faut ajouter quelque chose `a ce sujet. Quand 2 est module, tous les nombres sont r´esidus, et il n’y en a point de non-r´esidus. Quand le module est 4, tous les nombres impairs de la forme 4k+ 1 sont r´esidus, et tous ceux de la forme 4k+ 3 sont non-r´esidus. Enfin, quand le module est 8 ou une plus haute puissance de 2, tous les nombres impairs de la forme 8k+ 1 sont r´esidus, et les autres, ou ceux de la forme 8k+ 3, 8k+ 5, 8k+ 7 sont non-r´esidus ;
page 77, article 104 : Pour ce qui regarde le nombre de valeurs diff´erentes, c’est-`a-dire incongrues suivant le module, que peut admettre l’expressionV =√
A(mod pn), pourvu queAsoit un r´esidu depn, on d´eduit facilement de ce qui pr´ec`ede, les conclusions suivantes. Nous supposons toujours quepest un nombre premier et, pour abr´eger, nous consid´erons en mˆeme temps le cas o`un= 1.
1o. SiAn’est pas divisible parp,V n’a qu’une seule valeur pour p= 2 etn= 1 ; ce seraV ≡1 ; il en a deux quandpest impair, ou bien quand on ap= 2 etn= 2 ; et, si l’une est ≡ν, l’autre sera≡ −ν ; il en a quatre pourp= 2 etn >2 ; et si l’une est≡ν, les autres seront≡ν+ 2n−1,−ν+ 2n−1,−ν. 2o. Si A est divisible par p, mais non par pn, soit p2µ la plus haute puissance de p qui divise A, car
cette puissance doit ˆetre paire (no 102), et A = ap2µ ; il est clair que toutes les valeurs de V doivent ˆetre divisibles parpµ, et que tous les quotients donn´es par ces divisions seront les valeurs de l’expression V0 =√
a (mod pn−2µ) ; on aura donc toutes les valeurs diff´erentes de V, en multipliant par pµ, toutes celles deV0 contenues entre 0 etpn−µ. Elles seront, par cons´equent,
νpµ, νpµ+pn−µ, νpµ+ 2pn−µ, . . . νpµ+ (pµ−1)pn−µ,
ν ´etant une valeur quelconque deV : suivant donc queV0 aura 1, ou 2, ou11 valeurs,V en aura pµ, ou 2pµ ou 4pµ (1o).
3o. Si Aest divisible par pn, on voit facilement, en posantn= 2m ou = 2m−1, suivant quenest pair ou impair, que tous les nombres divisibles par pm sont des valeurs deV, et qu’il n’y en a pas d’autres ; mais les nombres divisibles parpmsont 0, pm,2pm. . .(pn−m−1)pm, dont le nombre est pn−m.
page 78, article 105 : Il reste `a examiner le cas o`u le module m est compos´e de plusieurs modules premiers. Soitm=abc etc.,a,b,c,etc.´etant des nombres premiers diff´erents. Il est clair d’abord que sin est r´esidu dem, il le sera aussi des diff´erents nombres,a,b,c,etc., et que partant il sera non-r´esidu dem, s’il est non-r´esidu de quelqu’un de ces nombres. R´eciproquement, sinest r´esidu des diff´erents nombresa, b, c, etc., il le sera de leur produitm; en effet, si l’on a n≡A2, B2, C2, etc., suivant les modulesa,b, c, etc., respectivement (no 32), on auran≡N2, suivant tous ces modules, et cons´equemment suivant leur produit.
Comme on voit facilement que la valeur deN r´esulte de la combinaison d’une valeur quelconque deA, ou de l’expression√
n(mod a), avec une valeur quelconque deB, avec une valeur quelconque deC,etc, que les diff´erentes combinaisons donneront des valeurs diff´erentes, et qu’elles les donneront toutes ; le nombre des valeurs de N sera ´egal au produit des nombres de valeurs de A, B, C, etc. que nous avons appris `a d´eterminer dans l’article pr´ec´edent.
page 78, article 106 : On voit par ce qui pr´ec`ede, qu’il suffit de reconnaˆıtre si un nombre donn´e est r´esidu ou non-r´esidu d’un nombre premier donn´e, et que tous les cas reviennent `a celui-l`a.
Un nombre quelconque A, non divisible par un nombre premier 2m+ 1, est r´esidu ou non-r´esidu de ce nombre premier suivant queAm≡+1ou≡ −1 (mod2m+ 1).
page 80, article 109 : en effet, il est ´evident que si rest un r´esidu, 1
r (mod p) en sera un aussi.
(Lesarticles108`a124des pages79`a91 traitent des cas particuliers 1,−1, 2,−2, 3,−3, 5,−5, 7 et−7.) page 81, article 111 : Si doncrest r´esidu d’un nombre premier de la forme 4n+ 1, −r le sera aussi, et tous les non-r´esidus seront encore non-r´esidus en changeant les signes12. Le contraire arrive pour les nombres premiers de la forme 4n+ 3, dont les r´esidus deviennent non-r´esidus, et r´eciproquement quand on change le signe (no98).
Au reste on d´eduit facilement de ce qui pr´ec`ede cette r`egle g´en´erale : −1 est r´esidu de tous les nombres qui ne sont divisibles ni par 4, ni par aucun nombre de la forme 4n+ 3. Il est non-r´esidu de tous les autres.(Nos103et105).
page 81, article 112: Passons maintenant aux r´esidus +2 et−2.
Si dans la table II on prend tous les nombres premiers dont le module est +2, on trouvera 7,17,23,31,41,47, 71,73,79,89,97. Or on remarque facilement qu’aucun d’eux n’est de la forme 8n+ 3 ou 8n+ 5.
Voyons donc si cette induction peut devenir une certitude.
Observons d’abord que tout nombre compos´e de la forme 8n+ 3 ou 8n+ 5 renferme n´ecessairement un facteur premier de l’une ou l’autre forme ; en effet les nombres premiers de la forme 8n+ 1 et 8n+ 7 ne peuvent former que des nombres de la forme 8n+ 1 ou 8n+ 7. Si donc notre induction est g´en´eralement vraie, il n’y aura aucun nombre de la forme 8n+ 3, 8n+ 5, dont le r´esidu soit +2. Or il est bien certain qu’il n’existe aucun nombre de cette forme et au-dessous de 100, dont le r´esidu soit +2 ; mais s’il y en avait au-dessus de cette limite, supposons que t soit le plus petit de tous ;t sera de la forme 8n+ 3 ou 8n+ 5, et +2 sera son r´esidu ; mais il sera non-r´esidu de tous les nombres semblables plus petits. Soit a2≡2 (mod t), on pourra toujours prendreaimpair et< t, caraa au moins deux valeurs positives plus
11ici, je crois qu’il manque un mot, le chiffre 4 ?
12Ainsi quand nous parlerons d’un nombre, en tant qu’il sera r´esidu ou non-r´esidu d’un nombre de la forme 4n+ 1, nous pouvons ne faire aucune attention `a son signe, ou lui donner le signe±.
petites quet, dont la somme =t, et dont par cons´equent l’une est paire et l’autre impaire (Nos104, 105).
Cela pos´e, soita2= 2 +utouut=a2−2,a2 sera de la forme 8n+ 1, et par-cons´equentutde la forme 8n−1 ; doncusera de la forme 8n+ 3 ou 8n+ 5 suivant quetsera de la forme 8n+ 5 ou 8n+ 3 ; mais de l’´equationa2= 2 +tu, on tire la congruencea2≡2(mod u), c’est-`a-dire que +2 serait aussi r´esidu de u.
Il est ais´e de voir qu’on au < t; il s’ensuivrait quetne serait pas le plus petit nombre qui eˆut +2 pour r´esidu, ce qui est contre l’hypoth`ese ; d’o`u suit enfin une d´emonstration rigoureuse de cette proposition que nous avions d´eduite de l’induction.
En combinant cette proposition avec celles duno111, on en d´eduit les th´eor`emes suivants : I. +2 est non-r´esidu, et−2 est r´esidu de tous les nombres premiers de la forme 8n+ 3.
II. +2 et−2 sont non-r´esidus de tous les nombres premiers de la forme 8n+ 5.
page 82, article 113: Par une semblable induction on tirera de la Table II, pour les nombres premiers dont le r´esidu est −2, ceux-ci : 3,11,17,19,41,43,59,67,73,83,89,9713. Parmi ces nombres il ne s’en trouve aucun de la forme 8n+ 5 ou 8n+ 7 ; cherchons donc si de cette induction nous pouvons tirer un th´eor`eme g´en´eral. On fera voir de la mˆeme mani`ere que dans l’article pr´ec´edent, qu’un nombre compos´e de la forme 8n+ 5 ou 8n+ 7, doit renfermer un facteur premier de la forme 8n+ 5 ou de la forme 8n+ 7 ; de sorte que si notre induction est g´en´eralement vraie,−2 ne peut ˆetre r´esidu d’aucun nombre de la forme 8n+ 5 ou 8n+ 7 ; or s’il peut y en avoir de tels, soittle plus petit de tous, et qu’on ait−2 =a2−tu. Si l’on prend, comme plus haut,aimpair et < t, usera de la forme 8n+ 5 ou 8n+ 7 suivant quetsera de la forme 8n+ 7 ou 8n+ 5 ; mais de ce qu’on aa < tetut=a2+ 2, il est facile de d´eduire queuest< t; et comme−2 serait aussi r´esidu deu, il s’ensuivrait quetne serait pas le plus petit nombre dont−2 est le r´esidu, ce qui est contre l’hypoth`ese. Donc −2 sera n´ecessairement non-r´esidu de tous les nombres de la forme 8n+ 5 ou 8n+ 7.
En combinant cette proposition avec celles duno111, on en d´eduit les th´eor`emes suivants :
I.−2 et +2 sont non-r´esidus de tous les nombres premiers de la forme 8n+ 5 ; comme nous l’avons d´ej`a trouv´e.
II.−2 est non-r´esidu et +2 r´esidu de tous les nombres premiers de la forme 8n+ 7.
Au reste, nous aurions pu prendreapair dans les deux d´emonstrations ; mais alors il eˆut fallu distinguer le cas o`uaest de la forme 4n+ 2, de celui o`u il est de la forme 4n ; d’ailleurs la marche est absolument la mˆeme et n’est sujette `a aucune difficult´e.
page 83, article 114: Il nous reste encore `a traiter le cas o`u le nombre premier est de la forme 8n+ 1 ; mais il ´echappe `a la m´ethode pr´ec´edente et demande des artifices tout-`a-fait particuliers.
Soit, pour le module premier 8n+1, une racine primitive quelconquea, on aura (no62)a4n≡ −1 (mod8n+
1) ; cette congruence peut se mettre sous la forme (a2n+ 1)2≡2a2n(mod8n+ 1), ou (a2n−1)2≡ −2a2n
; d’o`u il suit que 2a2n et−2a2n sont r´esidus de 8n+ 1 ; mais commea2n est un carr´e non-divisible par le module, +2 et−2 seront aussi r´esidus (no98).
page 84, article 116: Au reste on tire facilement de ce qui pr´ec`ede la r`egle g´en´erale suivante : +2 est r´esidu de tout nombre qui n’est divisible ni par 4 ni par aucun nombre premier de la forme 8n+ 3 ou 8n+ 5, et non-r´esidu de tous les autres, par exemple, de tous ceux de la forme 8n+ 3, 8n+ 5, tant premiers que compos´es.
page 91, article 125: Tout nombre premier de la forme 4n+ 1 soit positif, soit n´egatif, est non-r´esidu de quelques nombres premiers, et mˆeme de nombres premiers plus petits que lui (il est ´evident qu’il faut
´eviter +1).
page 95, article 129: Th´eor`eme. Siaest un nombre premier de la forme 8n+1, il y aura n´ecessairement au-dessous de 2√
aun nombre premier dontaest non-r´esidu.
page 95, article 130: Maintenant que nous avons d´emontr´e que tout nombre premier de la forme 4n+ 1 positif ou n´egatif, est toujours non-r´esidu d’un nombre premier au moins plus petit que lui...
page 98, au milieu du article 132 : mais, avant tout, il faut observer que tout nombre de la forme 4n+ 1 ne renfermera aucun facteur de la forme 4n+ 3, ou en renfermera un nombre pair parmi lesquels
13En consid´erant−2 comme le produit de +2 par−1 ; voyezno111.
