Ecole Polytechnique F´ed´erale de Lausanne ´ Alg`ebre lin´eaire 2005–2006
Professeur K. Hess Bellwald le 16 d´ecembre 2005
Dur´ee : 2 heures
NOM : PR´ENOM : SECTION :
QUESTION VALEUR POINTS
1 /10
2 /25
3 /30
4 /35
TOTAL /100
NOTE /6
[10 pts] 1. SoitV un espace vectoriel de dimension finie. Supposons que U est un sous-espace de V tel que dimU = dimV. Montrer queU =V.
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[25 pts] 2. Soient V un espace vectoriel sur F et U un sous-espace de V. Soit X ={1, . . . , n}. Pour j ∈X, on d´efinit l’applicationTj :F(X, U)→V par Tj(f) = f(j). Montrer que Tj est lin´eaire, et trouver une base du noyau et d´eterminer l’image de Tj.
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[30 pts] 3. D´eterminer si les ´enonc´es suivants sont vrais ou faux. Justifier votre r´eponse avec une preuve ou un contre-exemple selon le cas.
(a) SoitU, U0, W des sous-espaces d’un espace vectorielV. SiU⊕W = U0⊕W, alors U =U0.
(b) Soit
U ={p∈P2(F)|p(x) =p(1−x)}.
Soit V un espace vectoriel sur F. Soient T, T0 : U → V deux applications lin´eaires. On pose p1 = 1, le polynˆome constant, et p2 =x−x2. Si T(p1) =T0(p1) et T(p2) =T0(p2), alorsT =T0. (c) Soient V, W deux sous-espaces de F7. Supposons que (v1, . . . , v5)
et (w1, . . . , w4) sont des bases pourV etW, respectivement. Alors V +W =V ⊕W.
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3. (suite)
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[35 pts] 4. (a) Donner la d´efinition compl`ete d’espace vectoriel sur un corps F.
(b) Montrer que F2 est un espace vectoriel sur F.
(c) Soit V un espace vectoriel sur F. Montrer que i. 0·~v =~0, et que
ii. (−1)·~v =−~v.
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4. (suite)
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