Sup PCSI2 — Contrˆole 1996/03
Probl` eme 1 (ESSEC 1987, Maths 2, Partie I)
◮On noteun=√ n×
¡2n n
¢
4n pourn>1.
Q1 Calculez u1 etu2, puis mettez un+1
un
sous le forme la plus simple possible.
Q2 Par r´ecurrence surn>1, ´etablissez un6 r n
2n+ 1. Q3 Quel est le sens de variation de la suite (un)n>1?
Q4 Montrez que la suite (un)n>1 converge, et que sa limiteℓv´erifie 1 2 < ℓ6
√2 2 .
◮On rappelle le r´esultat suivant (in´egalit´e des accroissements finis) : si f ∈ C¡
[a, b],R¢
∩ D¡
]a, b[,R¢ , et s’il existe des r´eelsmet M tels quem6f′(t)6M pour toutt∈]a, b[, alors on a :
m(b−a)6f(b)−f(a)6M(b−a)
Q5 En appliquant l’in´egalit´e des accroissements finis `a la restriction, `a un intervalle judicieusement choisi, de l’applicationt>07→√
t, ´etablissez, pour x >0 : 1
8¡
x+12¢ 6x+1 2 −p
x(x+ 1)6 1 8p
x(x+ 1) Q6 En d´eduire, pourk>1 :
uk
8¡ k+12¢¡
k+32¢6uk+1−uk 6 uk
8k(k+ 1) Q7 Pourp > n>1, ´etablissez, pour toutk∈[[n, p−1]] :
un
8¡ k+12¢¡
k+32¢6uk+1−uk 6 up
8k(k+ 1)
Q8 En effectuant trois t´elescopages, en d´eduire un encadrement deup−un, pour p > n>1. Vous remarquerez quek+32 = (k+ 1) +12.
Q9 En d´eduire un
8(n+12) 6ℓ−un6 ℓ
8n pourn>1.
Q10 `A partir de quelle valeur dena-t-on certainement|ℓ−un|610−6, avec les r´esultats ´etablis pr´ec´edemment ? Q11 En utilisant astucieusement Q9, justifiez, pourn>1 :
¯
¯
¯ℓ−³ 1 + 1
8n
´ un
¯
¯
¯6 ℓ 16n2
Q12 `A partir de quelle valeur dena-t-on certainement|ℓ−un|610−6, compte tenu de ce nouveau r´esultat ? Q13 On peut d´emontrer que ℓ= 1
√π (mais on ne le demande pas). Pensez-vous que l’´etude que l’on vient de r´ealiser puisse aboutir `a une m´ethode efficace pour obtenir une approximation deπ?
Tournez S.V.P.
Probl` eme 2 (Dieudonn´ e a dit : majorer, minorer, encadrer)
◮Pourn>1, notonsun= 1
n3 etSn= X
16k6n
uk.
◮Pourn>2, notonsvn = 1
n(n−1)(n+ 1) etTn= X
26k6n
vk.
Q1 D´eterminez des r´eels a, betc tels que :vn= a n−1+ b
n+ c
n+ 1 pour toutn>2.
Q2 SimplifiezTn, en d´eduire la limite de la suite (Tn)n>2.
Q3 En d´eduire la convergence de la suite (Sn)n>1 et un majorant de sa limiteℓ.
Q4 Pourn>1, justifiez la majoration Sn61 + Z n
1
dt t3.
Q5 Retrouvez ainsi la convergence de la suite (Sn)n>1. Comparez la majoration de ℓque vous obtenez, `a celle qui a ´et´e ´etablie en Q3.
◮Pourp > n>1, notonsUn,p= X
n+16k6p
uk.
Q6 Fixonsn>1. Montrez que la suite (Un,p)p>n converge, et que sa limite est Un=ℓ−Sn.
◮Pourp > n>1, notons de mˆemeVn,p= X
n+16k6p
vk.
Q7 SimplifiezVn,p et d´eterminez, pourn>1 fix´e, la limiteVn de la suite (Vn,p)p>n.
Q8 En utilisant l’encadrement ´evidentvk+1< uk< vk, valable pourk>2, ´etablir un encadrement deUn. Q9 En d´eduire un ´equivalentsimple deUn lorsquentend vers l’infini.
Q10 Quelle est la plus petite valeur denpour laquelle, avec les r´esultats ´etablis auparavant, on peut affirmer que ℓ−Sn<10−8?
◮Nous nous proposons de d´ecrire une m´ethode permettant d’obtenir beaucoup plus rapidement une approxi- mation deℓ`a 10−8pr`es. Pourk>2, notonswk=vk−uk; pourp > n>2, notonsWn,p= X
n+16k6p
wk.
Q11 Justifiez l’encadrement 0< wk < 1 (k−1)5. Q12 Pourp > n>2, justifiez la majorationWn,p6
Z p−1
n−1
dt t5. Q13 n>1 ´etant fix´e, quelle est la limiteWn de la suite (Wn,p)p>n? Q14 D´eduisez de Q12 un encadrement deWn.
Q15 Quelle est alors la plus petite valeur denpermettant d’obtenir une approximation deℓ`a 10−8pr`es ? Q16 R´edigez des commandes Maple calculant Sn et Vn, ainsi que l’approximation de ℓ d´eduite des questions
pr´ec´edentes.
[Contr^ole 1996/03] Compos´e le 8 mars 2008
