Fonctions logarithmes népérien et décimal

Fonctions logarithmes népérien et décimal

Table des matières

I Définition . . . 1

I.1 Définitions . . . 1

I.2 Sens de variation . . . 4

II Propriétés algébriques . . . 5

II.1 Relation fonctionnelle . . . 5

II.2 Logarithme d’un quotient . . . 5

II.3 Logarithme d’un produit de nombre positifs . . . 5

II.4 Logarithme d’une puissance . . . 6

II.5 Logarithme d’une racine carrée . . . 6

III Etude de la fonction logarithme . . . 6

III.1 Limites en 0 et en+∞ . . . 6

III.2 Continuité et dérivabilité de la fonction logarithme. . . 7

III.3 Tableau de variation et représentation graphique . . . 7

III.4 Croissances comparées . . . 8

IV Logarithme d’une fonction . . . 9

V Logarithme décimal (hors-programme) . . . 9

I Définition

I.1 Définitions Rappel :

Tout nombrexdeRa une unique image par la fonction exp (comme pour toute fonction).

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel yde ]0;+∞[, il existe un unique réelxtel que e^x=y. (voir interprétation graphique).

x −∞ x +∞

e^x _✯✟

✟✟ y

✟

✟✯

✟ +∞

On dit que la fonction exp est une bijection deRsur ]0 ;+∞[.

Sie^x=y, on dit quexest le logarithme népérien dey.

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur ]0;+∞[ qui, à tout réelx>0, associe le nombre noté ln(x) ou lnxdont l’exponentielle vautx.

Définition

Conséquences :

a) Pour tout réelx>0,e^lnx=x.

b) Pour tout réelx>0 et tout réely,e^y=x⇔y=lnx.

c) Pour tout réelx, ln(e^x)=x.

Démonstration :

a) et b) se déduisent directement de la définition.

Pour c) : Pour tout réelx, on posey=ln(e^x) ; alors d’après a),y=e^xdoncx=y.

Autres conséquences :

• ln 1=0. En effet,e⁰=1 et d’après (1), cela équivaut à ln 1=0.

• lne=1. En effet,e¹=eet on applique (1).

• Pour tout réelλ, l’équation lnx=λa pour unique solutionx=e^λ(d’après (1)).

Dans un repère orthonormal, les courbesC etC^′, représentatives des fonctions exponentielle et loga- rithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équationy=x.

Propriété

Démonstration :

M^′(x;y)∈C^′⇔y=lnx⇔x=e^y⇔M(y;x)∈C.M etM^′sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x, donc les deux courbes également.

O 1 1

y=x

y=lnx y=e^x

I.2 Sens de variation

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0;+∞[.

Propriété

Démonstration:aetbsont deux réels tels que 0<a<b. Cela équivaut à :e^lna<e^lnb⇔lna<lnbpuisque la fonction exponentielle est croissante.

Conséquences :

Soientaetbdeux réels de ]0;+∞[.

• lna=lnb⇔a=b.

• lna<lnb⇔a<b.

• lna<0⇔a<1.

• lna>0⇔a>1.

Exercices d’application : a) Résoudre : lnx= −5

lnx= −5⇔ x=e⁻⁵

b) Résoudre l’équation ln(3x+2)=7

On commence par résoudre l’inéquation 3x+2>0 soitx> −2 3. On obtient alors : x=e⁷−2

3 . Il reste à vérifier si la solution appartient à l’intervalle de définition.

c) Résoudre l’inéquation ln(2+x)Ê100 Ensemble de définition :x+2>0⇔x> −2.

Pourx> −2, ln(2+x)Ê100⇔e^ln(2+x)Êe¹⁰⁰⇔2+xÊe¹⁰⁰(car exp est croissante).

On en déduit :xÊe¹⁰⁰−2> −2 donc S ₌^©_e¹⁰⁰₋₂^ª d) Résoudre l’équation ln(x²−9)=lnx

On doit avoir :x²−9>0 etx>0 etx²−9=x x²−9>0⇔x²>9⇔x< −3 oux>3.

Finalement, l’ensemble de définition estD_{=]3 ;= ∞[.}

Pourx∈D_{, ln(x}²_{−9)=xln⇔x}²_{−9−x=0⇔x}²_−x−9=0.

∆=37>0 ; on trouvex₁=1−p 37

2 ∉D_;x2=¹⁺ p37

2 >3 doncx₂∈D_. S ₌

(1+p 37 2

)

II Propriétés algébriques

II.1 Relation fonctionnelle

Pour tous réelsaetbde ]0;+∞[ : lnab=lna+lnb

Théorème

Démonstration :

aetbsont deux réels strictement positifs.

On poseA=lnabetB=lna+lnb.

Alors :e^A=ab;e^B=e^lna+lnb=e^lna×e^lnb=ab=A.

II.2 Logarithme d’un quotient

Poura>0, ln µ1

a

¶

= −lna.

Propriété

Démonstration : a×1

a =1 d’où ln µ

a×1 a

¶

=0⇔lna+ln µ1

a

¶

=0 d’où : ln µ1

a

¶

= −lna.

Pour tous réelsaetbde ]0;+∞[, lna

b =lna−lnb

Propriété

Démonstration : lna

b =ln µ

a×1 b

¶

=lna+ln1

b =lna−lnb.

II.3 Logarithme d’un produit de nombre positifs

Pour tous réels strictement positifsa₁,a₂, ...,a_n, ln(a₁a₂...a_n)=lna₁+lna₂+... lna_n. Autre écriture (symbolique) : ln

à n

Y

i=1

!

= Xn i=1

lnai

Propriété

II.4 Logarithme d’une puissance

Pour tout réela>0 et tout entier relatifn, ln¡ aⁿ¢

=nlna.

Propriété

Démonstration :Il faut distinguer les casn>0,n=0 etn<0.

• n>0 : on applique la propriété précédente, avecntermes égaux àa.

• n=0 : immédiat

• n<0 : ln¡ aⁿ¢

=ln µ 1

a⁻ⁿ

¶

= −ln¡ a⁻ⁿ¢

= −(−n) lna=nlna.

II.5 Logarithme d’une racine carrée

Pour tout réela>0 : lnp a=1

2lna.

Propriété

Démonstration :a>0 ;¡p a¢2

=adonc ln¡p a¢2

=lna, c’est-à-dire 2 lnp

a=lnad’où l’égalité annoncée.

Remarques :on a ln 2≈0, 69 et ln 10≈2, 3.

On en déduit : ln¡ 10⁹¢

=9 ln 10≈20, 7.

Exercices :Résolution d’équations ou inéquations faisant intervenir le logarithme.

1. Résoudre l’équation : ln(x+1)+ln(2x+3)=ln(x+5) 2. Résoudre l’inéquation : ln(x²−5)Éln(x+3)

III Etude de la fonction logarithme

III.1 Limites en 0 et en+∞

• lim

x→+∞lnx= +∞

• lim

x→0⁺lnx= −∞

Propriétés

Démonstration :

• SoitAun nombre réel quelconque. La fonction ln est croissante sur ]0;+∞[.

∀x>e^A, lnx>A. Ainsi l’intervalle [A;+∞[ contient toutes les valeurs de lnxpourxassez grand.

Cela démontre que lim

x→+∞lnx= +∞.

• Pourx>0, on poseX =1

x. Alors : lnx=ln µ1

X

¶

= −lnX

xlim→0⁺lnx= lim

X→+∞(−lnX)= −∞en appliquant le théorème sur la limite d’une fonction composée.

III.2 Continuité et dérivabilité de la fonction logarithme

La fonction ln est continue et dérivable sur ]0;+∞[.

De plus, pour tout réelx>0, ln^′(x)=1 x.

Propriété

Démonstration :

On admet la continuité.

Dérivabilité :

Soitaun nombre positif et soithun nombre tel quea+h>0.

On pose :b=lnaetk=ln(a+h), donca=e^beta+h=e^k. ln(a+h)−lna

h =ln(a+h)−lna

(a+h)−a = k−b e^k−e^b. La fonction ln est continue, donc lim

h→0ln(a+h)=lna, donc : lim

h→0k=b.

La fonction exponentielle est dérivable enb, de dérivéee^b; autrement dit : lim

k→b

e^k−e^b

k−b =e^b, donc

hlim→0

ln(a+h)−lna

h = 1

e^b = 1 a.

III.3 Tableau de variation et représentation graphique

x 0 +∞

ln^′(x)= 1

x +

ln(x)

−∞

✒+∞

O 1 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

b

y=lnx

e

Remarque: la tangente à la courbe au point de coordonnées (e ; 1) passe par l’origine.

Cette fonction croît « lentement » : ln¡ 10⁹¢

=9 ln10≈20, 72.

(lentement, par rapport à n’importe quelle fonction puissance).

III.4 Croissances comparées

a) lim

x→+∞

µlnx x

¶

=0 b) lim

x→0xlnx=0

Théorème

Démonstration

a) On poseX =lnx(doncx=e^X).

Quandxtend vers+∞,X tend aussi vers+∞.

b) lim

x→+∞xlnx= lim

X→−∞Xe^X=0 d’après les formules de croissances comparées avec la fonction exponentielle.

1. lim

x→+∞

µlnx xⁿ

¶

=0 piour toutn∈N^∗. 2. lim

x→0xⁿlnx=0 pour toutn∈N^∗

Théorème

Démonstration

1. AvecX =lnx, on a lnx xⁿ = X

¡e^X¢n = X e^nX = 1

n× n X e^nX. On pose alorsY =n X.

On a successivement : lim

x→+∞

µlnx xⁿ

¶

= lim

X→+∞

µ1 n×n X

e^nX

¶

= 1 n lim

Y→+∞

µY e^Y

¶

=0 (car 1

n est une constante).

2. De même : lim

x→0xⁿlnx= lim

X→+∞

¡Xe^nX¢

= 1

n× lim

Y→+∞Ye^Y =0

IV Logarithme d’une fonction

Soituune fonction définie sur un intervalleI tel que, pour toutxdeI,u(x)>0. lnudésigne la composée ln◦u, définie surI.

Siuest une fonction définie, strictement positive et dérivable sur I, la fonction lnuest dérivable surI et (lnu)^′=u^′

u.

Propriété

Démonstration :

On applique le théorème de dérivation d’une fonction composée :

∀x∈I, (ln◦u)^′(x)=u^′(x)×ln^′(u(x))=u^′(x)× 1

u(x)=u^′(x) u(x). Exemple :f(x)=ln(x²+x+7).

Remarque :Siuest négative et dérivable surI, f =ln◦(−u) est dérivable surI et f^′=−u^′

−u =u^′ u.

Remarque :log 1=0 ; log 10=1

Pouraetbstrictement positifs, logab=loga+logb.

Propriété

Démonstration: c’est évident, puisque la fonction logarithme décimale est égale à la fonction logarithme né- périen, à un facteur près.

Remarque :toutes les propriétés algébriques de la fonction ln sont donc vérifiées par la fonction log.

Remarque :∀n∈Z, log¡ 10ⁿ¢

=n, d’où l’utilisation de cette fonction en sciences physiques.

Applications :

1. Déterminer le nombre de chiffres de l’écriture décimale d’un nombre.

Exemple :trouver le nombre de chiffres du nombreN=2¹²³⁴⁵. On a : log(N)=log¡

2¹²³⁴⁵¢

=12 345 log2.

On trouve, à la calculatrice :E(12 345 log2)=3 716.

Donc : 3 716<logN<3 717⇒10³⁷¹⁶<N<10³⁷¹⁷. Ncomprend donc3 717 chiffres.

2. Soient deux puissances sonoresP₀etP₁; leur valeur relative en décibels vaut : XdB=10 log

µP₁ P₀

¶ . Exemples numériques :

• SiP1=100×P0, le rapport entre les deux puissances est de 100=10²; ce qui correspond à 20 dB ;

• SiP1=2×P0, leur rapport est de 2≈10^0,3, ce qui correspond à 3 dB : Une puissance double correspond à 3 dB.

Exemple : le bruit généré par un lave-vaisselle varie de 45 à 60 décibels. Celui dont la puissance sonore est de 60 dB fait trente-deux fois plus de bruit que celui qui a une puissance sonore de 45 dB, puisque

60−45

3 =5 et 2⁵=32