II Logarithme népérien

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TS Chapitre 9 : La fonction logarithme népérien _2012-2013

I Fonction réciproque d’une fonction

1. Définition

I etJ sont des intervalles deR.f est une bijection de I surJ signifie que :

"Pour touty deJ, il existe un uniquex∈I tel quey=f(x)."

→exemples

• f :x7−→x² définie sur [0; 3] est une bijection de [0; 3] sur [0; 9].

• f :x7−→x² définie sur [−3; 3] n’est pas une bijection. (en effet, par exemple−3 et 3 ont la même image.

x y

f

· · ·

x∈I y∈J

Si f est une bijection de I sur J, il existe une fonction définie sur J, notéef⁻¹, appelée fonction réciproque de f :

y=f(x)

x∈I ⇔

· · ·

2. Représentation graphique d’une fonction réciproque

Résultat : Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives de f et de f⁻¹ sont symétriques par

rapport à la droite ∆ d’équationy=x. O ~i

~j

b b

y=x

Cf

II Logarithme népérien

Au chapitre 6, nous avons vu que la fonction exponentielle (exp :x7−→ e^x) est continue, strictement croissante surR. Ainsi grâce au théorème vu au chapitre 3, exp réalise une bijection de Rsur ]0; +∞[. D’après le paragraphe précédent, elle admet donc une fonction réciproque définie sur ]0; +∞[.

1. Définition

La fonctionlogarithme népérienest la bijection réciproque de la fonction exponentielle. Elle est notéeln. Elle est définie sur ]0; +∞[.

y= lnx

x∈]0; +∞[ ⇔

x= e^y y r´eel

→Conséquences :

1. ln 1 = 0 car e⁰= 1 ; ln e = 1 care¹= e ; ln1

e =−1 care⁻¹=1 e 2. Pour toutx∈R, ln e^x=x et pour toutx∈]0; +∞[, e^ln^x=x

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2. Représentation graphique et limites

Les courbes représentatives de ln et de exp sont symétriques par rapport à la droite d’équation y =x, ce qui donne :

O

bb

b b

1 e

1

~i e

~j

y=x

Cln

Cexp

Les limites à retenir et déduites de celles de la fonction exponentielle par symétrie :

∗ lim

x→0lnx=−∞

∗ lim

x→+∞lnx= +∞

∗ lim

x→+∞

lnx x = 0

3. Propriétés

Pour tous réelsaetb strictement positifs et pour tout entier relatifn, on a :

• lnab= lna+ lnb ;• ln1

b =−lnb ;• lna

b = lna−lnb ;• lnaⁿ=nlna ; • ln √ⁿ a= 1

nlna (n>1)

→ Exemple : Exprimer en fonction de ln 2 et de ln 3 les nombresA= ln 36 etB = ln 2.25 4. Sens de variation et signe

On admet que la fonctionlnest dérivable sur ]0; +∞[ (et donc continue sur cet intervalle ! chapitre 3) Pourx∈]0; +∞[, on considère la fonctionu:x7−→exp(lnx).

uest-elle dérivable sur ]0; +∞[ ?

En remarquant queu(x) =x, en déduire la dérivée de la fonctionlnpour x >0.

→Théorème : La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0; +∞[ et, pour toutx >0, ln^′(x) = 1 x

→ Conséquences immédiates :

• La fonctionln est strictement croissante sur]0; +∞[ car pour toutx >0 ln^′(x) = 1 x >0.

• lnx= lny⇔x=y;

• lnx <lny⇔x < y;

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→ Signe delnx:

• lnx= 0⇔x= 1 ;

• lnx <0⇔0< x <1 ;

• lnx >0⇔x >1 .

→ Utilisation des propriétés précédentes pour la résolution d’équations et d’inéquations comporatnt des "ln" : On considère l’équation (E) : ln(x²+ 4x+ 3) = ln(x+ 7) .

⋆Quel est l’ensemble de définition de cette équation ? (E) a d’éventuelles solutions⇔

· · ·

On considère l’inéquation (I) : ln(3x−1)62

5. Dérivée de lnuoùu >0 sur un intervalleI.

→Théorème : Soituune fonction dérivable surIet pour tout xdeI,u(x)>0.

La fonctionln uest dérivable surI et, pour toutx∈I, (lnu)^′(x) =u^′(x) u(x)

→ Exemple :Soith:x7−→ln(4−x²). Sur quel intervalleI,hest-elle dérivable ? Calculerh^′(x) pour x∈I.

6. Croissance comparée

n>1. Comparaison dexⁿ et de lnxen +∞: lim

x→+∞

lnx

xⁿ = 0 . A comparer à : lim

x→+∞

e^x

xⁿ = +∞ (ch.3) n>1. Comparaison dexⁿ et de lnxen 0 : lim

x→0xⁿlnx= 0 . A comparer à : lim

x→−∞xⁿe^x= 0 (ch.3)

→calculs de limite :Calculer lim

x→+∞(x³−lnx) et lim

x→1

lnx x−1

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III Puissance réelle d’un nombre strictement positif

1. La notationa^b(a >0, b r´eel)

Définition : Pour tout a >0, et pour tout réelb, on pose : a^b= e^b^ln^a (a >0s’impose par le fait que figurelnadans l’expression)

Remarque :A partir de maintenant, les expressions 2,7^1,83, 40⁻²³, √

2^π, ... prennent un sens. On calcule leurs valeurs approchées à la machine.

Règles de calcul :Pour tous réelsa >0,b >0 et quels que soient les réelsrets : a^r×a^s=a^r+s ; a⁻^r= 1

a^r ; (a^b)^c=a^bc ; a^r×b^r= (ab)^r ; ln(a^s) =slna

2. Fonctionx7−→x^α(α r´eel f ix´e) définie sur ]0; +∞[

∗αquelconque

Théorème : La fonctionf:x7−→x^α (αréel fixé) est dérivable sur ]0; +∞[ et pour toutx >0, f^′(x) =αx^α⁻¹ Démonstration :

Exemple :Déterminer la dérivée deh:x7−→x²√

xpourx >0.

∗α= 1

n avecn >0: Fonction racine n-ième

Pour toutx >0, la fonctionf:x7−→xⁿréalise une bijection de ]0; +∞[ sur ]0; +∞[. D’après le paragraphe 1,fadmet donc une fonction réciproquef⁻¹ définie sur ]0; +∞[. Cette fonction est la fonction racine n-ième :x7−→ √ⁿ

x Autre notation de la fonction racine n-ième : x > 0et n > 1 , √ⁿ

x=xⁿ¹. En effet, ces deux expressions ont le même logarithme donc elles sont égales.

Tracés dex7−→x³ et dex7−→√³

xsur ]0; +∞[

O ~i

~j

y=x

C√³x

C_x³