DS 4 de 1S1 du 17 décembre 2018.
Consignes :
• Durée 1h30.
• Calculatrice autorisée.
• Justifiez vos réponses.
Exercice 1.
Ci-dessous, nous avons la représentation de la fonctionpet les tangente à sa courbe représentative aux pointsA,B,C etD d’abscisses respectifs 0, 1, 2 et 3.La valeur de la dérivée en un point correspond au coefficient directeur de sa tangente en ce point, donc p1p0q “ 2, p1p1q “0 (tangente horizontale),p1p2q “ ´2 et enfin dep1p3q “ ´4.
Exercice 2.
.Partie A :
On considère la fonction définie sur D“s ´ 8,´1rYs ´1,`8rpar : fpxq “x´3
x`1 1. Déterminer l’expression de la dérivéef1pxq:
fpxq “1ˆ px`1q ´ px´3q ˆ1
px`1q2 “ 4 px`1q2
2. Étudier le signe def1pxqet dresser la tableau de variation def : Commepx´1q2ą0 surD on af1pxq ą0 surD.
x f1pxq
fpxq
´8 ´1 `8
` `
1 1
1 1
3. Déterminer l’équation de la tangenteT1 en 1.
On utilise la formule de la tangente ena:
T1:y“f1p1qpx´1q `fp1q “1px´1q ´1“x´2 4. Montrer que :
fpxq ´ px´2q “x´3
x`1 ´px´2qpx`1q
px`1q “ x´3´x2`x`2
x`1 “ ´x2`2x´1
x`1 “ ´px´1q2 x`1 5. En déduire la position les positions relative deCf etT1.
x
´px´1q x`1
´px´1q2 x`1 P osition
´8 ´1 1 `8
´ ´ 0 ´
´ 0 ` 0 `
` ´ 0 ´
Cf{T1 T1{Cf T1{Cf
Partie B :
On définie la suitepunqnPN par :
un “n´3
n`1 “fpnq Déterminer les variations depunq.
Au vu du tableau de la partie A,punqest croissante.
Exercice 3.
. On définie la fonctiongsurR` par l’expression : gpxq “2x´?x`1
Ci-dessous sont représentéCg la représentation graphique de la fonctiong et la droite d’équationy“x:
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A.
1. Déterminer l’expression de :
g1pxq “2´ 2 2?
x “2´ 1
?x 2. Décomposég1 en fonction de référence.
x
xÞÑ? x
xÞÑ 1 x
xÞÑ2´x
0 `8
0 0
`8
`8
`8
`8
0 0
´8
´8
2 2
Justification : . .
Car la fonction racine est croissante surr0;`8r .
.
La fonction inverse, inverse les variations deu. .
.
La fonction affineax`binverse les variations siaă0.
.
3. Montrer :
xě 1 4 ô?
xě1 2 ô 1
?xě2ô2´ 1 2?
x ě2´2“0ôg1pxq ě0
On aurait pu déterminer cette inégalité en utilisant les variation deg1 trouvé à la question précédente.
4. En déduire le tableau de variation deg.
x f1pxq
fpxq
0 14 `8
´ 0 `
1 1
0.5 0.5
`8
`8
En effet :
g ˆ1
4
˙
“ 1 2
5. Montrer que la droite d’équationy“xest tangente àCg au point d’abscisse 1.
Le pointp1,1qest sur la droite etfp1q “1, par ailleurs le coefficient directeur est bien : 1“f1p1q.
Partie B.
On définie la suitepVnqsurNpar :
"
V0“0.3 Vn`1“gpVnq “2Vn´?
Vn`1 1. Conjecture :
(a) Représentez les premiers termes de la suite sur le graphique ci-dessus, où sont représenté la fonction g et la droite d’équationy“x.
(b) Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :
n 0 1 2 3 4
Vn à 10´2près 0,25 0,5 0,59 0,64 0,68 (c) Quelles conjectures peut-on faire sur le comportement de la suitepVnq?
On conjecture que la suite est croissante et tend vers 1.
2. Étude algébrique.
(a) Montrer que :
Vn`1´Vn“2Vn´2a
Vn`1´Vn “Vn´2a
Vn`1 et ´a Vn´1
¯2
“a Vn
2´2a
Vn`1“Vn´a Vn`1 (b) En déduire le sens de variation de la suitepVnq.
Comme :
Vn`1´Vn“´a Vn´1
¯2
ě0 On peut en déduire que la suitepVnqest croissante.
Exercice 4.
Pour un forage, une entreprise propose le tarif suivant :• Pour le déplacement, elle facture 80e.
• Pour le premier mètre foré un tarif de 100e.
• Puis 20ede plus a chaque mètre suivant (c’est-à-dire le deuxième à 120e, puis le suivant à 140eet ainsi de suite) On noteWn le prix duWième mètre. On noteW0“80, puisW1“100
1. Déterminer l’expression deWn`1en fonction deWn et déterminer la nature de la suite pWnq.
On a :
Wn`1“ Wn loomoon
prix du nième mètre
` 20
loomoon
augmenté de20e
La suitepWnqest donc une suite arithmétique de raison 20 et de premier termeW0“80 2. Déterminer l’expression deWn en fonction den.
Donc :
Wn“W0`nˆ20“80`20n 3. Déterminer le prix du 40ième mètre.
W40“80`20ˆ40“880e 4. Déterminer combien couterait un forage de 40 mètres.
40
ÿ
n“0
Wn“W0`W1`...`W40“ 80`880
2 ˆ41“19680e
Exercice 5.
On veut construire une boite de lait à partir d’un carton carré de côté 30 cm, comme indiqué ci-dessous :1. Donner l’intervalle sur lequelxvarie.
xP r0,15s
2. Montrer que l’expression du volume de la boite en fonction de x est donné par : Vpxq “ x
loomoon
prof ondeur
ˆ p15´xq looomooon
largeur
ˆ p30´2xq loooomoooon
hauteur
“xp450´60x`2x2q “2x3´60x2`450x
3. Déterminer l’expression de la dérivéeV1pxqpuis déterminer son signe et enfin dresser le tableau de variation deV. V1pxq “6x2´120x`450
On détermine son signe :
∆“ p´120q2´4ˆ6ˆ450“602 Les racines sont
x1“120´60
2ˆ6 “5 et x1“ 120`60 2ˆ6 “15
Le signe deV1pxqest du signe dea“6ą0 à l’extérieur des racines. On obtient donc le tableau de variation : x
V1pxq Vpxq
0 5 15
` 0 ´ 0
0 0
1000 1000
0 0
fp5q “2ˆ53´60ˆ52`450ˆ5“1000cm3“1L
4. Donner la valeur dexpermettant d’obtenir le volume maximal. Donner une valeur approchée de ce volume.
On en déduit que la volume est maximal pourx“5cmet vaut 1L
