INSA de Rouen - STPI1 - E.C. P3
Correction de l’I.S. de P3 du 8 novembre 2016
Exercice A - Calcul de puissance
Nous allons d´eterminer la puissance absorb´ee par la r´esistance 3R (branche de droite) en utilisant la formulePabs(3R) = 3Ri2. Il nous faut donc d´eterminer le courantidans la branche de droite du circuit. Comme la r´esistance 3R est branch´ee en s´erie avec une r´esistanceR, nous pouvons associer ces dipˆoles en s´erie (r´esistance 4R).
En associant les deux r´esistances de la branche contenant le g´en´erateur, on trouve un g´en´erateur de Th´evenin de f.´e.m E et de r´esistance 3R.
Puis, nous utilisons le th´eor`eme de l’´equivalence Th´evenin-Norton :
Enfin, un pont diviseur de courant sur le dernier sch´ema donne : i
E/3R = G4R
G3R+GR+G4R ce qui s’´ecrit encore :i= E
3R × 1/4R
1
3R+R1 +4R1 et finalement : i= E 19R Pour la puissance Pabs(3R) = 3Ri2 et tous calculs faits, on trouve Pabs(3R) = 3E2
361R Analyse dimensionnelle :
3E2 361R
= [E2]
[R] = [P] L’expression trouv´ee est donc homog`ene.
Exercice B - Montage `a amplificateur op´erationnel BI) Courbe vs(ve)
BI1) Le courant est le mˆeme dans les deux r´esistances car le courant d’entr´ee dans l’amplificateur op´erationnel est nul.
BI2)Les lois de maille donnentve−R1i1 = 0 etvS+R2i2 = 0 BI3) Puisquei1 =i2, on a donc vs=−R2
R1
ve
Puisque R2 > R1, on a donc vs > ve et les tensions vs et ve ont des signes invers´es, il s ’agit donc d’un montage ampli- ficateur inverseur.
BI4) L’amplificateur op´erationnel est en r´egime lin´eaire pour
−R2
R1ve>−Vsat c’est `a dire ve< R1
R2Vsat AN ve<3V BII) Limite en intensit´e
BII1)D’apr`es la loi d’Ohm, on a ic= vs
Rc ce qui donne ic=−R2
R1 ve
Rc BII2) D’apr`es la loi des noeuds, on a is = ic−i1 et on a ´egalement i1= ve
R1
ce qui donne donc is=−ve
R1
R2
Rc
+ 1
Analyse dimensionnelle : R2
Rc
= 1 et ve
R1
= [I] donc ve
R1
R2 Rc
+ 1
=I.
La relation pr´ec´edente est bien homog`ene.
BII3)On veut Is< Is,max ou encore ve R1
R2 Rc
+ 1
< Is,max R2
Rc
< R1Is,max
ve
−1 et finalement Rc> R2 R1Is,max
ve −1 AN : Rc>530 Ω
1
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Exercice C - Mesure de la valeur d’une r´esistance C1) Une incertitude ´evalue uneerreur al´eatoire.
L’incertitude donn´ee par le constructeur sur la notice correspond `a ± 0,5 % de la valeur lue + 2 digit (calibre 3 kΩ, 30 k Ω, 300 kΩ).
On a donc ∆R = 0,005×14,8 + 2×0,1 = 0,274 kΩ, ce qui donne ∆R=0,3 kΩ puisqu’une incertitude s’arrondit toujours `a un chiffre significatif par exc`es. Il s’agit d’une incertitude sur une mesure unique.
C2) le r´esultat de la mesure doit donc ˆetre donn´e au dixi`eme de kΩ pr`es.
On ´ecrit donc le r´esultat de la mesure : R = 14,8±0,3Ω , le niveau de confiance est de 95 %.
L’intervalle de confiance est donc [14,5 ;15,1] Ω.
C3) La valeur nominale du constructeur (15 kΩ) se trouve dans l’intervalle de confiance de la mesure, les valeurs sont donc concordantes, cette mesure semble donc correcte.
Exercice D : Identification des ´el´ements d’une bobine D1)voir sch´ema ci-contre, o`u CH1 repr´esente la voie 1 et CH2 le voie 2 de l’oscilloscope.
Note : les positions de la capacit´e et de la bobine peuvent ˆetre
´
echang´ees.
D2) On a e(t) =Emaxcos(ωt) et donce=Emaxexp(jωt) D3)Un pont diviseur de tension donne :s
e = ZR
ZR+ZL+Zr+ZC c’est `a dire s=e R
R+r+jLω+ 1 jCω D4) L’amplitudeSmax de la tension s(t) est ´egale au module de l’amplitude complexe s.
On a alors :Smax =R Emax
|R+r+j(Lω−Cω1 )| et donc Smax =R Emax
q
(R+r)2+ (Lω−Cω1 )2 Arg(s) = Arg(Re)−Arg(R+r+jLω+ 1
jCω) et donc Arg(s) =ωt−arctan Lω−Cω1 R+r
!
De plus, on a θ = Arg(s) − Arg(e) avec θ le d´ephasage de s(t) par rapport `a e(t), et donc θ=−arctan
Lω− 1 Cω
R+r
D5a) Les tensionss(t) et e(t) sont en phase, le d´ephasageθ entre ces deux tensions est donc nul.
On a donc−arctan Lω−Cω1 R+r
!
= 0 ce qui implique Lω− 1 Cω = 0 L’expression de Smax se simplifie alors et donne Smax = REmax
R+r et donc r = R
Emax
Smax −1
et finalement r=R
1 α −1
AN : r = 74 Ω D5b)On a Lω− 1
Cω = 0 et doncL= 1
Cω2 et puisqueω = 2πf, on obtient L= 1 C(2πf)2 AN : L= 77 mH
D6) Posons ω2 = 2πf2 avec f2 = 10 kHz. Le calcul num´erique donne Lω2 − 1
Cω2 > 0 ce qui implique θ <0. La tensions(t) est donc en retard par rapport `a e(t).
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