Correction 1 On effectue l’algorithme d’Euclide pour d´ eterminer : gcd(P, Q). On a P = (X

(1)

Pierre-Louis CAYREL 2008-2009 Licence 1 Introduction aux Math´ ematiques G´ en´ erales

Universit´ e de Paris 8 Feuille n

^◦

4

Polynˆ omes

Correction 1 On effectue l’algorithme d’Euclide pour d´ eterminer : gcd(P, Q). On a P = (X

⁵

+3)Q+(X

³

−1), Q = (X

⁵

+X

²

−3)(X

³

−1)+(X

²

+X+1) et X

³

−1 = (X−1)(X

²

+X+1)+0.

Donc gcd(P, Q) = X

²

+ X + 1 et on trouve les polynˆ omes U et V en remontant les calculs : U = −X

⁵

− X

²

+ 3 et V = X

¹⁰

+ X

⁷

+ 3X

²

− 8.

Correction 2 Tout polynˆ ome r´ eel de degr´ e > 3 est r´ eductible. Donc, P n’est pas irr´ eductible.

Pour trouver des polynˆ omes non constants A, B ∈ R [X] tels que AB = P, on suit la m´ ethode g´ en´ erale bienqu’une m´ ethode ad hoc soit plus rapide ici. On d´ ecompose P dans C [X] en facteurs lin´ eaires. Pour cela, cherchons les racines de P dans C . On veut r´ esoudre x

⁴

+ 3x

²

+ 1 = 0 dans C . On r´ esoud d’abord y

²

+ 3y + 1 = 0 dans C , et ensuite x

²

= y. Les solutions de y

²

+ 3y + 1 = 0 sont y = −

³₂

±

¹₂

√

5. Comme ces deux nombres r´ eels sont tous les deux strictement n´ egatifs, les racines carr´ ees de ces deux nombres complexes sont :

±i r 3

2 ± 1 2

√ 5.

Du coup,

P = (X − i r 3

2 + 1 2

√

5)(X + i r 3

2 + 1 2

√

5)(X − i r 3

2 − 1 2

√

5)(X + i r 3

2 − 1 2

√ 5) P = (X

²

+ 3

2 + 1 2

√

5)(X

²

+ 3 2 − 1

2 √ 5).

Donc A = X

²

+

³₂

+

¹₂

√

5 et B = X

²

+

³₂

−

¹₂

√

5 conviennent.

Correction 3 Soit A = 2X

⁴

+ 3X

³

− 2X

²

+ 2X − 3 et effectuons la division de A par X

²

+ 1 suivant les puissances croissantes ` a l’ordre 3 :

A = −3(X

²

+ 1) + X(2X

³

+ 3X

²

+ X + 2) = (2X − 3)(X

²

+ 1) + X

²

(2X

²

+ X + 1)

= (X

²

+ 2X − 3)(X

²

+ 1) + X

³

(X + 1).

Par cons´ equent, la d´ ecomposition en ´ el´ ements simples est : A

X

³

(X

²

+ 1) = (X

²

+ 2X − 3)(X

²

+ 1) + X

³

(X + 1) X

³

(X

²

+ 1)

= (X

²

+ 2X − 3)

X

³

+ X + 1 X

²

+ 1

= 1 X + 2

X

²

− 3

X

³

+ X + 1

X

²

+ 1 .

1

(2)

Correction 4 Les racines complexes de X

⁸

− 1 sont ±1, ±i, ±

¹₂

√

2 ±

¹₂

i √

2. D’o` u : X

⁸

− 1 = (X − 1)(X + 1)(X − i)(X + i)(X − 1 + i

√ 2 )(X − 1 − i

√ 2 )(X − −1 + i

√ 2 )(X − −1 − i

√ 2 )

= (X − 1)(X + 1)(X

²

+ 1)(X

²

− √

2X + 1)(X

²

+ √

2X + 1).

Comme ces derniers facteurs sont tous r´ eels et irr´ eductibles dans R [X], ils constituent la d´ ecomposition en facteurs irr´ eductibles de X

⁸

− 1 dans R [X].

Correction 5 Soit A = X

⁴

− 6X

³

+ 11X

²

− 13X + 6 et B = X

⁵

− 3X

⁴

+ 2X

³

. On d´ ecompose B en facteurs irr´ eductibles :

B = X

³

(X

²

− 3X + 2) = X

³

(X − 1)(X − 2).

On effectue la division de A par X

²

− 3X + 2 suivant les puissances croissantes ` a l’ordre 3 on trouve :

A = (X

²

− 2X + 3)(X

²

− 3X + 2) − X

³

. Par cons´ equent, la d´ ecomposition en ´ el´ ements simples de

^A_B

est :

A

B = (X

²

− 2X + 3)(X

²

− 3X + 2) − X

³

X

³

(X − 1)(X − 2)

= (X

²

− 2X + 3)

X

³

+ −1

(X − 1)(X − 2)

= 1

X + −2 X

²

+ 3

X

³

+ 1

X − 1 + −1 X − 2 .

Correction 6 1. D’apr` es le cours, si le nombre rationnel

^r_s

est racine de P, alors r divise

−4 et s divise 3. Du coup, l’ensemble des racines de P dans Q est un sous-ensemble de : {±1, ±2, ±4, ± 1

3 , ± 2 3 , ± 4

3 }.

Il est clair que P (1) 6= 0, P (−1) 6= 0 et P (2) 6= 0. Par contre, P (−2) = 0. Donc −2 est bien une racine de P dans Q . On divise P par X + 2 et on obtient P = (X + 2)Q o` u Q = 3X

⁴

− X

³

+ 6X − 2. Par le mˆ eme argument que ci-dessus, l’ensemble des racines de Q est un sous-ensemble de

{±1, ±2, ± 1 3 , ± 2

3 }.

Comme ±1 et ±2 ne sont pas racine de P, ils ne sont pas non plus racine de Q. Il est clair que Q(−2) 6= 0. Par contre Q− = (

¹₃

) = 0. Donc

¹₃

est bien racine de Q, et donc aussi de P . On divise Q par 3X − 1 et on obtient Q = (3X − 1)R, o` u R = X

³

+ 2. L’ensemble des racine de R dans Q est un sous-ensemble de {±1, ±2}. Mais on a vu que ces derniers

´ el´ ements ne sont pas racine de Q, donc ils ne sont pas non plus racine de R. Autrement dit, R n’a pas de racine dans Q . Il s’ensuit que les racines de P dans Q sont −2,

¹₃

. 2. Comme − √

³

2 est racine de X

³

+ 2 dans R , on peut diviser X

³

+ 2 par X + √

³

2 et on obtient :

X

³

+ 2 = (X + √

³

2)(X

²

− √

³

2X + √

³

4).

Du coup,

P = (X + 2)(3X − 1)(X

³

+ 2) = (X − 2)(3X − 1)(X + √

³

2)(X

²

− √

³

2X + √

³

4).

Comme ce dernier facteur est de degr´ e 2 et de discriminant strictement n´ egatif, les racines de P dans R sont −2,

¹₃

, √

³

2.

2

(3)

3. Une racine de X

³

+ 2 dans C est − √

³

2. D’apr` es le cours, les racines de X

³

+ 2 dans C sont donc :

− √

³

2, − √

³

2(− 1 2 + 1

2 i √

3), − √

³

2(− 1

2 − 1 2 i √

3).

Du coup, les racines de P dans C sont :

−2, 1 3 , − √

³

2, − √

³

2(− 1

2 + 1 2 i √

3), − √

³

2(− 1

2 − 1 2 i √

3).

3