Opérateurs de Fuchs non linéaires

ANNALES

DE LA FACULTÉ DES SCIENCES

Mathématiques

PATRICEPONGÉRARD, CLAUDEWAGSCHAL

Opérateurs de Fuchs non linéaires

Tome XVI, n^o2 (2007), p. 303-329.

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pp. 303–329

Op´ erateurs de Fuchs non lin´ eaires

Patrice Pong´erard⁽¹⁾, Claude Wagschal⁽²⁾

R^´ESUM´E.— On se propose d’´etudierdes ´equations aux d´eriv´ees partielles non lin´eaires du type de Fuchs au sens de Baouendi-Goulaouic ([1] et [2]) dans des espaces de fonctions suffisamment diff´erentiables par rapport `a la variable fuchsienne et dans des espaces de Gevrey par rapport aux autres variables. Les m´ethodes utilis´ees reposent sur le formalisme des s´eries formelles Gevrey d´evelopp´e dans [13] et adapt´e aux ´equations du type de Fuchs dans [6] et [7]. On obtient ainsi des th´eor`emes qui g´en´eralisent ceux de Baouendi-Goulaouic concernant le cas analytique.

ABSTRACT — We study in this article nonlinear partial differential equa- tions of Fuchs type in spaces of functions sufficiently differentiable with respect to the fuchsian variable and in Gevrey spaces with respect the other variables. The results are a generalization of those of Baouendi- Goulaouic obtained in the analytic case.

1. Notations et r´esultats

Pr´ecisons d’abord les espaces utilis´es. Consid´erons un intervalleI ⊂R d’int´erieur non vide et un ouvert Ω de Rⁿ; on notera x= (x1, . . . , x_n) les coordonn´ees d’un point x∈ Rⁿ et D^α la d´erivation en xd’ordreα ∈Nⁿ. Etant donn´´ e un entier 0 k ∞ et un espace de Banach E, on note C^k,∞(I×Ω;E) l’espace vectoriel des fonctions u : I×Ω → E admettant pour tout 0lk[lorsquek=∞, on convient que ceci signifie pour tout l] et toutα∈Nⁿ des d´eriv´ees partielles continuesD^l_tD^αu:I×Ω→E. Cet espace vectorielC^k,∞(I×Ω;E) est stable par d´erivation par rapport `axet

D_t^lD^αu=D^αD^l_tupour tout 0lket toutα∈Nⁿ.

(∗) Re¸cu le 15 juin 2005, accept´e le 17 f´evrier 2006.

(1) 23 all´ee des rubis, La R´eunion, France.

mpongera@univ-reunion.fr

(2) Universit´e Paul Sabatier(Toulouse) UMR CNRS 5640, Institut de Math´ematiques, 31062 Toulouse cedex 9, France.

claude.wagschal@free.fr

Etant donn´´ e un nombre r´eeld1, on noteG^k,d(I×Ω;E) le sous-espace constitu´e des fonctions u ∈ C^k,∞(I×Ω;E) telles que, pour tout compact K⊂I et tout 0lk, il existe une constantec_K,l0 telle que

sup

(t,x)∈K×Ω

D_t^lD^αu(t, x)c^|_K,l^α|+1|α|!^d pour tout 0lket toutα∈Nⁿ. LorsqueI est un intervalle compact, ceci signifie donc qu’il existe une con- stantecl0 telle que

sup

(t,x)∈I×Ω

D^l_tD^αu(t, x)c^|_l^α|+1|α|!^d pour tout 0lket toutα∈Nⁿ. Lorsquekest fini, on peut supposer les constantesc_K,l etc_lind´ependantes del.

Lorsque I est un intervalle compact et lorsque k est fini, ceci signifie donc qu’il existe une constantec0 telle que

sup

(t,x)∈I×Ω

D^l_tD^αu(t, x)c^|α|+1|α|!^d pour tout 0lket toutα∈Nⁿ et on peut alors ´ecrire

G^k,d(I×Ω;E) =

L>0

G^k,d_(L)(I×Ω;E)

o`uG^k,d_(L)(I×Ω;E) d´esigne le sous-espace des fonctions upour lesquelles il existec0 telle que

sup

(t,x)∈I×Ω

D_t^lD^αu(t, x)c L^|α||α|!^d pour tout 0lk et toutα∈Nⁿ.

Pour simplifier les notations, ´etant donn´e un r´eelr > 0 et des entiers 0 h k ∞, nous noterons G^k,d_h (]0, r]×Ω;E) l’espace vectoriel des u∈G^k,d(]0, r]×Ω;E) tels que

(tDt)^lu∈G^0,d([0, r]×Ω;E) pour tout 0lh,

ceci signifiant que la fonction (tDt)^lu, bien d´efinie sur ]0, r]×Ω, se pro- longe par continuit´e `a [0, r]×Ω en une fonction appartenant `a l’espace G^0,d([0, r]×Ω;E). Cet espace est ´evidemment stable par d´erivation enx.

On notera que

G^0,d₀ (]0, r]×Ω;E) =G^0,d([0, r]×Ω;E).

Remarque 1.1. — Dans la d´efinition des espacesG^k,d_h , on peut remplacer les op´erateurs (tD_t)^l par les op´erateurs t^lD_t^l. Il existe en effet desa_lj >0 et desb_lj∈Rtels que

(tD_t)^l= l j=1

a_ljt^jD^j_t, t^lD^l_t= l j=1

b_lj(tD_t)^j pour l1.

Note. — L’espace des fonctions appartenant `a l’espace G^0,d(I×Ω;E) et ind´ependantes de t sera not´e G^d(Ω;E). Lorsque E = R, les espaces pr´ec´edents seront not´es simplementC^k,∞(I×Ω),G^k,d(I×Ω), etc.

On consid`ere une ´equation non lin´eaire de la forme m

l=0

a_l(t, x)(tD_t)^lu(t, x) =f(t, x, D^Λu(t, x)) (1.1) o`u

al∈G^1,d([0, s]×Ω), am= 1, s >0, Λ ={(l, α)∈N×Nⁿ;l+d|α|met 0l < m},

D^Λu= (t^l+1D_t^lD^αu)_(l,α)∈Λ,

on se donne d’autre part un voisinage ouvert convexe Ω de l’origine de l’espaceRⁿ o`u n= Card Λ et une fonction

f : [0, s]×Ω×Ω→R

appartenant `a l’espaceG^0,d([0, s]×(Ω×Ω)) : il existe une constantec00 telle que, pour tout (t, x, y)∈[0, s]×Ω×Ω et tout (α, β)∈Nⁿ×Nⁿ,

|D_x^αD^β_yf(t, x, y)|c^|α|+|β|+1₀ (|α|+|β|)!^d. (1.2)

Il s’agit d’une ´equation du type de Fuchs de poids nul selon la termi- nologie de [1] ; une ´equation de poids 0pmse ram`ene tr`es simplement

`

a une ´equation de poids nul.

D’apr`es la remarque 1.1, on peut ´ecrire indiff´eremment (tD_t)^l out^lD^l_t. Remarquons ´egalement que

al(t, x) =al(0, x) +tbl(t, x) o`ubl(t, x) = 1

0

Dtal(σt, x)dσ.

La fonctionb_l appartenant `a l’espaceG^0,d([0, s]×Ω), l’´equation (1.1) peut s’´ecrire (en changeant de notation)

m l=0

a_l(x)(tD_t)^lu(t, x) =f(t, x, D^Λu(t, x)) (1.3) o`ual∈G^d(Ω).

Introduisons le polynˆome de degr´em P(x, λ) =

m l=0

a_l(x)λ^l

et l’op´erateurP ≡P(x, tDt), dite partie fuchsienne de l’op´erateur (1.3) qui s’´ecrit alors

P(x, tDt)u(t, x) =f(t, x, D^Λu(t, x)).

Nous noteronsZ(x), x∈Ω, l’ensemble des z´eros du polynˆomeP(x,•). On se propose d’abord d’´etablir le

Th´eor`eme 1.2. — On suppose qu’il existe une partie compacte K du demi-plan e λ <0 telle que

Z(x)⊂K pour toutx∈Ω. (1.4)

1. Alors, il existe 0 < r s tel que l’´equation (1.3) admette une unique solution u∈G^m,d_m (]0, r]×Ω).

2. En outre, ´etant donn´e un entier h∈N∪ {∞}, si f ∈G^h,d([0, r]×Ω×Ω), on a

u∈G^m+h,d_m+h (]0, r]×Ω) (1.5) et

(tDt)^ju∈G^h,d([0, r]×Ω)pour0jm. (1.6) Nous allons en d´eduire plus g´en´eralement le r´esultat suivant.

Th´eor`eme 1.3. — 1. Soient h, k ∈ N des entiers tels que k h. On suppose qu’il existe une partie compacteK du demi-plane λ < ktelle que K∩N=∅ etZ(x)⊂K pour toutx∈Ω. (1.7) On suppose en outre f ∈G^h,d([0, s]×Ω×Rⁿ).

Alors, il existe 0 < r s tel que l’´equation (1.3) admette une unique solution

u∈G^m+h,d_m+h−k(]0, r]×Ω)telle que (tDt)^ju∈G^h,d([0, r]×Ω)pour 0jm.

(1.8) 2. S’il existe une partie compacteK deC telle que (1.4) soit v´erifi´e et si f ∈G^∞,d([0, s]×Ω×Rⁿ), l’´equation (1.3) admet une unique solution u∈G^∞,d([0, r]×Ω).

2. S´eries formelles Gevrey

Nous utiliserons le formalisme d´evelopp´e dans [13], c’est-`a-dire celui des s´eries formelles `a une ind´etermin´ee, not´ee ξ, d´ependant d’un param`etre t∈[0, r], r >0, soit

Φ(t, ξ) = ∞ k=0

ξ^k

k!Φ_k(t) (2.1)

et nous supposerons que les fonctions Φ_k : [0, r]→R+sont continues. Si Ψ(t, ξ) =

∞ k=0

ξ^k

k!Ψk(t),Ψk∈ C([0, r];R+),

est une autre s´erie formelle, nous noterons ΦΨ la relation Φk(t)Ψk(t) pour touttet toutk.

Etant donn´´ e une fonction u ∈ C^0,∞([0, r]×Ω;E), on note u Φ la relation

∀t∈[0, r],∀α∈Nⁿ,sup

x∈ΩD^αu(t, x)Φ_|α|(t).

Si uΦ, on a ´evidemmentD^αuD^|α|Φ pour toutα.

On d´efinit l’espace

C_Φ^0,∞([0, r]×Ω;E) ={u∈ C^0,∞([0, r]×Ω;E) ; (∃c0)(ucΦ)} qu’on munit de la norme

uΦ= min{c0 ;ucΦ}.

L’espaceC_Φ^0,∞([0, r]×Ω;E) est alors un espace de Banach [13, proposition 6.1].

Lorsque u ∈ C^∞(Ω;E) est une fonction ind´ependante de t et Φ(ξ) = _∞

k=0(ξ^k/k!)Φ_k une s´erie formelle `a coefficients 0, la relation uΦ signifie ´evidemment

∀α∈Nⁿ,sup

x∈ΩD^αu(x)Φ_|α|.

Bien entendu, on peut utiliser le mˆeme formalisme si Ω est un ouvert deCⁿ, la fonction u´etant alors holomorphe. Voici un exemple simple dont nous aurons besoin.

Exemple 2.1. — On consid`ere la fonction ϕ(z) = 1/z dans l’ouvert

|z|> δ >0 deC. ´Etant donn´e que

|D^kϕ(z)|= k!

|z|^k+1 k!

δ^k+1 pour|z|> δ, on a

ϕ(z)Φ(ξ) = ∞ k=0

ξ^k δ^k+1.

Rappelons qu’`a la s´erie formelle Φ, on associe la s´erie formelle Φ^d(t, ξ) =

∞ k=0

ξ^k

k!k!^d−1Φ_k(t).

Nous utiliserons le

Lemme 2.2. — Soient Φ,Ψ ∈ R+[[ξ]], alors Φ^dΨ^d (ΦΨ)^d et, si Ψ(0) = 0,Φ^d◦Ψ^d(Φ◦Ψ)^d.

Preuve. — Si Φ =_∞

k=0Φ_kξ^k et Ψ =_∞

k=1Ψ_kξ^k, la premi`ere propri´et´e r´esulte de l’in´egalit´e (j!(k−j)!)<sup>d−1</sup> k!<sup>d−1</sup> pour 0 j k. Quant `a la seconde, on a

Φ◦Ψ = ∞ k=0

(Φ◦Ψ)_kξ^k o`u (Φ◦Ψ)₀= Φ₀ et, pourk1,

(Φ◦Ψ)_k=

1ik j1+...+ji=k

Φ_iΨ_j1. . .Ψ_ji.

Il s’agit alors de v´erifier que

i!^d−1j1!^d−1. . . ji!^d−1k!^d−1

si j1+. . .+ji =k o`u j_∗ 1 et ceci r´esulte de l’in´egalit´ei!j1!. . . ji! k!

sous les mˆemes conditions.

SoientR >0,ρ >0 et un entierm1, nous utiliserons la s´erie formelle

Φ_R,ρ(t, ξ) = ∞ k=0

R^(m−1)k(ρt)^kD^mkϕR(ξ)

(mk)! (2.2)

o`uϕRest la s´erie enti`ere (2.1) de [13]

ϕ_R(ξ) =K⁻¹ ∞ l=0

ξ^l R^l(l+ 1)², la constanteK >0 ´etant telle que ϕ²_R(ξ)ϕ_R(ξ).

On ´ecrit ΦR,ρ sous la forme (2.1). On a D^mkϕ_R(ξ) =K⁻¹

∞ l=0

1 R^mk+l

(mk+l)!

(mk+l+ 1)² ξ^l l!, d’o`u

Φ_R,ρ(t, ξ) =K⁻¹ ∞ k=0

R^(m−1)k(ρt)^k ∞

l=0

1 R^mk+l

(mk+l)!

(mk)! (mk+l+ 1)² ξ^l l!

, et

Φl(t) =K⁻¹ R^l

∞ k=0

(mk+l)!

(mk)! (mk+l+ 1)² ρt

R k

.

Cette s´erie enti`ere ayant pour rayon de convergenceR/ρ, la fonction Φ_l est bien d´efinie et continue sur le segment [0, r] si ρr < R. Notons ´egalement que

Φ^d_R,ρ(t, ξ) = ∞ k=0

R^(m−1)k(ρt)^k(D^mkϕ_R)^d(ξ) (mk)! . L’espace de Banach C_Φ^0,∞d

R,ρ

([0, r]×Ω;E) sera not´eG^d_R,ρ([0, r]×Ω;E) et la norme de cet espace sera not´ee•R,ρ. Dire qu’une fonctionu∈ C^0,∞([0, r]×

Ω;E) appartient `a cet espace signifie que

∀t∈[0, r], ∀α∈Nⁿ,sup

x∈ΩD^αu(t, x)uR,ρ|α|!^d−1Φ_|α|(t).

Lemme 2.3. — Si E est une alg`ebre de Banach, l’espace G<sup>d</sup><sub>R,ρ</sub>([0, r]× Ω;E) est une alg`ebre de Banach.

Preuve. — Il s’agit de v´erifier que (Φ^d_R,ρ)² Φ^d_R,ρ, c’est-`a-dire (Φ<sub>R,ρ</sub>)<sup>2</sup>Φ<sub>R,ρ</sub>d’apr`es le lemme pr´ec´edent, soit

T ≡

l+l=j

Φ_l(t) l!

Φ_l(t)

l! Φ_j(t) j! . Etant donn´´ e que

T = ∞ i=0

R^(m−1)i(ρt)ⁱ

k+k=i l+l=j

1 l!l!

D^mk+lϕR(0) (mk)!

D^mk+lϕR(0) (mk)! ,

il s’agit de v´erifier que

k+k=i l+l=j

1 l!l!

D^mk+lϕR(0) (mk)!

D^mk+lϕR(0) (mk)! 1

j!

D^mi+jϕR(0) (mi)! .

Cette in´egalit´e sera a fortiori v´erifi´ee si

q+q=mi l+l=j

(mi)!

q!q! j!

l!l!D^q+lϕR(0)D^q+lϕR(0)D^mi+jϕR(0).

Il sufit alors de d´eriverjfois, puismifois, l’in´egalit´eϕ²_Rϕ_Rpour obtenir le r´esultat voulu.

Pour majorer une compos´ee de fonctions, nous utiliserons le corollaire 6.5 de [13]. Si Φ∈R+[[ξ]] est une s´erie formelle, on note [Φ] = Φ−Φ(0) et

Θ_R(ξ) = R

R−ξ pour R >0.

Ce corollaire s’´ecrit alors

Lemme 2.4. — Pour 0c < R et toutR >0, on a Θ^d_R ◦[cΦ^d_R,ρ]max

K, c

R−c Φ^d_R,ρ.

Lemme 2.5. — On a

G^d_R,ρ([0, r]×Ω;E)⊂G^0,d_(L)([0, r]×Ω;E)o`uL= 1

R(1−τ), τ = ρr

R

1/m

.

Preuve. — Soitu∈G^d_R,ρ([0, r]×Ω;E), on a sup

(t,x)∈[0,r]×Ω

D^αu(t, x)uR,ρ|α|!^d−1Φ_|α|(r) et

Φ_l(r) K⁻¹ R^l

∞ j=0

(j+l)!

j!

τ^j

(j+l+ 1)² K⁻¹ R^l

∞ j=0

(j+l)!

j! τ^j= K⁻¹ R^l

l!

(1−τ)^l+1 ce qui permet de conclure.

Lemme 2.6. — Soitu∈G^0,d_(L)([0, r]×Ω;E), alors si 0< R <1/Let0< r < R/ρ, uappartient `a l’espace G^d_R,ρ([0, r]×Ω;E).

Preuve. — Il s’agit de v´erifier qu’il existe c 0 tel que, pour toutt ∈ [0, r] et toutl∈N,

L^ll!^dc l!^d−1Φl(t), c’est-`a-dire

L^ll!cΦ_l(0) =cK⁻¹ R^l

l!

(l+ 1)² et il suffit de prendrec=Ksup_l(RL)^l(l+ 1)².

Lemme 2.7. — Soient E, F et G des espaces de Banach, (u, v) → uv une application bilin´eaire continue de E×F dans G de norme 1. Soit u∈G^0,d_(L)([0, r]×Ω ;E), alors si

sup

(t,x)∈[0,r]×Ω

D^αu(t, x)c L^|α||α|!^d pour toutα∈Nⁿ et

0< R 1

ηL o`u η >1 et0< r < R/ρ, on a

v∈G^d_R,ρ([0, r]×Ω ; F) =⇒uv∈G^d_R,ρ([0, r]×Ω ; G)

et il existe une constantec(η)>0 telle que l’application lin´eairev→uvest continue de normec c(η).

Preuve. — On a

ucΘ^d_1/L(ξ)cΘ^d_ηR(ξ)

et, d’apr`es le lemme 2.4 de [13], il existe une constantec(η)>0 telle que ΘηR(ξ)c(η)ϕR(ξ),

d’o`u

ΘηR(ξ)ϕR(ξ)c(η)ϕ²_R(ξ)c(η)ϕR(ξ) et

ΘηR(ξ)D^jϕR(ξ)c(η)D^jϕR(ξ) pour tout entierj.

On en d´eduit que

Θ_ηR(ξ)Φ_R,ρ(t, ξ)c(η) Φ_R,ρ(t, ξ), d’o`u

uvcvR,ρΘ^d_ηR(ξ)Φ^d_R,ρ(t, ξ)c c(η)vR,ρΦ^d_R,ρ(t, ξ), ce qui permet de conclure.

Nous utiliserons les deux lemmes qui suivent.

Lemme 2.8. — Pour tout p, q0 D^pϕR(ξ)

p! R^q(q+ 1)²D^p+qϕR(ξ) (p+q)! . Preuve. — Il s’agit de v´erifier que

(p+r)!

p! (p+r+ 1)² (q+ 1)² (p+q+r)!

(p+q)! (p+q+r+ 1)². On a en effet

(p+r)!

p! (p+q+r)!

(p+q)!

et

(p+q+r+ 1)² (p+r+ 1)² =

1 + q

p+r+ 1 2

(q+ 1)².

Rappelons le lemme 2.6 de [6].

Lemme 2.9. — Pour tout R >0 et tout entier i, j, k tels quedik Dⁱ

D^jϕ_R ^d(ξ)R^k−i k+ 1

i+ 1

2

D^j+kϕ_R ^d(ξ). (2.3)

Preuve. — On a

D^jϕ_R ^d(ξ) =K⁻¹ ∞ l=0

1 (l+j+ 1)²

(l+j)!

R^l+j ξ^l l! l!^d−1 et il s’agit de v´erifier l’in´egalit´e

1 (l+i+j+ 1)²

(l+i+j)!

R^l+i+j (l+i)!^d−1 R^k−i

k+ 1 i+ 1

2 1

(l+k+j+ 1)²

(l+k+j)!

R^l+k+j l!^d−1, c’est-`a-dire

(l+i+j)! (l+i)!^d−1

(l+i+j+ 1)² k+ 1 i+ 1

2(l+k+j)!l!^d−1 (l+k+j+ 1)². Vu queik, on a

l+k+j+ 1 l+i+j+ 1

2k+ 1 i+ 1

2

et la fonction

j→ (l+i+j)!

(l+k+j)!

est d´ecroissante. Il s’agit donc de v´erifier que

(l+i)! (l+i)!^d−1(l+k)!l!^d−1. On a en effet

(l+i)!

(l+k)!

(l+i)!

l!

d−1 (l+i)^i(d−1) (l+i+ 1)^k−i 1 cari(d−1)k−i.

3. ´Etude de la partie fuchsienne

Dans ce paragraphe, on peut supposer les fonctions `a valeurs complexes.

Il s’agit alors d’´etudier l’´equation P(x, tDt)u(t, x)≡

m l=0

al(x)(tDt)^lu(t, x) =v(t, x) (3.1)

o`ua<sub>l</sub>∈G<sup>d</sup>(Ω) =G<sup>d</sup>(Ω;C). D’apr`es [1] et [2], on sait que, sous l’hypoth`ese (1.4), pour tout v ∈ G<sup>0,d</sup>([0, r]×Ω) et tout x ∈ Ω, il existe une unique fonction t → u(t, x) continue sur [0, r] et de classe C<sup>m</sup> sur ]0, r] tel que (P u)(t, x) =v(t, x) pour 0< tret x∈Ω. Afin de pr´eciser la r´egularit´e enxde cette solution, on ´ecrit l’´equation (3.1) sous la forme d’un syst`eme du premier ordre en posant

u_j = (tD_t)^juetU = (u₀, . . . , u_m−1).

La fonctiont→U(t, x) continue sur [0, r] et de classe C¹ sur ]0, r] v´erifie (tDt)U(t, x) =A(x).U(t, x) +V(t, x) pour (t, x)∈]0, r]×Ω (3.2) o`u V = (0, . . . ,0, v) et A(x) ∈ L(C^m) est l’endomorphisme de matrice repr´esentative dans la base canonique deC^m

A(x) =







0 1 0 · · · · 0 0 0 1 · · · · 0

· · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · 0 1

−a₀(x) −a₁(x) · · · −a_m−1(x)





.

On notera que d´et (λI−A(x)) =P(x, λ) et que Z(x) est le spectre de cet endomorphisme.

Plus g´en´eralement, soit A ∈ G^d(Ω ;L(C^m)). Supposons que le spectre Z(x) de l’endomorphisme A(x) v´erifie l’hypoth`ese (1.4). Alors, si V ∈G<sup>0,d</sup>([0, r]×Ω ; C<sup>m</sup>), il existe d’apr`es [2] une unique fonctiont→U(t, x) continue sur [0, r] et de classeC¹sur ]0, r] solution de (3.2) et elle est donn´ee par la formule

U(t, x) = 1

0

σ^−A(x).V(σt, x)dσ

σ (3.3)

o`uσ^−A(x)=e^{−lnσ A(x)}∈ L(C^m),σ >0. Nous poserons

(PU)(t, x) = (tD_t)U(t, x)−A(x).U(t, x) etU =P⁻¹V.

On a alors l’estimation suivante.

Proposition 3.1. — Il existec0 et ε >0 tel que, pour toutα∈Nⁿ et toutσ >0,

supx∈ΩD^α(σ^−A(x))_L(C^m)c^|α|+1|α|!^dσ^ε.

Pour ´etablir ce r´esultat, on utilise la repr´esentation suivante σ^−A(x)= 1

2πi

γ

σ^−λ(λI−A(x))⁻¹dλ, σ >0,

o`uγ: [0,1]→Cest un lacet tel que l’indice de tout point deKpar rapport

`

a γ soit ´egal `a 1. Compte-tenu de l’hypoth`ese (1.4), on peut supposer que ce lacet est tra¸c´e dans le demi-plane λ <0. Il en r´esulte qu’il existeε >0 tel que e γ(s)−εpour touts∈[0,1], d’o`u

|σ^−λ|σ^ε pourλ∈γ([0,1]). (3.4) Posons

d´et (λI−A(x)) =P(x, λ), nous avons besoin ensuite du

Lemme 3.2. — SoitK une partie compacte deCtelle que K∩K=∅, alors il existe une constante c0 telle que

λ∈Ksupsup

x∈Ω|D^α(1/P(x, λ))|c^|α|+1|α|!^d pour tout α∈Nⁿ.

Preuve. — Il existe δ > 0 tel que |P(x, λ)| > δ pour tout x ∈ Ω et λ∈K. Il existe d’autre partc00 tel que

|D^αP(x, λ)|c^|α|+1₀ |α|!^d pour toutα∈Nⁿ, x∈Ω etλ∈K, soit

P(x, λ)^∞

k=0

ξ^k

k! c^k+1₀ k!^d, ou encore

P(x, λ)Ψ^d(ξ) pour toutλ∈K avec Ψ(ξ) = ∞ k=0

c^k+1₀ ξ^k. Les notations ´etant celles de l’exemple 2.1, on a

ϕ(z)Φ(ξ)Φ^d(ξ), d’o`u, d’apr`es le lemme 2.2,

ϕ◦P(•, λ)Φ^d◦[Ψ]^d(Φ◦[Ψ])^d.

Les s´eries enti`eres Φ et Ψ ´etant convergentes, il en est de mˆeme de la s´erie Φ◦[Ψ], ce qui permet de conclure.

Lemme 3.3. — SoitK une partie compacte deCtelle que K∩K=∅, alors il existe une constantec0 telle que

sup

λ∈K

sup

x∈ΩD^α(λI−A(x))⁻¹_L(C^m)c^|α|+1|α|!^d pour toutα∈Nⁿ. Preuve. — On a

(λI−A(x))⁻¹=

P_ij(x, λ)

P(x, λ) 1i,jm

o`uPij est un polynˆome enλ`a coefficients dans l’espaceG^d(Ω) et il existe donc une constantec0 telle que

λ∈Ksupsup

x∈Ω|D^αP_ij(x, λ)|c^|α|+1|α|!^d pour toutα∈Nⁿ. Vu le lemme pr´ec´edent, ceci permet de conclure.

La proposition 3.1 r´esulte de l’in´egalit´e (3.4) et de ce lemme en prenant K =γ([0,1]). SiV ∈G^0,d([0, r]×Ω;C^m), on en d´eduit une estimation de la forme

x∈ΩsupD^α

σ^−A(x).V(σt, x)

_C^m c^|α|+1|α|!^dσ^ε,0< σ1,0tr.

Ceci montre que la fonction U d´efinie par (3.3) appartient `a l’espace G<sup>0,d</sup>([0, r]×Ω;C<sup>m</sup>) ; la fonction (tDt)U appartient ´egalement `a cet espace d’apr`es l’´equation (3.2), doncU ∈G^1,d(]0, r]×Ω;C^m), soit

V ∈G^0,d([0, r]×Ω;C^m) =⇒ P⁻¹V ∈G^1,d₁ (]0, r]×Ω;C^m).

En raisonnant par r´ecurrence sur k pour h = 0, puis sur h, on v´erifie ais´ement le

Lemme 3.4. — Soit 0hk∞, alors

V ∈G^k,d_h (]0, r]×Ω;C^m) =⇒ P⁻¹V ∈G^k+1,d_h+1 (]0, r]×Ω;C^m).

D’apr`es la formule (3.3), on en d´eduit que

V ∈G^k,d([0, r]×Ω;C^m) =⇒ (3.5)

P⁻¹V ∈G^k,d([0, r]×Ω;C^m)∩G^k+1,d_k+1 (]0, r]×Ω;C^m).

LorsqueV ∈G^0,d([0, r]×Ω;C^m), on v´erifie que Dt(P⁻¹(tV))(t, x) =A(x).

1 0

σ^−A(x).V(σt, x)dσ+V(t, x), 0< tr, x∈Ω, et on en d´eduit que

V ∈G^k,d([0, r]×Ω;C^m) =⇒ P⁻¹(tV)∈G^k+1,d([0, r]×Ω;C^m). (3.6) Proposition 3.5. — Il existe R₀ > 0 et une constante c 0 telle que, pour 0 < R R0, ρr < R et V ∈ G^d_R,ρ([0, r]×Ω;C^m), la solution U ∈G^1,d₁ (]0, r]×Ω;C^m)de (3.2) v´erifie

(tDt)^lU(t, x)cVR,ρ

∞ k=0

R^(m−1)k(ρt)^k (D^mkϕR)^d(ξ)

(k+ 1)^1−l(mk)! pourl= 0,1.

Preuve. — On a V(σt, x) VR,ρ

∞ k=0

R^(m−1)k(σρt)^k(D^mkϕR)^d(ξ)

(mk)! ,0< σ1.

D’apr`es la proposition 3.1 et le lemme 2.7 o`u on prend E = L(C^m), F = G = C^m et o`u on remplace ρ par σρ, il existe R0 > 0 et une con- stantec0 telle que, pour 0< RR₀,

σ^−A(x).V(σt, x)c σ^εVR,ρ

∞ k=0

R^(m−1)k(σρt)^k(D^mkϕ_R)^d(ξ) (mk)! .

Vu que ₁

0

σ^k+ε−1dσ= 1

k+ε c k+ 1, ceci prouve l’in´egalit´e voulue pourU.

Pour majorer (tDt)U, on utilise l’´equation (3.2). On note que U ∈G^d_R,ρ([0, r]×Ω ;C^m) et que UR,ρ cVR,ρ. On applique de nou- veau le lemme 2.7 pour majorer A(x).U(t, x) et, quitte `a r´eduire R0, on obtient le r´esultat voulu.

Revenons `a l’´etude de l’´equation (3.1). Ce qui pr´ec`ede prouve que, pour v ∈ G^0,d([0, r] × Ω), cette ´equation admet une unique solution u∈G^m,d₀ (]0, r]×Ω) not´eeP⁻¹vet de plus u∈G^m,d_m (]0, r]×Ω). Le lemme 3.4 prouve que, pour 0hk∞,

v∈G^k,d_h (]0, r]×Ω) =⇒P⁻¹v∈G^k+m,d_h+m (]0, r]×Ω). (3.7)

D’apr`es (3.5), on a

v∈G^k,d([0, r]×Ω) =⇒(tD_t)^jP⁻¹v∈G^k,d([0, r]×Ω) pour 0jm.

(3.8) D’apr`es (3.6), on a

v∈G^k,d([0, r]×Ω) =⇒(tD_t)^jP⁻¹(tv)∈G^k+1,d([0, r]×Ω) pour 0j < m.

(3.9) La proposition 3.5 va nous permettre d’´etablir la

Proposition 3.6. — Il existe R₀ >0 et une constante c 0 telle que pour0< RR₀,ρr < R etv∈G^d_R,ρ([0, r]×Ω), la solution

u∈G^m,d_m (]0, r]×Ω)de (3.1) v´erifie (tDt)^lu(t, x)cvR,ρ

∞ k=0

R^(m−1)k(ρt)^k (D^mkϕR)^d(ξ)

(k+ 1)^m−l(mk)! pour0lm.

Preuve. — D’apr`es la proposition 3.5, on a (tD_t)^lu(t, x)cvR,ρ

∞ k=0

R^(m−1)k(ρt)^k(D^mkϕ_R)^d(ξ)

(k+ 1)(mk)! pour 0lm−1 et

(tDt)^mu(t, x)cvR,ρ

∞ k=0

R^(m−1)k(ρt)^k(D^mkϕR)^d(ξ) (mk)! .

Le r´esultat est donc acquis pour l =m−1 et l =m. On raisonne ensuite par r´ecurrence ; on suppose le r´esultat d´emontr´e pourj+ 1lmet que

(tD_t)^lu(t, x)cvR,ρ

∞ k=0

R^(m−1)k(ρt)^k (D^mkϕ_R)^d(ξ) (k+ 1)^m−(j+1)(mk)!

pour 0lj+ 1.

Si 0ij, on peut alors ´ecrire

(tDt+ 1)ui=ui+ui+1, d’o`u

ui(t, x) = 1

0

(ui+ui+1)(σt, x)dσ.

On remarque ensuite que ₁

0

σ^k

(k+ 1)^m−(j+1)dσ= 1 (k+ 1)^m−j, d’o`u

(tDt)^lu(t, x)2cvR,ρ

∞ k=0

R^(m−1)k(ρt)^k (D^mkϕR)^d(ξ)

(k+ 1)^m−j(mk)! pour 0lj et ceci permet de conclure.

Note. — Dans la d´efinition de la s´erie Φ_R,ρ(t, ξ), on peut remplacer l’entiermpar un entierm1, ceci ne change rien `a ce qui pr´ec`ede. Le fait d’avoir choisim =m(m mconviendrait tout aussi bien) n’interviendra que dans la d´emonstration du th´eor`eme 1.2.

4. Preuve du th´eor`eme 1.2

Posonsu=P(x, tD_t)u, soitu=P⁻¹u, l’´equation (1.1) s’´ecritu =T u o`uT d´esigne l’op´erateur

T :u→f(t, x, D^Λ(P⁻¹u)(t, x)).

Nous allons ´etablir la

Proposition 4.1. — Il existe R0>0,a0>0et une fonction c: ]0, R₀]→R+ tels que, pour

0< RR0, aa0, c(R)aρ, c(R)< ρ,0< rset rρ < R, l’application T est une contraction stricte dans la boule ferm´eeB(0;a) de l’alg`ebre de BanachG^d_R,ρ([0, r]×Ω).

Preuve. — On peut ´ecrire

f(t, x, y)−f(t, x, y) =

λ∈Λ

f_λ(t, x, y, y)(y_λ−y_λ) pour (t, x, y, y)∈[0, s]×Ω×Ω×Ω

o`u les fonctionsfλ appartiennent `a l’espaceG^0,d([0, s]×(Ω×Ω×Ω)). Il existe donc une constantec10 telle que, pour tout

(t, x, y, y)∈[0, s]×Ω×Ω×Ω et tout (α, β, γ)∈Nⁿ×Nⁿ×Nⁿ,

|D_x^αD_y^βD_y^γf(t, x, y, y)|c^|₁^{α|+|β|+|γ|+1}(|α|+|β|+|γ|)!^d.

Soitη >1, d’apr`es l’in´egalit´e (1.2) et cette in´egalit´e, il existe des con- stantes c 0, R₀ > 0 et R > 0 telles que, pour 0 < R R₀ et (t, x, y, y)∈[0, s]×Ω×Ω×Ω,









|D^α_xD^β_yf(t, x, y)| c |α|!^d (ηR)^|α|

β!^d R^|β|,

|D^α_xD^β_yD^γ_yf_λ(t, x, y, y)| c |α|!^d (ηR)^|α|

β!^d R^|β|

γ!^d R^|γ|. On a en effet

(|α|+|β|)!2^|α|+|β||α|!|β|!2^|α|+|β|n^|β||α|!β!, d’o`u

c^|α|+|β|+1₀ (|α|+|β|)!^dc^|₀^α|+|β|+1|α|!^dβ!^d et la premi`ere in´egalit´e est satisfaite si

cc₀,1/(ηR₀)c₀ et 1/R c₀.

On satisfait de mˆeme `a la seconde. Bien entendu, on peut supposer R<sub>0</sub> inf´erieur `a la constanteR₀ de la proposition 3.6.

Ces in´egalit´es s’´ecrivent simplement









∀t∈[0, s], f(t, x, y) cΘ^d_ηR(ξ)

λ∈Λ

Θ^d_R(y_λ),

∀t∈[0, s], f_λ(t, x, y, y) cΘ^d_ηR(ξ)

λ∈Λ

Θ^d_R(y_λ)Θ^d_R(y_λ).

D’apr`es la version Gevrey du lemme 2.4 de [13] (voir (6.7) de [13]), on en d´eduit que









∀t∈[0, s], f(t, x, y) cΦ^d_R,ρ(t, ξ)

λ∈Λ

Θ^d_R(yλ),

∀t∈[0, s], fλ(t, x, y, y) cΦ^d_R,ρ(t, ξ)

λ∈Λ

Θ^d_R(yλ)Θ^d_R(y_λ). (4.1) Soient a > 0, 0 < R R₀, 0 < r s et ρ > 0 tels que ρr < R et soit u∈B(0;a)⊂G^d_R,ρ([0, r]×Ω), posons

yλ(t, x) =t^l+1D^l_tD^α(P⁻¹u)(t, x), λ= (l, α).

Dans ce qui suit, toute constante 0 ind´ependante des param`etres a, R, r etρsera indiff´eremment not´eec.

D’apr`es la proposition 3.6, il existe une constantec0 telle que, pour 0< RR₀ etρr < R,

yλ(t, x)c a ∞ k=0

R^(m−1)kρ^kt^k+1D^|α|(D^mkϕR)^d(ξ) (k+ 1)^m−l(mk)! . Il existe d’autre part une constante encore not´eec0 telle que

D^|α|(D^mkϕ_R)^d(ξ)c R^m−l−|α|(D^mk+m−lϕ_R)^d(ξ) d’apr`es le lemme 2.9, D^mk+m−lϕR(ξ)c R^l(m(k+ 1)−l)!

(m(k+ 1))! D^m(k+1)ϕR(ξ) d’apr`es le lemme 2.8, 1

(k+ 1)^m−l

(m(k+ 1)−l)!

(mk)! (m(k+ 1)−l)^m−l (k+ 1)^m−l c.

On en d´eduit que

y_λ∈G^d_R,ρ([0, r]×Ω) ety_λR,ρc(R)

ρ a. (4.2)

On en d´eduit que

supx∈Ω|y_λ(t, x)| c(R) ρ aΦ₀(t) o`u

Φ0(t)Φ0(r)Φ0(R/ρ) =K⁻¹ ∞ k=0

1

(mk+ 1)² =c, d’o`u

x∈Ωsup|yλ(t, x)|c(R)

ρ apour tout 0tr. (4.3) Il en r´esulte que sous une condition de la forme c(R)a ρla fonction compos´ee f(t, x, D^Λu(t, x)) est bien d´efinie pour (t, x)∈[0, r]×Ω et, sous une condition analogue, d’apr`es (4.1) et le lemme 2.4, on a

f(t, x, D^Λu(t, x))cΦ^d_R,ρ(t, ξ).

Il existe donca₀>0 tel queT(B(0;a))⊂B(0;a) si

aa0 etc(R)aρ. (4.4)