Pov. Thomsen

Pov. Thomsen

Professeur en Spé PC au lycée Sainte-Marie à Antony

AIIALYSE

\-\ \

5i5

i+10

1 . Espaces yecto r i el s n o rmés Séries ^à term es constants

Dériya ti on. Int és ra(ion

SPÉ • PC • PSI • PT

Résumés de cours

63 exercices et problèmes avec solutions

Coordination: Daniel FREDDN

VILLE DE LYON

BIBLIOTHEOUE

MASSON m

Paris Milan Barcelone

3 7001 01644403 1

DANGER

PHOTOCOPILLAGE lE

TUE LE LIVRE

Ce logo a pour objet d'alerter le lecteur sur la menace que représente pour l'avenir de 1'6crlt, tout particulièrement dans le domaine universitaire, le développemont massif du «photo- copillage».

Cette pratique qui s'est généralisée, notamment dans les établissements d'enseignement, provoque une baisse brutale des achats de livres, au point que la possibilité même pour les auteurs de créer des œuvres nouvelles et de les faire éditer correctement est aujourd'hui menacée.

Nous rappelons donc que la reproduction et la vente sans autorisation, ainsi que le recel, sont passibles de poursuites. Les demandes d'autorisation de photocopier doivent être adressées à t'éditeur ou au Centre français d'exploitation du droit de copie: 3, rue Hautefouille, 75006 Paris. Tél.: 43 26 95 35.

Tous droits de traduction, d'adaptation et de reproduction par tous procédés, réservés pour tous pays.

Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l'autorisation de l'éditeur, est

1 illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d'une part, les reproductions strictement réservées à l'usage pri vé du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d'autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d'information de l' œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4. L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle).

© Masson, Paris. 1997 ISBN: 2-225-85531-5

MASSON S.A. 120, bd Saint-Germain, 75280 Paris Cedex 06

TABLE DES MATIÈRES

Introduction ... 5

1. Espaces vectoriels normés ... 7

• Normes et distances • Suites dans un espace vectoriel normé • Étude locale d'une application • Applications continues Énoncés des exercices et problèmes ... 17

Coups de pouce ........... ... 19

Corrigés .......... 20

2. Séries à termes constants ... 31

• Séries réelles ou complexes • Convergence des séries à termes réels positifs • Convergence des séries à termes réels ou complexes • Séries alternées Énoncés des exercices et problèmes ...... 35

Coups de pouce ... ...... 38

Corrigés . ... " ...... 40

3. Dérivation des fonctions vectorielles ... 59

• Dérivée en un point • Fonctions de classe C^k • Ck-difféomorphismes Énoncés des exercices et problèmes ...... 63

Coups de pouce ...... 68

Corrigés .. ...... 69

4 Table des matières

4. Intégration sur un segment des fonctions vectorielles .... 85

• Fonctions en escalier, fonctions continues par morceaux • Définition de l'intégrale • Propriétés de l'intégrale Énoncés des exercices et probl(;me ...... 89

Coups de pouce ...... 90

Corrigés ... 91

5. Dérivation et intégration ... 99

• Primitive et intégrale d'une fonction continue par morceaux • Théorème du relèvement • Étude globale des fonctions de classe Cl • Développements limités Énoncés des exercices et problèmes ... 103'

Coups de pouce ... ... 106

Corrigés ...... 107

6. Intégration sur un intervalle quelconque ... 123

• Fonctions intégrables • Normes définies par des intégrales Énoncés des exercices et problèmes ... 127

Coups de pouce ... 131

Corrigés ...... 132

7. Problèmes généraux Énoncés . ... 153

Coups de pouce .... 161

Corrigés ...... 164

INTRODUCTION

Cet ouvrage est le premier d'une série de trois volumes destinés aux étudiants de seconde année des sections PC, PSI et PT.

Comme dans les autres Flash, vous y trouverez:

- un résumé bref, mais complet, des notions mathématiques actuelle- ment au programme des concours des grandes écoles scientifiques;

- des exercices variés.

Certains exercices sont des applications directes du cours destinées à vous familiariser avec les notions étudiées, d'autres demandent plus de recherche, mais ils sont tous corrigés de façon détaillée et tous les raison- nements et calculs sont explicités.

Nous sommes en effet convaincus que la réussite aux concours demande plus l'étude approfondie d'un nombre restreint d'exemples bien choisis, plutôt qu'un survol superficiel d'un nombre élevé d'exercices;

- des coups de pouce, situés entre les énoncés et les corrigés, vous per- mettront d'avancer si vous êtes bloqué. Ils sont, bien sûr, à consommer avec modération; .

- des problèmes généraux qui sont des problèmes donnés aux concours, mais adaptés aux programmes actuels.

Les éléments de programme, et les exercices associés, spécifiques aux P SI sont signalés par un • en marge, et les indications concernant les PT par un •.

Un conseil : quand vous avez terminé un exercice qui vous semble dif- ficile, n'oubliez pas de le marquer afin de pouvoir le refaire au moment des révisions.

Nous espérons que ces livres vous aideront de façon agréable et efficace.

Bon courage!

ESPACES VECTORIELS _, NORMES

• Normes et distances

• Suites dans un espace vectoriel normé

• Étude locale d'une application

• Applications continues

,

L'essentiel du cours

On étudie des espaces vectoriels sur le corps K avec K

=

IR ou K

= cr: .

• Normes et distances

• Norme - Définition

Une norme sur un espace vectoriel E est une application N de E dans IR qui vérifie :

(l)VxEE (2) Vx E E (3) V), E K (4)VXEE

N(x) ~ 0 ;

N(x) =0 ==} x=O;

Vx E E N (),x) =

1),1

^{N(x) ;}

VyEE N(x+y)~N(x)+N(y).

On écrit souvent N(x)

= IIxii ,

^{ou N(x)}

=

IIxilE . - Propriétés

IIxii =

0 ^{==} x

=

0 ;

Illxii -lIylll ~ ^{{ :::} ~ ~:: ^} ~ ^{IIxli + lIyll .}

Le couple (E, N) est appelé espace vectoriel normé.

- Exemples classiques

1. E

=

Kn ; pour x

=

(Xl, ... ,Xn) E E, on définit:

Nl(x)

= Ixt! + ... +

Ixnl

Jlxll2 + ... +

Ixnl2

sup

{lxll,.·.,

Ixn!}.

8 Espaces vectoriels normés

2. E = C([a, b], K) étant l'espace vectoriel des fonctions continues sur [a, b] et à valeurs dans K, pour

J

E E on pose :

. - - - - N1(f)

= lb IJ(t)1 (ft ;

N2(f)

= lb ^IJ(t)1

^{2 dt.}

N1 est la norme de la convergence en moyenne, N2 la norme de la con- vergence en moyenne quadratique.

3. E

=

B(A, F) étant l'espace vectoriel des fonctions bornées définies sur un ensemble A et à valeurs dans un espace vectoriel normé F, on pose :

Noe(f) = sup

IIJ(t)11

tEA

où 1111 désigne la norme dans F.

Noe est la norme de la convergence uniforme.

4. E étant muni d'un produit scalaire (x, y) ^f---+ (xly) , N(x)

=

J(xlx), xE E

définit une norme appelée norme euclidienne si K

=

IR et hermitienne si K

= ([;.

Les normes N2 des exemples 1 et 2 sont des normes euclidiennes ou hermitiennes.

Dans la suite, E est un espace vectoriel normé.

*'

^{En PT,} on se limitera aux cas E

=

IRⁿ et E

=

([;n .

• Distance associée à une norme - Définition

La distance entre deux éléments x et y de E est : d (x, y)

= lIy - xII·

- Propriétés

VxE E VYE E d(x,y) ~ 0 ;

VxE E Vy E E d (x, y)

=

0 {::::=> x= y;

VxE E VYE E d(x,y)

=

d(y,x) ;

VxE E VYE E Vz E E d(x,y) ~ d(x,y)

+

d(y,z).

- La distance entre deux parties A et B non vides de E est :. d(A,B)

=

inf{d(x,y); x E A, y E B}.

- Le diamètre d'une partie non vide A est:

diamA

=

sup{d(x,y); xE A,y E A}.

- Si diam A est fini, A est dite bornée.

- Une application

J

définie sur un ensemble U et à valeurs dans E est dite bornée si J(U) est une partie bornée de E.

Espaces vectoriels normés 9

• Boules

La boule ouverte de centre a et de rayon r

>

0 est:

B(a,r)={xEE; IIx-ali <r}.

La boule fermée:

B(a,r)={xEE; IIx-all~r}.

Exemple: Pour

f

E E = B([a, b], IR) muni de la norme Noo ,

BU,

^r)

est l'ensemble des fonctions 9 dont le graphe est inclus dans le "tuyau" : {(X,Y)EIR2; a~x~b, If(x)-yl<r} .

• Suites dans un espace vectoriel normé

• Convergence

- Une suite (an)nEN de points de E converge vers lE E si, pour tout

é

>

0 , il existe un rang

r

à partir duquel

lIa

n -lll ~ é , ce qui s'écrit:

Vé>O 3rElN Vn~r lIan-lll~é.

Untel élément l est alors unique; il est appelé la limite de (an) et on écrit:

lim an

=

l .

n--++oo

On dit alors que (an) est une suite convergente.

- Dans le cas où E

=

IR, on définit de plus:

lim an

=

⁺⁰⁰ par: Vk E IR 3 r E 1N 'In ~ r an ~ k ,

n--++oo

lim an

=

^{-00 par:} Vk E IR 3 rEIN 'In ~ r an ~ k .

n--++oo

- Opérations algébriques

Si lim an

=

l et lim bn

=

l', alors:

n--+oo n--++oo

lim (an+bn)=l+l',

n--++oo

et, pour À E K :

• Normes équivalentes

A priori, la convergence d'une suite dépend de la norme choisie.

N et N'étant deux normes sur E, pour que toute suite convergente dans (E, N) soit également convergente dans (E, N'), il faut et il suffit qu'il . existe a

>

0 tel que N' ~ aN .

N et N' sont équivalentes s'il existe a

>

0 et a'

>

0 tels que N' ~ aN et N ~ a'N',

10 Espaces vectoriels normés

ou encore si les fonctions

~

et ; , sont bornées sur E \ {O} .

Alors une suite converge dans (E, N) si et seulement si elle converge dans (E, N').

• Cas d'un espace vectoriel de dimension finie

- Dans un espace vectoriel de dimension finie toutes les normes sont équi valentes.

- Soit E de dimension finie, (el, ... , es) une base de E. Une suite (an) dans E s'écrit:

an

=

aln el

+ ... +

asn es, où (aln ),""., (asn ) sont des suites dans K.

(an) converge vers l O." li el

+ ... +

ls es si et seulement si (ajn) converge vers lj pour tout jE {l, ... ,s}.

Dans la suite du chapitre, les espaces vectoriels sont supposés de dimen- sion finie.

• Comparaison de suites

Soit (an) une suite dans E et (an) une suite réelle positive.

- S'il existe M > 0 tel que, pour tout n E IN,

Ilanli

~ Man, on dit (an) domine (an) et on écrit an

=

O(an ) .

- Si, pour tout é > 0, il existe un rang à partir, duquel on a

Il

an

Il

~é an, (an) est négligeable par rapport à (an) et on écrit an

=

^{o( an) .}

- Si (an) ne s'annule pas, on a : an = O(an ) si et seulement si an = o(an ) si et seulement si

( : : ) est bornée;

lim an

=

O.

n-t+oo an

Deux suites réelles ou complexes (an) et (bn ) sont équivalentes si, pour tout é

>

0, il existe un rang à partir duquel on a :

On écrit an '" bn .

+00

lan-bnl~élanl ·

Si an ne s'annule pas, an '" bn si et seulement si lim bⁿ = I .

+00 n-++oo an

• Suites de Cauchy

- Une suite (an) dans E est dite de Cauchy si, pour tout é

>

0, il existe un rang r à partir duquel on a

lIam -

an

Il

~

é,

ce qui s'écrit:

'ié>O

3rEIN 'im~r 'in~r lIam-anll~é,

Espaces vectoriels normés Il

ou encore:

'rIê

>

0 3r E IN 'rIn ~ r 'rIp E IN

Ila

n+p - anll ~ ê.

- Toute suite convergente est de Cauchy.

En dimension infinie, la réciproque est fausse. Mais:

Dans un espace vectoriel normé de dimension finie sur Il ou CU, une suite converge si, et seulement si, elle est de Cauchy .

• Suites bornée.'/

- Une suite (au) de E est bornée si l'ensemble {an; nE IN} est borné.

- Toute suite cOllvergente est bornée.

• - De toute suite bornée de /:.,,, on peut extraire une suite convergente (théorème de Bolzano - Weierstra..'>S) .

• Étude locale d'une application

• Limites - Définition

Soit E et F deux espaces vectoriels normés et

1

une application de AcE dans F. Soit a E E adhérent à A et l E F.

1

admet la limite l au point a si, pour tout E: > 0, il existe 6 > 0 tel que

11/(x) -lll

~ ê dès que

IIx - ail

~ 6 , ou encore:

'riE: > 0 36> 0 'rIx E A

IIx - ail

~ 6 ===}

11/(x) -lll

~ ê.

Cela revient à :

lim II/(x)

-lll =

0,

x---<a

et on écrit:

lim/(x)=l ou lim/=l.

x-.a a

L'élément l, s'il existe, est unique.

----.:. Continuité en un point

Si

1

admet une limite en a et si a E A,

1

est continue en A.

Si

f

admet une limite en a f/- A,

1

est prolongeable par contiJuité en a : la fonction

Î

définie de A U {a} dans F par:

Î(x) =

{/(X) s~

x E A l SI X = a est continue en a.

Lorsque F est muni d'une base (el, ... , es), on peut écrire, pour x E A : I(x) =

ft

(x) el

+ ... +

Is(x) es,

où les fonctions

h

sont définies sur A et à valeurs dans K.

1

admet alors la limite l

=

li el

+ ... +

ls es en a si, et seulement si, chacune des fonctions fj admet la limite lj en a.

12 Espaces vectoriels normés

• Extensions de la définition

- Si A =

la,

+oo[ , on dit que

f

admet la limite l en +00 si : 'lé> 0 :3 k > a 'Ix ~_A x ~ k ==} IIf(x)

-lll

~ é, ce qui se note lim f(x)

=

^{l .}

x---++oo

On définit de façon analogue lim f(x)

=

l.

x-+-oo

- Si F = R, on dit que

f

admet la limite +00 en a (où a E E est adhérent à A) si :

'1k E R 36> 0 'Ix E A

IIx - ail

^{~ 6 ==}} f(x) ~ k, ce qui se note lim f(x) = +00 .

x---+a

On définit de façon analogue lim f(x)

=

-00 .

x---+a

• Opérations sur les limites Opérations algébriques

Si À E K, lim

f

= l et lim g

=

l' , on a :

a a

limU+g)=l+l' et lim(Àf)=Àl.

a a

Composition

Soit E, F et G trois espaces vectoriels normés, des parties ACE et BeF, des applications

f :

A ^--+ B, et g : B ^--+ F, des points a E E adhérent à A et b E F adhérent à B.

Si lim

f =

b et lim g

=

l, alors lim g 0

f

⁼ l .

a b a

Exemple d'utilisation: Pour déterrrùner la lirrùte éventuelle de h(x) = ~

. ~

~ ~ ~

lorsque x tend vers

2" '

on pose u = x -

2"

et on a, pour x

i- 2" :

-sin

(x -

~2)

sinu h(x) = - - - - = - - ,

7r U

x-

'2

~ sinu

donc h= gof,Où!(x)=x-2"' et g(u)=---;u-' Comme limf

=

0 et limg

=

-1, on a limh

=

-1 ,

~ 0 ~

- Composition par une suite

x- -2

Soit

f

une application de A dans F et (an) une suite dans A, convergente vers a adhérent à A. Si lim

f =

l ,alors lim

f

(an)

=

l .

a n---++oo

Exemple d'utilisation: On veut étudier l'existence d'une limite en 0 de la fonction! de IR- dans R définie par f(x)

=

sin.!. .

x

Espaces vectoriels normés 13

Posons an

=

1 et bn

=

1 . On a Hm an

=

0, lim bn

=

0

i

^{+2 n 7f -}

i ⁺

^{2 n 7f n~+oo n~+oo}

et d'autre part J(an ) = 1 et J(bn ) = -1 ; ce qui entraîne que J n'admet pas de limite en o.

Si a E A,

f

est continue en a si, et seulement si, pour toute suite (an) de points de A convergente vers a, on a lim f(an ) = f(a) .

n ... +oo

• Comparaison de fonctions

Soit ACE,

f :

A ^--> F , cp : A --> Dl et a un point adhérent à A. On suppose que cp ne s'annule pa..s sur A \ {a} .

- S'il existe M

>

0 et r

>

0 tels que, pour tout x E B(a,r) nA, on ait :

Il;~:~II ~

^M,

f est dominée par cp quand x tend vers a et on note f(x)

=

Oa(CP(x)) . - Si lim f«X))

=

0, on dit que f est négligeable par rapport à cp quand

x ... a cp X

x tend vers a et on écrit f(x)

=

oa(CP(x)) .

• Applications continues

• Définition et premières propriétés

- Une application

f

de A dans F est continue si elle est continue en tout point de A.

Si F est muni d'une base (el, ... , es) et si

f(x) = ft(x) el

+ .. . +

fs(x)es ,

alors

f

est continue dans A si, et seulement si, toutes les fonctions

fJ

^le

sont.

- L'ensemble C(A, F) des fonctions continues dans A et à valeurs dans F est un espace vectoriel.

- L'ensemble C(A, IR) ou C(A, <t) est une algèbre.

- Soit E, F et G trois espaces vectoriels normés, des parties AcE et BeF, des applications

f :

A --> B continue dans A et 9 : B --> G continue dans B.

Alors l'application 9 0

f :

A --> G est continue dans A.

- Exemples

1. Une fonction f de A dans F est dite lipschitzienne de rapport k si :

"Ix

^E E Vy E E IIf(y) - f(x)1I ~ klly -

xii.

Cette définition s'applique également en dimension infinie.

Toute fonction lipschitzienne est continue.

14 Espaces vectoriels normés 2. Les fonctions:

E -+ R x 1->

IIxli

sont continues .

et Ex E -+

(x,y) ^1->

• Parties ouvertes, parties fermées - Définitions

R

d(x,y) =

Ily - xii

Une partie A de E est ouverte si, pour tout a E A, il existe r > 0 tel que B(a,r) cA.

A est fermée si E \ A est ouverte.

Exemples: E et 0 sont en même temps ouvertes et fermées dans E.

Dans E = IR, ~ n'est ni ouvert, ni fermé; la, +oo[ est ouvert, [a, +oo[

est fermé.

- Propriétés

La réunion d'une famille (finie ou non) de parties ouvertes est ouverte;

l'intersection d'une famille finie de parties ouvertes est ouverte.

L'intersection d'une famille (finie ou non) de parties fermées est fermée;

la réunion d'une famille finie de parties fermées est fermée.

Exemple: Pour tout n E N*, An

= ] - .!.., .!.. [

est ouvert dans R;

n n

+00 +00

U

^{An =} ]-1, l[ est ouvert;

n

^{An =} {O} est fermé.

n=l n=l

... À part le cas particulier de la page 15, le reste du chapitre n'est pas au progmmme de PT.

- Points particuliers Soit A une partie de E.

x est dit intérieur à A s'il existe une boule ouverte de centre x contenue dans A, soit:

3r

>

0 B(x,r) cA.

Un point x E E est dit adhérent à A si toute boule ouverte de centre x rencontre A, soit:

Vr

>

0 B(x,r)nA of 0.

x est adhérent à A si, et seulement si, il existe une suite (an) de points de A qui converge vers x.

Une partie A est fermée si, et seulement si, pour toute suite de points de A qui converge dans E, la limite appartient encore à A .

• Images réciproques

- Soit

f

une application continue de E dans K.

Espaces vectoriels normés 15 L'image réciproque d'une partie ouverte (resp. fermée) de K est une par- tie ouverte (resp. fermée) de E.

- Exemples

1. Soit f une application continue de E dans R et a E 1R.

-1

L'ensemble {x E E ; f(x)

>

a} = f (la, +oo[) est ouvert.

- 1

L'ensemble {x E E; f(x)

=

a}

=

f ({a}) est fermé.

2. Soit E

=

Mn(K) ; l'ensemble GLn(K) des matrices inversibles est

- 1

ouvert dans Mn(K) car GLn(K) =

f

(K*) où f: Mn(K) -+ K est continue (cf. page 16) .

• Parties compactes - Définition

M ^1---> detM

Une partie fermée et bornée de E est dite compacte.

Cette définition ne s'applique pas en dimension infinie.

• - Propriété

Une partie A de E est compacte si, et seulement si, de toute suite de points de A, on peut extraire une suite convergente dans A

- Soit E et F deux espaces vectoriels normés de dimension finie, AcE et

f :

A -+ F continue.

Si A est compact dans E, f(A) est compact dans F.

- Cas particulier

U ne fonction

f

de A dans lR, continue sur un compact ACE est bornée et atteint ses bornes, c'est-à-dire qu'il existe Xl E A et X2 E A tels que:

f(xI)

=

sup f(x) f(X2)

=

inf f(x) .

xEA xEA

• • Continuité uniforme

- Une fonction f : A -+ K est uniformément continue dans A si, pour tout c

>

0, il existe 8

>

0 tel que, pour tous x, y E A :

lIy - xII ::;;

8

==>

If(y) - f(x)1 ::;;

c.

Si A est compact, toute fonction

f :

A -+ K continue dans A y est uniformément continue .

• Applications linéaires continues

- Toute application linéaire

f :

E -+ F définie sur un espace vectoriel normé E de dimension finie est continue. Il existe k

>

0 tel que:

VxE E

Ilf(x)IIF ::;; kllxllE .

16 Espaces vectoriels normés

- Toute application bilinéaire B : E x F -+ G , où E et F sont des espaces vectoriels normés de dimensions finie, est continue.

Il existe ^k

>

0 tel que :

V(x,y) E Ex F IIB(x,y)lIc (kllxllE

lIyllF .

- Exemples 1. Les applications :

ExE -+ E

(x, y) >-> x

+

^{y et}

KxE -+ E

(>.,y)

^>->

>.x

sont continues.

2. Si E est un espace vectoriel euclidien, le produit scalaire:

ExE -+ ID.

(x, y)

~

(xly)

est une application continue.

3. Si E est de dimension finie ^8, alors C(E) est de dimension ^{8 2} et l'application:

est continue.

C(E) x C(E) -+ C(E)

(I, g) 1-> go

f

4. La propriété s'étend à des applications multilinéaires. Si E est de di- mension finie muni d'une base B

=

(el, ... , es) , l'application:

En -+ K

(Xl,""Xn ) >-> detB(xl,""Xn )

est n-linéaire, donc continue.

L'application de Mn(K) dans K: A ~ detA est continue (n-linéaire par rapport aux colonnes de ^{A) .}

• - Norme d'une application linéaire continue Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie. En posant, pour

f

^E C(E, F) :

IIfll =

sup

IIf(x)!IE,

IlxllE~l

on définit une norme dans C(E, F) dite subordonnée aux normes de E et F. En particulier, si E

=

F,

Ilfll

= sup

IIf(x)IIE

IlxllE~l

définit dans ^C(E) la norme subordonnée à la norme dans E.

Cette norme vérifie:

Vf E C(E) Vg E C(E) IIg 0

fil ( IIgllllfll .

Attention, cette relation n'est pas vérifiée par une norme quelconque dans ^{C(E) (cf} Problème 9).

Espaces' vectoriels normés 17

Les énoncés d'exercices

[I]

^{Pour f E C([O,} 1J, IR), on pose NU)

= 11

^{et If(t)1 dt .}

Montrez que N est une norme. Est-elle équivalente à la norme de la con- vergence uniforme?

~

Dans IR² normé par N (x, y)

=

max{lxl, Iyl} , on considère la droite F

=

{(x,O); x E IR}.

Déterminez l'ensemble des points de F dont la distance au point (3,2) est minimale.

rn

^{Dans IR2 , on pose N(x,y)}

⁼

^{sup lx}

^{+t;1 .}

tER 1

+

t 1. Montrez que N est une norme.

2. Comparez cette norme à la norme euclidienne e en déterminant le meilleur encadrement de la forme a N ~ e ~ b N .

[!]

^Soit A une partie convexe non vide d'un espace vectoriel normé E.

Montrez que l'application x f-4 d(A, x) est convexe.

[Il'

Soit E un espace vectoriel normé. Pour toute partie A de E fermée et non vide, on note dA l'application x f-4 d(A,x).

Montrez que l'application A ^f-4 dA est injective.

ffiJ

^{Soit E} un espace vectoriel normé sur 1R et

f :

E ^--4 E une application bornée sur B (0, 1) et vérifiant f(x

+

y) = f(x)

+

f(y) pour tous x et y appartenant à E.

Montrez que

f

est linéaire.

ŒJ

^{Soit E}

=

C([O, 1], il) muni de la norme de la convergence en moyenne.

Pour f E E et xE [0,

lJ,

on pose TU) (x) =

fox

^{f(t) dt.}

1. Montrez que T est un endomorphisme de E.

2. Déterminez lI(T)

=

sup N (TU») .

N(f)=l

lI(T) est appelé la norme de l'endomorphisme T.

18 Espaces vectoriels normés

Les énoncés de problèmes _ _ _ _ _ _ _ _

~ Théorème du point fixe

Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, A une partie fermée non vide de E et

f :

A -+ A une application lipschitzienne de rapport k

<

1 . On note

r

⁼

^f

^{0 ... 0}

^{f .}

' - v - - ' n fois

1. Montrez que, pour tout Xo E A, la suite (Jn(xo)) converge vers une limite lE A.

2. Montrez que l est l'unique point fixe de

f.

3. Donnez une majoration de

IIx

n -

III .

4. Application. Montrez que l'équation x

=

²

+

110 sinx admet une solution l unique et déterminez l à 10-⁴ près.

œ

On considère l'espace vectoriel (:n muni d'une norme X >-+ IIXII . Pour A E Mn(<C) , on, pose N(A) = sup IIAXII.

Ilxll~l

1. Montrez que N est bien définie et que N(A)

= ~ulo 1I1~~t .

2. Montrez que A>-+ N(A) est une norme sur Mn(<C) . 3. Montrez que

N(AB) ~ N(A) N(B) . 4. En est-il ainsi pour toute norme sur Mn ({:) ?

5. Dans cette question, on suppose n

=

2 et A

= (

Calculez N(A) dans chacun des deux cas :

1 -2)

3 2+i .

6. Déterminez de même N(A) lorsqqe A E Mn(<C) et pour X

=

t(Xl, .•. ,xn ),

a) IIXII = max{lxt!, ... , Ixnl} ; b) IIXII = Ixli

+ ... +

Ixnl·

Espaces vectoriels normés 19

Quelques coups de pouce

rjl

Construisez une suite (In) telle que

Il/nll =

1 et lim N(In)

=

O.

t..=J n--++oo

@]

Étudiez les variations de e(x, y) si N(x, y) :::; l , ou les variations de N(x, y) si e(x, y) = 1 .

@]

Rappelez-vous des définitions de partie convexe, fonction convexe et de la distance d'un point à une partie non vide.

Faites une petite figure pour guider le raisonnement.

lliJ

Précisez bien les ensembles de départ et d'arrivée.

~ Rappelez-vous de la définition de la multiplication que vous avez ap- prise à l'école élémentaire, puis étudiez les cas .À = 0, .À E ]N* , .À E 7l~ ,

.À E ~.

Pour .À E IR, considérez une suite rationnelle convergeant vers .À ; vous serez amené à montrer que

1

est continue.

[1J

·2. Montrez d'abord que /I(T):::; 1 , puis construisez une suite (In) pour montrer l'inégalité inverse.

ŒJ

1. Étudiez IIxn+l -

xnll ,

puis montrez que (xn) est de Cauchy.

2. Utilisez la continuité de

f.

@J

^1. Pour démontrer que la borne supérieure d'un ensemble E est ma- jorée par M, on démontre que tout élément de E est majoré par M.

2. Vous devez savoir que sup(E

+

F) :::; sup E

+

^sup F , sinon démontrez ce résultat à titre d'exercice auxiliaire.

4. Considérez la norme définie par /I(A) = max laij 1 •

',J

5. Cherchez d'abord un majorant de N(A), puis montrez qu'il est atteint en choisissant X.

6. Inspirez-vous de la question précédente.

20 Espaces vectoriels normés

Les corrections d'exercices _ _ _ _ _ _ _ _

c m •

^{Soit E}

⁼

^{C([O, 1], R) et f E} E ; on a N(f) ~ 0 . Supposons N(f)

=

0

=

1 ¹ et If(t)1 dt .

Comme la fonction t ... et If(t)1 est continue et positive, on en déduit:

Vt E [0,1]

Pour tout À E R., on a :

etlf(t)I =O, d'où f =O.

N(À J)

=

1 1

et lÀ f(t)1 dt

=

IÀI11 et If(t)1 dt

=

IÀI N(f) . Enfin, pour

f

et 9 appartenant à E, on a :

Vt E R. et If(t)

+

g(t)1 ~ et If(t)1

+

et Ig(t)l.

En intégrant sur [0,1], on a donc N(f

+

g) ~ N(f)

+

N(g) . N est donc une norme sur E .

• La norme de la convergence uniforme est Ilfli

=

sup If(t)l.

tE[O,l]

Montrons que la fonction

f ... ~{J)

n'est pas bornée.

Pour ceci, il suffit de construire une suite (fn) telle que Ilfnli soit cons- tante tandis que N(fn) tend vers O.

Prenons par exemple la fonction fn définie ^{1 y} par:

si t E

[1 - ~,I 1

n fn(t)

= {

0

nt+ 1-n

si tE [0,1 -

~ 1

n

On a fn E E, Ilfnli = 1 et

o

N(fn) =

J~l.

et Ifn(t)1 dt

~ J~l.

^{et dt}

~ ~

^xe,

n n

1

~ n x

d'où

JL&JL ~ ~,

^ce qui montre que

f ... 1flL

n'est pas bornée et

N(fn) ~ e N(f)

donc que les deux normes ne sont pas équivalentes.

N(f) .

Vous pouvez montrer que

l7f

^{~ e} -1 ; on dzt que 1111 est plus fine que N.

Espaces vectoriels normés 21

m

^{Posons M}

⁼

^{(3,2) et M'}

⁼

^{(x,O) .}

On a alors d(M, M')

=

max{lx -

31,

2} ;? 2 et

d(M, M')

=

2 { = } lx -

31

~ 2 { = } xE [1,5].

Ainsi, la distance d(M, M') est minimale pour tout point M' du segment [AB], où A

=

(1,0) et B

=

(5,0).

Cet exemple montre que la géométrie dans un espace vectoriel normé quelconque peut être très différente de celle d'Euclide!

rn

^1. Vérifier que N est une norme ne pose aucune difficulé.

Détaillons la démonstration de l'inégalité triangulaire:

N( ^{1 ' ) lx}

+

x'

+

t (y

+

y')1 ./ lx

+

tyl

+

Ix'

+

ty'l

x

+

x , y

+

y = sup 2 : : : : : : : sup 2

tER 1

+

t ^tER 1

+

t

./ lx

+

tyl Ix'

+

ty'l ::::::: sup

+

sup ,

tER 1

+

t² tER 1

+

t² donc N((x,y)

+

(X/,y')) ~ N(x,y)

+

N(X/,y').

2 .• Première méthode

Étudions la boule unité dans (IR?, N) . On a:

N(x, y) ~ 1 { = } Vt E IR (x

+

ty)2 ~ (1

+

t2)2

{ = } VtEIR (t 2 +yt+l+x)(e- yt+l-x);?0

{ Pl(t) ;?

°

^{ou {Pl(t)}

^~ °

{ = } Vt E 1R

P2(t) ;?

°

^{P2(t) ~}

°

où P1(t)=t 2 +yt+l+x et P2(t)=t 2 -yt+l-x.

Soit (x, y) E B(O, 1) . Si P1(t)

<

0, on a aussi P2(t)

< °

et réciproque- ment. Les deux trinômes ont donc les mêmes racines et, comme ils ont le même coefficient dominant, ils sont égaux, d'où (x,y) = (0,0).

Pour (x,y) ⁼¹⁼ (0,0), on a donc:

N(x,y) ~ 1 ^{{ = }} Vt E 1R P1(t);?

°

^{et P2(t);? O.}

Les discriminants sont:

6 1= y2-4(I+x) et 6 2 =y2-4(1-x).

Donc N(x,y)~1 ^{{ = }} [y2~4+4x et y2~4-4x].

B(O, 1) est donc l'intersection des intérieurs de deux paraboles (à tracer).

On a donc N(x,y) = 1 =:=} 1 ~ e(x,y) ~ 2,

22 Espaces vectoriels normés et pour N (x, y)

=

À :

N(x,y) À

e(x,y) e(x,y) Donc, en tout

! ~

N (x,y)

~

¹

2 -..;:: e(x,y) -..;:: . N(x,y) Pour (x,y) = (1,0), on a = 1

e(x,y) , Pour (x,y) = (0,2), on a Nt,y/

=.~,

e x,y 2 donc l'encadrement ne peut pas être amélioré.

• Deuxième -méthode

On étudie B(O, 1) dans (IR?, e) .

Supposons e (x, y) = 1 ; il existe donc Q tel que (x, y) = (cos Q, sin Q) . P ( ) _ x

+

^{ty _ cos Q}

+

^{t sin Q}

osons 'Pa. t - - - 2 - 2 '

l+t l+t

1 ( ) _ _ t² sin Q - 2t cos Q

+

^{sin Q}

alors 'Pa. t - . (1

+

t2)2 . Supposons sin Q > 0 . On a :

'P~(t) = 0 {::==} tE {tl, t2} ,

où tl = tan

i

^{et t2 = - cot}

i .

On en déduit les variations de 'Pa. :

t -00 t2 li ⁺⁰⁰

1 0

+

⁰

'Pa ^{- -}

0

'Pa

'"

^/

'"

⁰

d'où N (x,y)

=

max {'Pa(tt}, -'Pa (t2)} .

2 Q . 2 Q

Or 'Pa.(tt} = cos

2

et 'Pa(l2) = -sm

2·

Donc, quand Q parcourt ]0,7r[, N(x,y) parcourt

[2,1].

1

PourQ = OOuQ = 7r,ona (x,y) = (1,0) ou (x,y) = (-1,0) et N (x,y) = 1.

Comme N (-x, -y) = N (x, y) , on obtient les mêmes résultats pour

Q E]-7r, 0[.

Espaces vectoriels normés 23 En tout, pour e (x, y)

=

^{1, on a}

2":(

1 N (x, y):( 1, et on conclut comme ci-dessus.

[I]

Soit xl. X2 E E et ÀI' À2 ^E IR+ tels que Àl

+

À2 X

=

^ÀIXI

+

À2X2' Il s'agit de montrer que

d(A, x) :( ÀI d(A, Xl)

+

À2 d(A, X2) . Une figure peut donner de bonnes

idées.

Soit t:

>

0 . Il existe YI, Y2 E E tels que:

d(XI, yr) :( d(A, xt)

+

^t:

d(X2, Y2) :( d(A, X2)

+

^t:

1 posons

Posons y

=

^{Àl Yl}

+

À2 Y2 . Comme A est convexe, y E A et on a : d(x, y)

= IIx -

yli

=

IIÀl (Xl - yr)

+

À2 (X2 - Y2)1I

:( Àl d(xl, yr)

+

À2 d(x2, Y2) :( Àl d(A, xr)

+

À2 d(A, X2)

+

^t:.

On a donc, pour tout t:

>

0 :

d(A, x) ~ Àl d(A, ^Xl)

+

À2 d(A, X2)

+

^{t: ,}

d'où d(A, x) :( Àl d(A, Xl)

+

À2 d(A, X2) .

[~l

^{Notons P*} l'ensemble des parties fermées et non vides de E, et F(E, IR) l'ensemble des applications de E dans R.

Pour A E P., on a dA E F(E, IR) , et il s'agit d'étudier l'application:

cp: P* ----+ F(E, Il)

A ^1----> dA

Soit A et B appartenant à P* tels que cp(A)

=

cp(B) , c'est-à-dire:

\Ix E E d(A, x)

=

d(B,x) . En particulier, pour xE B, on a d(A, x)

=

O.

Comme A est fermé, ceci implique x E A .

En effet, comme d(A, x) = inf {d(a,x); a E A}, il existe une suite (an) de points de A telle que lim

IIx -

an

Il =

0, donc lim an = x, d'où

n~+~ n~+oo

X E A puisque A est fermé.

On a donc montré que x E B implique x E A , donc BeA.

On montre de même Ac B, donc A

=

B.

Ainsi: cp(A)

=

cp(B) ===> A

=

B , donc l'application cp est injective.

24 Espaces vectoriels normés

ŒJ

Montrons, par étapes, que f(>..x)

=

>..f(x) pour tout>.. E 1R.

a) Si >..

=

0, on a f(O)

=

f(O +0)

=

f(O)

+

f(O) , donc f(Ox)

=

Of(x).

À

b) Si >.. E lN', on a >..x

=

LX, d'où par récurrence:

k=l

À À

f(>..x)

=

f(Lx)

=

Lf(x)

=

>..f(x).

k=l k=l

c) Si >.. E 7l', on a f(->..x)

+

f(>..x)

=

f(O)

=

0, d'où:

f(>..x) = - f( ->..x)

= -

(->..) f(x) = >.. f(x) , d'après b puisque ->.. E IN'.

d) Si >.. E Q, posons>..

=!?

où p E 7l et q E IN', donc q>..

=

p. De q

f(q>..x)

=

qf(>..x) et f(px)

=

pf(x) , on déduit f(>..x)

=!?

f(x)

=

>..f(x).

q

e) Si >. est un réel quelconque, il existe une suite rationnelle (>'n) telle que lim >'n

=

>. et donc, pour tout xE E, on a lim (>"nx)

=

>..x.

n~+oo n~+~

Or f(>'n x) = >"n f(x) et lim >"n f(x) = >.. f(x) .

n-->+oo

Pour conclure, il suffit de montrer que

f

est continue, car alors on a : lim f(>'nx)

=

f(>..x).

n-->+oo

Comme f(x

+

h) - f(x)

=

f(h) , il suffit de montrer que f est continue en O.

Considérons donc une suite (hn ) dans E convergente vers O. Il existe alors une suite rationnelle positive (an) telle que:

VnEIN

Ilhnll:::;on

et lim on=O.

n-++oo

On a donc

Il

^hn

Il :::;

^{l, soit hn E B(O, 1) .}

On On

Comme

f

est bornée sur B(O, 1) , il existe K

>

0 tel que, pour tout n, on ait

II!(

hn)

Il :::;

^{K .} D'après b on a f(h n )

=

^On f( hn) , d'où:

On On

IIf(hn)ll:::; On

Ilf(hn)ll:::;

^Kon ,

On

Espaces vectoriels normés 25 puis Hm f(hn )

=

^{0 .}

n--++oo

Ainsi,

f

est continue en 0, donc continue dans E, et on a bien:

f(Ax) = f( lim (An x ) = lim f(Anx) = lim (Anf(x)=Af(x).

n--++oo n--++oo n--++oo

: ;IJ

^{1. Pour A E IR et}

^f

^{et g} dans E, on a:

. T (Af

+

g) (x)

= fox

^(Af

⁺

g) (t) dt = A

fox

^{f(t) dt}

⁺ fox

^{g(t) dt}

= (AT(f)

+

T(g)) (x), donc T(A f

+

^g)

=

A T(f)

+

T(g) .

De plus, si f est continue, on sait que la fonction x ^1-+

r

^{f(t) dt est de}

.

~

classe Cl (cf chap. 5) donc continue.

Ainsi T est bien un endomorphisme de E .

2. Soit f E E tel que N(f)

=

1. On a donc N(T(f)) ~ 1, d'où v(T) ~ 1. Pour montrer que v(T) ~ 1, considérons, pour n E ]N*, la fonction définie par fn(t)

=

^{n (1 -} t)n-I .

On a N(fn)

=

n

rI

^{(1 - t)n-l dt}

⁼

^l,

. Jo

et T(fn) (x)

=

n

fox

^{(1 - t)n-I dt}

⁼

^{1 - (1 - x)n ,}

donc N(T(fn)

= rI

(1 - (1 _ x)n) dx

=

^{1 _ _ 1_ .}

. ~ n+l

Ainsi, pour tout n E ]N*, on a v(T) ~ 1 - - - , d'où 1 v(T) ~ 1. n+l

En conclusion: v(T) = 1.

26 Espaces vectoriels normés

Les corrections de problèmes _ _ _ _ _ _ _ ' Œ]

1. Posons Xn ⁼ fn(xo) , donc Xn+1 = f(xn) pour tout nE Il'J' .

Comme f(A) CA, la suite (xn) est bien définie.

On a IIx2 - xIII = IIf(xd - f(xo)1I ~ kllxl - xoll , et, par récurrence : 'in E IN IIxn+1 - xnll ~ knllxl - xoll .

Montrons que (xn) est une suite de Cauchy. Pour n et p dans Il'J' , on a : Ilxn+^{p - X}n

Il (;

Ilxn+p - xn+p-III

+ .. . +

Ilxn+ ^{1 - Xn} Il

(; (kⁿ+p - I

+ ... +

kn)llxI - xoll

~ ^{kn 1 -} k^P Il _ Il ~ k n IIxI - Xo Il . -...;:: 1 - k XI Xo -...;:: 1 - k

Comme lim kⁿ = 0 , pour é

>

⁰ donné, il existe rEIN tel que, pour n->+oo

tout n;? r et pour tout p E Il'J' , on ait:

Ilxn+p - ^Xn Il (; é .

Ainsi (xn) est bien de Cauchy et donc convergente, puisque E est de dimension finie.

Posons [ = lim Xn ; comme Xn E A pour tout n et que A est fermé,

n--++CX,l

on a bien [ E A . 2. - Existence

f

est continue car lipschitzienne, d'où:

f(l)

=

f( lim xn)

=

lim f(xn)

=

lim Xn+1

= [ ,

n--++~ n--++~ n-+~

donc [ est un point fixe de

f.

- Unicité

Soit [' un point fixe de

f.

On a :

Ill'

-lll

⁼

Ilf(l') - f(l)11 (;

k Ill' -lll , d'où (1 - k) Ill' - III (; 0, donc l' = l .

- Remarque

On déduit de l'unicité que l ne dépend pas du choix de Xo, ce que l'on peut vérifier directement. En effet, si x~ = r(x~) et Xn ⁼ r(xo), on a facilement IIx~ -xnll (;knllx~-xoll, d'où le résultat en passant à la limite.

. /"' n Il XI - xoll

3. On avaIt Ilxn+p - xnll :::::::: k 1 _ k '

d'où, en faisant tendre p tend vers +00, III - xnll (; kⁿ IlxI -

:011 .

1-

Espaces vèctoriels normés 27 4 .• Soit f l'application de R dans IR définie par f(x) = 2

+

10 sinx. 1 On

a

f'(x)

= 1~

^{cosx d'où}

If'(x)1 ~ 1~

^,

et donc, d'après l'inégalité des accroissements finis:

"Ix

^E IR Vy E IR If(x) - f(y)1 ~ 10 1 Iy

-xl·

f

est donc lipschitzienne de rapport

~ <

1 et comme IR est fermé,

f

admet un point fixe unique. 10

• Posons Xo

=

2 et, pour tout n E lN, Xn+l = f(xn) .

On a IXn-ll:::::::: -

/'(l)nlxl-xol

¹ et IX1-Xol =

I l .

-sm2 ::::::::-, dou:

1/,1 ,-

10 1- 10 10 10

1 ( 1

)n

IXn - li ~

9

10 .

Pour obtenir la précision demandée, il suffit de prendre n = 4 . On obtient X4 ~ 2,08697, d'où l ~ 2,0870.

!]]

^{1.. Soit} A E Mn(<e) ; l'application

f

de <en dans

<en

définie par f(X)

=

AX est linéaire, donc continue puisque l'espace de départ est de dimension finie.

Or {X E

<en ; IIXII

^{~ 1} = B(0,1)} est borné et fermé, donc compact (toujours la dimension finie), donc

f

est bornée sur B(O,l)

Ainsi, l'application N de Mn(<e) dans IR est bien définie.

• Soit X E <en \ {O} ;

on a AX =

IIXII A( II~II)'

^d'où

111;~il

⁼

^IIA( II~II ^)11·

Comme

II ^{~II- IIXII, -}

1, on a one ^{d IIAXII}

IIXII "" ^~

^{N(A) , o u d' -}

IIAXII

^~

~10 lïXlI""

^N(A).

• Réciproquement, soit X E B(O, 1) avec X

=1

^O.

On a 0

< IIXII ~

^{1, d'où}

IIAXII ~ III;~III

~

IIAXI!

~

IIAXII

et donc N(A) '"

llXïf '.;::

^~10

lïXlI'

• En tout, on a bien établi l'égalité annoncée.

28 Espaces vectoriels normés

2. Pour tout A E M n ( q;) , N(A) est un réel positif.

Si N(A)

=

0, on a AX = 0 pour tout X E q;n donc A

=

O.

Soit À E (; et A E Mn(q;) ; pour X E q;n tel que IIXII ~ 1 , on a : II(ÀA) XII

=

IIÀ(AX)II

=

IÀIIIAXII,

donc sup II(ÀA) XII = sup (I>-IIIAXII)

=

IÀI sup IIAXII,

UXU(l UXU(l UXU(l

d'où N(ÀA) = IÀI N(A) .

Soit A,B E Mn(<r) ; pour X E <rn tel que IIXII ~ 1, on a:

II(A

+

B) XII

=

IIAX

+

BXII ~ IIAXII

+

IIBXII , donc sup

Il

(A

+

B) XII ~ sup (IIAXII

+

IIBXII)

UXU(l UXU(l

~ sup IIAXII

+

sup IIBXII, IIXU(l UXII(l

ou encore N(A

+

B) ~ N(A)

+

N(B) . N est donc une norme sur Mn (<r) .

3 0 . n a vu que, pour A E M (n "-' , If') on a N(A)

=

^~~

lfXlI '

IIAXII d" ^ou, pour tout X E <rn , IIAXII ~ N(A) IIXII.

Soit A, BE Mn(q;) et XE q;n tel que IIXII ~ 1. On a:

II(AB) XII

=

liA (BX)II ~N(A) IIBXII~N(A) N(B) IIXII ~N(A) N(B), donc sup Il (AB) XII ~ N(A) N(B), ou encore:

UXU(l

N(AB) ~ N(A) N(B) .

4. On définit une norme sur Mn (q;) en posant, pour A

= (aij) ,

v(A) = max

{Iaijl ;

(i,j) E {1, ... ,n}2}.

Si A est la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1, on a A²

=

nA.

Comme v(A)

=

1 et v(A2)

=

n, l'inégalité de la question précédente n'est pas vérifiée par la norme v .

5. a) Soit X

= (:~)

E q;2 tel que IIXII

=

max{lxll, IX21}

~

1 . AX ( Xl - 2X2 )

On a

=

3 (2') , donc

Xl

+ +

^{1 X2}

EspaceS vectoriels normés 29 IIAXII

=

max{

IXI -

2X21,

13xI + (2 +

i) x21 }

~ max{

IXII + 21x21, 31XII + v's IX21}

~ max {

3, 3 ' + Vs} = 3 + v's ,

donc N(A) ~ 3

+ Vs .

Or, si

X = ( 2~i

^{) , on a}

^{IIXII =}

¹ et la seconde composante de AX IHil

s'écrit Y2

= 3 + v's,

d'où

IIAXII

~

3 + v's

puis N(A) ~ 3

+ Vs .

En conclusion, on a donc N(A)

= 3 + v's .

b)

Soit X E

([;2

tel que

IIXII = Ixd + IX21

~ 1 . On a :

IIAXII = IXI -

2X21

+ 13xI + (2 +

i) x21

~

IXII + 21x21 + 31xtI + v'sIX21

~

41xlI + (2 + Vs) IX21

~

(2 + Vs) (IXII + IX21)

~

2 + v's,

d'où N (A) ~ 2

+ Vs .

.or, si X

= (~),

^{on a}

^{IIXII =}

^{1 et}

^{AX =} (2~i)

^d'où

^{IIAXII = 2+Vs}

puis N(A) ~ 2

+ Vs .

En conclusion, on a donc N(A)

= 2 + v's .

6: a) Soit A E Mn{<t) . En s'inspirant de l'exemple de 5.a, on cherche à montrer que N(A)

=

max

L

^laijl·

•

_j

• Soit

X

E ([;n tel que

IIXII =

max{

IXII, ... ,

IXnl} ~ 1 .

On a AX

=

d'où

IIAXII =

max { 1

L

aij Xjl } ~ max

{L

laijllxjl} ~ max {

L

^{laijl }}

•

_j

•

_j

•

_j