Corrigé
1) f est définie sur .
2) Pour tout réel x, - 1 ≤ cos( 2x + π 2 ) ≤ 1 donc - 3 ≤ 3 cos(2x + π
2 ) ≤ 3 donc - 3 ≤ f(x) ≤ 3
La courbe représentative de f se situe dans une bande délimitée par les droites d'équations y = - 3 et y = 3.
3) f(x + π) = 3 cos(2(x + π) + π 2 )
= 3cos(2x +2 π+ π 2 )
= 3cos(2x + π
2 ) car la fonction cosinus est 2 π périodique
= f(x) donc f est π périodique.
On en déduit que l'on peut réduire l'intervalle d'étude à un intervalle de longueur π puis obtenir la courbe complète par translation.
4) f est dérivable sur et f ' (x ) = 3 × 2 (− sin (2x + π
2 ) = − 6 sin (2x + π 2 ).
5) C'est la question délicate du DM. On connaît bien le sinus de x mais pas de 2x + π
2 . 0 ≤ x ≤ π donc 0 ≤ 2x ≤ 2π donc π
2 ≤ 2x + π
2 ≤ 2π + π 2 donc π
2 ≤ 2x + π
2 ≤ 5π 2
Le sinus est positif de π
2 à π, négatif de π à 2π et positif de π à 5π
2 donc les changements de signes de la dérivée sont :
2x + π 2
π
2 π 2π 5π
2
x 0
π 4
3π 4
π
sin (2x + π
2 ) + – +
f ' (x ) – + –
Attention au coefficient – 6 de la dérivée.
Si 2x + π 2 = π
2 alors x = 0, si 2x + π
2 = π alors x = π
4 et si 2x + π
2 = 2π alors x = 3π 4 .
D'où le tableau de variations :
• f (0) = 3 cos(0 + π 2 ) = 0
• f ( π
4 ) = 3cos(2 × π 4 + π
2 ) = 3cos(2 × π 4 + π
2 ) = 3cos(π) = – 3
• f ( 3π
4 ) = 3cos(2 × 3π 4 + π
2 ) = 3cos( 4π
2 ) = 3cos(2π) = 3
• f (π) = 3cos(2 × π + π
2 ) = 3cos( 5π 2 ) = 0
x 0
π 4
3π
4 π
f ' (x ) – 0 + 0 –
f (x) 0
–3
3
0
6) Courbe représentative de f :
