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Classe : 1ère Spé Maths G1
Devoir maison n°2 Démonstrations en trigonométrie
A préparer pour le : 16 / 12 / 19 Exercice 1 : Démonstration des valeurs de et .
On se place dans le repère orthonormé ( O ; I , J ) et on note K le point tel que OIKJ est un carré.
Soit M le point du cercle trigonométrique c tel que = .
2. Rappeler ce que représentent et pour le point M.
3. a) Expliquer pourquoi le point M appartient à la bissectrice de l'angle .
b) On rappelle que cette droite, aussi appelée « première bissectrice des axes », a pour équation = . Que peut-on en déduire pour et .
4. On rappelle que, quel que soit le réel on a : = 1.
a) Démontrer que : = 1
b) Expliquer pourquoi, graphiquement, la valeur de ne peut pas être négatif.
c) En déduire la seule valeur possible pour puis pour . Exercice 2 : Démonstration des valeurs de et .
On se place dans le repère orthonormé ( O ; I , J )
Soit M le point du cercle trigonométrique c tel que = . On note H le pied de la hauteur issue de M dans le triangle MOI.
1. a) Justifier la nature du triangle MOI.
b) En déduire que H est le milieu de [OI].
2. a) En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle OHM rectangle en H, démontrer que :
=
b) En déduire le calcul de la longueur MH.
3. Déterminer les valeurs de et . Justifier.
cos ¼
4 sin¼ 4
_
IM ¼ 4
y = x
y x cos¼
4 sin¼
4 IOJd
cos ¼
4 sin¼ 4
® (cos®)2+ (sin®)2 2 (cos¼
4)2
cos¼ 4
cos ¼ 4
sin¼ 4 cos ¼
3 sin¼ 3 c
c
_
IM ¼ 3
1
4 + MH2 1
cos ¼
3 sin¼ 3
Correction du DM n°2 Exercice 1 : Démonstration des valeurs de et .
On se place dans le repère orthonormé ( O ; I , J ) et on note K le point tel que OIKJ est un carré.
Soit M le point du cercle trigonométrique c tel que = .
1. Rappeler ce que représentent et pour le point M.
et sont respectivement l'abscisse et l'ordonnée du point M.
2. a) Expliquer pourquoi le point M appartient à la bissectrice de l'angle . On sait que = . On en déduit = °
Or = 90° = . On en déduit que (OM) est la bissectrice de l'angle .
b) On rappelle que cette droite, aussi appelée « première bissectrice des axes », a pour équation = . Que peut-on en déduire pour et .
On sait que M appartient à la bissectrice de l'angle et que cette droite a pour équation = . On en déduit : = ⇔ =
3. On rappelle que, quel que soit le réel on a : = 1.
a) Démontrer que : = 1
∀ ∈ R, on a : = 1
On en déduit que, si = , alors : = 1 Or : =
Donc : = 1 ⇔ = 1
b) Expliquer pourquoi, graphiquement, la valeur de ne peut pas être négatif.
On a : ≤ ≤ ce qui revient à situer le point M dans le premier quadrant du cercle trigonométrique.
Dans ce quadrant, l'abscisse de M est nécessairement positive. Donc ne peut pas être négatif.
c) En déduire la seule valeur possible pour puis pour . = 1 ⇔ = ⇔ = ou : =
Or, ≥ et = . Donc = = = = =
cos ¼
4 sin¼ 4
_
IM ¼ 4
cos¼
4 sin¼ 4
IOJd
y x cos ¼
4 sin¼ 4
d
IOJ y x
xM yM cos¼
4 sin¼ 4
® (cos®)2+ (sin®)2 2 (cos¼
4)2
cos ¼ 4 0 ¼
4
¼ 2
cos¼ 4 cos¼
4 sin¼
4 y = x
c
cos¼
4 sin¼ 4
_
IM ¼
4 IOM[ 45
d
IOJ 2IOM[ IOJd
® (cos®)2+ (sin®)2 (cos¼
4)2+ (sin ¼ 4)2 sin¼
4 cos¼ 4 (cos¼
4)2+ (cos ¼
4)2 2 (cos¼ 4)2
® ¼ 4
2 (cos¼
4)2 (cos¼ 4)2 1
2 cos¼ 4
r1
2 cos¼ 4 -
r1 2 cos¼
4 cos¼
4 r1
2 p1
2
1£p p 2
2£p 2
p2
2 sin¼ cos¼ 4
4 sin¼ 0 4
Exercice 2 : Démonstration des valeurs de et .
On se place dans le repère orthonormé ( O ; I , J )
Soit M le point du cercle trigonométrique c tel que = . On note H le pied de la hauteur issue de M dans le triangle MOI.
1. a) Justifier la nature du triangle MOI.
Puisque I et M appartiennent au cercle trigonométrique de centre O alors le triangle MOI est isocèle en O.
On en déduit que ses angles à la base et sont de même mesure. De plus, la somme des mesures des trois angles vaut °.
= donc = °
Ainsi : = = = ° =
Finalement, le triangle MOI est équilatéral.
b) En déduire que H est le milieu de [OI].
On sait que le triangle MOI est équilatéral et que H est le pied de la hauteur issue de M.
Or, dans un triangle équilatéral les hauteurs sont confondues avec les médiatrices.
On en déduit que (MH) est la médiatrice de [OI] et que H est le milieu de [OI].
2. a) En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle OHM rectangle en H, démontrer que : =
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle OHM rectangle en H : =
Or, le cercle trigonométrique est de rayon donc OM = OI = . De plus, H étant le milieu de [OI] on a OH =
On en déduit : = ⇔ =
b) En déduire le calcul de la longueur MH.
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ou = Une longueur ne pouvant être négative, on en déduit : = =
3. Déterminer les valeurs de et . Justifier.
et sont respectivement l'abscisse et l'ordonnée du point M.
On en déduit : = OH = et : = = cos ¼
3 sin¼ 3
_
IM ¼ 3
1
4 + MH2 1
cos¼
3 sin¼ 3 c
[OIM OMI[
[
OIM [OMI
_ 180 IM ¼
3 [IOM 60
60 [IOM 180¡60
2
OH2+ MH2 OM2
1 1
1 2 1
(1
2)2+ MH2 1
4 + MH2 1
1
4 + MH2 1 MH2 1¡ 1
4 MH2 3
4 MH
r3
4 MH - r3
4 MH
p3 p4
p3 2
cos¼
3 sin¼ 3
cos¼ 3
1
2 sin¼
3 MH p3
2
