COMPLEMENTS SUR LES SUITES NUMERIQUES

NUMERIQUES

MEFEYA FOSSI Cyrille

Introduction générale 3

1 Cours sur les suites numériques récurrentes en Terminale C et E 4

1.1 Présentation . . . 4

1.1.1 Dénomination de la ressource et des contributeurs . . . 4

1.1.2 Objectifs pédagogiques spécifiques. . . 4

1.1.3 Liens avec les autres parties du programme . . . 5

1.1.4 Programme officiel relatif au complément sur les suites . . . 5

1.2 Introduction . . . 6

1.3 Convergence des suites récurrentes . . . 8

1.3.1 Pré-requis . . . 8

1.3.2 Résultats fondamentaux . . . 10

1.3.3 Limites. . . 11

1.3.4 Convergence . . . 12

1.3.5 Une méthode d’étude de la limite . . . 17

1.3.6 Quelques exemples d’étude . . . 18

1.3.7 Exercices d’application . . . 21

1.4 Utilisation des suites du type u_n+1 = f(u_n) pour déterminer la valeur approchée de la solution d’une équation par la méthode de Newton . . . . 22

1.4.1 Résultats fondamentaux . . . 22

1.4.2 Description de la méthode . . . 27

1.4.3 Exemple . . . 27

1.4.4 Exercices d’application . . . 30

1.5 Utilisation des suites numériques pour déterminer la valeur approchée de la

solution d’une équation par dichotomie . . . 31

1.5.1 Résultats fondamentaux . . . 31

1.5.2 Description de la méthode . . . 33

1.5.3 Exemple . . . 34

1.5.4 Exercices d’application . . . 37

1.6 Exercices. . . 37

2 Extention pédagogique : la méthode du point fixe 47 2.1 Résultats fondamentaux . . . 47

2.2 Description de la méthode . . . 48

2.3 Exemple . . . 49

2.4 Exercices d’application . . . 51

Conclusion et perspectives 54

Bibliographie et Webographie 55

La nécessité de rendre facile l’enseignement des mathématiques, de mettre à disposition des enseignants et des élèves de l’Afrique Centrale des cours numériques de Mathéma- tiques de bonne qualité ; l’acquisition par les élèves des bases d’une formation solide en Mathématiques permettent à ces derniers d’être à mesure de résoudre les problèmes de vie dont ils font face. Tels sont les objectifs majeur du projet Prenum-AC (Production de Ressources Numériques de Mathématiques en Afrique Centrale).

Il existe de nombreux problèmes dont la solution peut être définie comme la limite d’une suite. Des méthodes de calcul itératives (la méthode du point fixe, la méthode de Newton et la dichotomie) consistent alors à déterminer une valeur approchée de la solution cherchée. Les suites considérées sont souvent des suites récurrentes.

Après avoir présenté au chapitre premier un cours détaillé de niveau Terminale C sur les suites récurrentes du type u_n+1 =f(u_n), oùf est une fonction numérique, sur la méthode de Newton et sur la dichotomie, nous présenterons dans le second chapitre une extention pédagogique sur la méthode du point fixe.

COURS SUR LES SUITES

NUMERIQUES RECURRENTES DU TYPE u _n+1 = f (u _n ) EN CLASSE DE

TERMINALE C ET E

1.1 Présentation

1.1.1 Dénomination de la ressource et des contributeurs

• Titre de la ressource : Compléments sur les suites numériques

• Nom de l’étudiant : Mefeya Fossi Cyrille

• Nom de l’encadreur de l’ENS : Prof. Foupouagnigni Mama

• Nom de l’inspecteur : Mr Sielinou Damase

• Nom de l’encadreur du lycée : Mr Fotsing Joseph

1.1.2 Objectifs pédagogiques spécifiques

A la fin de ce cours, l’élève doit être capable :

1. D’étudier la convergence et de déterminer la limite des suites récurrentes du type u_n+1 =f(u_n), où f est une fonction satisfaisant certaines conditions.

2. D’utiliser les suites numériques du typeu_n+1 =f(u_n) pour déterminer une valeur approchée de la solution d’une équation du type g(x) = 0, par la méthode du point fixe.

3. D’utiliser les suites numériques du typeu_n+1 =f(u_n) pour déterminer une valeur approchée de la solution d’une équation du typeg(x) = 0, par la méthode de Newton.

4. D’utiliser les suites numériques du typeu_n+1 =f(u_n) pour déterminer une valeur approchée de la solution d’une équation du type g(x) = 0, par dichotomie.

1.1.3 Liens avec les autres parties du programme

Le complément sur les suites numériques utilise les résultats définis dans :

• L’étude globale d’une suite numérique (Ressource numéro 12) ;

• Limite d’une suite numérique (Ressource numéro 13) ;

• Le chapitre sur les fonctions numériques ( Ressources numéro 2, 3, 4, 5, 6)

Le complément sur les suites numériques est une introduction des quelques résultats utilisés dans l’enseignement supérieur, notamment en première année d’étude universitaire.

1.1.4 Programme officiel relatif au complément sur les suites

L’arrêté N˚ 53/D/43 MINEDUC/SG/IPG/ESG du 12 Août 1998 portant définition des programmes de mathématiques du second cycle de l’enseignement secondaire général prévoit à la page 45 en classe de Terminale C et E relativement au complément sur les suites :

Contenu Commentaires, Savoir, Savoir-faire

Suites récurrentes : exemples d’études de suites définies par une relation u_n+1 =f(u_n).

Des exemples d’approximation des so- lutions de l’équation f(x) = 0 seront donnés. La méthode de dichotomie et celle de Newton seront des objectifs rai- sonnables.

1.2 Introduction

En classe de première, quelques éléments pour l’étude des suites ont été donnés, quelques suites particulières ont été étudiées à l’instar des suites géométriques, arithmétiques et les suites récurrentes à un terme définies avec des fonctions affines ou homographiques. En classe de terminale, le complément sur les suites numériquesest conçu comme une application de quelques résultats d’analyse pour l’étude des suites récurrentes avec des fonctions diverses et leur application pour résoudre des problèmes concrets.

Les outils les plus utilisés sont :

1. La monotonie couplée au caractère borné des suites ; 2. Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) ; 3. Le théorème des accroissements finis (TAF) ; 4. L’introduction des suites auxiliaires

L’étude des suites numériques du typeu_n+1 =f(u_n) permet à l’apprenant de :

• Connaitre si une suite du type u_n+1 =f(u_n)est convergente ou divergente ;

• Connaitre si une suite du type u_n+1 =f(u_n) admet une limite et éventuellement de la déterminer ;

• Pouvoir déterminer une valeur approchée de la solution d’une équation soit par la méthode du point fixe, soit par la méthode de Newton, soit par dichotomie.

Par exemple, si on veut déterminer la limite de la suite(u_n)définie par :u₀ = ¹₂ et∀n ∈N, u_n+1 =u_n−u²_n, ou encore si on veut déterminer une valeur approchée de la solution de l’équation ln(x+ 3)−x= 0 dans l’intervalle [1; 2], il est nécessaire de maitriser ce cours.

Dans le cadre de ce cours, nous allons premièrement étudier la convergence et la limite des suites du type u_n+1 = f(u_n), ensuite nous montrerons comment les utiliser pour déterminer une valeur approchée de la solution d’une équation tour à tour par la méthode du point fixe, la méthode de Newton et par dichotomie.

Pour aborder aisément cette ressource sur les suites récurrentes du type u_n+1 = f(u_n), ces pré-requis peuvent être révisés dans :

• La ressource sur l’étude globale d’une suite numérique;

• La ressource sur la limite d’une suite numérique;

• Les références indiquées dans la bibliographie.

1.3 Convergence des suites récurrentes

Dans cette partie, on se propose d’étudier la convergence et la limite des suites(u_n) à valeur dans l’intervalle I = [a;b] définie par leur premier terme u0 ∈R, et une relation de récurrence du typeu_n+1 = f(u_n), oùf est une fonction continue sur I telle quef(I)⊂I.

1.3.1 Pré-requis

Pour l’atteinte de l’objectif spécifique 1, l’élève doit avoir comme pré-requis les résultats suivants :

S

Résultat 1 (cf chap 13 CIAM Tle C) : Toute suite réelle croissante et majorée est convergente ;

Résultat 2 (cf chap 13 CIAM Tle C) : Toute suite réelle décroissante et minorée est convergente ;

Résultat 3 (cf chap 9 CIAM Tle C) : Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : Si f est une fonction continue sur [a;b] telle que f(a)f(b)≤0, alors∃ x0 ∈ [a;b]/

f(x₀) = 0;

Résultat 4 (cf chap 9 CIAM Tle C) : Théorème des accroissements finis (TAF) : Si f est une fonction continue sur [a;b] et dérivable sur]a;b[telle que

∃ k ∈ ]0 ;1[,|f⁰(x)| ≤k ∀ x∈ ]a;b[, alors, ∀ x, y ∈[a;b],|f(x)−f(y)| ≤k|x−y|.

S

Résultat 5 (cf chap 1 CIAM Tle C) : Connaître la démonstration par récurrence ; Résultat 6 (cf chap 10 CIAM Tle C) : Etre capable d’étudier les variations d’une

fonction et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé ; Résultat 7 (cf chap 10 CIAM Tle C) : Etre capable de trouver l’image d’un

intervalle par une fonction continue ;

Résultat 8 (cf chap 10 CIAM Tle C) : Pouvoir appliquer le théorème des valeurs intermédiaires ;

Résultat 9 (cf chap 13 CIAM Tle C) : Pouvoir démontrer l’existence et l’unicité de la solution d’une équation dans un intervalle donné ;

Résultat 10 (cf chap 10 CIAM Tle C) : Pouvoir appliquer le théorème des accroissements-finis ;

Résultat 11 (cf chap 13 CIAM Tle C) : Connaître quelques critères pour la convergence d’une suite numérique.

C

1. Soit(u_n)la suite définie par : u₀ =−³₂ et∀n ∈N, u_n+1 =√

u_n+ 2.

- Montrer que(un)est croissante et majorée.

- En déduire qu’elle est convergente. (Résultat 1).

2. Soit(u_n)la suite définie par : u₀ = 4 et∀n ∈N, u_n+1= ¹₂u_n+ 3.

- Montrer que(u_n)est décroissante et minorée.

- En déduire qu’elle est convergente. (Résultat 2).

3. Soitf la fonction définie par : f(t) = sin(t).

- Montrer que∀ t ∈R, |f⁰(t)| ≤1.

- Soit x∈R, en appliquant le théorème des acroissement finis à f sur l’intervalle [x,0], montrer que : ∀x∈ R, sin(x) ≤ |x|. (Résultat 4).

4. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n, on a :n!≥2ⁿ⁻¹. (Résultat 5).

5. Étudier les variations des fonctions suivantes et tracer leurs courbes représentatives dans un repère orthonormé.

a) x7−→ ¹₃x³ +x²−2;b) x7−→ ^2x+1_x−1 ; c) x7−→√

2x−1; d)x7−→2x−ln(x+ 3).

(Résultat 6).

6. Soitf la fonction définie par : f(x) =x−ln(x+ 3).

- Etudier les variations de f et en déduire que f est strictement croissante sur [1; 2]

- Vérifier que f(a)et f(b)sont de signes contraires et en déduire que l’équation x−ln(x+ 3) = 0admet une unique solution dans l’intervalle [1; 2]. (Résultat 9).

7. Soit(u_n)la suite définie par : u₀ = ¹₂ et∀ n ∈N, u_n+1 =u_n(1 +u_n)

- Soit f la fonction définie par : f(x) = x(1 +x). Etudier les variations de f et en déduire que f([0; +∞[) = [0; +∞[

- Montrer que∀n ∈ N, u_n ∈[0; +∞[ et représenter sur l’axe (OI) ses 5 premiers termes. (Résultats 5 et 6).

1.3.2 Résultats fondamentaux

Définition 1.3.1. Une suite récurrente (u_n) est une suite dont les termes sont définis à partir des termes précédents.

Définition 1.3.2. Soit f une fonction continue sur l’intervalle I = [a;b]; Soit x∈ I.

On dit que x est un point fixe de f si f(x) =x.

Activité 1.3.3. Soit f la fonction définie sur l’intervalle I = [1; 2] par : f(x) = ln(x+ 3).

Considérons par g la fonction x7−→x−f(x).

1. Montrer f([1; 2]) ⊂ [1; 2].

2. Montrer que la fonction g est continue sur [1; 2].

3. Montrer que g(1).g(2)<0.

4. En déduire à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires que : ∃ l ∈ [1; 2] tel que g(l) = 0.

5. En déduire que : ∃ l∈ [1; 2] tel que f(l) = l.

Propriété 1.3.4. Soit f une fonction continue sur l’intervalle I = [a;b] telle que f([a;b]) ⊂ [a;b], alors, il existe un réel l∈ [a;b] tel que f(l) =l.

Activité 1.3.5. Soit f une fonction continue sur l’intervalle I = [a;b] telle que f([a;b])

⊂ [a;b].

Considérons par g la fonction x7−→x−f(x)

1. Montrer que la fonction g est continue sur [a;b].

2. Montrer que g(a).g(b)≤0.

3. En déduire à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires que : ∃ l ∈ [a;b] tel que g(l) = 0.

4. En déduire que : ∃ l∈ [a;b] tel que f(l) =l.

5. En déduire que si g(a).g(b)<0, alors l∈ ]a;b[.

1.3.3 Limites

Activité 1.3.6. Soit (u_n) la suite définie par : u₀ = 0 et la relation de récurrence :

∀n ∈N, u_n+1 =√

2u_n+ 3.

Considérons la fonction f :x7−→√

2x+ 3 , (C) sa courbe représentative et (D) la droite d’équation y=x.

1. Montrer que f([0; 3])⊂[0; 3] et en déduire que la suite (un) est bien définie.

2. Étudier les variation de la fonction f et construire sa courbe représentative (D) dans un repère orthonormé en même temps que la droite (D).

3. Représenter graphiquement dans le même repère les dix premiers termes de la suite (u_n) et conjecturer sa limite l.

u•₀ O I

p p p

−2p

J−

−

−

3 3

(C)

u•₁

u•₂ u•₃

Figure1.1 – Courbe représentative de f 4. Démontrer que la suite (u_n) est une suite à termes positifs.

5. Démontrer par récurrence sur n que (u_n) est croissante et majorée par 3.

6. En déduire qu’elle est convergente. On appelle l sa limite.

7. Démontrer en utilisant la relation u_n+1 =√

2u_n+ 3 que : l =√ 2l+ 3.

8. En déduire que : l = 3.

Propriété 1.3.7. Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a;b] telle que f(I) ⊂ I. Soit (u_n) la suite définie par : u₀ =α∈ I, et ∀ n ∈N, u_n+1 =f(u_n).

Alors nous avons :

– ∀ n ∈N, (u_n) est bien définie.

– Si (u_n) converge vers une limite l, alors f(l) =l.

Activité 1.3.8. Soit f une fonction continue sur un intervalle I telle que f(I) ⊂ I.

Soit (u_n) la suite définie par : u₀ =α∈I, et ∀ n ∈N, u_n+1 =f(u_n).

1. Prouver par récurrence sur n que ∀ n∈N, un∈I.

2. En faisant le changement de variable x=u_n, montrer que : lim

n→+∞u_n+1 = lim

x→lf(x).

3. En se rappelant que f est continue en l, en déduire que f(l) =l.

Solution :

1. Soit n∈N et P(n) la proposition «u_n∈I».

– Pour n= 0, on a u₀ =α ∈I. Donc P(0) est établie.

– Soit k ∈N. supposons que P(k) est établie et montrons que P(k+ 1) l’est aussi.

On au_k+1 =f(u_k). Or u_k∈I et f(I)⊂I. Donc u_k+1 ∈I.

Ainsi, u_n∈I pour tout n appartenant à N. 2. On a : lim

n→+∞u_n = lim

n→+∞u_n+1 =l. (car si n →+∞, alors n+ 1→+∞) De plus : lim

n→+∞un+1 = lim

n→+∞f(un). (car un+1 =f(un)).

Posons x=u_n, Alors quand n→+∞, x→l.

Donc : lim

n→+∞un+1 = lim

x→lf(x).

3. Comme f est continue en l, alors : lim

x→lf(x) =f(l).

On en déduit que : f(l) = l.

Remarque 1.3.9. R1 On appelle représentation graphique d’une suite (u_n) l’ensemble des points de coordonnées (n;u_n).

R2 Si la fonction f possède plusieurs points fixes, il sera nécessaire de trouver d’autres critères pour identifier la limite parmi les points fixes.

Exemple : La fonctionf définie sur R par : f(x) = ³₂x(1−x) admet deux points fixes, notamment 0 et ¹₃ ; mais la suite définie par : u₀ = ₁₀¹, et ∀ n∈N,

u_n+1 = ³₂u_n(1−u_n) a pour limite ¹₃ car la suite (u_n) est bien définie dans l’intervalle [₁₀¹;¹₃] et converge vers ¹₃.

1.3.4 Convergence

Activité 1.3.10. Soit f la fonction définie sur I = [0; 2] par f(x) =√ x+ 2.

Considérons (u_n) la suite définie par : u₀ = 0, et ∀ n ∈N, u_n+1 =√

u_n+ 2.

1. Montrer que la fonction f est continue sur I.

2. Vérifier que f(I) ⊂ I.

3. Montrer que f est croissante sur I.

4. Vérifier que u₀ < u₁ et en déduire que(u_n) est croissante.

5. Démontrer que u_n≤2, ∀ n∈N.

6. En déduire que la suite (u_n) est convergente.

On suppose que f est une fonction continue sur l’intervalle I =[a;b]et que f(I) ⊂ I.

Soit (u_n)la suite définie par : u₀ =α∈ I, et ∀ n∈N,u_n+1 =f(u_n).

Propriété 1.3.11. Si f est croissante on a :

– Si u₀ < u₁, alors (u_n) est croissante et majorée par b, doncconverge; – Si u₀ > u₁, alors (u_n) est décroissante et minorée par a, donc converge; – Si u₀ =u₁, alors (u_n) est constante, donc converge;

De plus sil est sa limite, alors (u_n) est majorée par l si elle est croissante et minorée par l si elle est décroissante.

Activité 1.3.12. Soit f une fonction continue sur I = [a;b] telle que f(I) ⊂ I.

Soit (u_n) la suite définie par : u₀ =α∈ I, et ∀ n ∈N, u_n+1 =f(u_n).

On suppose que f est croissante sur I.

1. Montrer que si u₀ < u₁;

a) La suite (un) est croissante.

b) ∀ n∈N, u_n ≤b.

c) En déduire que la suite (u_n) est convergente.

d) Montrer que si l est sa limite, alors (un) est majorée par l.

2. Montrer que si u₀ > u₁;

a) La suite (u_n) est décroissante.

b) ∀ n∈N, u_n ≥b.

c) En déduire que la suite (u_n) est convergente.

d) Montrer que si l est sa limite, alors (un) est minorée par l 3. Montrer que si u₀ =u₁, alors la suite (u_n) est constante ;

En déduire que la suite (u_n) est convergente.

Activité 1.3.13. Soit (u_n) la suite définie par : u₀ = 2 et n ∈ N, u_n+1 = _u¹

n. Soit f la fonction définie pour tout x dans I = [0; 2] par f(x) = _x¹.

On considère les suites (v_n) et(w_n) définies pour tout n∈ Npar : v_n =u_2n etw_n=u_2n+1.

1. Montrer que : ∀ n∈ N, u_n ∈ I.

2. Montrer que : ∀ n∈ N, v_n et w_n ∈ I.

3. Montrer que :

a) ∀ n ∈ N, v_n+1 = (f◦f)(v_n).

b) ∀ n∈ N, w_n+1 = (f ◦f)(w_n).

4. Montrer que la fonction f est décroissante sur I.

5. Montrer que f◦f est croissante sur I.

6. En déduire à l’aide de la propriété 1.3.3 que les suites (v_n) et(w_n)sont convergentes.

Propriété 1.3.14. Si f est continue, décroissante et vérifie f(I)⊂I, alors on considère les suites (vn) et (wn) définie pour tout n ∈ N par : vn=u2n et wn =u2n+1, où un+1 = f(u_n).

On a

– ∀ n∈ N, v_n ∈ I et w_n ∈ I ; – vn+1 = (f ◦f)(vn)

et w_n+1 = (f ◦f)(w_n);

– la fonction f◦f est croissante sur I ;

Les suites (v_n) et (w_n) sont convergentes.

De plus on admet que si lim

n→+∞v_n = lim

n→+∞w_n =l, alors (u_n) converge vers l.

Activité 1.3.15. Soit (u_n) une suite du type u_n+1 =f(u_n) telle que f est une fonction continue et décroissante sur I et telle que ∀ n ∈ N, u_n ∈ I.

on considère les suites (v_n) et (w_n) définie pour tout n ∈ N par :v_n= u_2n et w_n =u_2n+1.

1. Montrer que : ∀ n∈ N, v_n∈ I et v_n ∈ I.

2. Montrer que :

a) ∀ n ∈ N, v_n+1 = (f◦f)(v_n).

b) ∀ n∈ N, w_n+1 = (f ◦f)(w_n).

3. En utilisant le fait que f est décroissante sur I, montrer que f ◦f est croissante sur I.

4. En déduire que les suites (v_n) et (w_n) sont convergentes.

Définition 1.3.16. Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b]. f est dite contractante si ∃k ∈]0; 1[ tel que ∀x, y ∈[a;b], |f(x)−f(y)| ≤k|x−y|.

Propriété 1.3.17. Toute fonction contractante admet au maximum un seul point fixe.

Démonstration :

Soit f une fonction contractante sur un intervalle I.

Supposons que f admet sur I deux points fixes l et l⁰, alors on a :f(l) = l et f(l⁰) = l⁰. f étant contractante sur I, ∃k∈]0; 1[ tel que :

|f(l)−f(l⁰)| ≤k|l−l⁰|. Ainsi, |l−l⁰| ≤k|l−l⁰|=⇒(1−k)|l−l⁰| ≤0 =⇒ |l−l⁰|= 0, car 1−k >0.

Ce qui entraîne que l=l⁰.

Ainsi, une fonction contractante admet au maximum un seul point fixe.

Activité 1.3.18. Soit f la fonction définie sur I = [0; 2] par f(x) =√ x+ 2.

Soit (u_n) la suite définie par : u₀ = 1, et∀ n∈N, u_n+1 =√

u_n+ 2.

On suppose que f admet un unique point fixe dans l’intervalle I.

1. Montrer que f admet un unique point fixe dans l’intervalle I que l’on déterminera.

2. Montrer que la fonction f est continue et deux fois dérivable sur I.

3. Montrer que ∀ x∈ I, |f⁰(x)|< ¹₂. 4. Montrer que ∀ n∈ N, 0< u_n <2.

5. En utilisant l’inégalité des accroissements finis aux points u_n et 2, montrer que :

|un+1−2| ≤ ¹₂|un−2|.

6. Montrer par récurrence que : ∀ n∈ N, |u_n−2| ≤(¹₂)ⁿ|u₀−l|.

7. En déduire que la suite (u_n) converge vers 2.

Propriété 1.3.19. Soit f une fonction continue sur I = [a;b] tel que f([a;b]) ⊂[a;b] et admettant un seul point fixe l dans l’intervalle I = [a;b]. On suppose quef est dérivable sur ]a;b[ et ∃ k∈ ]0; 1[ tel que |f⁰(x)| ≤k, ∀ x∈ I.

Alors la suite (u_n) définie par u_n+1 =f(u_n) converge vers le point fixe l.

Activité 1.3.20. Soit (u_n) une suite définie par u_n+1 = f(u_n), où f est une fonction continue et dérivable sur I telle que ∃ k ∈ ]0; 1[, |f⁰(x)| ≤k, ∀ x∈ I.

On suppose que f admet un unique point fixe l dans I.

1. Montrer que ∀ n∈ N, u_n∈I

2. En utilisant l’inégalité des accroissements finis aux points un et l, montrer que :

|u_n+1−l| ≤k|u_n−l|.

3. Montrer par récurrence que : ∀ n∈ N, |u_n−l| ≤kⁿ|u₀−l|.

4. En déduire que la suite (u_n) converge vers l

Remarque 1.3.21. R1 Si f est une fonction continue sur un intervalle I, et (u_n) une suite à valeurs dans I définie par la formule de récurrence u_n+1 = f(u_n); si l’équation f(x) = x n’admet pas de solution dans I, alors la suite(u_n) est divergente.

R2 L’existence d’un point fixe pour une fonction f ne prouve pas la convergence de la suite (u_n) dont le terme général vérifie u_n+1 =f(u_n).

Exemple : La suite (un) définie par u0 = 2 et un+1 =f(un), ∀ n∈ N, où f est la fonction définie par f(x) = ¹_x est divergente et pourtant la fonction f admet deux points fixes notamment 1 et -1.

1.3.5 Une méthode d’étude de la limite

M

I = [a;b]. Soit f :I −→R tel que f soit continue et vérifie f(I)⊂I. On a le schéma suivant :

1. Si f est croissante

f croissante

u₀ < u₁

u₀ > u₁

(u_n)est croissante et majorée parb

(u_n) est décroissante et minorée par a

(u_n) est convergente

Dans ce cas, la limite l de la suite(u_n)est un point fixe de f que l’on obtiendra en résolvant l’équationf(x) =x, et en trouvant des critères additionnels pour choisir la bonne limite en cas de multiple points fixes.

2. Si f est décroissante, on définit les suites (v_n)et (w_n)pour tout n∈ N par : v_n=u_2n et w_n =u_2n+1

f décroissante

v₀ < v₁

v₀ > v₁

w₀ < w₁

w0 > w1

(vn) est croissante et majorée par b (v_n) est décroissante

et minorée par a (w_n) est croissante

et majorée par b (w_n) est décroissante

et minorée par a

(v_n) est convergente

(w_n) est convergente

-Si lim

n→+∞v_n = lim

n→+∞w_n =l, alors (u_n) converge versl. Donc (u_n)a pour limite l.

-Si lim

n→+∞v_n 6= lim

n→+∞w_n, alors(u_n)diverge.

1.3.6 Quelques exemples d’étude

Exemple 1.3.22. Étudier la convergence et déterminer la limite de la suite (u_n) définie par : u₀ = 0 et ∀ n ∈N, u_n+1 = 2u_n+ 1.

S

Soient la fonction f :x−→2x+ 1, D et ∆ les droites d’équations respectives y=f(x) et y=x.

En construisant sur (OI) les premiers termes de la suite (u_n), on peut conjecturer graphiquement que cette suite est croissante et non majorée.

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

0

∆ D

u₀ u₁ u₂ u₃

Figure1.2 – Représentation des termes de la suite En effet, ∀ n ∈N, u_n+1−u_n= 2u_n+ 1−u_n =u_n+ 1>0.

L’équation f(x) = x n’a pas de solution dans R⁺. En effet, f(x) = x ⇔ 2x+ 1 =x ⇔x=−1.

On peut donc conclure que la suite (u_n) est divergente.

Ainsi : lim

n→∞u_n= +∞, car ∀ n∈N, u_n≥0.

Exemple 1.3.23. Étudier la convergence et déterminer la limite de la suite (u_n) définie par : u₀ = 0 et ∀ n ∈N, u_n+1 = ²₃u_n+ 1.

S

• Soient la fonction f :x−→ ²₃x+ 1, D et ∆ les droites d’équations respectives y=f(x) et y =x. En construisant sur (OI) les premiers termes de la suite (u_n), on peut

conjecturer graphiquement que cette suite est croissante et converge vers 3. En effet : Méthode 1

f est croissante sur R et l’équation f(x) = x⇔ ²₃x+ 1 =x⇔x= 3.

u₀ = 0 et u₁ = 1, u₀ < u₁ et f croissante ⇒ u_n< u_n+1, ∀ n∈N. De plus u₀ <3 = l ⇒

u1 =f(u0)< f(3) = 3.

u₂ =f(u₁)< f(3) = 3.

u3 =f(u2)< f(3) = 3.

. . .

un =f(un−1)< f(3) = 3.

(Car f est croissante).

Donc (u_n) est croissante et majorée par 3.

Ainsi elle converge vers l tel que f(l) = l, donc vers 3.

−2 −1 1 2 3 4 5 6

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4 5 6

0

D

∆

u0 u1 u2u3u4

Figure1.3 – Représentation des termes de la suite Méthode 2

• Démontrons que la suite (u_n) est convergente.

on a : ∀ n∈N, u_n+1−3 = ²₃u_n−2 = ²₃(u_n−3).

On en déduit par récurrence que : ∀ n∈N, u_n−3 = (²₃)ⁿ(u₀−3) Mais : lim

n→+∞(²₃)ⁿ = 0, donc la suite (u_n) converge vers 3.

Ainsi la suite (u_n) admet pour limite : 3.

Méthode 3

• Démontrons par récurrence que ∀ n∈N, u_n< u_n+1. -Pour n = 0, on a : u₀ = 0, u₁ = 1, etu₀ < u₁.

-Soit k∈ N, Supposons que u_k < u_k+1 et montrons que u_k+1 < u_k+2.

On a u_k< u_k+1 ⇒ ²₃u_k< ²₃u_k+1 ⇒ ²₃u_k+ 1 < ²₃u_k+1+ 1, c’est à dire u_k+1< u_k+2. Donc ∀ n ∈N, u_n< u_n+1.

• Démontrons par récurrence que ∀ n∈N, u_n<3.

-Pour n = 0, on a : u₀ = 0 et u₀ <3.

-Soit k∈ N, Supposons que u_k <3 et montrons que u_k+1<3.

On a u_k<3⇒ ²₃u_k<2⇒ ²₃u_k+ 1 <3, c’est à dire u_k+1 <3.

Donc ∀ n ∈N, u_n<3.

Ainsi la suite (u_n) converge. On en déduit que la suite (u_n) admet pour limite l tel que f(l) = l, c’est à dire 3.

Exemple 1.3.24. Étudier la limite de la suite (un) définie par : u0 = 10 et ∀ n ∈N, u_n+1 = ^1+(u_2uⁿ⁾²

n .

S

• Soient la fonction f :x−→ ^1+x_2x², (C) la courbe représentative de la fonction f et ∆ la droite d’équation y =x. En construisant sur (OI) les premiers termes de la suite (un), on peut conjecturer que cette suite est décroissante et converge vers 1.

• L’équation f(x) = x, a une seule solution : 1 dans R⁺; donc, si la suite (u_n) converge, elle converge vers 1.

• Démontrons que la suite (un) est convergente.

Puisque f est croissante sur [1; +∞[, u₀ = 10>1⇒u_n >1.

De plus u1 = ¹⁺¹⁰⁰₂₀ = ¹⁰¹₂₀ < u0 Par récurrence, on montre que ∀ n∈N, un > un+1. Ainsi : ∀ n∈N, u_n > u_n+1.

D’où la suite (un) est décroissante et minorée par 1, donc elle converge vers l, solution de l’équation f(l) = l

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1

2 3 4 5 6

0 u₃ u₂ u₁ u₀

(C)

∆

Figure1.4 – Représentation de la courbe de f et des termes de la suite D’où l = 1.

1.3.7 Exercices d’application

Exercice

1. Construire sur (OI) les 4 premiers termes de la suite (u_n) et conjecturer sa limite.

2. Démontrer que la suite (u_n) est croissante et majorée par 3.

3. En déduire que cette suite est convergente et déterminer sa limite.

Exercice

n+3 .

1. Construire sur (OI) les 5 premiers termes de la suite (u_n) et conjecturer sa limite.

2. a) Démontrer que : ∀ n ∈N, 0≤u_n≤2.

b) Étudier le sens de variation de la suite (u_n).

3. En déduire que cette suite est convergente et déterminer sa limite.

Exercice

n.

1. a) Représenter graphiquement les premiers termes de la suite (u_n).

b) Que peut on conjecturer sur la convergence de la suite (u_n).

2. On considère la fonction g :x7−→x+ ¹_x. Montrer que l’équationg(x) = x n’admet pas de solution et en déduire que la suite (u_n) n’admet pas de limite.

Dans toute la suite, on considère une fonction réelle g définie sur un intervalle[a;b], avec a < b, et continue sur cet intervalle et on suppose qu’il existe un unique α∈ ]a;b[ tel que g(α) = 0.

1.4 Utilisation des suites du type u

= f (u

) pour dé- terminer la valeur approchée de la solution d’une équation par la méthode de Newton

1.4.1 Résultats fondamentaux

Activité 1.4.1. Soit f la fonction réelle définie sur l’intervalle I = [−3;−2] par f(x) =−¹₃x³+x−1. On pose : g(x) =x− _f^f(x)0(x).

1. Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans I.

2. On désigne par K l’intervalle [−3;α]. Étudier le signe des fonctions f, f⁰ et f⁰⁰ et en déduire que f f⁰⁰ est positive sur K et que f f⁰ est négative sur K.

3. a) Vérifier que g(x)≥x, ∀ x∈ K.

b) Montrer que g est croissante sur K et en déduire que : ∀ x∈ K, g(x)≤α.

c) En déduire que : ∀ x∈ K, x≤g(x)≤α.

4. Soit (un) la suite définie par : u0 =−3, et ∀ n ∈ N, un+1 =g(un). Montrer que ∀ n ∈ N, u_n ∈ K.

5. Vérifier que : ∀ n ∈ N, u_n ≤u_n+1 et déduire que la suite (u_n) est croissante.

6. En utilisant l’inégalité x≤g(x)≤α, ∀ x∈ [−3;α], montrer que α est l’unique point fixe de g.

En déduire que la suite (u_n) converge vers α.

S

1. f est continue et dérivable sur R et on a : f⁰(x) = −x²+ 1<0,∀x∈ ]− ∞;−1[∪]1; +∞[.

On en déduit que la restriction de f à ]− ∞;−1[ est une bijection décroissante de ]− ∞;−1[ sur ]− ⁵₃ +∞[.

Donc l’équation f(x) = 0 admet une unique solutionα dans ]− ∞;−1[.

de plus, on a : f(−3) = 5 et f(−2) =−¹₃; c’est à dire f(−3).f(−2)<0; donc α ∈ I.

2. f étant décroissante sur ]− ∞;−1[, on a : ∀x∈ K, f(α)≤f(x)≤f(−3), c’est à dire 0≤f(x)≤5. Donc f est positive sur K.

f⁰(x) =−x²+ 1 <0, ∀x∈ K ; donc f⁰ est négative sur K. f⁰⁰(x) =−2x >0, ∀x∈ K ; donc f⁰⁰ est positive sur K.

On en déduit que f f⁰⁰ est positive sur K et que f f⁰ est négative sur K.

3. a) On a : g(x)−x=−_f^f0^(x)(x) ≥0, ∀x∈ K, car f est positive sur K et f⁰ est négative sur K.

Donc : g(x)≥x, ∀x∈ K.

b) On a :

∀x∈K, g⁰(x) = f⁰⁰(x)×f(x) [f⁰(x)]² ; De plus, f⁰f⁰⁰ est positive sur K ; donc g⁰(x)>0, ∀x∈ K.

On en déduit que g est croissante sur K et on a :

∀x∈K, x ≤α =⇒g(x)≤g(α);

Or, g(α) = α; donc, ∀ x∈ K, g(x)≤α.

c) On déduit des questions 3a et 3b que : ∀ x∈ K, x≤g(x)≤α.

4. On a : ∀ x∈ K, −3≤x≤g(x)≤α; donc −3≤g(x)≤α, c’est-à-dire g(K)⊂K.

Donc : ∀ n∈ N, u_n∈ K.

5. On a : ∀ x∈ K, x≤g(x)≤α; donc ∀ n ∈ N, un ≤g(un) =⇒un ≤un+1. Donc la suite (u_n) est croissante.

6. On a : ∀ x∈ [−3;α], x≤g(x)≤α; donc α≤g(α)≤α=⇒g(α) = α.

Donc,α est un point fixe de g.

De plus, si l’on suppose que α⁰ est un autre point fixe de g, alors on a :

α⁰ ≤g(α⁰)≤α et α ≤g(α)≤α⁰ =⇒α≤α⁰ ≤α =⇒α =α. Ainsi, α est l’unique point fixe de g.

Il en résulte que la suite (u_n) est croissante et majorée par α; donc elle est

convergente. De plus, α est l’unique point fixe de g, donc la suite (u_n) converge vers α.

Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I = [a;b] deux fois dérivable telle que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle I. On pose :

g(x) = x−_f^f0^(x)(x). On a

Propriété 1.4.2. Sif f⁰⁰ est strictement positive sur[a;α]etf f⁰ est strictement négative sur [a;α], alors on a :

– ∀ x∈ [a;α], x≤g(x)≤α.

– La suite (u_n) définie par : u₀ =a, et ∀ n ∈ N, u_n+1 =g(u_n) converge vers α.

Activité 1.4.3. Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I = [a;b] deux fois dérivable telle que l’équation f(x) = 0admet une unique solution α dans l’intervalle I. On pose : ∀ x∈ I, g(x) = x−_f^f(x)0(x) et on suppose que f f⁰⁰ est strictement positive sur [a;α].

1. Montrer que g est croissante sur [a;α].

2. On suppose que f f⁰ est négative sur [a;α].

a) Vérifier que g(x)≥x, ∀ x∈ [a;α].

b) En utilisant la croissance de g, montrer que ∀ x∈ [a;α], g(x)≤α.

c) En déduire que ∀ x∈ [a;α], x≤g(x)≤α.

3. Soit (u_n)la suite définie par : u₀ =a, et∀ n ∈N, u_n+1 =g(u_n). Montrer que ∀ n ∈ N, un ∈ [a;α].

4. Vérifier que la suite (u_n) est croissante.

5. En utilisant l’inégalité x≤g(x)≤α, ∀ x∈ [a;α], montrer que α est l’unique point fixe de g.

En déduire que la suite (u_n) converge vers α.

S

1. On a :

∀x∈[a;α], g⁰(x) = f⁰⁰(x)×f(x) [f⁰(x)]² ; De plus, f⁰f⁰⁰ est positive sur [a;α]; donc g⁰(x)>0, ∀x∈ [a;α].

On en déduit que g est croissante sur [a;α]

2. a) On a : g(x)−x=−_f^f0^(x)(x) ≥0, ∀x∈ [a;α], car f f⁰ négative sur [a;α] équivaut à

f

f⁰ négative sur [a;α].

Donc : g(x)≥x, ∀x∈ [a;α].

b) Comme g est croissante sur [a;α], on a :

∀x∈[a;α], x≤α=⇒g(x)≤g(α);

Or, g(α) = α; donc, ∀ x∈ [a;α], g(x)≤α.

c) D’après les questions 3a et 3b, g(x)≥x et g(x)≤α, ∀x∈ [a;α]. Donc : ∀ x∈ [a;α], x≤g(x)≤α.

3. On a : ∀ x∈ [a;α], a≤x≤g(x)≤α; donc a≤g(x)≤α, c’est-à-dire g([a;α])⊂ [a;α].

Donc : ∀ n∈ N, u_n∈ [a;α].

4. On a : ∀ x∈ [a;α], x≤g(x)≤α; donc ∀ n∈ N, u_n≤g(u_n) =⇒u_n≤u_n+1. Donc la suite (un) est croissante.

5. On a : ∀ x∈ [a;α], x≤g(x)≤α; donc α≤g(α)≤α=⇒g(α) =α.

Donc,α est un point fixe de g.

De plus, si l’on suppose queα⁰ est un autre point fixe deg, alors on a :α⁰ ≤g(α⁰)≤α et α ≤g(α)≤α⁰ =⇒α≤α⁰ ≤α =⇒α=α. Ainsi, α est l’unique point fixe de g.

Il en résulte que la suite(u_n)est croissante et majorée parα; donc elle est convergente.

De plus, α est l’unique point fixe de g, donc la suite (u_n) converge vers α.

Activité 1.4.4. Soit f la fonction réelle définie sur l’intervalle I = [2; 3] par f(x) = ¹₃x³−x−1. On pose : g(x) =x− _f^f0^(x)(x).

1. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans I.

2. On désigne par K l’intervalle [α; 3]. Étudier le signe des fonctions f, f⁰ et f⁰⁰ et en déduire que f f⁰⁰ et f f⁰ sont positives sur K.

3. a) Vérifier que g(x)≤x, ∀ x∈ K.

b) Montrer que g est croissante et en déduire que : ∀ x∈ K, α≤g(x).

c) En déduire que ∀ x∈ K, α≤g(x)≤x.

4. Soit (u_n)la suite définie par : u₀ = 3, et ∀ n∈ N, u_n+1 =g(u_n). Montrer que ∀ n ∈ N, u_n ∈ K.

5. Vérifier que u_n ≥u_n+1 et déduire que la suite (u_n) est décroissante.

6. En utilisant l’inégalité α≤g(x)≤x, ∀ x∈ K, montrer que α est l’unique point fixe de g. En déduire que la suite (u_n) converge vers α.

Propriété 1.4.5. Si f f⁰⁰ et f f⁰ sont strictement positive sur [α;b], alors on a : – ∀ x∈ [α;b], α≤g(x)≤x.

– La suite (un) définie par : u0 =b, et ∀ n ∈ N, un+1 =g(un) converge vers α.

Activité 1.4.6. Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I = [a;b] deux fois dérivable telle que l’équation f(x) = 0 admet une unique solutionα dans l’intervalle I.

On pose : ∀ x∈ I, g(x) = x− _f^f(x)0(x) et on suppose que f f⁰⁰ est positive sur [α;b].

1. Montrer que g est croissante sur [α;b].

2. On suppose que f f⁰ est positive sur [α;b].

a) Vérifier que g(x)≤x, ∀ x∈ [α;b].

b) En utilisant la croissance de g, montrer que ∀ x∈ [α;b], α≤g(x).

c) En déduire que ∀ x∈ [α;b], α≤g(x)≤x.

3. Soit (u_n)la suite définie par : u₀ =a, et∀ n ∈N, u_n+1 =g(u_n). Montrer que ∀ n ∈ N, u_n ∈ [α;b].

4. Vérifier que la suite (u_n) est décroissante.

5. En utilisant l’inégalité α≤g(x)≤x, ∀ x∈ [α;b], montrer que α est l’unique point fixe de g. En déduire que la suite (un) converge vers α.

1.4.2 Description de la méthode

• Considérer la fonction g définie pour tout élément x de [a;b] par g(x) =x− _f^f(x)0(x).

– Si f f⁰ et f f⁰⁰ sont positives sur [α;b], On définie la suite (u_n) à valeur dans [α;b]

par : u₀ =b et ∀ n ∈ N, u_n+1 =g(u_n). (u_n) est décroissante et minorée par α.

– Si f f⁰ est négative sur [a;α] et f f⁰⁰ est positive sur [a;α], On définie la suite (u_n) à valeur dans [a;α] par : u₀ =a et ∀ n∈ N, u_n+1 =g(u_n). (u_n) est croissante et majorée par α.

• Alors, la suite (u_n) converge vers α. On détermine à l’aide d’une calculatrice les premiers termes de la suite (u_n) et on obtient comme valeur approchée de α à 10⁻ⁿ près, le terme de la suite à partir du quel les n premières décimales sont identiques.

1.4.3 Exemple

On Considère l’équation (E) : ¹₃x³− ¹₂x²−1 = 0.

1. On considère la fonction f :x7−→ ¹₃x³− ¹₂x²−1.

a) Étudier f et tracer sa courbe représentative (C).

b) En déduire que l’équation (E) admet une unique solution, notéα, appartenant à l’intervalle[2; 3].

2. On considère la fonctiong qui à tout élémentx de l’intervalle[2; 3], associe l’abscisse du point d’intersection de la tangente à (C) au point d’abscisse x avec (OI).

a) Démontrer que : ∀ x∈[2; 3],g(x) = x−_f^f0^(x)(x).

b) En déduire que les équations f(x) = 0 et g(x) = x sont équivalentes sur l’intervalle [2; 3].

c) On désigne par K l’intervalle [α; 3].

Calculer g⁰(x) et démontrer que : ∀ x∈ K,α≤g(x)≤x.

3. Soit(un)la suite définie par : u0 = 3 et∀ x∈ N, un+1 =g(un).

a) Démontrer que la suite (u_n) converge vers α. (On pourra montrer que (u_n) est décroissante et minorée.)

b) Déterminer, à l’aide d’une calculatrice, une valeur approchée de u₁,u₂, u₃, u₄, u₅, u₆,u₇.

c) En déduire une valeur approchée deα, en conjecturant son incertitude.

S

1. a) La fonction f est définie et dérivable sur Ret on a : f⁰(x) = x²−x.

f⁰ s’annule aux points d’abscisses 0 et 1. On obtient donc le tableau de variation suivant :

f(x) f⁰(x)

x −∞ 0 1 +∞

+ 0 − 0 +

−∞

-1

−⁷₆

−∞

et la courbe def ci-dessous.

p O

I 2

p αp• p

−2p

J−

−

−

3 x g(x)

Figure1.5 – Représentation de la courbe de f

b) On déduit de la courbe représentative (C) de f que l’équation (E) admet une unique solutionα ∈ ]1; +∞[.

De plus, on a f(2) =−¹₃ et f(3) = ⁷₂.

Commef(2).f(3) < 0, il en résulte queα ∈ [2; 3].

2. a) Soit x₀ ∈[2; 3]; on a :f⁰(x)6= 0.

Une équation de la tangente à (C) au point d’abscisse x0 est : y−f(x₀) = f⁰(x₀)(x−x₀).

Cette tangente coupe (OI) au point d’abscissex0 −_f^f0^(x(x⁰0⁾). Donc : ∀ x∈ [2; 3], g(x) = x− _f^f(x)0(x).

b) On en déduit que : ∀x∈ [2; 3], g(x) =x⇐⇒ _f^f(x)0(x) = 0 ⇐⇒f(x) = 0.

c) On a :

∀x∈K, g⁰(x) = f⁰⁰(x)×f(x) [f⁰(x)]² ;

De plus, f⁰(x) = x²−x etf⁰⁰(x) = 2x−1. Donc f, f⁰ et f⁰⁰ sont positives sur K.

On en déduit que g est croissante sur K et on a :

∀x∈K, α ≤x=⇒g(α)≤g(x);

Or, g(α) = α, donc,∀ x∈ K,α ≤g(x).

De plus :

∀x∈K, g(x)−x=−f(x) f⁰(x) ≤0;

Donc : ∀ x∈ K,g(x)−x≤0.

On en déduit que :∀ x∈ K,α ≤g(x)≤x.

3. a) On vient de montrer que : ∀ x∈ K,α≤g(x)≤x.

Donc∀ n ∈N, α≤u_n+1 ≤u_n.

Il en résulte que la suite (u_n) est décroissante et minorée par α; donc, elle est convergente.

De plus, α est l’unique point fixe de la fonction g. Donc la suite (u_n) converge vers α.

b) Les huit premiers termes de la suite (u_n) sont donnés dans le tableau suivant.

n u_n

o 3

1 2,416 666 666...

2 2,187 514 085...

3 2,150 313 963...

4 2,149 376 801...

5 2,149 376 214...

6 2,149 376 214...

7 2,149 376 214...

.

c) D’après le tableau ci dessus, on remarque qu’à partir du 6-ème termeu₅, les termes de la suite ont leurs neuf premières décimales identiques.

On peut donc conjecturer queu₅ est la valeur approchée à 10⁻⁹ près de α.

Doncα ≈2,149 376 214.

1.4.4 Exercices d’application

Exercice

1. On considère la fonction f :x7−→e^−x−x.

a) Étudier f et tracer sa courbe représentative (C) dans un repère orthonormé.

b) En déduire que l’équation (E) admet une unique solution notée α appartenant à l’intervalle [0; 1].

2. On considère la fonction g qui à tout élément x de l’intervalle [0; 1], associe l’abscisse du point d’intersection de la tangente à (C) au point d’abscisse x avec (OI).

a) Démontrer que : ∀ x∈ [0; 1], g(x) =x− _f^f0^(x)(x).

b) En déduire que les équations f(x) = 0 et g(x) =x sont équivalentes sur l’intervalle [0; 1].

c) On désigne par K l’intervalle [0;α].

Calculer g⁰(x) et démontrer que : ∀ x∈ K, x≤g(x)≤α.

3. Soit (u_n) la suite définie par : u₀ = 0 et ∀ x∈ N, u_n+1 =g(u_n).

a) Démontrer que la suite (u_n) converge vers α.

b) Déterminer, à l’aide d’une calculatrice, une valeur approchée de u₁, u₂, u₃, u₄, u₅,.

c) En déduire une valeur approchée de α, en conjecturant son incertitude.

Exercice

1. On considère la fonction f :x7−→2 cosx−x²+x.

a) Étudier f et tracer sa courbe représentative (C) dans un repère orthonormé.

b) En déduire que l’équation (E) admet une unique solution, noté α, appartenant à l’intervalle [−1; 0].

2. On considère la fonction g qui à tout élément x de l’intervalle [−1; 0], associe l’abscisse du point d’intersection de la tangente à (C) au point d’abscisse x avec (OI).

a) Démontrer que : ∀ x∈ [−1; 0], g(x) =x− _f^f0^(x)(x).

b) En déduire que les équations f(x) = 0 et g(x) =x sont équivalentes sur l’intervalle [−1; 0].

c) On désigne par K l’intervalle [α; 0]. Calculer g⁰(x) et démontrer que : ∀ x∈ K, α≤g(x)≤x.

3. Soit (u_n) la suite définie par : u₀ = 0 et ∀ n∈ N, u_n+1 =g(u_n).

a) Démontrer que la suite (un) converge vers α.

b) Déterminer, à l’aide d’une calculatrice, une valeur approchée de u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, u₆.

c) En déduire une valeur approchée de α, en conjecturant son incertitude.

1.5 Utilisation des suites numériques pour déterminer la valeur approchée de la solution d’une équation par dichotomie

1.5.1 Résultats fondamentaux

Activité 1.5.1. Soit f la fonction réelle définie de I = [1; 2] dans R par f(x) =x⁴−2.

Soit (u_n) la suite construite par récurrence de la manière suivante :

• u₀ = ¹⁺²₂ = ³₂;

– si f(1)f(u0) = 0, alors α = u0.

– si f(1)f(u₀)<0, alors α ∈ ]1;u₀[. On pose a₁ = 1, b₁ = u₀. – si f(1)f(u0)>0, alors α ∈ ]u0; 2[. On pose a1 = u0, b1 = 2.

• u₁ = ^a1+b₂ ¹

. . .

• u_n = ^an+b₂ ⁿ

– si f(a_n)f(u_n) = 0, alors α = u₀.

– si f(a_n)f(u_n)<0, alors α∈ ]a_n;u_n[. On pose a_n+1 = a_n, b_n+1 = u_n. – si f(a_n)f(u_n)>0, alors α∈ ]u_n;b_n[. On pose a_n+1 = u_n, b_n+1 = b_n.

• u_n+1 = ^an+1+b₂ ⁿ⁺¹

1. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle [1; 2].

2. Montrer que |α−u₀| ≤ ¹₂.

3. En déduire par récurrence que : |α−un| ≤ ₂n+1¹ . 4. Vérifier que lim

n→+∞

1

2ⁿ⁺¹ = 0 et en déduire que la suite (u_n) converge vers α.

Soit f une fonction continue de[a;b] dans R. On suppose que f(a).f(b)<0et que l’équation f(x) = 0 admet une seule solution α dans l’intervalle[a;b].

Soit (u_n)la suite construite par récurrence de la manière suivante :

• u₀ = ^a+b₂ ;

– si f(a)f(u₀) = 0, alorsα = u₀.

– si f(a)f(u₀)<0, alorsα ∈]a;u₀[. On pose a₁ = a, b₁ =u₀. – si f(a)f(u₀)>0, alorsα ∈]u₀;b[. On posea₁ = u₀, b₁ = b.

• u₁ = ^a1+b₂ ¹

. . .

• u_n= ^an+b₂ ⁿ

– si f(an)f(un) = 0, alors α = u0.

– si f(a_n)f(u_n)<0, alors α∈ ]a_n;u_n[. On pose a_n+1 = a_n, b_n+1 = u_n. – si f(an)f(un)>0, alors α∈ ]un;bn[. On pose an+1 =un, bn+1 = bn.

• u_n+1 = ^an+1+b₂ ⁿ⁺¹

On a :

Propriété 1.5.2. La suite (u_n) définie ci-dessus par : u₀ = ^(a+b)₂ , u₁ = ^(a1+b₂ ¹⁾, . . . , u_n

= ^(an+b₂ ⁿ⁾ converge vers α.