Vibrations et ondes, ann´ee 2005–06
Test # 1, Corrig´ e sommaire
1. Il n’est pas demand´e d’´ecrire la loi horaire
x(t) = x0cos(ωt) + v0
ω sin(ωt) , o`uω2 =k/m, qui peut se r´e´ecrire
x(t) =
s
x20 + v20
ω2cos(ωt−φ) , qui fait apparaˆıtre l’amplitude.
On peut tout simplement ´ecrire la conservation de l ’´energie entre le d´epart et un instant o`u l’´elongation est maximale, soit
1
2kx20+ 1
2mv02 = 1 2kx2m , qui donne imm´ediatement xm.
2. L’´equation caract´eristique, si on cherche des solutions x(t)∝exp(rt), est r2−7r+ 12 = 0 ,
et a deux racines positives, r1 = 3 et r2 = 4. On a donc une solution g´en´erale du type x(t) =a1exp(3t) +a2exp(4t),
avec des coefficients `a ajuster `a partir des conditions initiales, qui explose quandt→+∞.
Il ne peut s’agir d’un syst`eme oscillant isol´e, avec dissipation d’´energie. Il y a de l’´energie apport´ee. Certains montages ´electroniques `a r´esistance n´egative sont de ce type.
3. L’´equation caract´eristique est maintenant r2+ 7r+ 12 = 0 ,
a deux racines positives, r1 =−3 et r2 =−4 s−1. La solution est donc x(t) =a1exp(−3t) +a2exp(−4t),
avec d’apr`es les conditions initialesa1+a2 = 1, et−3a1−4a2 = 1, soita1 = 5 eta2 = 4 cm.
