Vibrations et ondes, ann´ee 2005–06
Test # 2, Corrig´ e sommaire.
1.Le ressort sup´erieur supporte 2msi on n´eglige la masse des ressorts, et sa longueur `a l’´equilibre est donc `0+ 2mg/k. Le ressort inf´erieur a pour longueur seulement `0+mg/k, car il ne supporte qu’une seule masse.
2.Avec ces notations, des d´eplacements x1 etx2 provoquent des forcessuppl´ementaires kx1 etk(x2−x1) exerc´ees par les ressorts.
Quand on ´ecrit la loi de Newton, les forces d´ej`a pr´esentes `a l’´equilibre se neutralisent, et il ne reste que les forces suppl´ementaires, ce qui donne
m¨x1 =−kx1+k(x2−x1) , m¨x2 =−k(x2 −x1). soit avec ω20 =k/m,
¨
x1+ 2ω02x1−ω20x2 = 0 ,
−ω20x1+ ¨x2+ω20x2 = 0 .
3.On s’attend `a deux pulsations propres pour ce syst`eme. Si on cherchexi =aicos(ωt) et que l’on reporte, on trouve pour les amplitudes a1 eta2 le syst`eme d’´equations coupl´ees
(2ω02−ω2)a1−ω20a2 = 0 ,
−ω20a1+ (ω02−ω2)a2 = 0 .
Ce syst`eme lin´eaire et homog`ene n’aura de solution int´eressante, autre quea1 =a2 = 0, que si le d´eterminant est nul, ce qui donne
2ω20−ω2 −ω20
−ω20 ω02−ω2
=ω4−3ω20ω2+ω40 = 0 , qui est une simple ´equation du second degr´e pour ω02, de solutions
ω2 = 3±√ 5 2 ω20 .
4. On n’aura pas de battements car les pulsations ne sont pas voisines.
