Activités préparatoires

Fonction logarithme népérien TES1 18 janvier 2019 feuille n°1

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I- Avec la courbe représentative de la fonction exp

1- Déterminer le réel x tel que e^x =1.

On a représenté ci-contre la courbe

représentative C_f, de la fonction exponentielle.

2- Déterminer graphiquement le réel x tel que e^x = 2 puis le réel x tel que e^x = 0,5.

3- Résoudre, en s'aidant du graphique, l'équation 2e^x – 1 = 5.

4- a. Déterminer une équation de la tangente à C_f, au point d'abscisse 0.

b. Pour tout réel x, comparer e^x et x.

II- Avec les propriétés de calcul de la fonction exp QCM : Pour chaque question, choisir la bonne réponse.

1- Pour tout réel x ,

𝑒^𝑥.(𝑒^𝑥)² 𝑒𝑠𝑡 é𝑔𝑎𝑙 à ∶ a. 𝑒^𝑥+𝑥2 b. 𝑒^2𝑥² c. 𝑒^3𝑥 d. 𝑒^𝑥3 2- Pour tout réel x , _𝑒^𝑒_𝑥+1^2𝑥

𝑒𝑠𝑡 é𝑔𝑎𝑙 à ∶

a. 𝑒^𝑥+1 b. 𝑒^𝑥−1 c. _𝑥+1^2𝑥 d. ^𝑒_𝑒²₁ 3- Pour tout réel x ,

( 𝑒^2𝑥- 𝑒^𝑥) 𝑒𝑠𝑡 é𝑔𝑎𝑙 à ∶ a. 𝑒^𝑥( 𝑒^𝑥− 1) b. 𝑒^𝑥 c. ^𝑒2𝑥

𝑒^𝑥

d. x

III- Avec des inéquations

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier.

a. 𝑒^3𝑥+1 > 𝑒  𝑥 > ²

3 b. 𝑒^𝑥−1 > 0  𝑥 > 1 c. ( 𝑒^𝑥 − 1)(𝑥 − 1) < 0  0 < 𝑥 < 1

IV- Avec la convexité

Étudier la convexité des fonctions suivantes :

a. f (x) = e^{l - 3x} b. f (x) = 3x +1+ e^2x c. f(x)= (2x +1) e^x V- Avec les coefficients multiplicateurs et les taux d'évolution

1) Un prix a augmenté de 20 % en deux ans. Quel est le taux d'évolution annuel moyen ?

2) De 2011 à 2015, le nombre de ventes de maisons en France métropolitaine a diminué de 7,5 %.

3) Vrai ou Faux ? « Le taux d'évolution annuel moyen sur ces quatre années est de - 1,93 % environ ».

Activités d’approche : Fonction logarithme népérien feuille n°2 Activité 1 : Une croissance exponentielle !

Réinvestir :

 La fonction exponentielle, notamment sa représentation graphique

 La résolution graphique d’équation graphique avec Géogébra Objectifs :

 Introduire la fonction logarithme népérien à l’aide d’une situation d’économie.

Enoncé :

Le produit national brut (PNB) des Etats Unis a connu une croissance exponentielle sur la période 1798-2001. Sa valeur, exprimée en

milliards de dollars (de 1996) est modélisée par la fonction P définie sur [1798 ; 2001] par :

P (𝑡) = e

Où 𝑡 désigne le temps exprimé en années.

On se propose d’étudier différents paliers franchis par ce PNB.

1. Estimer le PNB des Etats Unis en 1798, puis en 2001.

2. Représenter graphiquement, la fonction P à l’écran de votre calculatrice en choisissant une fenêtre graphique adaptée.

3. Avec le menu G-Solv de votre calculatrice, déterminer à partir de quelle année le PNB des Etats Unis a dépassé 1000 milliards de dollars ? 5000 milliards de dollars ? 4. a) Pourquoi l’équation 𝑒^y = 5000 a-t-elle une solution unique dans IR ? Cette solution est donnée ci-contre par le logiciel Xcas ln (5000).

On dit que ln5000 est le logarithme népérien de 5000.

b) En déduire la valeur exacte de la solution t₀ de l’équation P(t) = 5000.

Avec la touche In de la calculatrice, donner la valeur approchée de t0 à l’unité près par excès. Interpréter t0 pour cette situation.

A retenir :

Activité 2 : Des courbes symétriques feuille n°3 Réinvestir :

 la fonction exponentielle, notamment sa représentation graphique

 La définition de la fonction ln qui, à tout > 0 associe l’unique solution de l’équation 𝑒 = , d’inconnue .

Objectifs :

 Déduire la courbe de la fonction ln de la courbe de la fonction exp.

 Introduire Géogébra pour conjecturer le lien entre les 2 courbes et une relation fonctionnelle.

1- Rappeler la propriété 2 du cours puis compléter les équivalences suivantes : b : e° =….  0 = ln(...) b : e^l =…….  1 = ln(...) c : e^-l=….  - 1 = ln(...) d. e² =……  2 = ln(...) 2- À l'aide des résultats ci-dessus, compléter les tableaux de valeurs ci-dessous :

𝑥 0 1 -1 2 𝑥

𝑒^𝑥 ln(x) 0 1 -1 2

3- a: Placer, dans un repère orthonormé, les 4 points de la courbe représentative de la fonction exp obtenus dans la question 2 ; on note C_exp cette courbe.

b : Dans le même repère, placer les 4 points de la courbe représentative de la fonction In obtenus dans la question 2 ; on note C_In , cette courbe.

C : Tracer la droite  d'équation y= x.

Comment sont situés les 8 points précédents par rapport à la droite  ?

4- Tracer la courbe C_exp . On admet que, comme le suggère la question 3, dans un repère orthonormé, la courbe C_In est symétrique de C_exp par rapport à la droite d'équation y = x.

Construire la courbe C_In Que peut-on dire géométriquement des courbes C et C’ ?

A retenir :

Activité 3 : Simplifier les calculs feuille n°4

Vers la fin du XVI^e siècle, les mesures astronomiques

nécessaires à la navigation d'une part et les calculs bancaires d'intérêts composés d'autre part, poussent les

mathématiciens à chercher des méthodes de simplifications de calculs :en particulier, ils veulent remplacer des

multiplications par des additions, plus simples.

En 1614, John Napier (ou Neper) publie des tables de

correspondances entre deux séries de valeurs possédant la propriété suivante : à un produit dans une colonne correspond une somme dans une autre. Le mot logarithme vient de logos = rapport, relation et de arithmeticos = nombre et l'adjectif « népérien

» a été choisi en l'honneur de Neper.

1- On donne ci-dessous une table de valeurs de la fonction In.

𝑥 2 3 4 5 6 7 9 10

ln (𝑥) à 10^-

2près

0,69 1,10 1,39 1,61 1,79 1,95 2,20 2,30

a) Calculer In(2) + ln(3) et le comparer à In(6).

b) De même, calculer In(2) + In(5) et le comparer avec In(10).

c) Compléter : Conjecture 1 :

Pour tous réels a > 0 et b > 0, on a ln(a) + ln(b) = ln(...).

d) En utilisant la conjecture 1 et le tableau ci-dessus, déterminer une valeur approchée de ln(18), de ln (28) et de ln(30). Vérifier vos résultats à la calculatrice.

2- . a)Rappeler la valeur de ln(1).

En utilisant l'égalité ₁₀¹x 10 =1 et le tableau, déterminer une valeur approchée de ln ₁₀¹

b) De même, déterminer une valeur approchée de ln ¹₂ c) Compléter :

Conjecture 2 :

Pour tous réels a > 0 , on a ln(¹_𝑎) = ……….

d)En utilisant la conjecture 2 et le tableau, donner une valeur approchée de ln 0,25 puis de ln 0,2. Vérifier vos résultats à la calculatrice.

3- Soit a un réel strictement positif.

En utilisant la conjecture 1, exprimer ln(a²) puis ln(a³) en fonction de ln (a) puis compléter :

Conjecture 3 :

Pour tout réel a  0 et pour tout entier n  0, ln(aⁿ)=………..

4- En admettant les conjectures 1 et 2,

démontrer que pour tous réels a > 0 et b > 0,on a : ln(^𝑎_𝑏) = ln(a) – ln(b)

A retenir :