SECOND DEGRE
Je maîtrise les différentes définitions du chapitre (polynôme du 2nd degré, racine, équation du 2nd degré).
Je sais mettre un polynôme sous forme canonique.
Je sais calculer un discriminant de trinôme (à partir de la formule).
Je sais déterminer si un trinôme possède un maximum ou un minimum.
Je sais justifier les variations d’une fonction polynôme du 2nd degré.
Je sais déterminer les éventuelles racines d’un polynôme du 2nd degré (à partir des formules).
Je sais factoriser (si c’est possible) un polynôme du 2nd degré grâce à ses racines.
Je sais exploiter la courbe d’un polynôme du 2nd degré pour déterminer certaines informations (valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐, racines, ∆, …).
Je sais représenter l’allure d’une courbe de fonction polynôme grâce aux différentes formes (développée, canonique, factorisée).
Carte mentale :
SECOND DEGRE
Ce que je trouve le plus difficile dans ce chapitre :
…
…
On étudie les fonctions polynômes du 2nd degré car elles sont en particulier très présentes dans la modélisation de situations concrètes (trajectoires paraboliques).
Al-KHWARIZMI est né vers 770 et mort à Bagdad vers 840. Il est considéré comme un des inventeurs de l’algèbre car il a résolu un certain nombre d’équations à l’aide de méthodes géométriques, dont des équations du 2nd degré.
PARTIE 1 : Fonction polynôme du 2
nddegré.
Définition : polynôme du 2nd degré
On appelle fonction polynôme du second degré ou fonction trinôme toute fonction P définie sur ℝ par 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥++ 𝑏𝑥 + 𝑐 où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 trois nombres réels avec 𝑎 ≠ 0.
Remarques :
w On dira aussi que 𝑎𝑥++ 𝑏𝑥 + 𝑐 est un polynôme du second degré ou ………...
w Par abus de langage, on parle de « polynôme 𝑃 » au lieu de « fonction polynôme 𝑃 ».
w 𝑥 ⟼ 2𝑥 + 1 est une fonction affine, aussi appelée fonction polynôme de degré ...
w 2𝑥2− 4𝑥++ 5𝑥 + 4 est un polynôme de degré ..., 2𝑥6− 1𝑥2+ 4𝑥 − 2 est un polynôme de degré …
Exemple : compléter le tableau suivant : Polynôme du 2nd
degré
Valeur de 𝑎 (coefficient de 𝑥+)
Valeur de 𝑏 (coefficient de 𝑥)
Valeur de 𝑐 (terme constant) 2𝑥++ 5𝑥 + 3
3𝑥++ 2𝑥 4 − 𝑥+
√3𝑥+ 4 − 5𝑥+− 2𝑥√2
Définition : racine d’un polynôme
On appelle racine d’un polynôme 𝑃 tout nombre réel 𝛼 vérifiant : ……….
Exemple : on considère le polynôme 𝑃 défini sur ℝ par : 𝑃(𝑥) = 𝑥+− 5𝑥 + 4 1 et 4 sont des racines de 𝑃 : en effet ……
Définition : équation du 2nd degré
On appelle équation du 2nd degré une équation du type ……….
Remarque : attention donc à ne pas confondre polynôme du 2nd degré et équation du 2nd degré !!
PARTIE 2 : Forme canonique d’un trinôme
On souhaite factoriser un trinôme de la forme où a, b et c trois nombres réels avec . On commence par mettre a en facteur : )
Compléter : +
Donc : +
+ On pose ………
c bx
ax2+ + a¹0
+
= +
+ 2
2 bx c a(x
ax +
2+ x=( a
x b )2-
[
(2 bx c a
ax + + = )2- +
]
[
(=a )2-
]
D=Définition : discriminant et forme canonique
Le nombre réel Δ = 𝑏+− 4𝑎𝑐 est appelé discriminant du trinôme 𝑎𝑥++ 𝑏𝑥 + 𝑐. 𝑎 <=𝑥 ++?>@+−6?ABC est appelée forme canonique du trinôme 𝑎𝑥++ 𝑏𝑥 + 𝑐. Exemples : 1) Le discriminant du trinôme 2𝑥+− 𝑥 + 3 est Δ =………
2) Le discriminant du trinôme 𝑥+− 2𝑥 + 1 est Δ =………
3) Le discriminant du trinôme −𝑥++ 5𝑥 + 6 est Δ =………
PARTIE 3 : Forme canonique et application à la recherche d’extremum
On souhaite déterminer un minimum ou un maximum d’une fonction trinôme de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥++ 𝑏𝑥 + 𝑐. Pour cela, on va utiliser la forme canonique 𝑎 <=𝑥 ++?>@+−6?ABC du trinôme 𝑎𝑥++ 𝑏𝑥 + 𝑐.
On sait déjà qu’un carré est toujours positif donc, pour tout nombre réel x : =𝑥 ++?>@+≥ ⋯. Donc : =𝑥 ++?>@+−6?AB≥ ⋯
w 1er cas : a > 0
On sait que lorsqu’on multiplie les deux membres d’une inégalité par un nombre positif, ………..
On en déduit que soit .
On remarque aussi que si et seulement .
Pour tout nombre réel x, , la fonction f admet donc un minimum atteint pour valant .
w 2ème cas : a < 0
On sait que lorsqu’on multiplie les deux membres d’une inégalité par un nombre négatif, ……….
On en déduit que soit .
Pour tout nombre réel x, , la fonction f admet donc un maximum atteint pour valant .
Pour résumer : On considère la fonction trinôme 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥++ 𝑏𝑥 + 𝑐 où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 trois nombres réels (𝑎 ≠ 0) Si 𝑎 > 0
La fonction f admet un minimum atteint pour 𝑥 = −+?> valant 𝑓 =−+?>@ = − ∆
6?
Si 𝑎 < 0
La fonction 𝑓 admet un maximum atteint 𝑥 = −+?> valant 𝑓 =−+?>@ = − ∆
6?
Exemples : donner l’extremum de chacune des fonctions ci-dessous.
On précisera s’il s’agit d’un minimum ou d’un maximum et on donnera la valeur pour laquelle il est atteint.
𝑓(𝑥) = 2𝑥+− 𝑥 + 3 𝑔(𝑥) = −𝑥++ 5𝑥 + 6 a× x+ b
2a
"
#$ %
&
'
2
− Δ
4a2
* + ,,
- .
//...a× − Δ 4a2
"
#$ %
&
' a x+ b
2a
!
"
# $
%&
2
− Δ
4a2 )
* ++
, - ..≥...
a a
a x b
a 2 4 2 4
2 D
- ú= úû ù êê
ë
é D
÷ - ø ç ö
è
æ + x=...
÷ø ç ö èæ-
³ a
f b x
f( ) 2
a x b
-2
= 4a
- D
a× x+ b 2a
"
#$ %
&
'
2
− Δ
4a2
* + ,,
- .
//....a× − Δ 4a2
"
#$ %
&
' a x+ b
2a
!
"
# $
%&
2
− Δ
4a2 )
* ++
, -
..≤...
÷ø ç ö èæ -
£ a
f b x
f( ) 2
a x b
-2
= 4a
- D
PARTIE 4 : Variations d’une fonction trinôme
On souhaite déterminer les variations d’une fonction trinôme de la forme𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥++ 𝑏𝑥 + 𝑐. Pour cela, on va utiliser la forme canonique du trinôme où et
w 1er cas : a > 0
Soient et deux nombres réels tels que Soient et deux nombres réels tels que
On a : On a :
Donc : Donc :
(la fonction carrée est décroissante sur ]−∞ ; 0]) (la fonction carrée est croissante sur [0 ; +∞[)
Soit : Soit :
D’où : D’où :
Ou encore : Ou encore :
On en déduit que la fonction f est décroissante sur l’intervalle ]−∞ ; −+?>] et croissante sur l’intervalle [−+?>; +∞[ et son tableau de variations est donc le suivant :
w 2ème cas : a < 0
Soient et deux nombres réels tels que Soient et deux nombres réels tels que
On a : On a :
Donc : Donc :
(la fonction carrée est décroissante sur ]−∞ ; 0]) (la fonction carrée est croissante sur [0 ; +∞[)
Soit : Soit :
D’où : D’où :
Ou encore : Ou encore :
On en déduit que la fonction f est croissante sur l’intervalle ]−∞ ; −+?>] et décroissante sur l’intervalle [−+?>; +∞[ et son tableau de variations est donc le suivant :
] ) [(x-a 2+b
a ax2+bx+c
a b -2
=
a 2
4a - D
= b
x1 x2 x1<x2<a x1 x2 a<x1<x2
2 0
1-a<x -a<
x 0<x1-a<x2-a
2 2 2
1 ) ( )
(x -a > x -a (x1-a)2<(x2-a)2
b + a -
>
b + a
- ) ( )
(x1 2 x2 2 (x1-a)2+b<(x2-a)2+b
] ) [(
] )
[(x1-a 2+b >a x2-a 2+b
a a[(x1-a)2+b]<a[(x2-a)2+b] )
( ) (x1 f x2
f > f(x1)< f(x2)
x1 x2 x1<x2<a x1 x2 a<x1<x2
2 0
1-a<x -a<
x 0<x1-a<x2-a
2 2 2
1 ) ( )
(x -a > x -a (x1-a)2<(x2-a)2
b + a -
>
b + a
- ) ( )
(x1 2 x2 2 (x1-a)2+b<(x2-a)2+b
] ) [(
] )
[(x1-a 2+b <a x2-a 2+b
a a[(x1-a)2+b]>a[(x2-a)2+b] )
( ) (x1 f x2
f < f(x1)> f(x2)
x
Variations de f
x Variations
de f
¥
- a
b
-2 +¥
a 4 - D
¥
- a
b
-2 +¥
a 4 - D
PARTIE 5 : Représentations graphiques d’un trinôme
On a déjà vu, en classe de seconde, que la représentation graphique d’une fonction trinôme est une ……….
On a démontré, dans ce chapitre, que le sommet 𝑆 de cette parabole a pour abscisse−+?>.
Cette parabole admet pour ……… la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par le sommet S de cette parabole.
On considère la fonction trinôme 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥++ 𝑏𝑥 + 𝑐 où a, b et c trois nombres réels ave c𝑎 ≠ 0.
Les différentes représentations graphiques et les variations possibles de la fonction f sont résumées dans le tableau ci-dessous :
Cas 𝑎 > 0 Cas 𝑎 < 0
Variations et extremum de la fonction f
La courbe représentative admet un minimum atteint pour .
x
Variations de f
La courbe représentative admet un maximum atteint pour .
x
Variations de f
Cas ∆> 0
La représentation graphique de la fonction f coupe l’axe des abscisses en deux points distincts d’abscisses
respectives : et
(où )
Cas ∆= 0
La représentation graphique de la fonction f est tangente à l’axe des abscisses au point d’abscisse .
Cas ∆< 0
La représentation graphique de la fonction f ne coupe pas l’axe des
abscisses.
a x b
-2
= a
x b -2
=
a x b
1 2
D -
=-
a x b
2 2
D +
=-
ac b2-4
= D
a b -2
¥
- a
b
-2 +¥
a 4 - D
¥
- a
b
-2 +¥
a 4 - D
O O
O
O x1 x2 O
x1 x2
O
PARTIE 6 : Racines et factorisation d’un trinôme
Déterminer les racines d’un trinôme revient à résoudre l’équation𝑎𝑥++ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
Pour cela, il faut pouvoir factoriser la forme canonique du trinôme . w 1er cas : ∆= 𝟎
Dans ce cas ……… et la forme canonique du trinôme devient donc : ………
L’équation admet donc comme unique solution ……… et …………
w 2ème cas : ∆< 𝟎
Dans ce cas ……… donc ………
De plus , on en déduit que ne s’annule jamais sur IR.
L’équation n’a donc pas de solution dans IR et …………
w 3ème cas : ∆> 𝟎
Dans ce cas ……… .
La factorisation est donc la suivante : ……….
………..
………..
L’équation a donc deux solutions ……… et ……… et ………...
Exemples : résoudre dans ℝ les équations suivantes :
2𝑥+− 𝑥 + 3 = 0 𝑥+− 2𝑥 + 1 = 0 −𝑥++ 5𝑥 + 6 = 0
úú û ù êê
ë
é ÷ - D
ø ç ö
è
æ + 2
2
4
2a a
x b
a ax2+bx+c
D =
4a2 ax2+bx+c
2+bx+c=0
ax S=
4a2
D
2 2
2a 4a x b ÷ - D
ø ç ö
è æ +
¹0
a ax bx c
a a
x b
a = + +
úú û ù êê
ë
é ÷ - D
ø ç ö
è
æ + 2 2
2
4 2
2+bx+c=0
ax S=
(
. 4D2 =a .
)
2D =
÷ - ø ç ö
è
æ + 2
2
4
2a a
x b
=
=
2+bx+c=0
ax S=
Pour résumer : Soit ax2+bx+c un trinôme où a, b et c trois nombres réels tels que a¹0. On note D=b2 -4ac. Si D = 0
On a :
avec
L’équation a
une unique solution
Le trinôme a
une unique racine (racine simple)
………
0 2
2 bx c a(x x )
ax + + = -
a x b
0=-2
2+bx+c=0 ax
c bx ax2+ +
= S Si D < 0
On ne peut pas factoriser le trinôme.
L’équation n’a
pas de solution
Le trinôme n’a
pas de racine
………
2+bx+c=0 ax
c bx ax2+ +
= S
Si D > 0
On a :
avec et
L’équation a
deux solutions
Le trinôme a
deux racines (racines simples)
………
) )(
( 1 2
2 bx c a x x x x
ax + + = - -
a x b
1 2
D -
= -
a x b
2 2
D +
= -
2+bx+c=0 ax
c bx ax2+ +
= S
