Activité : retour sur la loi binomiale.
Dans un certain vignoble, on admet que la probabilité pour qu’un pied de vigne soit atteint d’une maladie donnée est 0,09. On observe 200 pieds de vigne choisis au hasard dans la production, chaque pied étant considéré comme indépendant des autres par rapport à la maladie.
On désigne par X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de pieds malades observés.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Définir par une phrase l’évènement « X = 25 » puis calculer sa probabilité.
3. On appelle A l’événement « au moins 10 pieds de vigne sont atteints de la maladie. »
a. Comment note-t-on la probabilité de cet événement A à l’aide de la variable aléatoire X ? b. Calculer cette probabilité
4. Combien de pieds de vigne risquent-ils d’être atteints par la maladie ? Corrigé :
1. 𝑋 suit une loi binomiale de paramètres 𝑛 = 200 et 𝑝 = 0,09 car :
• On est en présence d’une épreuve de Bernoulli avec un succès (« tomber sur un pied de vigne malade ») de probabilité p et un échec de probabilité 1 − 𝑝.
• L’expérience est répétée de manière identique et indépendante.
2. « 𝑋 = 25 » correspond à l’événement « tomber sur 25 pieds de vigne malades ».
𝑝(𝑋 = 25) = .20025/ × 0,0912× 0,01342 ≈ 0,022 (à la calculatrice – voir tuto Calculatrice Loi binomiale)
3. a) 𝑝(𝐴) = 𝑝(𝑋 ≥ 10).
b) 𝑝(𝑋 ≥ 10) = 1 − 𝑝(𝑋 < 10) = 1 − 𝑝(𝑋 ≤ 9) ≈ 1 − 0,012 ≈ 0,988 4. 𝐸(𝑋) = 𝑛 × 𝑝 = 200 × 0,09 = 18.
