Exemple 1.On prend B2

IP-1 Ann´ee 2004-2005

El´´ ements de corrig´e de la Fiche n^o2

Ex 1. Tribu engendr´ee par une partition

Ex 2.

Les exercices 1 et 2 ont ´et´e partiellement trait´es lors du 1er regroupement.

Ex 3. Donner une partition (B_n, n ≥ 1) de R form´ee de bor´eliens de mesure de Lebesgue infinie.

Exemple 1.On prend B₂ = ∪

k∈N^∗

]2^k,1 + 2^k], . . . , B_n= ∪

k∈N^∗

]p^k_n,1 +p^k_n], . . .

o`u p<sub>n</sub> d´esigne le (n−1)-i`eme nombre premier (p₂ = 2, p₃ = 3, p₄ = 5, . . .). On bouche les trous avec

B₁ =R\

n≥2∪ B_n

.

Exemple 2.On d´ecoupe [0,1[ en une infinit´e d’intervalles dyadiques : I₁ =h

0,1 2 h

, I₂ =h1 2,3

4 h

, I₃ =h3 4,7

8 h

, I₄ =h7 8,15

16,h , . . .

et on propage ce d´ecoupage par translations `a toutR en posant Bn= ∪

j∈Z

(j+In).

On vous laisse le soin de justifier pour chacun de ces deux exemples que les Bn sont des bor´eliens, qu’ils sont de mesure de Lebesgue infinie et que la suite (B_n)n≥1 forme une partition deR.

Ex 4. D´emontrer que λ +∞

n=1∪ [n³−5⁻ⁿ,n³+ 5⁻ⁿ]

∩ R\Q

= 1 2. Comme Q est d´enombrable, λ(Q) = 0, d’o`u

λ +∞

n=1∪ [n³−5⁻ⁿ,n³+ 5⁻ⁿ]

∩ R\Q

=λ +∞

n=1∪ [n³−5⁻ⁿ,n³+ 5⁻ⁿ]

. (1)

En effet, si B est un bor´elien quelconque et E un bor´elien tel que λ(E) = 0, B s’´ecrit comme l’union disjointe B = B ∩ (R\ E)

∪ (B ∩E). Par additivit´e de λ, λ(B) =λ B∩(R\E)

+λ(B∩E). CommeB∩E ⊂E, par croissance deλpour l’inclusion λ(B∩E) ≤ λ(E) = 0, d’o`u λ(B ∩E) = 0 et finalement, λ(B) = λ B ∩(R\E)

. Ce raisonnement se g´en´eralise imm´ediatement en rempla¸cant R par Ω, la tribu bor´elienne par F etλ par n’importe quelle mesure sur (Ω,F).

Revenant `a (1), on remarque que les intervalles [n<sup>3</sup>−5<sup>−n</sup>,n<sup>3</sup>+ 5<sup>−n</sup>] sont deux `a deux disjoints car n³ est entier et 5⁻ⁿ <1/2 pour toutn ≥1. On a donc par σ-additivit´e de λ :

λ+∞

n=1∪ [n³−5⁻ⁿ,n³+ 5⁻ⁿ]

=

+∞

X

n=1

λ [n³−5⁻ⁿ,n³+ 5⁻ⁿ]

=

+∞

X

n=1

2 5ⁿ = 2

5 × 1

1− ¹₅ = 1 2. Ex 5. Soit B un bor´elien de R de mesure de Lebesgue >0.

1) D´emontrer que B contient au moins deux points x et y tels que |x−y| soit irrationnel.

Par l’absurde : sinon en fixant un x₀ ∈ B (comme λ(B) > 0, B n’est pas vide) on aurait B ⊂ (x0 +Q). Cet ensemble ´etant d´enombrable est de λ mesure nulle, on en d´eduit que λ(B) = 0, ce qui contredit l’hypoth`ese λ(B)>0.

Ex 6. Appelons d´eveloppement d´ecimal de tout nombre x de [0,1[ l’unique repr´e- sentation de xsous la forme

x=

+∞

X

n=1

a_n 10ⁿ, o`u a<sub>n</sub> ∈ {0, . . . ,9}, n ≥ 1, et o`u lim inf

n→+∞ a_n < 9. Quelle est la mesure de Lebesgue de l’ensemble E des ´el´ements de [0,1[ dont le d´eveloppement d´ecimal s’´ecrit sans le chiffre 7 ? de l’ensemble F des ´el´ements dont le d´eveloppement d´ecimal ne peut s’´ecrire sans le chiffre 7 ?

Indications. La condition tarabiscot´ee lim inf

n→+∞ a_n < 9 signifie simplement que l’on exclut les d´eveloppements impropres (ceux qui ne comportent que des 9 `a parti d’un certain rang). En particulier si x est un d´ecimal, i.e, x = k10<sup>−n</sup> avec k et n entiers, son d´eveloppement propre ne comportera que des z´eros `a partir du rang n+ 1 et les n premiers chiffres seront ceux de l’´ecriture de k en base 10. V´erifier que E = ∩

n≥1E_n, o`u E_n est la r´eunion des intervalles [k10⁻ⁿ,(k+ 1)10⁻ⁿ[ de [0,1[ pour lesquels l’´ecriture de k en base 10 n’utilise pas le chiffre 7. Calculer le nombre mn de ces intervalles par un argument ´el´ementaire de d´enombrement. Ensuite utiliserλ(E_n) =m_n10⁻ⁿpour voir que λ(E) = 0. Comme F est le compl´ementaire de E dans [0,1[,λ(F) = 1.

Une autre fa¸con de voir que λ(F) = 1 est d’utiliser la loi forte des grands nombres pour les fr´equences. SoitG l’ensemble desx∈[0,1[ pour lesquels la fr´equence d’appari- tion du chiffre 7 parmi les n premiers chiffres d´ecimaux dex converge vers 1/10 quand n tend vers +∞. Par la loi forte des grands nombres, λ(G) = 1 (voir la discussion `a la fin du chapitre 6 de mon polycopi´e de Deug). Comme G⊂F, on en d´eduitλ(F) = 1.

Ex 7. Ensemble triadique de Cantor

Ce sujet traˆıne dans tous les bouquins d’analyse de niveau bac+3. Voir aussi les Annales corrig´ees d’IFP 2001–2002, accessibles `a partir de ma page web.

Ex 8. On consid`ere l’intervalle [0,1] muni de sa tribu bor´elienne B([0,1]) et de la mesure de Lebesgueλ.

1) Pour tout ε > 0, on peut trouver un ouvert O dense dans [0,1] et de mesure λ(O)< ε.

Soit (r_n)_n≥1 une suite dense dans [0,1], par exemple obtenue en num´erotant par les entiers non nuls les rationnels de [0,1] qui forment un ensemble d´enombrable. On prend

V := ∪

n≥1

i

r_n− ε

2ⁿ⁺², r_n+ ε 2ⁿ⁺²

h

C’est un ouvert de R comme r´eunion d’intervalles ouverts. Par sous-σ-additivit´e de λ, on a

λ(V)≤X

n≥1

2ε

2ⁿ⁺² =εX

n≥1

1 2ⁿ⁺¹ = ε

2 < ε.

L’ensembleO =V ∩[0,1] est un ouvert de [0,1] etλ(O)≤λ(V)< ε. De plus comme O contient l’ensemble dense desr_n, il est lui mˆeme dense dans [0,1].

2) F = [0,1]\O (on vous laisse les d´etails).

3) Supposons qu’il existe un ferm´eF d’int´erieur vide et de mesure 1. Son compl´e- mentaireW est alors un ouvert dense de mesure 0. Tout ouvert deRest r´eunionau plus d´enombrable¹ d’intervalles ouvertsI_k et tout ouvert de [0,1] est union des I_k∩[0,1] qui sont des intervalles. Si λ(Ik ∩[0,1]) = 0 alors l’intervalle Ik∩[0,1] est soit vide, soit r´eduit `a un singleton et dans ce cas ce singleton ne peut ˆetre que{0}ou{1}(pourquoi ?).

DoncW doit ˆetre soit ∅, soit {0}, soit {1}, soit {0,1}. Aucun de ces ensembles n’est un ouvert dense de [0,1]. Il ne peut donc exister de ferm´eF de [0,1], d’int´erieur vide et tel queλ(F) = 1.

Ex 9. Aires de courbes

1) D´emontrer que la mesure de Lebesgue λ₂ d’un segment quelconque de R² est nulle en utilisant un recouvrement par de petits pav´es. En d´eduire que l’aire de toute droite est de mesure λ₂ nulle.

1. Cf. cours d’IFP 2003-2004, chap.1, lemme 1.17)

A

B

Notons S le segment, A(a, a⁰) et B(b, b⁰) ses extr´emit´es. On peut recouvrir S par la r´eunion des n rectanglesR_n,k (k = 0,1, . . . , n−1) d´efinis par

R_n,k :=h

a+k(b−a)

n ;a+ (k+ 1)(b−a) n

i×h

a⁰ +k(b⁰−a⁰)

n ;a⁰ +(k+ 1)(b⁰−a⁰) n

i .

On en d´eduit que

λ2(S)≤

n−1

X

k=0

λ2(Rn,k) = n× (b−a)(b⁰−a⁰)

n² .

Cette majoration ´etant valable pour tout n ≥ 1, on en d´eduit en faisant tendre n faire l’infini que λ₂(S) = 0.

Dans le cas particulier o`u le segmentS est parall`ele `a l’un des axes, on peut proc´eder de mani`ere plus simple en l’incluant dans un seul rectangle dont l’une des dimensions est la longueur de S et l’autre 1/n.

SoitDune droite. Elle est r´eunion d’une suite croissante pour l’inclusion de segments S_j. Donc par continuit´e croissante s´equentielle de λ₂, λ₂(S_j)↑λ₂(D) et comme tous les λ₂(S_j) sont nuls, λ₂(D) = 0.

2) Soit f est une fonction [0,1]→R h¨olderienne d’exposant α (0< α≤ 1), ce qui signifie qu’il existe une constante C telle que

∀s, t ∈[0,1], |f(t)−f(s)| ≤C|t−s|^α.

En utilisant la mˆeme m´ethode de recouvrement que pr´ec´edemment, d´emontrer que son graphe

G(f) ={(x, y)∈[0,1]×R; y=f(x)}

est de mesureλ₂ nulle. En d´eduire de nouveau que la mesureλ₂ de toute droite qui n’est pas parall`ele `a l’axe des ordonn´ees est nulle.

On admet dans cet exercice que G(f) est un bor´elien de R². Pour tout n > 1, d´ecoupons G(f) en n sous-graphesG_n,k d´efinis par

G_n,k :=n

(x, y)∈hk

n,k+ 1 n

i×R; y=f(x)o .

En raison de la r´egularit´e h¨olderienne de f, on a

∀x∈hk

n,k+ 1 n

i ,

f(x)−fk n

≤Cn^−α. On en d´eduit l’inclusion de G_n,k dans le rectangle

R_n,k :=hk

n,k+ 1 n

i×h fk

n

−Cn^−α, fk n

+Cn^−αi Par cons´equent

λ₂ G(f)

≤

n−1

X

k=0

λ₂(R_n,k) =n× 2C

n^1+α = 2Cn^−α. En faisant tendren vers l’infini, il vient λ2 G(f)

= 0.

Remarque.On peut g´en´eraliser le r´esultat en rempla¸cant l’hypoth`esef h¨olderienne par f continue. On utilise alors lemodule de continuit´e uniforme de f d´efini par

w(f, δ) := sup{|f(x)−f(y)|; |x−y| ≤δ}

On sait que sif est uniform´ement continue (c’est bien le cas puisque [0,1] est compact), on a lim_δ→0w(f, δ) = 0. Vous en savez maintenant suffisamment pour r´ediger par vous mˆeme la g´en´eralisation `a f continue, un bon moyen tester votre compr´ehension de ce qui pr´ec`ede.

Ex 10. Soit λ₂ la mesure de Lebesgue surR².

1) λ₂ est invariante par translation, par sym´etrie par rapport `a la droite x<sup>0</sup>x et par sym´etrie par rapport `a l’origine.

2) la mesure d’un segment est nulle.

3) Calculer la mesure d’un triangle rectangle ayant 2 cˆot´es parall`eles aux axes.

Indications.On compl`ete le triangleT de fa¸con `a en faire un rectangleR`a cˆot´es parall`eles aux axes. Si T⁰ est le sym´etrique deT dans la sym´etrie par rapport au centre deR, on a λ₂(T⁰) = λ₂(T). Notons H l’hypoth´enuse commune `a T et T<sup>0</sup>. Alors H = T ∩T<sup>0</sup> et R=T ∪T<sup>0</sup>, d’o`u

λ₂(R) =λ₂(T) +λ₂(T⁰)−λ₂(H) = 2λ₂(T),

puisque le segment H est de mesure nulle. Finalement, λ2(T) = λ2(R)/2 et comme R est `a cˆot´es parall`eles aux axes, on sait par la d´efinition de la mesure de Lebesgue (en tenant compte aussi du fait que les cˆot´es de R sont de mesure nulle) que λ₂(R) est ´egal au produit de la longueur par la largeur deR.λ2(T) vaut donc le demi produit des cˆot´es de l’angle droit, c’est bien la formule classique pour l’aire d’un triangle rectangle.

Pour en d´eduireλ₂(R⁰), o`uR<sup>0</sup> est un rectangle quelconque, faites un dessin en com- pl´etant R<sup>0</sup> par des triangles rectangles `a cˆot´es de l’angle droit parall`eles aux axes, de fa¸con `a inscrire R⁰ dans un rectangle R `a cˆot´es parall`eles aux axes. Ensuite on regarde les d´ecoupages et on fait un peu de calcul alg´ebrique.

Enfin un triangle rectangle quelconque est «la moiti´e»d’un rectangle quelconque.

4) λ₂ est invariante par isom´etrie.Indication. L’image d’un rectangle `a cˆot´es paral- l`eles aux axes par h isom´etrie est un rectangle de mˆemes dimensions. . .

Ex 11. Euclide et l’aire d’un parall´elogramme

1) En utilisant l’invariance par translation de la mesure de Lebesgue, d´emontrer que les parall´elogrammes ABCD et ABEF (cf. figure ci-dessous) ont mˆeme mesure de Lebesgue.Indication : On comparera d’abord les parall´elogrammes ABIJ et ABKI.

A B

D C F E

J I K

Solution. La translation de vecteur−→

AB transforme le triangleAIJ en le triangle BKI.

Doncλ₂(BKI) =λ₂(AIJ), puisqueλ₂ est invariante par translation. En rappelant que tout segment est deλ₂-mesure nulle, on en d´eduit

λ₂(ABKI) = λ₂(BKI) +λ₂(ABI) =λ₂(AIJ) +λ₂(ABI) = λ₂(ABIJ).

En utilisant `a nouveau l’invariance de λ₂ par translation (de vecteur −→

J I), on obtient l’´egalit´e des mesures des trap`ezes DJ IF etCIKE. En retranchant `a chacun la mesure de leur intersection, le triangle CIF, on en d´eduit l’´egalit´e des mesures du rectangle J ICD et du parall´elogramme IKEF. Enfin en recollant les morceaux on obtient

λ₂(ABCD) =λ₂(ABEF). (2)

2) En d´eduire l’aire du parall´elogramme ABEF en fonction des longueurs de ses cˆot´es et de l’angleα= (−→

AB,−→

AF). Sachant que laλ₂ mesure d’un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur, on d´eduit de (2) que

λ₂(ABEF) = AB×AD=AB×AFcosπ 2 −α

=AB×AFsinα.

On a suppos´e implicitement ici que 0 ≤ α ≤ ^π₂. On vous laisse le soin de discuter les autres cas de figure² et de retrouver ainsi la formule g´en´erale :

λ₂(ABEF) = k−→

AB∧−→

AFk.

2. Une fa¸con de faire est de remarquer que la somme des angles d’un parall`elogramme vaut 2π et que les angles des sommets oppos´es sont ´egaux, ce qui implique qu’il y a au moins un angle aigu dans le parall´elogramme. . .

Ex 12. Volumes de simplexes

Soit λ₃ la mesure de Lebesgue surR³ et posons

T₃ ={(x, y, z)∈R³; 0< x < y < z <1}.

1) D´emontrer que la mesure deF :={(x, y, z)∈]0,1[³; x=y}est nulle. Le bor´elien F est inclus dans le plan d’´equationx=y dans R³. On sait que la mesure de Lebesgue de tout sous-espace affine strict (i.e. diff´erent de R³) est nulle, cf. par exemple Cours d’IFP 2003–04, Chap.1, prop. 1.39. Doncλ₃(F) = 0.

2) On peut ´ecrire le cube [0,1]³ comme la r´eunion des 3! t´etra`edres qui se d´eduisent deT<sub>3</sub> par permutation sur les coordonn´ees et d’un nombre fini de «faces de t´etra`edre» de typeF qui sont de mesure nulle. En raison de l’invariance deλ₃ par permutation sur les coordonn´ees, on en d´eduit

λ₃ [0,1]³

= 3!λ₃(T₃) d’o`u λ₃(T₃) = 1 3! = 1

6.

3) Le raisonnement ci-dessus se g´en´eralise imm´ediatement en dimension d≥3 (en utilisant `a nouveau la prop. 1.39) d’o`u

λ_d(T_d) = 1 d!. 4) Sia et b sont deux r´eels (a≤b), on note

T_d(a, b) = {(y₁, . . . , y_d); a < y₁ < y₂ <· · ·< y_d < b}.

Calculer λ_d T_d(a, b)

. On remarque que T_d(a, b) est l’image de T_d par l’application h = g ◦ f, o`u f est l’homoth´etie R^d → R^d, x 7→ (b − a)x et g la translation R^d → R^d, x7→(x₁+a, . . . , x_d+a). On en d´eduit que

λ_d T_d(a, b)

= (b−a)^dλ_d(T_d) = (b−a)^d d! .

Remarque. On n’a pas trait´e dans cet exercice le cas d = 2, pour lequel les formules ci-dessus sont aussi valables et qui est ´evident directement (d´ecoupage d’un carr´e en deux triangles rectangles. . .2 !=2).

Ex 13. Aires de courbes (suite)

Soit f une fonction born´ee [a, b] → R. On suppose de plus que le graphe G(f) est un bor´elien de R². D´emontrer que λ₂ G(f)

= 0. Indication : consid´erer la suite des translat´es G_n=G(f + 1/n) et majorer la mesure de leur r´eunion.

L’id´ee est la mˆeme que dans la preuve de la prop. 1.39 (mesure d’un sous -espace affine). On coince une infinit´e de translat´es disjoints de mˆeme mesure dans un domaine de mesure finie et on arrive `a une contradiction si λ₂ G(f)

n’est pas nul. Comme f est born´ee sur [a, b], il existe des constantes m et M telles que pour tout x ∈ [a, b], m≤f(x)≤M et doncm≤f(x) + 1/n≤M + 1/2 =:M⁰ pour n≥1. On en d´eduit :

∀n≥1, G(f + 1/n)⊂[a, b]×[m, M⁰].

En particulier, λ₂

n≥1∪ G(f+ 1/n)

≤λ₂ [a, b]×[m, M⁰]

= (b−a)(M⁰−m)<+∞. (3) D’autre part lesG(f+1/n) sont deux `a deux disjoints (`a vous de le justifier proprement !) et λ₂ G(f + 1/n)

= λ₂ G(f)

en raison de l’invariance de λ₂ par translation. Par σ- additivit´e de λ2 et compte-tenu de (3), on en d´eduit :

λ₂

n≥1∪ G(f+ 1/n)

=X

n≥1

λ₂ G(f + 1/n)

=X

n≥1

λ₂ G(f)

<+∞.

Une s´erie dont le terme g´en´eral est constant ne peut converger que s’il est nul, d’o`u λ2 G(f)

= 0.

Ex 14. Soit (Ω,A) un espace mesurable tels que tous les singletons soient mesurables, c’est-`a-dire, pour toutxdans Ω,{x}est dansA. On dit qu’une mesureµsurAest diffuse si elle ne charge aucun singleton, c’est-`a-dire, pour tout x dans Ω, on a µ({x}) = 0.

1) λ_d est diffuse. Indication : {x} ⊂]x₁−1/n, x₁]× · · · ×]x_d−1/n, x_d].

2) Siµ est diffuse, les ensembles au plus d´enombrables sont de mesure nulle. C’est clair puisqu’il sont union au plus d´enombrable de leurs singletons.

3) Toute mesureµ σ-finie sur (Ω,A) peut se d´ecomposer en la somme d’une mesure diffuse et d’une suite finie ou d´enombrable de masses ponctuelles.

Il existe une suite (Ωn) d’´el´ements de A, telle que ∪n≥1Ωn = Ω et pour tout n ≥ 1, µ(Ω_n) < +∞. Consid´erons la famille F_n de r´eels positifs {µ({x}; x ∈ Ω_n}. Pour toute partie finieK ⊂Ω_n, on a

S_K :=X

x∈K

µ({x}) =µ(K)≤µ(Ω_n)<+∞.

Les sommes S_K sont donc uniform´ement born´ees pour K d´ecrivant toutes les parties finies de Ω_n. La famille F_n est donc sommable, ce qui implique que les µ({x}) non nuls de cette famille forment un ensemble au plus d´enombrable (cf. Annales corrig´ees d’IFP 2002-2003, D.M. 1, Ex. 3). Si on note E_n:={x∈Ω_n;µ({x})>0}, on a clairement

G:={x∈Ω; µ({x})>0}= ∪

n≥1E_n,

doncGest au plus d´enombrable comme union d´enombrable d’ensembles au plus d´enom- brables. Enfin, d´efinissons la mesure ponctuelleν par :

ν :=X

x∈G

µ({x})δ_x et la mesureµ_d par

∀B ∈A, µ_d(B) := µ(B∩G^c).

On vous laisse le soin de v´erifier que µ_d est diffuse et que µ=ν+µ_d.

4) Si µ est born´ee, il existe un singleton dont la mesure est sup´erieure ou ´egale `a celle des autres singletons. Ceci n’est pas forc´ement vrai si µest seulement σ-finie.

Siµ(Ω)<+∞, on a puisqueG est au plus d´enombrable, X

x∈G

µ({x}) =µ(G)≤µ(Ω)<+∞.

Dans une s´erie `a termes positifs convergente (ou a fortiori dans une somme finie), il y a un terme maximal puisque le terme g´en´eral tend vers 0.

Voici un contre exemple siµ(Ω) = +∞. On prend Ω =N,A=P(N) etµ=P

k∈Nkδ_k. Alorsµest σ- finie (pourquoi ?) et sup_x∈Nµ({x}) = sup_k∈Nk= +∞.

Ex 15. Bof.

Ex 16. Soient f₁, f₂, g₁, g₂, des fonctions num´eriques mesurables. Montrer que si f₁ =g₁ µ-p.p. etf₂ =g₂ µ-p.p., alors f₁+f₂ =g₁+g₂ µ-p.p.

Voir la solution de l’exercice suivant, c’est la mˆeme technique en plus simple (2 ensembles n´egligeables au lieu d’une infinit´e d´enombrable).

Ex 17. Soient (f_n) et (g_n) deux suites de fonctions mesurables de (Ω,A, µ) dans (R,B(R)) qui v´erifient, pour tout n de N, f_n = g_n µ-p.p. On pose f = sup_nf_n et g = sup_ng_n. A-t-on f =g µ-p.p. ?

On peut traduire l’hypoth`ese comme suit.

∀n ∈N, ∃N_n ∈A, µ(N_n) = 0 et∀ω ∈Ω\N_n, f_n(ω) = g_n(ω).

PosonsN := ∪

n∈N

Nn. Alors

µ(N)≤X

n∈N

µ(N_n) = 0

et pour tout ω ∈ Ω \N, on a f_n(ω) = g_n(ω) pour tout n ∈ N. Alors pour cet ω, sup_nf_n(ω) = sup_ng_n(ω). On en d´eduit que f =g µ-p.p.

Ex 18. Soitλla mesure de Lebesgue sur R. Trouver toutes les fonctionscontinuessur [0,1] nulles λ-p.p. sur ]0,1[.

Il n’y en a qu’une, c’est la fonction nulle. En effet si f continue est non nulle en x₀, elle est non nulle sur un intervalle ouvert centr´e enx0 (justifiez ce point) et cet intervalle a une mesure de Lebesgue strictement positive.

Le r´esultat ne subsiste pas si on remplace continues par bor´eliennes, contre exemple f =1_Q (v´erifiez !).

Ex 19. Comparer l’ensemble C des fonctions R→Rcontinues λ-p.p. et l’ensembleE des fonctions R→R ´egales λ-p.p. `a une fonction continue.

1. E n’est pas inclus dans C, car f =1_Q est ´egale presque partout `a la fonction nulle qui est trivialement continue et pourtant f n’est continue en aucun point de R (pourquoi ?).

2. C n’est pas inclus dansE. Prenonsf =1[0,+∞[qui est continue surR, sauf au point 0, donc continueλ-p.p.. Supposons qu’il existeg continue sur toutRtelle queg =f λ-p.p. NotonsA:={x∈R;f(x) = g(x)}. Dans tout intervalle [−1/n,0[, il y a au moins un pointx_n∈A, sinonf 6=gsur tout l’ensemble [−1/n,0[ qui est de mesure de Lebesgue stritement positive. On construit ainsi une suite (x_n) de r´eels n´egatifs convergente vers 0. Comme g(x_n) = f(x_n) = 0 pour tout n, g(x_n) converge vers 0 et comme g est continue en 0, g(0) = 0. En recommen¸cant avec les intervalles ]0,1/n], montrer que l’on arrive `a une contradiction.