UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE.
LM 371. 24 janvier 2011.
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Vous ´enoncerez avec pr´ecision les th´eor`emes utilis´es.
Exercice 1.
- D´ecrivez, `a isomorphisme pr`es, tous les groupes commutatifs (ab´eliens) de cardinal 11025 ne contenant pas d’´el´ement d’ordre 75. Vous ´enoncerez d’abord le ou les th´eor`emes utilis´es.
Exercice 2.
1) Montrez queS6 n’a pas d’´el´ements d’ordre 9 2) D´ecrire les ´el´ements d’ordre 3 deS6.
3) Donnez un 3-sous-groupes de Sylow deS6. 4) D´ecrivez tous les 3-sous-groupes de Sylow deS6. 5) Quel est le nombre de 3-sous-groupes de Sylow deS6? Exercice 3.
On consid`ere les ´el´ementsα, β ∈S5 tels que
- α est d’ordre 2 et poss`ede un unique point fixek∈ {1, ...,5}, - β poss`ede exactement deux points fixes distincts de k.
1) Montrez queα etβ sont des ´el´ements de A5
2) Montrez que le produitαβ est un ´el´ement d’ordre 2 ou 5.
3) On suppose queαβ est d’ordre 5. Montrez que{α, β}engendreA5. Exercice 4.
Montrez qu’un groupe de cardinal 150 n’est pas simple.
