Terminale S Correction Devoir maison n˚16 2016-2017
EXERCICE 1 :
Partie A : Etude de la fonction f 1. Calculerf′(x) pourx∈[−2,5 ; 2,5].
Sur [−2,5 ; 2,5], 06x2 66,25 ⇐⇒ 062x2612,5 ⇐⇒ −12,56−2x2 60 ⇐⇒
16−2x2+ 13,5613,5.
f = ln(u) avec u dérivable et strictement positive sur [−2,5 ; 2,5] , f est donc dérivable sur [−2,5 ; 2,5]
f′= u′ u avec
(u(x) =−2x2+ 13,5 u′(x) =−4x
∀x∈[−2,5 ; 2,5], f′(x) = −4x
−2x2+ 13,5
2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonctionf sur [−2,5 ; 2,5].
En déduire le signe def sur [−2,5 ; 2,5].
sur [−2,5 ; 2,5], on a vu que −2x2+ 13,5>1>0 doncf′(x) est du signe de −4x soit f′(x)>0 sur [−2,5 ; 0[ et f′(x)<0 sur ]0 ; 2,5]. On en déduit le tableau suivant :
x −2,5 0 2,5
f′(x) + 0 −
0
ln(13,5)
0 f(x)
Partie B : Aire de la zone de creusement
On admet que la courbeC est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées du repère.
1. La courbeC est-elle un arc de cercle de centre O ? Justifier la réponse.
D’après les deux points sur l’axe des abscisses, le diamètre d’un tel cercle serait de 5 donc son rayon de 2,5 orf(0) = ln(13,5)6= 2,5
C n’est donc pas un arc de cercle de centre O
2. Justifier que l’aire, en mètre carré, de la zone de creusement est A= 8
Z 2,5 0
f(x) dx.
La courbe C étant symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et au dessus de l’axe des abscisses, l’aire est donnée par 2
Z 2,5 0
f(x) dx en unité d’aire.
Or une unité d’aire est de 4 m2 puisque l’unité du repère orthonormé est de 2 m.
Finalement l’aire de creusement est bien donnée parA= 8 Z 2,5
0
f(x) dx.
3. L’algorithme, donné en annexe, permet de calculer une valeur approchée par défaut deI = Z 2
,5 0
f(x)dx, notéea.
On admet que :a6I 6a+ f(0)−f(2,5)
n ×2,5.
(a) Le tableau fourni en annexe, donne différentes valeurs obtenues pour R et S lors de l’exécution de l’algorithme pourn= 50.
Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.
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Initialisation S = 0,n= 50
Boucle Pour à%tapek R S
1 0,05f(0,05) = 0,130 116 0,130 116
2 0,130 060 0,260 176
3 0,129 968 0,390 144
4 0,129 837 0,519 981
... ...
24 0,118 137 3,025 705
25 0,116 970 3,142 675
... ...
49 0,020 106 5,197 538
50 0,05×f(2,5) = 0 S+ 0 = 5,197 538
Affichage S = 5,197 538
(b) En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.
L’algorithme donne une valeur approchée par défaut deI et il est admis que : a6I 6a+f(0)−f(2,5)
n ×2,5, donc on obtient : 5,197 538 6I 65,197 538 + ln(13,5)
50 ×2,5 ou
5,197 538 6I 65,197 538 + 0,130 135 et enfin 5,197 5386I 65,327 67 OrA= 8I, donc
8×5,197 53868×I 68×5,327 67 ou
41,583 6A642,622 donc 42−16A642 + 1.
Donc l’aire de creusement a une valeur approchée de 42 m2, au mètre carré près.
EXERCICE 2 :
Le point B(1 ; 0 ; 0)∈ P
Le point M(0 ; 2 ; 0)∈ P. M est le symétrique de A par rapport à D.
Le point N(0 ; 0 ; 3)∈ P. N est défini par−−→
AN = 3−−→
AE . (BM) ⊂(ABC), (BM) coupe [DC] en un point I.
(BN) ⊂(ABE), (BN) coupe [EF] en un point L.
Les plans (ABE) et (CDH) sont parallèles donc P les coupe suivant deux droites parallèles.
La parallèle à (BJ) passant par I coupe [GH] en K.
Rem. On peut finir à la règle seulement en traà§ant (MN) et (EH) sécantes en P. La droite (JP) coupe l’arête [GH] en K.
La section du cube parP est la surface limitée par le parallélogramme BIKJ.
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A
B C
D E
F G
H L
I
M P
N
J
K
• • •
EXERCICE 3 :
1. (a) Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles.
∆ =b2−4ac= 36−4c <0 car c >9 donc (E) admet deux solutions complexes non réelles (b) Justifier que les solutions de (E) sont zA= 3 + i√
c−9 etzB= 3−i√ c−9.
Les solutions de (E) sont conjuguées de la formez1= −b+ i√
−∆
2a etz2 =z1
z1 = 6 + i√
4c−36
2 = 6 + 2i√ c−9
2 = 3 + i√
c−9 =zA et z2=z1 =zA=zB
2. On note A et B les points d’affixes respectives zA etzB. Justifier que le triangle OAB est isocèle en O.
OB =|zB|=|zA|=|zA|= OA OAB est donc bien isocèle en O
3. Démontrer qu’il existe une valeur du réelc pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur.
OAB est rectangle en O si et seulement si AB2= 2OA2 car on sait qu’il est isocèle en O AB2=|zB−zA|2=2i√
c−9
2 = 4(c−9) et 2OA2 = 2|zA|2 = 2×(9 +c−9) = 2c AB2= 2OA2 ⇐⇒4(c−9) = 2c⇐⇒c= 18
OAB est donc rectangle si et seulement sic= 18
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