Test en spécialité Maths TSAnnée scolaire 2010/2011

Test en spécialité Maths TS

Année scolaire 2010/2011

Citer le théorème de Gauss et le démontrer.

Théorème de Gauss: Soit a, b et c, trois entiers relatifs non nuls.

Si a divise bc et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c. a∣bc donc ∃k∈ℤ tel que bc=ka.

a et b sont premiers entre eux donc ∃u ,v∈ℤ² tel que aubv=1

En multipliant par c, la relation de Bézout, on obtient : acubcv=c et comme bc=ka on a : acukav=c ⇔ acukv=c ⇒ a∣c.

1. Les nombres suivants sont-ils premiers entre eux : a=4847 et b=5633 ? 2. Calculer PPCM(4847;5633).

On calcule PGCD4847; 5633 avec l' algorithme d'Euclide :

5633=1×4847786 ; 4847=6×786131 et 786=6×1310 donc le PGCD est 131. Comme il est différent de 1, les nombres 4847 et 5633 ne sont pas premiers entre eux.

PPCMa ,b×PGCDa ,b=a×b donc PPCMa ,b= a×b

PGCDa , b . On a donc : PPCM4847 ;5633=4847×5633

131 =208421

1. 2³≡ x7. x=1 convient car 2³≡17.

2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 2³ⁿ–1 est un multiple de 7. En déduire que 2^3n1–2 et 2^3n2–4 sont des multiples de 7.

• 2³≡17 donc 2³ⁿ≡1ⁿ7 ⇔ 2³ⁿ≡17 ⇔ 2³ⁿ×2≡1×27 ⇔ 2^3n1≡27 ⇔ 2^3n1–2≡07

⇔ 7∣2^3n1–2

• 2³ⁿ≡17 ⇔ ^23n×4≡1×47 ⇔ ^23n2≡2²7 ⇔ ^23n2–4≡07 ⇔ ^7∣23n2–4 3. Déterminer les restes de la division par 7 des puissances de 2.

2⁰≡17 ; 2¹≡27 ; 2²≡47 ; 2³≡17 ; ...

En résumé :

2^p 2^2p 2^3p Conséquence pour A_p=2^p2^2p2^3p

(Q.4.a,b,c)

p≡03 2^p≡17 2^2p≡1²≡17 2^3p≡1³≡17 A_p≡37 donc le reste est 3 dans la division euclidienne de A_p par 7 p≡13 2^p≡27 2^2p≡2²≡47 2^3p≡2³≡17 A_p≡7≡07 _donc 7∣A_p p≡23 2^p≡47 2^2p≡4²≡27 2^3p≡4³≡17 A_p≡7≡07 _donc 7∣A_p

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Test en spécialité Maths TS

On considère l'équation E : 18x15y=2010 1. Déterminer une solution particulière de E.

E ⇔ 6x5y=670. or une solution particulière de 6x5y=1 est 1 ;–1 donc une solution particulière de 6x5y=670 est 670;–670 notée x₀;y₀

2. Résoudre E dans ℤ×ℤ.

Soit x;y une solution de E (il en existe car le théorème de Bézout nous l'assure). On a : 6x5y=670=6x₀5y₀ ⇔ 6x – x₀=5y₀– y ☼

☼ ⇒ 6∣5y₀– y or 5 et 6 sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss, 6∣y₀– y et il existe k₁∈ℤ tel que : y₀– y=6k₁.

☼ ⇒ 5∣6x – x₀ or 5 et 6 sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss, 5∣x – x₀ et il existe k₂∈ℤ tel que : x – x₀=5k₂.

En remplaçant dans ☼, y₀– y et x – x₀, on obtient : 6×k₂×5=5×k₁×6 ⇔ k₂=k₁

On pose k=k₁=k₂ et de ce fait l'ensemble des solutions de E est l'ensemble des couples de la forme :

6705k;−670−6k où k∈ℤ. 3. Déterminer tous les couples d'entiers naturels solutions de E.

On doit avoir {^{–6705670}k∈^–6ℤ^k0k0

⇔ {^6–k–5k^k670∈ℤ⁶⁷⁰

⇔ {^{k–k–k∈670670ℤ56 ⇔ {kkk∈––134112ℤ ⇔ k∈[[–134 ;–112]]}

k=–134  0 ;134 solution ; ... ; k=–112  (110;2) solution. En tout : –112––1341=23 solutions de couples d'entiers naturels.

Déterminer tous les entiers naturels x inférieurs à 200 et tels que PGCDx ,324=12. 324=18²=2×3²²=2²×3⁴=12×27 ^et 12=2²×3

Comme 12 est un diviseur commun de 324 et de x et que c'est le plus grand, x est de la forme 12×p avec p entier naturel premier avec 27.

Cela revient donc à chercher les entiers p premiers avec 27 tels que 12p200 ⇔ p200

12 ^⇒ p16 Valeurs possibles de p : 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16.

Valeurs de x correspondantes : 12, 24, 48, 60, 84, 96, 120, 132, 156, 168, 192.

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