Les K-rois : une métaphore du problème d'ordonnancement spatio-temporel des avions autour d'un aéroport

(1)

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Submitted on 25 May 2005

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Les K-rois : une métaphore du problème

d’ordonnancement spatio-temporel des avions autour d’un aéroport

Konstantin Artiouchine, Philippe Baptiste, Juliette Mattioli

To cite this version:

Konstantin Artiouchine, Philippe Baptiste, Juliette Mattioli. Les K-rois : une métaphore du problème

d’ordonnancement spatio-temporel des avions autour d’un aéroport. Premières Journées Francophones

de Programmation par Contraintes, CRIL - CNRS FRE 2499, Jun 2005, Lens, pp.373-382. �inria-

00000060�

(2)

Actes JFPC 2005

Les K −rois : une m´ etaphore du probl` eme d’ordonnancement spatio-temporel des avions

autour d’un a´ eroport

Konstantin Artiouchine

^1,2

Philippe Baptiste

¹

Juliette Mattioli

²

1

LIX, ´ Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau, France,

2

Thales TRT, Domaine de Corbeville, 91404 Orsay CEDEX, France {Prenom.Nom}@polytechnique.fr Juliette.Mattioli@thalesgroup.com

R´ esum´ e

Nous ´ etudions le probl` eme du calcul des trajec- toires d’un ensemble d’avions pendant leur descente fi- nale juste avant l’atterrissage. Ces trajectoires sont sou- mises d’une part aux contraintes li´ ees ` a la dynamique des avions et d’autre part au fait qu’une distance de s´ ecurit´ e suffisamment grande doit ˆ etre maintenue. Nous cherchons ` a d´ eterminer l’ordre dans lequel les avions se posent ainsi que leurs trajectoires respectives avec comme objectif la minimisation du temps d’atterris- sage maximal. Nous pr´ esentons dans ce papier une ver- sion simplifi´ ee du probl` eme hybride o` u le temps et l’es- pace sont discr´ etis´ es. Un mod` ele en PPC introduisant quelques contraintes globales est present´ e.

Abstract

We study the problem of computing trajectories of a set of aircraft in their final descent, right before landing.

Trajectories must be compatible with aircraft dynamics while keeping distance between aircraft large enough.

Our objective is to determine the order in which air- craft land as well as their exact trajectories in order to minimize the maximal landing time. We study a highly simplified version of this hybrid problem where time and space are discretized. A constraint based model relying on several specific global constraints is introduced. Com- putational experiments are reported.

Mots clefs : Contrˆ ole du trafic aerien, Ordonnance- ment, Programmation par Contraintes

Key words : Air-Traffic Control, Scheduling, Constraint Programming

1 Introduction

Les mod` eles pour la dynamique d’un syst` eme reposent souvent sur des ´ equations diff´ erentielles d´ eriv´ ees des lois physiques. Ces syst` emes sont ´ etudi´ es dans le domaine de la th´ eorie du contrˆ ole. Les syst` emes hybrides sont caract´ eris´ es par une forte interaction des mod` eles continus et discr` ets (e.g., une utilisation si- multan´ ee des variables continues et discr` etes).

Nous ´ etudions ici un probl` eme hybride de calcul des trajectoires des avions lors de leur descente fi- nale. Ces trajectoires doivent ˆ etre compatibles avec la dynamique des avions et satisfaire les contraintes in- duites par les distances de s´ ecurit´ e entre avions. Tant que les avions sont en l’air, la distance entre chaque paire d’avions doit ˆ etre sup´ erieure ` a une valeur fix´ ee.

En outre, un intervalle de s´ ecurit´ e entre deux atterris- sages cons´ ecutifs sur la mˆ eme piste doit ˆ etre mainte- nue. Notre objectif est de d´ eterminer l’ordre d’atter- rissage et les trajectoires de tous les avions qui mini- misent la date d’atterrissage du dernier avion.

Des probl` emes similaires ont d´ ej` a ´ et´ e ´ etudi´ es. La

version “statique” est ´ etudi´ ee dans [1], [6] o` u les au-

teurs supposent que toutes les trajectoires possibles

sont connues. Cela permet d’associer ` a chaque avion

un ensemble de fenˆ etres temporelles dans lesquelles son

atterrissage est autoris´ e. Le probl` eme de s´ equencement

des vols ainsi obtenu est par la suite abord´ e comme un

probl` eme d’ordonnancement classique. Une fois toutes

les dates d’atterrissage connues, les plans de vol corres-

pondant aux trajectoires peuvent ˆ etre calcul´ es. L’in-

conv´ enient majeur de cette approche, d´ etaill´ ee dans

[5], est que les trajectoires obtenues peuvent intro-

duire des conflits potentiels puisque les contraintes de

(3)

distance peuvent ˆ etre viol´ ees. Ceci est li´ e au fait que le calcul de l’ordonnancement et le calcul des trajec- toires sont effectu´ es ind´ ependamment l’un de l’autre.

En pratique, cette approche est r´ ealiste si les avions volent ` a des altitudes diff´ erentes.

A notre connaissance, il n’existe pas d’approches permettant de prendre en compte simultan´ ement toutes les contraintes du probl` eme. Dans ce papier, on ´ etudie une m´ etaphore tr` es simplifi´ ee du probl` eme original : “le probl` eme des K−rois”. Le temps est discr´ etis´ e et l’espace a´ erien est repr´ esent´ e par un

´ echiquier avec une case fictive repr´ esentant la piste d’atterrissage. Les avions se d´ eplacent comme les rois de jeu d’´ echecs et l’objectif est de vider l’´ echiquier le plus rapidement possible. Un probl` eme encore plus simple est de v´ erifier qu’` a partir d’une disposition donn´ ee il existe au moins un mouvement.

Plus formellement, en partant d’une disposition ini- tiale donn´ ee par les coordonn´ ees (a

1

, b

1

), ..., (a

K

, b

K

) de K rois R

1

, . . . , R

K

sur un ´ echiquier de taille N ×N , on cherche une s´ equence de transitions permettant de

“vider” l’´ echiquier en respectant les contraintes sui- vantes :

1. Les rois ne peuvent pas ˆ etre en prise (selon les r´ egles classiques du jeu d’´ echecs).

2. Un roi peut ˆ etre enlev´ e de l’´ echiquier tout de suite apr` es son passage sur la case cible (marqu´ ee par une croix sur les Figures 1 et 2).

3. A chaque it´ eration, chaque roi se d´ eplace obliga- toirement de sa position courante ` a une case ad- jacente tant qu’il n’est pas sorti du jeu.

Un exemple d’une instance du probl` eme est repr´ esent´ e sur la Figure 1. Les fl` eches sur la figure indiquent les ´ eventuels d´ eplacements des rois d’un ins- tant ` a l’autre. Il est important de savoir qu’il existe des situations ` a partir desquelles il n’existe pas de mouve- ment possible. Un exemple d’une telle disposition est donn´ e sur la Figure 2. Une autre instance du probl` eme avec 4 rois sur une grille 4 × 4 et sa solution optimale sont repr´ esent´ ees sur la figure 3.

Fig. 1 – Un mouvement Fig. 2 – Un blocage Dans la suite du papier on suppose que les lignes et les colonnes de l’´ echiquier sont num´ erot´ ees de 1 ` a N . Afin de simplifier les notations, on introduit une case

“fictive” avec les coordonn´ ees (0, 0). Par convention, tous les rois d´ ej` a sortis de l’´ echiquier se trouvent sur cette case. On peut voir cette case comme l’a´ eroport o` u les avions peuvent rester autant de temps qu’ils veulent. Les cases non-existantes sont dessin´ ees en gris sur la Figure 2.

Fig. 3 – Une solution optimale en 9 transitions pour 4 rois

Cet article est compos´ e de 5 sections. La descrip- tion formelle du probl` eme des K−rois et un mod` ele initial en PPC sont d´ ecrits dans la Section 2. Nous in- troduisons dans la Section 3 les r´ egles de propagation suppl´ ementaires permettant de r´ eduire l’espace de re- cherche. Les heuristiques de branchement sont d´ efinies dans la Section 4 et les r´ esultats exp´ erimentaux sont donn´ es dans la Section 5.

2 Mod` ele PPC

Nous utilisons trois ensembles de variables ` a do- maines finis pour la construction d’un mod` ele en Pro- grammation par Contraintes : variables de position enti` eres et bool´ eennes, et les variables de dates de sor- tie. Le mod` ele extrˆ emement simple utilisant seulement les variables enti` eres de position peut ˆ etre construit mais comme on le verra par la suite la propagation est tr` es inefficace et m` ene ` a de faibles performances.

La position R

k

(t) du roi R

k

` a l’instant t est donn´ ee par une paire (X

k,t

, Y

k,t

) de Variables Enti` eres de Po- sition o` u X

k,t

(resp. Y

k,t

) d´ esigne la colonne (resp. la ligne) de l’´ echiquier. On rappelle que le coin en haut et ` a gauche de l’´ echiquier a pour coordonn´ ees (1, 1).

Nous introduisons un ensemble suppl´ ementaire de variables appell´ ees Dates de Sortie T

₁

, ..., T

_k

as- soci´ ees aux instants auxquels les rois sont enlev´ es de l’´ echiquier :

T

k

= min

˜ t ∀t ≥ ˜ t,

X

k,t

Y

_k,t

= 0

0

(4)

Nous introduisons dans le mod` ele l’ensemble de contraintes suivant afin d’imposer cette relation :

∀k ∈ [1, K], ∀t ∈ [1, T ]

X

_k,t

Y

k,t

= 0

0 ⇐⇒ T

_k

≤ t En plus, on introduit la variable T ¯ ´ egale au maxi- mum de ces variables (c.` a.d le premier instant o` u l’´ echiquier est vide).

Dans une solution optimale on ne peut pas avoir exactement la mˆ eme disposition des rois plus d’une fois (sinon cette solution ne serait pas optimale). Le nombre total de pas de temps peut donc ˆ etre born´ e par une constante.

Ces variables nous permettent de d´ efinir le mod` ele PPC “de base” pour notre probl` eme. Nous introdui- sons n´ eanmoins les variables bool´ eennes de position u

_k,i,j,t

pour permettre les propagations irrealisables avec les variables de position enti` eres. La variable u

_k,i,j,t

est instanci´ ee ` a “vrai” si et seulement si R

_k

se trouve sur la case (i, j) ` a l’instant t. Les r` egles de pro- pagation utilisant ces variables sont pr´ esent´ ees dans la Section 3.

Les variables de position enti` eres X

k,t

et Y

k,t

sont reli´ ees aux variables de position bool´ eennes en deux

´

etapes. La premi` ere ´ etape consiste en l’introduction de deux ensembles de variables suppl´ ementaires x

k,i,t

et y

k,j,t

qui peuvent avoir la valeur “vrai” si le roi R

k

peut se trouver sur la colonne i (resp. ligne j) ` a l’instant t. Ces variables sont ensuite reli´ ees au mod` ele bool´ een comme suit :

∀k ∈ [1, K] , ∀t ∈

1, sup T ¯

, ∀i ∈ [0, N]

x

_k,i,t

= _

j∈[0,N]

u

_k,i,j,t

∀k ∈ [1, K] , ∀t ∈

1, sup T ¯

, ∀j ∈ [0, N]

y

k,j,t

= _

i∈[0,N]

u

k,i,j,t

La deuxi` eme ´ etape consiste ` a ´ etablir une connexion entre ces variables et les variables du mod` ele principal.

∀k ∈ [1, K] , ∀t ∈

1, sup T ¯

, ∀i ∈ [0, N]

i / ∈ dom (X

k,t

) ⇐⇒ ¬ x

k,i,t

∀k ∈ [1, K] , ∀t ∈

1, sup T ¯

, ∀j ∈ [0, N]

j / ∈ dom (Y

k,t

) ⇐⇒ ¬ y

k,j,t

O` u dom (X ) d´ enote le domaine de la variable X avec inf (X ) = min

_x∈dom(X)

et sup (X ) = max

_x∈dom(X)

. 2.1 La case fictive (0, 0)

Comme pr´ ec´ edemment annonc´ e, chaque roi peut soit rester sur l’´ echiquier de taille N × N , soit se trou- ver sur une case “fictive” suppl´ ementaire avec les co- ordonn´ ees (0, 0).

Les variables de position X

k,t

et Y

k,t

peuvent donc prendre des valeurs dans [0, N ]. Nous introduisons les contraintes suivantes afin d’interdire les cases non- existantes (1, 0) , ..., (N, 0), (0, 1) , ... (0, N) :

∀k ∈ [1, K ] , ∀t ∈

1, sup T ¯ h

(X

k,t

= 0) ∧ (Y

k,t

= 0) i

∨ h

(X

k,t

6= 0) ∧ (Y

k,t

6= 0) i .

Pour le mod` ele bool´ een cette restriction est simple :

∀k ∈ [1, K ] , ∀t ∈

1, sup T ¯

, ∀i ∈ [1, N] , u

_k,i,0,t

= f alse

∀k ∈ [1, K ] , ∀t ∈

1, sup T ¯

, ∀j ∈ [1, N] , u

k,0,j,t

= f alse .

2.2 Dispositions initiale et finale

La position initiale du roi R

k

est donn´ ee par (a

k

, b

k

).

A l’instant ` T ¯ tous les rois ont pour coordonn´ ees (0, 0) :

∀k ∈ [1, K ]

X

_k,1

Y

k,1

= a

_k

b

k

X

_k,sup

(

^T^¯

) Y

_k,sup

(

^T^¯

)

= 0

0 Ces conditions permettent d’instancier imm´ ediatement une partie des variables de posi- tion et ne sont pas explicitement appliqu´ ees au mod` ele bool´ een.

2.3 Contraintes de distance

Les rois ne peuvent pas se trouver sur les cases ad- jacentes. En consequence, en utilisant les variables de position on obtient :

∀k, k

⁰

∈ [1, K ] , ∀t ∈

1, sup T ¯ , k 6= k

⁰

|X

k,t

− X

_k⁰_,t

| > 1

∨

|Y

k,t

− Y

_k⁰_,t

| > 1

Un ensemble de contraintes disjonctives sur les va- riables bool´ eennes peut ˆ etre formul´ e sous la forme sui- vante :∀k

⁰

6= k, ¬u

k,i,j,t

W

¬u

k⁰,i⁰,j⁰,t

o` u i, j et i

⁰

, j

⁰

sa- tisfont |i − i

⁰

| ≤ 1 et |j − j

⁰

| ≤ 1. N´ eanmoins, cela augmente significativement le nombre de contraintes du mod` ele et am` ene ` a une forte r´ eduction de la per- formance. Cet ensemble de contraintes bool´ eennes de distance peut ˆ etre remplac´ e par des contraintes glo- bales plus compactes et plus g´ en´ eriques d´ ecrites dans la section 3.

Une remarque importante est que la case fictive

(0, 0) n’apparait jamais dans les contraintes d’inter-

distance. Afin de simplifier les notations, les condi-

tions correspondantes seront omises dans les sections

suivantes.

(5)

2.4 Contraintes sur la dynamique

Comme la dynamique des rois est extrˆ emement simple, on peut facilement utiliser la mod´ elisation sui- vante :

– La longueur d’un d´ eplacement est au plus 1 : ∀k ∈ [1, K ] , ∀t ∈

1, sup T ¯

− 1

, |X

k,t+1

− X

k,t

| ≤ 1 et |Y

k,t+1

− Y

k,t

| ≤ 1

– Le d´ eplacement est obligatoire : ∀k ∈ [1, K ] , ∀t ∈ 1, sup T ¯

− 1

, (X

k,t

6= X

k,t+1

) ou (Y

k,t

6= Y

k,t+1

) Une dynamique plus complexe peut ˆ etre prise en compte par un graphe des transitions Γ. Chaque case de l’´ echiquier ` a un instant donn´ e est associ´ ee ` a un sommet de ce graphe. Il existe une arˆ ete entre deux sommets (x, y) et (x

⁰

, y

⁰

) si et seulement si un roi peut se d´ eplacer de (x, y) ` a (x

⁰

, y

⁰

) en un seul pas.

La Figure 4 montre une partie de ce graphe des tran- sitions adjacentes ` a la case cible. Les sommets cor- respondent aux points de la grille et les arˆ etes sont repr´ esent´ ees par les fl` eches en pointill´ es. Pour notre

1 t

Y

2 3 X

2 3 4

Fig. 4 – Graphe de transitions

dynamique, ` a chaque case (x, y) avec 1 ≤ x ≤ N et 1 ≤ y ≤ N et (x, y) 6= (1, 1) on obtient :

Γ x

y

= x

⁰

y

⁰

x

⁰

∈ [x − 1, x + 1] ∩ [1, N]

y

⁰

∈ [y − 1, y + 1] ∩ [1, N]

\ x

y

Comme pr´ ecis´ e pr´ ec´ edemment, Γ peut ˆ etre utilis´ e pour la mod´ elisation d’une dynamique plus complexe.

Le roi se trouvant sur la case (1, 1) peut

´ eventuellement ˆ etre enlev´ e de l’´ echiquier (d´ eplacement vers (0, 0)) o` u rester sur l’´ echiquier en se d´ epla¸ cant sur une autre case adjacente :

Γ 1

1 = 0

0 , 1

2 , 2

1 , 2

2 Une fois enlev´ e, le roi ne quitte plus la case cible : Γ

0 0

= 0

0 .

Dans la suite, on utilisera une formulation plus g´ en´ erique de la dynamique. En particulier, les contraintes globales pour la dynamique sont ap- pliqu´ ees au graphe des transitions arbitraires plutˆ ot que sur une dynamique plus pr´ ecise.

La dynamique d’un roi est alors d´ efinie par la rela- tion de r´ ecurrence suivante :

∀k ∈ [1, K] , ∀t ∈

1, sup T ¯

− 1

X

k,t+1

Y

k,t+1

∈ Γ X

k,t

Y

k,t

En utilisant la formulation bool´ eenne on obtient direc- tement :

∀k ∈ [1, K] , ∀i, j ∈ [1, N ] , ∀t ∈

2, sup T ¯ u

k,i,j,t

⇒ _

(

_jⁱ⁰0

)

^∈Γ⁻¹

(

_jⁱ

)

u

k,i⁰,j⁰,t−1

En plus, on a aussi u

k,i,j,t

⇒ ¬ u

k,i,j,t+1

.

3 Propagation des contraintes globales

3.1 Indisponibilit´ e des cases

La premi` ere contrainte globale redondante intro- duite dans cette section est une g´ en´ eralisation des contraintes de distance entre les rois. Au cours de la recherche, il est possible de faire des d´ eductions suppl´ ementaires ` a partir de l’information partielle sur la position des rois.

Fig. 5 – D´ eductions de l’indisponibilit´ e des cases

Consid´ erons par exemple l’instance sur la Figure 5.

Quelque soit le mouvement du roi R

_k

qui se trouve au coin de l’´ echiquier ` a l’instant t donn´ e, les trois cases adjacentes ` a sa position ne pourront pas ˆ etre occup´ ees par autres rois ` a l’instant t + 1. Nous pouvons donc utiliser cette information pour r´ eduire les domaines des variables de position de tous les rois R

k⁰

, k

⁰

6= k ` a l’instant t + 1.

Ce m´ ecanisme simple peut ˆ etre ´ etendu comme suit :

on consid` ere ` a un instant t l’intersection I des voisi-

nages de toutes les positions admissibles c.` a.d. pas en-

core interdites pour un roi R

_k

. Toutes les cases dans I

sont alors adjacentes ` a la position du roi R

k

` a l’instant

(6)

t + 1. Les autres rois R

k⁰

, k

⁰

6= k ne peuvent donc pas se trouver sur l’une des cases de I ` a l’instant t + 1.

On peut remarquer que l’ensemble I est vide si (|dom (X

k

) | > 3) ou (|dom (Y

k

) | > 3). En cons´ equence, il est facile de v´ erifier que l’algorithme 1 propage toutes les d´ eductions n´ ecessaires sur les va- riables u

k,i,j,t

.

Lorsque la position d’un roi est contenue dans un carr´ e 3 × 3, l’algorithme 1 r´ eduit les domaines de variables u

k,i,j,t

et sa complexit´ e est lin´ eaire en nombre de rois (O(K)). Cette contrainte globale fait Algorithm 1 Propagation of square unavailability for king R

k

at time t

if ((|dom (X

k

) | ≤ 3) ∧ (|dom (Y

k

) | ≤ 3) then for i in sup (X

k

) − 1 .. inf (X

k

) + 1 do

for j in sup (Y

k

) − 1 .. inf (Y

k

) + 1 do for all k

⁰

6= k do

u

k⁰,i,j,t

:= false

plus de d´ eductions que les contraintes d’inter-distance bool´ eennes d´ ecrites dans la section pr´ ec´ edente. En fait, les mˆ emes d´ eductions sont r´ ealis´ ees lorsque les va- riables X

k,t

et Y

k,t

sont instanci´ ees.

3.2 Capacit´ e des rectangles

Le deuxi` eme ensemble de contraintes globales est d´ eriv´ e de la proposition suivante :

Proposition 3.1 Le nombre maximal de rois se trou- vant dans un rectangle l × h ne peut pas exc´ eder

l

2 h 2

Preuve: On ne peut pas avoir plus d’un roi dans un rectangle 2 ×2. Le nombre de rois dans un rectangle de taille l × h est donc born´ e par le nombre de rectangles de taille 2 × 2 qu’on peut placer dans ce rectangle. 2 Comme le montre la figure 7, cette limite peut ˆ etre atteinte.

Fig. 6 – Un blocage Fig. 7 – Capacit´ e Cette propri´ et´ e permet de d´ eduire imm´ ediatement que l’instance sur la Figure 6 est bloquante. En effet, les contraintes d´ ecrites dans la Section 3.1 nous per- mettent de d´ eduire que tous les rois de la derni` ere ligne

doivent se d´ eplacer verticalement. ` A partir de cette in- formation on peut voir que la capacit´ e de 6 premi` eres lignes est forc´ ement d´ epass´ ee. Il n’existe donc pas de solution pour cette instance.

De mani` ere plus formelle, on introduit la notation suivante qui indique que le roi R

k

se trouve dans le rectangle [i, i + l − 1] × [j, j + h − 1] :

R

k

(t) ∈ ([i, i + l − 1] × [j, j + h − 1]) ⇐⇒

(i ≤ X

k,t

< i + l) ∧ (j ≤ Y

k,t

< j + h) Une solution partielle ne pourra donc pas ˆ etre compl´ et´ ee si la condition suivante est viol´ ee pour un rectangle donn´ e :

∀t ∈

1, sup T ¯

, ∀i, j ∈ [1, N ] , ∀l > 0, ∀h > 0

# ({k|R

k

(t) ∈ ([i, i + l − 1] × [j, j + h − 1])})

≤ l l 2

ml h 2 m

o` u #(S) d´ esigne la cardinalit´ e de l’ensemble S.

En outre, si le nombre de rois dans un rectangle donn´ e est ´ egal ` a la capacit´ e de ce rectangle alors les cases ` a l’int´ erieur deviennent “interdites” pour les autres rois. Plus formellement, si pour le rectangle [i, i + l − 1] × [j, j + h − 1] la cardinalit´ e de l’ensemble S = {R

_k

| R

_k

(t) ∈ ([i, i + l − 1] × [j, j + h − 1])} des rois se trouvant ` a l’int´ erieur ` a l’instant t est exac- tement

l

2 h 2

alors tous les rois sauf ceux dans S sont forcement ` a l’ext´ erieur de ce rectangle ` a l’instant t c.` a.d. ∀R

k

, R

k

(t) ∈ / S ⇒ R

k

(t) ∈ / ([i, i + l − 1] × [j, j + h − 1]).

Algorithm 2 Propagation de la contrainte de capacit´ e d’un rectangle

Require: X

k

, Y

k

, x

min

, x

max

, y

min

, y

max

, t nbS := 0

for all k do

if dom (X

_k

) × dom (Y

_k

) ⊆ [x

_min

, x

_max

] × [y

_min

, y

_max

] then

nbS := nbS + 1 if nbS > l

_(x

max−x_min) 2

m l

_(y

max−y_min) 2

m then There is no possible solution

if nbS = l

_(x

max−xmin) 2

m l

_(y

max−ymin) 2

m then for all k do

for all i do for all j do

if dom (X

k

) × dom (Y

k

) ∈ / [x

min

, x

max

] × [y

min

, y

max

] then

u

k,i,j,t

:= f alse

L’algorithme 2 d´ ecrit la propagation de cette

contrainte pour un rectangle (x

_min

, x

_max

) ×

(y

min

, y

max

) ` a l’instant t. La complexit´ e d’une

(7)

ex´ ecution de cet algorithme est O(K). On peut noter que pour un instant donn´ e on peut avoir O(N

⁴

) rectangles ` a v´ erifier. Nous consid´ erons dans la Section 5 deux variations relatives du mod` ele en rajoutant les contraintes de ce type pour tous les rectangles ou seulement pour N

²

rectangles avec un coin fix´ e ` a (1, 1).

3.3 Trajectoires

Comme introduit dans la Section 2.4, la dynamique peut ˆ etre d´ ecrite par

∀k ∈ [1, K] , ∀i, j ∈ [1, N] , ∀t ∈

1, sup T ¯

− 1 u

k,i,j,t

⇒ _

(

ⁱ_j⁰0

)

∈Γ

((

_jⁱ

))

u

k,i⁰,j⁰,t+1

. (1) ainsi que la relation invers´ ee :

∀k ∈ [1, K] , ∀i, j ∈ [1, N] , ∀t ∈

2, sup T ¯ u

k,i,j,t

⇒ _

(

ⁱ_j⁰0

)

^∈Γ⁻¹

((

_jⁱ

))

u

k,i⁰,j⁰,t−1

. (2) Nous imposons la coh´ erence d’arc g´ en´ eralis´ ee (GAC- scheme de [8]) sur cet ensemble de contraintes afin d’´ eliminer les valeurs incoh´ erentes ` a partir des do- maines de variables u

_k,i,j,t

. Une contrainte est arc- coh´ erente si toutes les valeurs appartenant aux do- maines des variables de cette contrainte peuvent parti- ciper ` a une solution. GAC ´ elimine it´ erativement toutes les valeurs incoh´ erentes et l’information correspon- dante est propag´ ee sur toutes les autres contraintes potentiellement concern´ ees.

La proposition suivante montre que cette propaga- tion impose que la case cible soit accessible.

Proposition 3.2 Apr` es l’application de GAC pour les ensembles de contraintes (1) et (2), si la valeur

“vrai” appartient au domaine de la variable u

_k,i,j,t

, alors il existe une trajectoire pour le roi R

k

` a par- tir de sa position initiale jusqu’` a la case cible passante par (i, j) ` a l’instant t.

Preuve: Tout d’abord on peut montrer que le roi peut atteindre la case cible si il peut se trouver ` a la case (i, j) ` a l’instant t.

La valeur “vrai” est enlev´ ee par GAC ` a partir du domaine de u

k,i,j,t

si toutes les variables de la partie droite de (1) sont instanci´ ees ` a “faux”. Donc, si GAC n’a pas d´ eduit une incoh´ erence alors pour chaque va- leur “vrai” dans les domaines il existe une variable non-instanci´ ee ` a “faux” dans la partie droite de la contrainte (1) correspondante.

En cons´ equence, on construit une liste de variables u

k,i,j,t

, u

k,i⁰,j⁰,t+1

, u

k,i⁰⁰,j⁰⁰,t+2

, . . . contenant la valeur

“vrai” dans son domaine afin de construire un chemin de la position (i, j) ` a l’instant t. Comme ` a l’instant sup(dom(T )) toutes les variables u sont instanci´ ees ` a

“faux” sauf u

k,0,0,sup(T)

la derni` ere variable de la liste ainsi construite est associ´ ee ` a la case cible.

Pour prouver qu’il existe une trajectoire de la po- sition initiale du roi R

k

jusqu’` a la case (i, j) ` a l’ins- tant t on peut appliquer le raisonnement similaire aux in´ egalit´ es (2). 2

La proposition pr´ ec´ edente montre que ce m´ ecanisme extrˆ emement simple est efficace pour propager les d´ eductions li´ ees ` a l’existence des trajectoires. Nous pouvons aussi remarquer que ce sch´ ema de propaga- tion est d´ efini pour un graphe de transitions Γ simi- laire et peut donc ˆ etre utilis´ e pour une dynamique plus complexe.

3.4 Ordonnancement

A cause des contraintes d’inter-distance, il y a au ` moins deux pas de temps entre deux sorties de rois cons´ ecutives :

∀k, k

⁰

∈ [1, K] , k 6= k

⁰

, (T

_k

≤ T

_k⁰

+ 2) ∨(T

k⁰

≤ T

_k

+ 2) Ceci nous permet de renforcer le mod` ele en contraintes en utilisant une contrainte redondante de ressource disjonctive. Une tˆ ache avec la dur´ ee 2 est as- socie ` a chaque roi R

k

. La date de d´ ebut de cette tˆ ache est T

k

. Les contraintes associ´ ees mod´ elisent le fait que toutes ces tˆ aches doivent ˆ etre ex´ ecut´ ees sur une machine de capacit´ e unitaire (c.` a.d. leurs ex´ ecutions ne peuvent pas s’entrelacer). Il existe de nombreuses techniques de propagation pour ce probl` eme d’ordon- nancement (voir [2] pour une revue). Nous utilisons les r` egles de “edge-finding” [9] et “not-first/not-last”

[3, 9, 14, 15].

Comme toutes les dur´ ees des tˆ aches sont ´ egales nous avons ´ egalement ´ etudi´ e une autre technique de propa- gation bas´ ee sur la contrainte “All-Different”. Cette contrainte impose le fait que toutes les valeurs prises par les diff´ erentes variables d’un ensemble soient deux

`

a deux distinctes. Deux variantes peuvent ˆ etre uti- lis´ ees :

– L’algorithme de la coh´ erence aux bornes d´ ecrit dans [12]. Cette propagation garantit que chaque borne du domaine de chaque variable peut parti- ciper ` a une solution pour cette contrainte.

– L’algorithme de la coh´ erence d’arc d´ ecrit dans [13]

qui ´ elimine des domaines des variables toutes les valeurs qui ne peuvent pas participer ` a aucune solution de la contrainte.

Pour notre probl` eme d’ordonnancement on transforme

l’´ equation (3.4) comme suit : on introduit deux en-

sembles de variables τ

_k⁻

= bT

k

/2c et τ

_k⁺

= dT

k

/2e.

(8)

Toutes ces variables doivent ˆ etre deux ` a deux dis- tinctes. Elles peuvent donc ˆ etre r´ eli´ ees par des les contraintes de type “All-Different” :

∀i ∈ [1, K] , ∀j ∈ [1, K] , i 6= j τ

_i⁻

6= τ

_j⁻

τ

_i⁺

6= τ

_j⁺

Ces contraintes permettent de propager plus que les contraintes de ressource disjonctive. Cependant, les exp´ erimentations ont montr´ e que ces propagations suppl´ ementaires sont rarement utiles. Dans la suite on utilise seulement le “edge-finding” et “not-first/not- last”.

3.5 Propagation de SAC

La propagation de la coh´ erence de singletons (Sin- gleton Arc Consistency) d´ ecrite dans [7], [4] est ap- pliqu´ ee sur les variables X

_k,2

et Y

_k,2

comme d´ ecrit dans l’algorithme 3. Cet algorithme v´ erifie qu’apr` es l’ins- tantiation d’une variable ` a une valeur il est possible de rendre le probl` eme arc-coh´ erent. Cette propagation renforc´ ee est fortement corr´ el´ ee avec la technique de

“shaving” [10, 11].

Etant donn´ ´ e un r´ eseau de contraintes P , cet algo- rithme garantit que le r´ eseau de contraintes P |D

i

= a, obtenu ` a partir de P par la r´ eduction du domaine D

i

de la variable V

i

` a un singleton a, est arc-consistant.

Dans le cas contraire, cette instantiation ne peut pas participer ` a une solution du probl` eme.

Algorithm 3 Propagation de SAC Propagate AC on all constraints repeat

change ← f alse for all i ∈ V do

for all a ∈ D

_i

do

if P|D

_i

= a is not consistent then D

i

← D

i

\ {a}

Propagate AC on all constraints change = true

until change = false

4 Heuristiques de recherche

Les exp´ erimentations initiales ont permis de choisir l’heuristique de recherche suivante : une fois que le probl` eme d’ordonnancement est r´ esolu on construit les trajectoires des rois associ´ ees.

Etape 1 ´ S’il existe encore des dates de sortie non- d´ etermin´ ees alors on en choisit une variable T

_k

avec inf (T

_k

) minimal parmi les dates non-fix´ ees.

Une fois la variable choisie, on essaye de l’instan- cier ` a sa valeur minimale. Lors d’un retour-arri` ere cette valeur est ´ elimin´ ee du domaine de T

k

.

Etape 2 ´ Si toutes les dates de sortie sont connues alors on consid` ere le premier instant t tel qu’il existe au moins une position d’un roi encore in- connue (s’il n’existe pas de t correspondant alors le probl` eme est r´ esolu). On choisit parmi les va- riables X

k,t

et Y

k,t

celle qui correspond ` a la valeur minimale de T

k

(grˆ ace ` a l’´ etape 1, ces valeurs sont connues) et on ´ enum` ere les valeurs dans son do- maine en ordre croissant.

Une autre variante de l’heuristique de recherche consiste ` a n’utiliser que l’´ etape 2 (c.` a.d. construire les trajectoires en ordre lexicographique). Dans ce cas, les variables T

k

n’´ etant pas encore instanci´ ees donc parmi les variables de position X

k,t

et Y

k,t

on choisit celle correspondante ` a la valeur minimale de inf (T

k

).

5 R´ esultats exp´ erimentaux

Une instance du probl` eme est caract´ eris´ ee par la taille de l’´ echiquier N × N , le nombre de rois K et par les positions initiales des rois (a

k

, b

k

). Plusieurs classes d’instances ont ´ et´ e g´ en´ er´ ees, la taille maxi- male de l’´ echiquier allant jusqu’` a 7 × 7. Le nombre d’instances par classe est de l’ordre de quelques mil- liers et quelques centaines de ces instances sont non- bloquantes.

Deux sortes d’exp´ erimentations ont ´ et´ e effectu´ ees : – Tout d’abord, on identifie les instances pour les-

quelles il n’existe pas de mouvement (Figure 2).

– Si un mouvement existe alors on cherche ` a d´ eterminer la suite de transitions permettant de vider l’´ echiquier au plus vite.

Dans les deux cas on ´ evalue la performance relative des diff´ erentes variantes du mod` ele (en utilisant ou non les r` egles de propagation propos´ ees). Toutes les exp´ erimentations ont ´ et´ e effectu´ ees sur Intel Pentium- M 1.5 GHz (Centrino).

5.1 L’existence d’un mouvement

La premi` ere question ´ etudi´ ee dans cette section est de d´ eterminer si ` a partir d’une disposition initiale donn´ ee il existe un mouvement admissible ou pas.

Nous avons analys´ e le comportement de plusieurs com- binaisons d’algorithmes de propagation. Chaque co- lonne du tableau 1 correspond ` a l’une de ces combi- naisons. Chaque ligne correspond ` a une r` egle de propa- gation et un signe “+” dans la colonne correspondante indique que la propagation associ´ ee a particip´ e dans la combinaison associ´ ee.

– La ligne Bool indique si les contraintes d’inter-

distance bool´ eennes d´ ecrites dans la Section 2.3

ont ´ et´ e utilis´ ees.

(9)

A B C D E F G

Bool + + + +

Indisp + +

N

⁴

check + + +

N

²

prop +

N

⁴

prop +

SAC

H I J K L M N

Bool

Indisp + + + +

N

⁴

check + + + +

N

²

prop + +

N

⁴

prop + + +

SAC + + + + +

Tab. 1 – Param` etres

– La ligne Indisp correspond ` a l’application de l’algorithme de l’indisponibilit´ e des cases (Algo- rithme 1).

– Les lignes N

⁴

check , N

²

prop et N

⁴

prop font r´ ef´ erence aux propagations des contraintes de ca- pacit´ e des rectangles d´ ecrites dans la Section 3.2.

N

⁴

check signifie que seulement la satisfaisabilit´ e

`

a ´ et´ e v´ erifi´ ee pour tous O(N

⁴

) rectangles. La pro- pagation a ´ et´ e appliqu´ ee soit pour tous les rec- tangles soit pour O(N

²

) rectangles avec un coin fix´ e ` a (1, 1).

– La ligne SAC indique si la propagation de consis- tance de singletons ` a ´ et´ e utilis´ ee (Algorithme 3).

La propagation seule permet d’identifier imm´ ediatement une partie des instances pour lesquelles il n’existe pas de mouvement. La Figure 8 montre le rapport entre le nombre de ces instances et le nombre total des instances sans solution. Ces r´ esultats sont donn´ es pour 4 classes d’instances et pour les 14 variantes du mod` ele. Les colonnes du graphique correspondent aux diff´ erentes classes : 6 ∗ 5 × 5 (6 rois sur l’´ echiquier 5 × 5, gris fonc´ e), 7 ∗ 5 × 5 (7 rois sur 5 × 5, noir), 13 ∗ 7 × 7 (13 rois sur 7 × 7, blanc), 14 ∗ 7 × 7 (14 rois sur 7 × 7, gris clair).

On peut voir que la consistance des singletons joue un rˆ ole crucial dans la d´ etection de l’absence d’un mouvement. Pratiquement 100% de toutes ces ins- tances ont ´ et´ e d´ etect´ ees par Algorithme 3. Les ins- tances restantes de taille 13 ∗ 7 × 7 sont d´ etect´ ees si une propagation suppl´ ementaire est appliqu´ ee. Selon ces r´ esultats exp´ erimentaux, il semble que, apr` es SAC l’algorithme le plus performant est celui de l’indispo- nibilit´ e des cases.

5.2 Le probl` eme complet

Comme pour le probl` eme pr´ ec´ edent, plusieurs combinaisons d’algorithmes de propagation ont ´ et´ e

Fig. 8 – Pourcentage des blocages d´ etect´ es ` a la phase de la propagation

´

etudi´ ees pour le calcul des trajectoires optimales, c.` a.d.

les ensembles de trajectoires tels que la date ` a la- quelle l’´ echiquier est vide est minimale. Toutes les combinaisons utilis´ ees sont pr´ esent´ ees dans le tableau 2. La ligne “Dyn” correspond ` a la propagation des contraintes sur la dynamique d´ ecrite dans la Section 3 et la ligne Sched correspond ` a l’heuristique de re- cherche choisie (un “+” montre que les deux ´ etapes de la section 4 ont ´ et´ e utilis´ ees). Les contraintes d’in- disponibilit´ e des cases ont ´ et´ e activ´ ees dans toutes les variantes et un “+” dans la ligne N

⁴

prop signifie que les O(N

⁴

) contraintes de capacit´ e des rectangles ont

´

et´ e propag´ ees (vs. v´ erification de coh´ erence seule).

Finalement, les r´ esultats du mod` ele initial bas´ e seulement sur les variables T

k

, X

k,t

et Y

k,t

avec l’heu- ristique de recherche bas´ ee sur la construction des tra- jectoires sont montr´ es sur les graphiques dans la co- lonne XY .

K L M N O P Q R

Dyn + + + +

N

⁴

prop + + + +

Sched + + + +

Tab. 2 – Param` etres

Les Figures 9, 10, 11, 12, 13 et 14 donnent les r´ esultats obtenus sur toutes les instances non- bloquantes (des classes correspondantes) pour les- quelles une solution a ´ et´ e trouv´ ee par toutes les com- binaisons de contraintes. Les graphiques donnent sur une ´ echelle logarithmique, le temps processeur moyen en millisecondes et le nombre de retours-arri` ere pour chaque classe d’instances et pour chaque combinaison.

Un r´ esultat inattendu est que si le probl` eme d’or-

donnancement est r´ esolu avant la construction des

trajectoires (K, M, O, Q) alors la premi` ere solution

trouv´ ee est toujours optimale et le nombre total des

retours-arri` ere reste petit. Les deux autres ´ el´ ements

(10)

Fig. 9 – BT 6 ∗ 5 × 5 Fig. 10 – Temps 6 ∗ 5 × 5

Fig. 11 – BT 9 ∗ 6 × 6 Fig. 12 – Temps 9 ∗ 6 × 6

Fig. 13 – BT 13 ∗ 7 × 7 Fig. 14 – Temps 13 ∗ 7 × 7

(les contraintes dynamiques et les contraintes de ca- pacit´ e des rectangles) sont utiles pour la r´ eduction de l’espace de recherche.

Cependant, sans la propagation des contraintes de capacit´ e des rectangles, ` a peu pr` es de 10% d’instances de la plus grande taille (13 rois sur 7 ×7) n’´ etaient pas r´ esolus ` a l’aide de cette heuristique apr` es 5 minutes (variantes K et O).

La variante initiale fait beaucoup plus de retours- arri` ere que les variantes plus compliqu´ ees mais cepen- dant elle est plus rapide sur les instances de petite taille. Cette diff´ erence n’est pas aussi importante pour les instances de plus grande taille, qui ´ etaient acces- sibles pour notre impl´ ementation du mod` ele bool´ een.

5.3 Probl` eme modifi´ e

Deux autres variations du probl` eme initial sont fa- cilement abordables selon cette approche.

– La premi` ere modification consiste ` a interdire ` a un roi de revenir sur la case qu’il vient de quitter. En outre, le laps de temps entre deux sorties cons´ ecutives est au moins de trois pas de temps. Ces deux contraintes suppl´ ementaires repr´ esentent une dynamique des avions un peu plus r´ ealiste ainsi que le fait que la distance de s´ ecurit´ e peut d´ ependre d’autres facteurs que la distance physique.

– En plus des contraintes pr´ ec´ edentes, une zone in-

terdite en forme de petit “mur” est ajout´ ee sur les cases de (2, 1) ` a (2, 3). Ceci mod´ elise le fait que une partie de l’espace a´ erien peut ˆ etre ren- due indisponible aux avions (ceci est fr´ equent lors d’op´ erations militaires).

Les combinaisons pr´ esent´ ees dans la section pr´ ec´ edente (tableau 2) ont ´ et´ e utilis´ ees pour cette ana- lyse.

Les Figures 15, 16, 17, 18 donnent le nombre des retours-arri` ere et le temps n´ ecessaire pour trouver la solution optimale de la premi` ere modification et prou- ver sa optimalit´ e pour toutes les instances 6 ∗ 5 × 5 et 50 instances al´ eatoirement choisies de la taille 8 ∗ 6× 6.

La propagation des contraintes des chemins am´ eliorent les performances (L vs. P, N vs. R) tandis que l’im- pact de la propagation des contraintes de rectangles n’est pas aussi important. Comme dans la version non- modifi´ ee, il est plus avantageux de r´ esoudre d’abord le probl` eme d’ordonnancement que de commencer di- rectement par la construction des trajectoires. Finale- ment, la variante initiale n’est plus comp´ etitive.

Fig. 15 – BT on 6 ∗ 5 × 5 Fig. 16 – Temps 6 ∗ 5 × 5

Fig. 17 – BT on 8 ∗ 6 × 6 Fig. 18 – Temps 8 ∗ 6 × 6

Les Figures 20 et 19 donnent les mˆ emes r´ esultats pour 6 rois sur l’´ echiquier de la taille 5 × 5. En com- paraison avec les r´ esultats pr´ ec´ edents on peut voir que l’heuristique bas´ ee sur le probl` eme d’ordonnance- ment n’am´ eliore plus les performances. N´ eanmoins, la premi` ere solution trouv´ ee est toujours optimale. Fina- lement, la variation initiale du mod` ele (colonne XY ) n’a pas r´ eussi ` a r´ esoudre environ un tiers d’instances apr` es une minute et on ne pr´ esente que les r´ esultats pour les instances r´ esolues par cette variante.

6 Conclusion

Nous avons introduit un mod` ele en Programmation

par Contraintes pour un probl` eme d’optimisation diffi-

(11)

Fig. 19 – BT 6∗5×5 (mur) Fig. 20 – Temps 6 ∗ 5 × 5 (mur)

cile dans lequel on cherche ` a d´ eterminer les dates d’at- terrissage et les trajectoires des avions ` a l’approche d’un a´ eroport (Terminal Radar Approach CONtrol area). Plusieurs mod` eles et algorithmes ont ´ et´ e pro- pos´ es et ´ evalu´ es. Nous avons pu identifier les ´ el´ ements de base pour la construction d’une approche en PPC pour ce type de probl` emes. Nous avons aussi d´ emontr´ e que notre mod` ele peut ˆ etre ´ etendu pour la r´ esolution de situations plus complexes.

Notre approche a plusieurs limitations, mais ` a notre avis la plus importante est qu’on ne peut pas utili- ser cette approche pour des instances de grande taille.

Cela nous oblige ` a discr´ etiser grossi` erement le temps et l’espace. Il y a plusieurs am´ eliorations possibles ` a la proc´ edure de recherche. Par exemple, on peut utiliser une m´ ethode qui permet d’´ eviter de r´ esoudre plusieurs fois le mˆ eme sous-probl` eme. Il est ´ egalement possible que la propagation puisse encore ˆ etre am´ elior´ ee.

Finalement, nous voudrions mentionner le fait que nous n’avons pas prouv´ e que le probl` eme de v´ erification de l’existence d’un mouvement est NP- complet. Il existe donc peut-ˆ etre un algorithme po- lynomial pour ce probl` eme.

Remerciements

Les auteurs souhaitent remercier Jean-Marc Steyaert pour plusieurs discussions instructives sur les syst` emes hybrides.

R´ ef´ erences

[1] K. Artiouchine, P. Baptiste, and C. D¨ urr. Run- way sequencing with holding patterns. Technical report, Laboratoire d’Informatique de l’Ecole Po- lytechnique, 2004.

[2] P. Baptiste, C. Le Pape, and W. Nuijten.

Constraint-based Scheduling. Kluwer, 2001.

[3] P. Baptiste and C. Le Pape. Edge-finding constraint propagation algorithms for disjunctive and cumulative scheduling. In Proceedings of the fifteenth workshop of the U.K. planning special in- terest group, 1996.

[4] R. Bart` ak. A new algorithm for singleton arc consistency. In Proceedings of FLAIRS-04, 2004.

[5] A.M. Bayen and C.J. Tomlin. Real-time discrete control law synthesis for hybrid systems using milp : Application to congested airspace. In Ame- rican control conference, 2003.

[6] J.E. Beasley, M. Krishnamoorthy, Y.M.Sharaiha, and D.Abramson. Scheduling aircraft lan- dings - the static case. Transportation Science, 34(2) :180–197, 2000.

[7] C. Bessi` ere and R. Debruyne. Theoretical ana- lysis of singleton arc consistency. In Proceedings of ECAI-04 workshop on Modeling and Solving Problems with Constraints, 2004.

[8] C. Bessi` ere and J.-C. R´ egin. Arc consistency for general constraint networks : preliminary results.

In Proceedings of IJCAI, Nagoya, Japan, pages 398–404, 1997.

[9] J. Carlier and E. Pinson. A practical use of jackson’s preemptive schedule for solving the job- shop problem. Annals of Operations Research, 26 :269–287, 1990.

[10] J. Carlier and E. Pinson. Adjustments of heads and tails for the job-shop problem. European Journal of Operational Research, 78 :146–161, 1994.

[11] P. D. Martin and D. B. Shmoys. Approach to computing optimal schedules for the job-shop scheduling problem. In Proceedings of 5th Confe- rence on Integer Programming and Combinatorial Optimization, 1996.