Problème 1 : Production de tensions variables

Les sacs seront laissés devant le tableau. Conservez seulement de quoi écrire et une calculatrice : pas de téléphone !

Si vous ne comprenez pas une notation, une question, ou si vous pensez avoir découvert une erreur d’énoncé, signalez-le immédiatement.

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Problème 1 : Production de tensions variables

On étudie deux montages permettant la production de signaux variables à partir d’une source de tension continue.

I Étude préliminaire

On considère la charge d’une dipôle formé de l’association série d’un condensateur de capacitéCet d’un résistor de résistanceR. La tension initiale aux bornes du condensateur estUi et on soumet à l’instant initial le dipôle à une tensionEconstante.

R E

C

u

i

I.1. (a) Établir les expressions de la tensionuCaux bornes du condensateur et de l’intensité du couranti qui le traverse en fonction du temps.

(b) En déduire l’instanttfpour lequel la tensionucvaut une valeurUf ∈[U0;E]quelconque.

I.2. (a) Exprimer l’expression de la puissance dissipée par effet Joule pour tout instantt>0.

(b) En déduire l’expression de l’énergie dissipée par effet Joule entret= 0ett=tf, notéeE_J,tfainsi que celle de la puissance moyenne dissipée par effet Joule sur l’intervallet∈[0 ;tf].

II Montage à commutateurs

On considère le montage de la figure ci-contre comprenant une source idéale de tension de force électromotriceE, une bobine idéale d’inductanceL, un résistor de résistanceRet quatre in- terrupteurs notésK1,K2,K3etK4.

Ces quatre interrupteurs sont ouverts et fermés électronique- ment, avec une période notéeT, de telle sorte que :

E

L

R i

K4

K1

K3

K2

• pourt∈[nT; (n+ 1/2)T],K1etK3sont fermés alors queK2etK4sont ouverts,

• pourt∈[(n+ 1/2)T; (n+ 1)T],K2etK4sont fermés alors queK1etK3sont ouverts.

II.1. On étudie l’évolution de l’intensitéidu courant traversant la bobine pourt∈[0 ;T/2].

(a) Représenter le circuit équivalent sur cet intervalle de temps. En déduire l’équation différentielle vérifiée par l’intensitéisur cet intervalle de temps. On fera apparaître une constante de temps, notéeτ, dont on donnera l’expression en fonction des paramètres du problème.

(b) On désigne parI0la valeur de l’intensitéiimmédiatement après la fermeture deK1etK3,ie t = 0⁺. Résoudre cette équation différentielle et donner l’expression de l’intensitéi(t)sur cet intervalle de temps en fonction deI0,E,R,tetτ.

II.2. (a) On étudie maintenant l’autre demi-période, pourt∈ [T/2, T]. On désigne parI₀⁰ la valeur de l’intensité juste après la fermeture deK2etK4,iet= T/2⁺. Déduire de l’expression duII.1b celle de l’intensitéi(t)en fonction deI₀⁰,E , R , t , Tetτ.

(b) En déduire une relation liantI₀⁰etI0en considérant l’instantt=T/2.

II.3. On considère qu’un régime périodique est établi et on étudie la périodet∈[nT; (n+ 1)T]. On noteIn

l’intensitéidu courant ent=nT⁺etI_n⁰ sa valeur ent= (n+ 1/2)T⁺.

(a) Déterminer et résoudre le système de deux équations vérifié parInetI_n⁰. En déduire l’amplitude des oscillations dei, puis de celles de la tensionuRaux bornes du résistor.

(b) Tracer l’allure dei(t)sur quelques périodes en y faisant figurer les points remarquables.

II.4. La source idéale de tension délivreE =10 V et et la fréquence des commutations estf = 1/T = 5,0 kHz et on étudie la tension aux bornes du résistor de résistanceR=5,0·10²Ω. Pour quelle valeur de l’autoinductanceLobservera-t-on des oscillations d’amplitudeU_R=7 V ?

III Oscillations de relaxation dans un tube à décharge

On considère maintenant le montage ci-contre com- posé d’une source idéale de tension de force électro- motriceE, d’un condensateur idéal de capacitéC, d’un résistor de résistanceRet d’un tube à décharge T. Ce dernier est modélisé comme un résistor de résis- tance variable en fonction de la tensionuà ses bornes.

E

R

C T u

b

Données : Tension d’alimentationE = 120 V, résistance d’alimentationR = 1,0·10²Ω, résistance du tube alluméRT =1,0 Ω, capacité du dispositifC =5,0·10⁻⁷F. Tension d’allumageUa =90 V, tension d’extinctionUe=72 V. On n’hésitera pas tenir compte de ces valeurs numériques pour simplifier certaines des expressions obtenues.

III.1. Tant que la tension à ses bornes est inférieure à un tension dited’allumage, notéeUa et positive, la résistance du tube est infinie. Montrer qu’alors la tensionuest solution d’une équation différentielle du premier ordre caractérisée par une constante de tempsτedont on donnera l’expression en fonction des paramètres du problème. Déterminer également la valeur asymptotique, notéeU+, vers laquelle tendu(t).

III.2. Quand la tension atteintUa, une décharge a lieu dans le tube qui s’allume : il devient alors conducteur et sa résistance devient finie, de valeur notéeRT. Cet état perdure tant que la tension reste supérieure à une valeur dited’extinction, notéeUe, positive et inférieure àUa. QuanduatteintUe, le tube s’éteint à nouveau et sa résistance redevient infinie.

Montrer que quand le tube est allumé, la tensionuest solution d’une équation différentielle du pre- mier ordre caractérisée par une constante de tempsτadont on donnera l’expression en fonction des paramètres du problème. Déterminer également la valeur asymptotique, notéeU−, vers laquelle tend u(t).

III.3. Pour certaines valeurs des paramètres la tensionuévolue comme représenté sur la figure ci-dessous.

(a) Décrire ce régime de fonctionnement. Pour cela, on précisera les intervalles du tempstpour les- quelles le tube est allumé et ceux pour lesquels il est éteint. On donnera également les expressions des tensionU1,U2,U3etU4en fonction des pa- ramètres du problème.

(b) Déterminer les expressions des duréesTeetTa

en fonction des constantes de tempsτeetτaet des tensionsU1, U2, U3etU4.

t u

U

U

U

U

T

T

T

T

III.4. (a) Calculer la durée d’un cycle d’allumage-extinction pour les paramètres du système. Ce cycle est-il perceptible par un œil humain ?

(b) Utiliser les résultats de la Section I pour calculer l’énergie dissipée par effet Joule au cours de la phase allumée et de la phase éteinte. En déduire la puissance moyenne consommée par la lampe à décharge.

III.5. Commenter brièvement les caractéristiques de l’oscillateur à commutation et de celui à relaxation. Com- ment en particulier chacun permet-il de régler l’amplitude et la fréquence des oscillations ?

Problème 2 : Circuit de Blumlein

On étudie dans ce problème un circuit permettant de déclencher très rapidement des décharges dans un gaz pour former un plasma. On le rencontre par exemple dans les lasers à Na, dans des dispositifs de production de rayons X.

On établit dans une première partie des résultats classiques sur les circuits linéaires du deuxième ordre qu’on appliquera dans les parties suivantes.

Données :

• Tension de l’alimentationE0=20 kV.

• Capacités :Cs=C_d=7,6 nF.

• Paramètres du circuit dit de stockage :Ls=30 nH,Rs=470 Ω.

• Paramètres du thyratron :Lt=150 nH,Rt=0,7 Ω.

Ces paramètres correspondent à la « source Flash de rayonnement X pour le diagnostic de sprays denses » du laboratoire « Groupe de Recherche sur l’Énergétique des Milieux Ionisés » du CNRS d’Orléans.

I Généralités

On considère le circuit RLC série de la figure ci-contre, dans laquelle la tensionEest stationnaire.

I.1. Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension uc aux bornes du condensateur. On y fera apparaître une pulsation ca- ractéristiqueω0, et un facteur de qualitéQ.

E

R L i C

uc

I.2. Déterminer toutes les solutions de cette équation différentielle pourQ >1/2.

I.3. (a) Déterminer toutes les solutions de cette équation différentielle pourQ <1/2. On fera apparaître deux constantes de tempsτ+etτ−, avecτ+> τ−>0(en identifiant des termes en exp(−t/τ+) et exp(−t/τ−)), dont on donnera les expressions en fonction deω0etQ.

(b) Simplifier les expressions deτ+etτ−pourQ1au moyen de développements limités au terme non nul d’ordre le plus bas enQ. Vérifier qu’on obtient alorsτ+=RCetτ−=L/R.

(c) Déterminer, sous cette approximation, la solution vérifiant les conditions initialesuc= 0eti= 0.

I.4. En déduire que le temps caractéristique pour atteindre l’asymptote est :

• proportionnel àQpourQ1,

• inversement proportionnel àQpourQ1.

I.5. On s’intéresse à la décharge du circuit précédent : on aE = 0et les conditions initiales sontuc(t= 0) =U0eti(t= 0) = 0. On considère le casR= 0.

(a) Déterminer les expressions deuc(t)eti(t).

(b) En déduire l’expression de la puissanceP(t)fournie par le condensateur, ainsi que sa valeur maxi- male. Quand est-elle atteinte ?

II Charge

On considère le circuit de la figure ci-contre. L’inter- rupteur, initialement ouvert est fermé à l’instantt= 0 et pourt <0les deux condensateurs sont déchargés et aucun courant ne circule dans aucune branche. E0

R0 i0

up

Rs Ls

ud Cd

id

us

Cs

is

II.1. (a) Déterminer, pourt= 0⁺juste après la fermeture de l’interrupteur les expressions des tensions ud, us, upet des intensitésid, iseti0.

(b) En déduire quelles valeurs on peut choisir pourR0pour que la puissance initiale délivrée par le générateurE0reste inférieure àP₀=1 kW.

II.2. Un régime stationnaire s’établit au bout d’un temps long.

(a) Déterminer les tensionsUd, UsetUpquand le régime stationnaire est établi (on ne cherchera pas à résoudre d’équation différentielle). En déduire l’expression puis la valeur de l’énergie stockée dans chacun des condensateurs.

(b) On ouvre alors l’interrupteur. Déterminer l’évolution ultérieure du système. Doit-on prendre des précautions particulières lors de l’ouverture de l’interrupteur.

L’alimentation haute tensionE0 reste déconnectée du circuit dans toute la suite du problème, on ne la représentera donc plus sur les schémas.

III Déclenchement

On souhaite faire croître très rapidement la tensionup. Pour cela on branche aux bornes du condensateurCdun commutateur spécial nommé thyratron, rapide et capable de supporter une grande puis- sance. On le modélise comme l’association série d’un interrupteur idéal, d’une résistanceRtet d’une bobineLt. Le circuit est alors celui représenté ci-contre. On ferme l’interrupteur à un instant qu’on choi- sira comme nouvelle origine des temps.

B

A up

Lt

Rt

Rs Ls

ud Cd

id

us

Cs

is

III.1. Montrer que les tensions ud et us vérifient un système d’équations différentielles de la forme ci contre, avec K1, K2, K3, K4, K5, K6 des constantes positives qu’on exprimera en fonction des caractéristiques du circuit.

us−ud+K1dus

dt +K2d²us

dt² = 0 (1) u_d+K3dud

dt +K4dus

dt +K5d²ud

dt² +K6d²us

dt² = 0 (2) III.2. On cherche à simplifier ce système en supposant que les variations temporelles deussont très lentes

par rapport à celles deud.

(a) Simplifier alors l’équation (2) pour obtenir une équation différentielle ne portant que surud. On y fera apparaître une pulsation caractéristique notéeωdet un facteur de qualité notéQddont on calculera les valeurs, ainsi que celle de la pseudo période notéeTd.

(b) Résoudre cette équation différentielle et donner l’ordre de grandeur de la constante de temps d’amortissement des oscillations deud.

(c) Justifier brièvement qu’on peut approximativement remplacerud(t)par une constante (qu’on pré- cisera) dans l’équation (1). Résoudre l’équation différentielle surusobtenue et préciser la nature de son régime d’évolution (on définira un facteur de qualitéQs).

III.3. Vérifier la pertinence des approximations faites.

III.4. Déterminer, au moyen d’approximations qu’on justifiera, la puissance maximale reçue par le thyratron.

Calculer sa valeur.

IV Décharge dans le plasma

Les électrodes entre lesquelles on souhaite allumer un plasma en créant une décharge sont branchées aux nœudsAetB. La décharge s’amorce quand la tensionuAB=upatteint une valeur suffisante.

IV.1. Montrer qu’avec les approximations précédentes, on peut écrire aux temps courts : up(t)'A

1−e^−t/τcos(ωt)

, (3)

avecτetωdes constantes qu’on exprimera en fonction des paramètres établis auIII.2.

IV.2. Tracer l’allure de cette fonction et déterminer l’instanttoùupest maximale ainsi que la valeur de ce maximum. Calculer leurs valeurs.

IV.3. Décrire qualitativement l’influence des facteurs de qualitésQdetQssur ce maximum. On pourra étu- dier les cas :

• Qs→0etQd→ ∞,

• QsetQdtous les deux inférieurs à1/2.

Expliquer en quoi les paramètres utilisés permettent un déclenchement très rapide de la décharge dans le plasma.

La suite…

Une fois la décharge amorcée, on peut modéliser le plasma par un dipôle inducto-résistif entre les nœuds AetB. La modélisation du système devient alors plus délicate : les équations différentielles du circuit sont d’ordre strictement supérieur à2. L’analyse du dispositif est facilité par un logiciel de simulation électro- nique.

Exercice 1 : Éléments de la 13

colonne

1. (a) Donner la structure électronique dans l’état fondamental des atomes de bore B, de gallium Ga et de thallium Tl.

(b) Justifier qu’ils appartiennent, ainsi que l’aluminium Al et l’indium In à la treizième colonne. De quel bloc font-ils partie ?

2. On donne, à la fin de l’énoncé, la longueur d’onde de la raie la plus intense du spectre d’émission de ces éléments. Préciser lesquels émettent dans le visible, ainsi que la couleur observée.

3. (a) Écrire l’équation de la réaction définissant la première ionisation d’un élément.

(b) Justifier la différence d’énergie de première ionisation entre le bore et l’aluminium.

4. Pour les éléments Ga, In et Tl, on peut considérer que la charge nucléaire effective,iela charge positive effectivement ressentie par les électrons de valence est sensiblement la même. Justifier l’évolution du rayon atomique de Ga à Tl.

5. On s’intéresse plus particulièrement au thallium Tl.

(a) Donner la structure électronique des cations Tl⁺, Tl²⁺et Tl³⁺. Parmi ceux-ci lesquels seront proba- blement les plus stables ?

(b) L’isotope le plus abondant du thallium Tl a pour nombre de masseN= 205. Donner la composi- tion de son noyau.

(c) Il existe entre autres les isotopes²¹⁰Tl et²⁰⁰Tl qui sont radioactifs. On envisage pour leurs désin- tégrations les processusβ⁺etβ⁻dont on rappelle les caractéristiques :

β⁻:n→p+e⁻+νe β⁺:p→n+e⁺+νe, (4) oùn désigne un neutron,p un proton, νe un neutrino électronique etνe un antineutrino- électronique.

Quel est probablement le processus de désintégration de²¹⁰Tl ? celui de²⁰⁰Tl ? Quel sera, pour chacun des isotopes précédents, l’élément produit par la désintégration parmi₇₉Au,₈₀Hg,₈₂Pb et

83Bi. Quel en sera, dans chaque cas, l’isotope obtenu ? Données :

Élément B Al Ga In Tl

Nombre de chargeZ 5 13 31 49 81

Énergie de 1^reionisationEi1(eV) 8,29 6,0 6,0 5,8 6,1

Rayon atomique (pm) 85 125 135 167 170

Longueur d’ondeλ(nm) 249,7 396,1 639,6 451,1 351,9

Correction du problème 1 I Étude préliminaire

I.1. (a) Selon les résultats usuels du cours, on a : uc=E+(U0−E)e^−t/τ→i=Cduc

dt =CE−U0

τ e^−t/τ=E−U0

R e^−t/τ, avec:τ=RC.

(b) On résout :

uc(tf) =Uf →tf =τlnE−U0

E−Uf

. I.2. (a) Le résistor reçoit, en convention récepteur, la puissance :

P_J=Ri²=(E−U0)² R e^−2t/τ. (b) On calcule l’énergie :

E_J,tf =

t_f

Z

t=0

P_Jdt= (E−U0)² R

"

−e^−2t/τ 2/τ

#t_f

0

=C(E−U0)² 2

1−e^{−ln(E−U0)/(E−Uf)2}

=C(E−U0)² 2

1−(E−U_f)² (E−U0)²

=C

2 (E−Ui)²−(E−Uf)²

. (5)

On retrouve bien le résultat vu en cours pour une charge complète (avecUi = 0etUf = E) : l’énergie dissipée par effet Joule est égale à l’énergie électrostatique stockée,ieCE²/2.

La puissance moyenne est alors :

hP_Ji= E_J,tf tf

=(E−U0)²−(E−U_f)² 2Rln

E−U_i E−U_f

. (6) On peut en particulier vérifier qu’elle est nulle pourUf→E.

II Montage à commutateurs

II.1. (a) On obtient un simple circuitR , Lsérie : l’intensitéivérifieE=Ldi

dt+Ri, la constante de temps estτ=L/R.

(b) On a immédiatementi=I∞+ (I0−I∞)exp(−t/τ), soiti=E/R+ (I0−E/R)exp(−t/τ).

II.2. (a) La source de tension est maintenant branchée en sens inverse sur le dipôleR , L: l’équation diffé- rentielle devientLdi

dt+Ri=−E/R, de solutioni=−E/R+ I₀⁰+E/Rexp(−(t−T/2)/τ).

(b) La continuité de l’intensité du courant traversant la bobine assure que E/R + (I0−E/R)exp(−T/(2τ)) =I₀⁰.

II.3. (a) La relation précédente assure que :E/R+ (In−E/R)exp(−T/(2τ)) =I_n⁰. La périodicité, as- sortie de la continuité ent=nTdonne également−E/R+ (I_n⁰ +E/R)exp−T/(2τ) =In. La somme de ces deux équations donne(In+I_n⁰)exp(−T/(2τ)) = In+I_n⁰, soitIn =−I_n⁰ puis I_n⁰ =−In=1−exp(−T/(2τ))

1+exp(−T/(2τ))E/R=tanh(T/(4τ))E/R.

(b) L’allure de la courbe est la même que celle de la partie II, avec des durées de montée et de descente égales.

II.4. L’amplitudeA=7 V des oscillations est :

RI_n⁰ =Etanh(T/(4τ)) =Etanh(T R/(4L)) on a alors:A

E =0,7→L= R

4fargth(A/E) =29 mH.

III Oscillations dans un tube à décharge

III.1. En supprimant le tube du montage, on obtient un circuitRCsérie. La tensionuvérifie doncu+ RCdu

dt =E, la constante de temps estτe=RCet l’asymptote pourtτeestU+=E.

III.2. Une transformation Thévenin Norton donne un générateur de courant d’intensitéE/Rsur lequel sont branchés en parallèle les deux résistances (RetRT) et le condensateur. On remplace les deux résistances par la résistance équivalenteReq =RRT/(R+RT)et un diviseur de courant donne alors :E/R= u/Req+Cdu

dt, soitdu dt+_R^u

eqC =_RC^E . La constante de temps est devenueτa=ReqC < τepuisque Req< R. L’asymptote est maintenantU−EReq/R=ER_T/(R+R_T), est inférieure àE.

III.3. (a) Les tensionsU1etU4sont respectivement les asymptotes haute et basse des deux cas précédents, soitU1=U−etU4=U+. Les tensionsU2etU3marquent le passage d’un régime à l’autre : on a U2=UeetU3=UapuisqueUe< Ua. Le tube est donc éteint pourt∈[0 ;Te]et le condensateur se charge versEavec la constante de tempsτe. Quand sa tension atteintUa, le tube s’allume et le condensateur se décharge alors versERT/(R+RT)avec la constante de tempsτa. Le processus se répète par la suite.

(b) Quand le tube est éteint, on peut écrire (pour t ∈ [0 ;Te] par exemple) : u = E + (Ue−E)exp(−t/τe). On at=TepourU=Ua, doncTe=τeln^E−U_E−U^e

a. De même, on a pour la décharge quand le tube est allumé :Ta=τaln^U_U^a_e^−R_−R^TE/(RT+R)

TE/(R_T+R). III.4. (a) On calcule immédiatement :

Te=RCln E−Ue

E−Ua

=23 µs.

Par ailleurs, puisqueRT Ron aERT/(R+RT)E , Ua, Ueetτa 'RTC. On peut alors simplifier l’expression de la durée de la phase où le tube est allumé selon :

Ta'RTClnlef t(Ua

Ue

) =1,2·10⁻⁷s.

La durée totale du cycle estTa+Te 'Te=2,35·10²ms, trop rapide pour être perçu par l’œil dont la persistance rétinienne est de l’ordre de 0,1 s.

(b) La phase « tube éteint » correspond à une charge deUeàUaavec une valeur asymptotique deE et une constante deτe=RC. L’équation (5) donne alors l’énergieE_J,e:

E_J,e= C 2

(E−Ue)²−(E−Ua)²

=3,5·10⁻⁴J. (7) La phase « tube allumé » correspond à une (dé-)charge deUaàUeavec une valeur asymptotique deERT/(RT+R)Ueet une constanteⁱdeτa=RTCsoit une énergieE_J,a:

E_J,a=C 2

(Ua)²−(Ue)²

=7,3·10⁻⁴J. (8) On calcule alors les puissances moyennes :

P_J,a

= E_J,a Te

=4,9 kW

P_J,e

=E_J,e Te

=1,5·10¹W P_J,tot

=E_J,e+E_J,a Ta+Te

=47 W.

(9) III.5. La fréquence de l’oscillateur à commutateurs est directement réglée par la fréquence de commutation.

L’amplitude (on s’intéressera à la tension aux bornes du résistor) est réglée par la valeur deEet par le rapportT/τ: elle est d’autant plus faible que la fréquence est élevée.

En revanche, l’oscillateur à relaxation a une amplitude constante, fixée par les tensions caractéristiques UaetUedu tube. La période totale,T=Ta+Te, est quant à elle, principalement fixée par les valeurs des résistancesRetRTet des tensionsE , UaetE. On peut de plus vérifier que pourRTR, elle se met sous la formeT =RCln_E−U^E−Ue

a. Ce dispositif permet ainsi de mesurer une grande résistance (R) en mesurant la fréquence des flash lumineux du tube.

Correction du problème 2 I Généralités

I.1. La loi des mailles donne immédiatement : LCd²uc

dt² + RCduc

dt +uc = E, soit d²uc

dt² + R

L duc

dt + 1

LCuc=E, de la forme demandée avecω0=^√1

LCetQ=L ω0/R=

pL/C R .

I.2. L’équation caractéristique est x² + ^ω_Q⁰x +ω²₀ = 0, dont les racines sont ω± =

−ω0/Q± q

ω²₀/Q²−4ω²₀

/2. PourQ >1/2, on a donc :ω±=−ω0/(2Q)±j ω0

q

1−1/(4Q²)

| {z }

≡ω∈R

. Les solutions réelles sont alors de la forme :

uc(t) =E+e

−ω0t 2Q

(Acosωt+Bsinωt).

i. Il faudrait en toute rigueur distinguer l’énergie dissipée dans le résistorR_Tet celle dissipée dansR. On peut néanmoins facilement vérifier que l’expression utilisée avec la résistance équivalenteReqcorrespond à la somme de ces deux énergies. Par ailleurs l’énergie dissipée dans le résistorRest négligeable devant le résistorR_eqet l’équation (8) est donc pratiquement uniquement l’énergie dissipée dans le tube.

I.3. (a) PourQ <1/2, on peut écrire cette fois :ω±=^−ω_2Q⁰ 1∓p

1−4Q²

60et définir les constantes de temps :τ+= ^2Q

ω₀ 1−p

1−4Q² > τ−= ^2Q

ω₀ 1+p

1−4Q². (b) PourQ1, on ap

1−4Q²'1−¹

2×4Q²= 1−2Q², soitτ+' ¹

ω0Q=RCetτ−' ^Q

ω0 =^L_R. On retrouve les constantes de temps des circuits RC et RL.

(c) Les solutions sont de la forme :

uc(t) =E+

Ae^−t/τ++Be^−t/τ− .

On déterminer les constantesAetBvérifiant les conditionsuc(0) = 0eti(0) = 0selon :

A+B=−E et:0 =−A τ+

− B τ−

' −ω0QA−ω0B

Q −→A=−B/Q²B→A' −E.

On peut donc écrire :uc(t)'E

1−e

t τ+

.

I.4. • PourQ1(et doncQ >1/2), les résultats duI.2montrent qu’on a un amortissement exponentiel de temps caractéristique2Q/ω0, proportionnel àQ.

• PourQ1(et doncQ <1/2), les résultats duI.3bdonnent deux constantes de tempsτ+∝ ¹ etτ−∝Q. C’est la plus grande qui gouverne le temps de retour à l’asymptote, soitτ+∝_Q¹. Q

I.5. (a) Les solutions sont maintenant sinusoïdales. Celle vérifiantuc(0) =U0eti(0) = 0est : uc(t) =U0cosω0t et:i=−Cω₀U0sinω0t.

(b) La puissance fournie par le condensateur aux porteurs de charge estP = −uien convention récepteur, soit :

P=Cω0U₀²

2 sin(2ω0t) maximale pour:ω0t=π

4 +pπ où elle vaut:Cω0U₀² 2 =U₀²

2 rC

L.

II Charge

II.1. (a) La continuité de la tension aux bornes des condensateurs assure qu’on aud(0⁺) =us(0⁺) = 0.

Commeup=us−ud, on en déduitup(0⁺) = 0. La continuité du courant dans la bobine assure is(0⁺) = 0. La tension aux bornes du résistorR0vautE0−ud(loi des mailles), soitE0àt= 0⁺. On en déduit le couranti0=E0/R0(loi d’Ohm) puis (loi des nœuds)id=i0−issoitid(O⁺) = E0/R0.

(b) La puissance initiale délivrée par le générateur estP = E0i0(t), soitP(0⁺) = ^E

2 0

R₀. Elle sera inférieure àP_max=1 kW pourR0>_P^E02

max =40 kW.

II.2. (a) En régime permanent, les intensitéidetissont nulles, on en déduiti0 =id+is = 0, soit une tension nulle aux bornes deR0et doncUd=E0. Deis= 0, les tensions aux bornes deRsetLs

sont nulles et doncUp = 0, soitUs =Ud =E0. L’énergie électrostatique stockée dans chaque condensateur estE=CE²₀/2 =1,52 J.

(b) Le système était à l’équilibre aveci0= 0, l’ouverture de l’interrupteur ne perturbe pas cet équilibre et on n’observe aucune évolution, ni aucune étincelle.

III Déclenchement

III.1. La loi des maille s’écrit, dans la mailleCs−Ls−Rs−Cd:

us+LsCsd²us

dt² +RsCdus

dt =u_d. (10)

Dans la mailleCd−Rt−Lt, parcourue par l’intensitéid+is=Cd

dud

dt +Csdus

dt (loi des nœuds en B), on a :

ud+Rt(id+is) +Ltdid+is

dt = 0→ud+RtdCsus+Cdud

dt +Ltd²Csus+Cdud

dt² = 0. (11)

III.2. (a) En négligeant les variations deusdans 11, on peut écrire :dus

dt dud

dt etd²us

dt² d²ud

dt² , soit : d²ud

dt² +Rt

Lt

dud

dt + 1 LtCd

ud= 0.

Sous la forme canonique, on reconnaît ωd = p ¹

LtC_d =3,0·10⁷rad·s⁻¹,Qd = ^L_R^tωd

t = 6,3 soitTd= ^2π

ω_d q

1−1/(4Q²

d)=3,0·10⁻⁷s.

(b) En posant ω⁰_d =ωd

q

1−1/(4Q²_d), les solutions sont de la forme ud(t) = e

−ωdt

2Qd Acosω⁰_dt+Bsinω_d⁰t

. La continuité de la tension aux bornes du condensateur as- sure queud(0) =E0. Celle du courant dans les deux bobines assure queit(0) =is(0) = 0, soit id(0) =it(0)−is(0) = 0également. Les constantesAetBvérifient donc :

A=E0 et:− ω_d

2QA+Bω⁰_d= 0→B A= ω_d

2Qω_d⁰ = 1 q

4Q²_d−1 1.

On obtient donc :

ud(t) =E0e⁻

ωdt

2Qd cosω⁰_dt+ sinω⁰_dt p4Q²−1

! . Les oscillations s’amortissent donc avec une constante de tempsτd=^2Q_ω^d

d =4,3·10⁻⁷s.

(c) Commeus(t)évolue lentement, les grandeursus, dus

dt etd²us

dt² sont pratiquement constantes à l’échelle d’une pseudo-période deud. On peut donc moyenner l’équation 10 sur une pseudo- période deud. La moyenne deudest peu différente de0(pas tout à fait cependant puisqu’elle n’est que pseudo-périodique et pas périodique). On obtient donc :

d²us

dt² +Ls

Rs

dus

dt + 1 LsCs

= 0.

La pulsation propre estωs=6,6·10⁷rad·s⁻¹,Qs=^Lω_R^s

s = 4,2.10⁻³.

(d) On est dans les conditions duI.3cpuisqueQs 1. On aura donc une évolution exponentielle avec les constantes de temps :τ+' ¹

ωsQs =RsCsetτ−' ^Qs

ωs = ^L_R^s

s, et les conditions initiales us(0) =E0etis(0) = 0. On aura donc :

us=Ae^−t/τ++Be^−t/τ− avec :A+B=E0 et: A τ+

+ B τ−

= 0.

Commeτ+τ−, on peut approximer la solution par :us'E0e^−t/τ+.

III.3. Comme auI.4on compare les constantes de temps. Pourudil faut considérer la pseudo-périodeTd= 3,0·10⁻⁷s et celle deusvautτ+ =3,6·10⁻⁶s. La tensionusévolue donc bien environ dix fois plus vite queu_d.

III.4. La tension aux bornes du thyratron est ud et il est parcouru par un courant d’intensité

−(id+is) en convention récepteur. La puissance qu’il reçoit est donc P = −u_d(id+is) =

−u_d

Cd

dud

dt +Cs

dus

dt

. En utilisant le fait que dud

dt dus

dt , on écriraP ' −u_dCd

dud

dt . Comme Q_dest assez élevé (6) on peut considérer que l’évolution deu_dest quasiment oscillante et utiliser les résultats duI.5bpour écrire :

P ' s

Cd

Lt

E²₀

2 =45 MW.

Il faut un composant spécial comme le thyratron pour réaliser une commutation aussi rapide et en recevant une telle puissance.

IV Décharge dans le plasma

IV.1. On aus(t)'E0e^−t/τ+etud(t) =E0e⁻

ωdt

2Qd cosω⁰_dt+ ^sinω

0 dt q

4Q²_d−1

! .

Commeq

4Q²_d−1 = 12est assez élevé, on peut négliger le sin et considérer ω_d⁰ =ωd. On peut de plus négliger les variations deus(t)aux temps courts devant celles deu_d(t)soit :

us(t)'E0 u_d(t)'E0e

−ωdt

2Qd cosω_dt soit:up(t) =us(t)−u_d(t)'E0

1−e

−ωdt 2Qd cosω_dt

.

La tensionupa l’allure ci-contre. Le maximum absolu sera atteint lors du premier maximum local. Il sera atteint entmaxtel que :

0 =dup

dt (tmax) =E0

ωd

2Qcosωdt+ωdsinωdt

e

−ωdt 2Qd

→tanωdt=− 1 2Qd

→t=

π−arctan_2Q¹

d

ωd

=1,0·10⁻⁷s. ^ωdt

2π

up/E0

On aωdtmax'π, soitup(tmax)'E0(1 +exp(−π/(2Q_d))) =1,8E0=3,6·10⁴V.

• SiQs→0etQd→ ∞, la tensionusreste vraiment constante etudoscille sans aucun frottement, la tensionupmonte donc périodiquement jusqu’à2E0.

• SiQsetQ_dsont tous les deux inférieurs à1/2, les deux tensions vont décroître exponentiellement sans dépasser leur asymptote : la tensionupne pourra donc pas dépasserE0.

Les paramètres choisis approchent les conditions idéalesQs→ 0etQ_d→ ∞, permettant ainsi faire croître très rapidement la tension aux bornes du plasma. Il suffit de réglerE0pour queup(tmax)passe le seuil d’allumage.

Correction de l’exercice 1

1. (a) On a : B 1s²2s²2p¹,

Ga 1s²2s²2p⁶3s²3p⁶4s²3d¹⁰4p¹; Tl [Xe]6s²4f¹⁴5d¹⁰6p¹.

(b) Ils sont tous enp¹, ils appartiennent donc tous à la 13^ecolonne, la première du groupep.

2. Ga, In et Al émettent dans le visible (entre 380 nm et 700 nm).

3. (a) Pour un élément X : X X⁺+ e^–

(b) L’électronégativité de B est supérieure à celle de Al. En effet, le rayon des orbitales de la 3^ecouche (pour Al) est supérieur à celui des orbitales de la 2^ecouche (pour B). Les électrons de valence de Al sont donc moins liés au noyau et son énergie de 1^reionisation est donc inférieure.

4. Comme la charge effective est la même, l’intensité de la force exercée par le noyau, à distance égale entre le noyau et les électrons, est la même. C’est donc uniquement la différence de nombre quantique principal qui fait varier la taille des orbitales. Celle-ci croît donc avec la période, de Ga à Tl.

5. (a) On enlève d’abord des électrons de la sous couchenp, puis ceux de lans. On obtient donc : Tl⁺ [Xe]6s²4f¹⁴5d¹⁰6p⁰

Tl²⁺ [Xe]6s¹4f¹⁴5d¹⁰6p⁰ Tl³⁺ [Xe]6s⁰4f¹⁴5d¹⁰6p⁰

Parmi ceux-ci, Tl⁺et Tl³⁺ont des sous-couches pleines. Ils seront donc plus stables.

(b) L’isotope²⁰⁵₈₁Tl comporte81protons et205−81 = 124neutrons.

(c) Par rapport à l’isotope²⁰⁵Tl,²¹⁰Tl possède un excédent de neutrons, il se désintégrera vraisem- blablement selon le processus qui fait disparaître un neutron,iepar radioactivitéβ⁻. À l’inverse,

200Tl se désintégrera par radioactivitéβ⁺.

La désintégrationβ⁻de²¹⁰Tl crée un proton supplémentaire et produit donc un noyau de l’élé- ment suivant dans la classification périodique, possédant un neutron de moinsie²¹⁰₈₂Pb alors que la radioactivitéβ⁺de²⁰⁰Tl produira²⁰⁰₈₀Hg.