[Exercice 2] [Exercice 1] s ’ : C

seCondsujet d’AnnALes : Corriges [Exercice 1]

On considère la fonction f(x) = 2 + 31 – x.

1. Donner l’ensemble de définition de cette fonction.

2. Calculer la dérivée de cette fonction.

3. Donner (sans calculer les limites) le tableau de variation de cette fonction.

1. L’ensemble de définition est l’ensemble des réels privé de la valeur 1 qui annule le dénominateur.

2. On a f’(x) = –(–3)

(1 – x)² = 3 (1 – x)²

3. La dérivée de la fonction est toujours positive ainsi le tableau de variation de la fonction f est :

x – ∞ 1 + ∞

f’(x) + +

f

[Exercice 2]

On considère le graphique suivant :

6 4 2 5 3

1

1 2 3 4 5 6 7

1. Donner l’équation des différents segments de droite de ce graphique.

2. Calculer l’aire comprise entre la courbe et l’axe des abscisses.

EPREUVE DE MATHEMATIQUES N° 1 – CORRIGES

1. Le premier segment de droite sur l’intervalle [0 ; 3] est linéaire donc de la forme y = ax avec a = y_i

x_i pour un point M sur le segment. Ainsi on trouve a = 63 = 2, et y = 2x.

Le second segment de droite sur l’intervalle [3 ;5] est parallèle à l’axe des abscisses donc de la forme y = a. On trouve ainsi y = 6.

Le dernier segment de droite est affine donc de la forme y = ax + b avec a = y₂ – y₁ x₂ – x₁, et b se trouve avec les coordonnées d’un des points de la droite. On trouve ainsi a = 0 – 6

7 – 5 = –3, avec le point (7 ; 0) on trouve b : 0 = –3 × 7 + b, ainsi b = 21. L’équation de la droite est ainsi y = –3x + 21.

2. Pour calculer l’aire entre la courbe et l’axe des abscisses peut se trouver de deux manières ; soit par application des formules d’aire en géométrie (la moitié de la base multipliée par la hauteur pour un triangle et la longueur multipliée par la largeur pour un rectangle.

Le premier triangle a ainsi pour aire 3 × 62 = 9, l’aire du rectangle est ensuite 2 × 6 = 12, le second triangle a pour aire 2 × 62 = 6. L’aire globale est ainsi 9 + 12 + 6 = 27.

L’autre méthode est le calcul d’intégrale. On a pour aire globale :

∫0

3 2xdx + ∫3

5 6dx + ∫5

7 –3x + 21 = [x²]³₀ + [6x]⁵₃ + |^{–3 x}_{2 + 21}^{2 x}|⁷⁵

= 3² – 0² + 6 × 5 – 6 × 3 – 3 × 7²

2 + 21 × 7 + 3 × 5²

2 – 21 × 5 = 27.

[Exercice 3]

Une production initialement de 10 000 unités augmente de 3 % par an.

1. Déterminer la production dans 1, 2 et 3 ans.

2. Exprimer en fonction de n, la production dans n années.

3. Exprimer en fonction de n la production cumulée au bout de n années.

Une production initialement de 10 000 unités augmente de 3 % par an.

1. On obtient chacune des valeurs par multiplication par 1,03. L’année 1 on trouve ainsi 10 000 × 1,03 = 10 300. L’année 2 on trouve 10 300 × 1,03 = 10 609 . L’année 3 on trouve 10 609 × 1,03 = 10 927,27.

EPREUVE DE MATHEMATIQUES N° 2 – CORRIGES

2. La production suit une suite géométrique de raison 1,03 et de premier terme 10 000. La production dans n années est donc de 10 000 × 1,03ⁿ.

3. La production cumulée sur n années s’obtient par la formule de la somme des termes d’une suite géométrique ; 10 000 1,03ⁿ – 1

1,03 – 1 = 10 000 1,03ⁿ – 1 0,03 .

[Exercice 4]

Les jours 1, 2, 3 et 4 le cours d’une action prend les valeurs 33 EUR, 35 EUR, 34 EUR et 36 EUR.

1. Calculer les coordonnées du point moyen de cette série.

2. Calculer la pente de la droite passant par le premier et le dernier point de cette série.

3. Déterminer l’équation de la droite passant par le point moyen et parallèle à la droite passant par le premier et le dernier point de la série.

1. Le point moyen s’obtient par formule de la moyenne 1 + 2 + 3 + 44 = 33 + 35 + 34 + 364

= (2,5 ; 34,5).

2. La pente de la droite est obtenue par la formule a = y₂ – y₁

x₂ – x₁. Ainsi on trouve 36 – 33 4 – 1 = 1.

3. La droite est de la forme y = ax + b, comme cette droite est parallèle à la précédente elle a la même pente soit 1. L’ordonnée à l’origine s’obtient à l’aide du point moyen ; 34,5 = 1 × 2,5 + b, ainsi b = 32. L’équation de la droite est donc y = x + 32.

[Exercice 5]

On considère la fonction f(x) = ln(2 – 7x).

1. Donner l’ensemble de définition de cette fonction.

2. Calculer la dérivée de cette fonction.

3. Donner (sans calculer les limites) le tableau de variation de cette fonction.

1. La fonction f(x) = ln(2 – 7x) est la composée d’une fonction logarithme et d’une fonction affine. Celle-ci est définie lorsque les valeurs prises par le logarithme sont strictement positives soit lorsque 2 – 7x > 0 soit lorsque 2 > 7x d’où x < 27. Ainsi l’ensemble de définition de cette fonction est

]

[

Erreur fréquente : Une erreur consiste à retirer de l’ensemble de définition les réels négatifs sans doute dans le vague souvenir de valeurs positives dans le logarithme.

2. La dérivée de la fonction f est définie sur l’ensemble de définition de f. On calcule la dérivée de la fonction en x notée f’(x). On utilise la relation donnant la dérivée d’une fonction sous forme de logarithme : (ln(u))’ = u’

u. Ici u(x) = 2 – 7x ainsi u’(x) = –7.

Par conséquent f’(x) = 72 – 7.

3. Sur l’ensemble de définition 2 – 7x > 0 et bien évidement –7 < 0. Ainsi f’(x) est négative sur

]

[

]

[

Le tableau de variation peut-être directement donné en précisant simplement les valeurs aux limites de l’ensemble de définition.

Tableau de variation :

x – ∞ 2

7

f’(x) –

f

+ ∞

– ∞

[Exercice 6]

On considère un jeu de 32 cartes. On tire simultanément 3 cartes de ce jeu.

1. Déterminer le nombre de façons de tirer ces trois cartes.

2. Déterminer la probabilité de ne tirer que des cartes rouges.

3. Déterminer la probabilité de tirer au plus une carte rouge.

1. Il s’agit d’un exercice de dénombrement combinatoire, il n’y a pas d’ordre dans le tirage des cartes ainsi il s’agit d’une combinaison.

On a

(

)

2. Le nombre de façon de ne tirer que des cartes rouges est :

(

)

Ainsi la probabilité considérée est 5604 960 = 11,29 %.

3. La probabilité de ne tirer aucune carte rouge est identique à celle de ne tirer aucune carte noire (ou que des rouges) comme il y a autant de cartes noires que de cartes rouges. Ainsi la probabilité de tirer au plus une carte rouge est complémentaire de la précédente à savoir 100 % – 11,29 % = 88,71 %.