La conjecture de Langlands locale pour

La conjecture de Langlands locale pour GL(n, F ) modulo ` quand ` 6 = p, ` > n Marie-France Vign´eras

6 septembre 1999- revised january 2000 -revised july 2000

The local Langlands conjecture for GL(n, F ) modulo `, when ` 6 = p, ` > n

Abstract Let F be a p-adic field. We will prove that the local Langlands conjecture between the supercuspidal irreducible Q _{`</sub> -representations of GL(n, F ) and the irreducible Q <sub>`} -representations of dimension n of the Weil group W _F is compatible with the reduction modulo ` when ` 6 = p, ` > n.

R´esum´e Soit F un corps p-adique. Nous allons d´emontrer que la conjecture de Langlands locale entre les Q _{`</sub> -repr´esentations irr´eductibles supercuspidales de GL(n, F ) et les Q <sub>`} -repr´esentations irr´eductibles de dimension n du groupe de Weil W _F est compatible avec la r´eduction modulo ` quand ` 6 = p, ` > n.

Soient p un nombre premier, F un corps local non archim´edien de corps r´esiduel F _q de caract´eristique p, ayant q ´el´ements, F une clˆ oture alg´ebrique s´eparable de F , W _F le groupe de Weil de F /F , et W _F ^ab le plus grand quotient ab´elien s´epar´e de W _F . La loi de r´eciprocit´e de la th´eorie du corps de classes est un isomorphisme topologique F ^∗ ' W _F ^ab ; on la normalise, de sorte que l’inverse Fr ⁻¹ d’un Frobenius arithm´etique corresponde

`

a une uniformisante p F de F ^∗ . La conjecture de Langlands locale est une g´en´eralisation de la loi de r´eciprocit´e.

Soient ` un nombre premier distinct de p, 1 ≤ n un entier, Q <sub>`</sub> une clˆ oture alg´ebrique du corps des nombres `-adiques, Z <sub>`</sub> l’anneau de ses entiers, F _{`</sub> le corps r´esiduel de Z <sub>`} : une clˆ oture alg´ebrique du corps fini ` a ` ´el´ements. Posons R = Q _{`</sub> ou R = F <sub>`} ; notons Scusp _R (G) l’ensemble des classes d’isomorphisme des R-repr´esentations irr´eductibles supercuspidales (` a ne pas confondre avec cuspidales si R = F <sub>`</sub> ) de G :=

GL(n, F ), et Irr _R (W )(n) l’ensemble des classes d’isomorphisme des R-repr´esentations irr´eductibles du groupe de Weil W _F , de dimension n.

La conjecture de Langlands locale concerne des repr´esentations complexes; on se ram`ene ` a des Q _{`</sub> - repr´esentations, en fixant une racine carr´ee α de q dans Q <sup>∗</sup> <sub>`} , et un isomorphisme entre C et Q _` , envoyant

√ q sur α. Par la conjecture de Langlands locale (d´emontr´ee par Laumon-Rapoport-Stuhler (appendice 2 [LRS]) si F est de caract´eristique > 0 et par Harris-Taylor [HT] et Henniart [He] si F est de caract´eristique 0), il existe une bijection entre Scusp _Q

`

(G) et Irr _Q

`

(W )(n), invariante par les automorphismes de Q _{`</sub> fixant α, respectant les fonctions L et les facteurs ε de paires; on l’appelle la bijection de Langlands sur Q <sub>`} .

Si ` > n et F de caract´eristique 0, on montrera que la bijection de Langlands sur Q <sub>`</sub> est compatible avec la r´eduction modulo `, et que sa r´eduction modulo ` donne une bijection (unique) entre Irr _F

`

(W )(n) et Scusp _F

`

(G); on l’appellera la bijection de Langlands sur F ` .

On obtiendra les r´esultats nouveaux suivants pour ` > n et F de caract´eristique 0 : - Les restrictions aux ´el´ements elliptiques des caract`eres de Scusp _F

`

(G) sont lin´eairement ind´ependantes, - Le changement de base [AC] et l’induction automorphe [H] pour les repr´esentations supercuspidales sont compatibles ` a la r´eduction modulo `.

Il y a quelques ann´ees, j’avais ´etudi´e les correspondances de Langlands sur F _` dans le cas n = 2 [Vig0]

[Vig1], et conjectur´e la correspondance locale de Langlands sur F _` [Vig2], en pensant que sa d´emonstration

serait une cons´equence de la description de la correspondance de Langlands avec les types (c’est certainement

vrai, Bushnell et Henniart ont d´eja beaucoup de r´esultats), et de la classification des F _` -repr´esentations

irr´eductibles de GL(n, F ). La d´emonstration est n´ee de la conviction de Michael Harris que l’on avait assez

d’informations pour d´emontrer la correspondance locale de Langlands sur F _` . L’induction automorphe de

Henniart-Herb et les calculs de germes et de transform´ees de Fourier d’int´egrales orbitales qui impliquent

que ` > n est le “cas r´egulier de l’analyse harmonique modulo `” pour un groupe r´eductif p-adique de type A _n−1 [VW], jouent un rˆ ole essentiel.

Addendum Ce texte est une version am´elior´ee de la pr´epublication 207 (mars 1999) de l’Institut de Math´ematiques de Jussieu. On peut en fait supprimer la restriction ` > n, en ´evitant l’analyse harmonique modulaire (modulo `), et en utilisant une m´ethode de Khare qui permet de globaliser des congruences locales ainsi que la correspondance de Langlands globale de Harris-Taylor. On peut aussi supprimer la restriction F de caract´eristique 0 si l’on admet la correspondance de Langlands globale de Lafforgue [Vig7].

1 Le th´ eor` eme principal

Une Q <sub>`</sub> -repr´esentation de longueur finie π de G d’espace V , est dite enti`ere si V contient un Z ` -sous- module libre L, contenant une base de V , stable par G, de type fini comme Z ` G-module. On dit que L est une structure enti`ere de π.

La repr´esentation L ⊗ F ` de G sur F ` est de longueur finie, et sa semisimplifi´ee ne d´epend pas du choix de L [Vig3 II.5.11]. On l’appelle la r´eduction modulo ` de π , et on la note r ` π.

Si π et π ⁰ sont deux Q <sub>`</sub> -repr´esentations de G, de longueur finie, enti`eres, de r´eductions modulo ` isomorphes, on note π ≡ π ⁰ .

On utilise les mˆemes notations pour W F (le cas galoisien).

Pour simplifier, on supprime l’indice R lorsque R = Q <sub>`</sub> , on identifie π ` a son espace V ou ` a sa classe d’isomorphie. Si π ∈ Scusp(G), σ ∈ Irr(W )(n) se correspondent par la bijection de Langlands locale, on note π ↔ σ ou σ ↔ π.

Une Q _{`</sub> -repr´esentation (dans le cas galoisien ou non) enti`ere π est dite `-irr´eductible si r <sub>`} π est irr´eductible.

Dans le cas non galoisien, elle est dite `-supercuspidale si r <sub>`</sub> π est irr´eductible et supercuspidale (n’est pas un sous-quotient d’une repr´esentation induite parabolique propre). Une repr´esentation enti`ere π ∈ Scusp(G) est toujours `-irr´eductible, mais n’est pas toujours `-supercuspidale [Vig3 III.1.1 et III.5.10]. Une repr´esentation enti`ere σ ∈ Irr(W )(n) n’est pas toujours `-irr´eductible.

1.1 Th´ eor` eme principal Soient π, π <sup>0</sup> ∈ Scusp(G), correspondant ` a σ, σ ⁰ ∈ Irr(W )(n) par la bijection de Langlands locale sur Q _` , π ↔ σ, π ⁰ ↔ σ ⁰ .

(1) σ est enti`ere si et seulement si π est enti`ere.

Supposons les repr´esentations enti`eres, ` > n, et F de caract´eristique 0, alors (2) σ est `-irr´eductible si et seulement si π est `-supercuspidale,

(3) σ ≡ σ ⁰ si et seulement si π ≡ π ⁰ .

La propri´et´e (1) est facile (2.1). Le th´eor`eme permet de d´efinir une correspondance entre Scusp _F

`

(G) et Irr _F

`

(W )(n) par r´eduction modulo `, car les repr´esentations de Scusp _F

`

(G) et de Irr _F

`

(W )(n) se rel`event

`

a Q _` . On dit que π ∈ Scusp _F

`

(G) et σ ∈ Irr _F

`

(W )(n) sont en correspondance de Langlands, s’il existe π ⁰ ∈ Scusp(G) et σ ⁰ ∈ Irr(W )(n) se correspondant par la bijection de Langlands sur Q _{`</sub> , telles que r <sub>`} (π ⁰ ) = π, r ` (σ ⁰ ) = σ.

1.2 Th´ eor` eme La correspondance de Langlands sur F <sub>`</sub> d´efinie par r´eduction modulo ` est une bijection entre Scusp _F

`

(G) et σ ∈ Irr _F

`

(W )(n).

La bijection de Langlands sur F ` se prolonge en une bijection de l’ensemble des classes d’isomorphisme des F ` -repr´esentations semi-simples de dimension n de W F , sur l’ensemble des classes d’isomorphisme des F ` -repr´esentations irr´eductibles supercuspidales des sous-groupes de Levi de G, modulo conjugaison par G.

La partie (2) du th´eor`eme principal admet la g´en´eralisation suivante. Soit π ∈ Irr _F

`

(G). Il existe une repr´esentation ρ ∈ Scusp _F

`

(L) d’un sous-groupe de Levi L ' Q

i GL(n i , F ) de G tel que π est un sous-quotient de l’induite parabolique de ρ = ⊗ i ρ i . La somme P

i ρ i (dans le Z-module libre de base

∪ m≥1 Scusp _F

`

(GL(m, F )) ne d´epend que de π et s’appelle le support supercuspidal de π [Vig5 5.4].

1.3 Th´ eor` eme Supposons ` > n et F de caract´eristique 0. Soient π ∈ Scusp(G), σ ∈ Irr(W )(n) enti`eres, et en correspondance de Langlands π ↔ σ. Alors r ` (σ) et le support supercuspidal de r ` (π) se correspondent par la bijection de Langlands locale sur F <sub>`</sub> .

La d´emonstration de cette g´en´eralisation a ´et´e rajout´ee au texte original, ` a la demande du referee, en (6.2).

Le th´eor`eme 1.3 implique la conjecture de Langlands pour toutes les repr´esentations irr´eductibles de GL(n, F ) sur F ` (appel´ee la conjecture de Deligne-Langlands dans [Vig4]).

On sait que les bijections de Langlands sur Q _{`</sub> sont caract´eris´ees par la conservation des facteurs L et ε de paires. Ce n’est probablement plus vrai pour les bijections de Langlands sur F <sub>`} , ` a cause des congruences v´erifi´ees par les facteurs L et ε de paires. Il est possible que cela reste vrai, en modifiant la d´efinition des L, ε. C’est le cas pour n = 2 [Vig8].

Ces deux questions int´eressantes demandent des techniques tr`es diff´erentes de celles consid´er´ees ici, et ne seront pas d´evelopp´ees dans cet article.

1.4 Le th´eor`eme principal est valable pour toute bijection j = j <sub>n,F</sub> : Scusp(G) → Irr(W )(n), faisant partie d’un syst`eme de bijections j _m,E : Scusp(GL(m, E )) → Irr(W _E )(m), pour tout entier 1 ≤ m, et pour toute extension E/F contenue dans F, non ramifi´ee, tels que [E : F ]m divise n, v´erifiant :

(a) Pour n = 1, la bijection j _1,E est donn´ee par l’isomorphisme de r´eciprocit´e du corps de classes.

(b) Le d´eterminant de σ = j _m,E (π) ∈ Irr(W _E )(m) correspond au caract`ere central de π, par j <sub>1,E</sub> . (c) Les bijections j <sub>m,E</sub> commutent avec la torsion par un caract`ere.

(d) Les bijections commutent avec l’induction (dite automorphe dans le cas non galoisien) ([HH] Corol- lary 5 page 154).

(e) Les bijections j _m,E sont Gal(E/F )-´equivariantes ([H] Proposition 6, page 111).

Toutes ces propri´et´es sont v´erifi´ees par la correspondance locale de Langlands [BHK 3.1]; on connaissait l’existence de telles bijections depuis l’article de Harris [H].

Les paragraphes 2 ` a 5 seront consacr´es ` a la d´emonstration du th´eor`eme principal. Le corollaire 1.2 et le th´eor`eme 1.3 seront d´emontr´es dans le paragraphe 6.

On note O _F l’anneau des entiers de F , P _F l’id´eal maximal de O _F , p _F ∈ P _F une uniformisante (donc P _F = O _F p _F ), Fr = Fr _F ∈ W _F un Frobenius tel que l’image de Fr ⁻¹ dans W _F ^ab corresponde ` a p _F par l’isomorphisme de r´eciprocit´e.

2 Repr´ esentations

Le but de ce paragraphe est de montrer le (1) du th´eor`eme principal (facile), que le (3) du th´eor`eme principal implique le (2), et de montrer (3) lorsqu’aucun caract`ere non ramifi´e non trivial ne fixe σ, π. On peut supposer dans le chapitre 2 que la caract´eristique de F est quelconque, la condition (`, n) = 1 n’apparait que dans (2.8).

2.1 Repr´ esentation enti` ere Une Q <sub>`</sub> -repr´esentation irr´eductible π de G est enti`ere, si et seulement si le caract`ere central de toute repr´esentation irr´eductible dans le support supercuspidal de π est entier [Vig3, III.4.11].

Un caract`ere (lisse) ω : F <sup>∗</sup> → Q <sup>∗</sup> <sub>`</sub> s’identifie ` a un caract`ere de W _F (par l’isomorphisme de r´eciprocit´e)

ou de G (par le d´eterminant). On indique par l’indice ω que l’on consid`ere des repr´esentations de G de

caract`ere central ω, ou de W _F de d´eterminant ω. La bijection de Langlands induit une bijection Scusp _ω (G) →

Irr ω (W )(n) par la propri´et´e 1.4.b); ces repr´esentations sont enti`eres, si et seulement si ω est entier, si et seulement si ω(p <sub>F</sub> ) ∈ Z <sup>∗</sup> <sub>`</sub> . Ceci d´emontre le (1) du th´eor`eme principal 1.1.

Un caract`ere entier dont la r´eduction modulo ` est triviale, sera appel´e un `-caract`ere.

2.2 Torsion par un caract` ere non ramifi´ e

Soit R un corps alg´ebriquement clos et χ : F ^∗ → R ^∗ un caract`ere de F <sup>∗</sup> . On dit que χ est non ramifi´e si χ est trivial sur O <sup>∗</sup> <sub>F</sub> , et que χ est mod´er´ement ramifi´e si χ est trivial sur 1 + P <sub>F</sub> . Pour r ∈ R <sup>∗</sup> , on note ν <sub>r</sub> le caract`ere non ramifi´e de F ^∗ tel que

ν _r (up _F ) = r.

pour toute unit´e u ∈ O ^∗ _F , i.e. pour toute uniformisante up F ∈ F ^∗ .

Soient π ∈ Scusp(G) (resp. σ ∈ Irr(W )(n)). Le groupe X (π) (resp. X(σ)) des Q <sub>`</sub> -caract`eres non ramifi´es χ de F ^∗ tels que π ⊗ χ ' π (resp. σ ⊗ χ ' σ) est contenu dans le groupe cyclique d’ordre n form´e des χ tels que χ ⁿ = 1; il est caract´eris´e par son ordre f (π) (resp. f(σ)).

Si π, σ sont en correspondance de Langlands π ↔ σ, alors f (σ) = f (π)

car la correspondance de Langlands est une bijection compatible avec la torsion par un caract`ere (la propri´et´e (c)).

2.3 Crit` ere num´ erique

Soient π ∈ Scusp(G) et σ ∈ Irr(W )(n) enti`eres. On va donner un crit`ere num´erique permettant de reconnaitre si la r´eduction modulo ` de π est supercuspidale (resp. σ est irr´eductible). Ce crit`ere d´epend de f (π), m(π) (resp. f(σ), m(σ)), o` u m(π) (resp. m(σ)) est le nombre d’´el´ements de l’ensemble fini

- B(π) des π ⁰ ∈ Scusp(G) telles que π ⁰ ≡ π et de mˆeme caract`ere central sur l’uniformisante p _F

- resp. B(σ) des σ ⁰ ∈ Irr(W )(n), telles que σ ⁰ ≡ σ de mˆeme d´eterminant sur le Frobenius arithm´etique Fr (ou son inverse).

Le (3) du th´eor`eme principal implique que

m(π) = m(σ)

si π, σ sont en correspondance de Langlands π ↔ σ. Notons v ` (m) la valuation `-adique d’un entier non nul m.

Proposition On a

1) m(π) ≤ ` <sup>a</sup> o` u a = v ` (n/f(π)) + v ` (q ^f(π) − 1) avec ´egalit´e si et seulement si π est `-supercuspidale.

2) m(σ) ≤ ` <sup>b</sup> o` u b = v ` (n/f (σ)) + v ` (q ^f(σ) − 1) avec ´egalit´e si et seulement si σ est `-irr´eductible.

La d´emonstration est donn´ee en (2.7) pour π. Un ´enonc´e un peu plus faible pour σ est d´emontr´e en (2.7). Il suffit pour montrer que dans le th´eor`eme principal, (3) implique (2). Il est clair que (2), (3), et la proposition pour π impliquent la proposition pour tout σ.

2.4 Types de Bushnell-Kutzko Soient π, π ⁰ ∈ Scusp(G), enti`eres, telles que π ≡ π ⁰ . Alors, par [Vig3, III.4.26], il existe une donn´ee de Bushnell-Kutzko (E, J, J _p , Λ, κ, ρ) d´efinissant π , et une donn´ee de Bushnell-Kutzko (E, J, J _p , Λ ⁰ , κ, ρ ⁰ ) d´efinissant π ⁰ , telles que

π = ind _G,E

J Λ, π ⁰ = ind _G,E

J Λ ⁰ , (induites ` a support compact). Par d´efinition,

E/F est une extension de corps commutatifs, contenue dans F, d’indice de ramification e, de degr´e

r´esiduel f , de degr´e ef divisant n = ef d. On note e = e _π , f = f _π , d = d _π .

J est un sous-groupe de G, ouvert, compact, normalis´e par E ^∗ ⊂ G, de radical pro-p-nilpotent J p , et

(2.4.1) J/J p ' GL(d, F _q

).

κ est une Q <sub>`</sub> -repr´esentation de J , dont la restriction ` a J p est irr´eductible.

ρ ≡ ρ ⁰ sont deux Q _` -repr´esentations irr´eductibles cuspidales de GL(d, F _q

), de mˆeme r´eduction modulo

`, identifi´ees ` a des repr´esentations irr´eductibles de J triviales sur J p .

Λ ≡ Λ ⁰ sont des Q <sub>`</sub> -repr´esentations enti`eres de E ^∗ J (des types ´etendus), de restrictions ` a J irr´eductibles (des types) :

Λ | J = κ ⊗ ρ, Λ ⁰ | J = κ ⊗ ρ ⁰ .

Le groupe F ^∗ agit sur Λ par le caract`ere central ω = ω π de π. On sait que :

π est `-supercuspidale, si et seulement si ρ est `-supercuspidale, si et seulement si r ` π a une enveloppe projective de longueur finie dans Mod r

ω (G) [Vig3, III.5.16].

r ` π est irr´eductible et cuspidale; toute F ` -repr´esentation irr´eductible cuspidale de G s’obtient par le proc´ed´e pr´ec´edent [Vig3, III.5.10].

e π , f π , d π ne d´ependent que de la r´eduction de π modulo ` [Vig3, III.4.29]. On a [Vig3, III.5.11]

(2.4.2) f (π) = f π d π = n/e π .

Cette ´egalit´e montre avec (2.4.1) que les trois propri´et´es (a), (b), (c) suivantes sont ´equivalentes : (a) f (π) = 1,

(b) l’extension E/F est totalement ramifi´ee de degr´e n, (c) J/J _p ' F ^∗ _q .

Lorsqu’elles sont v´erifi´ees, ρ est un Q <sub>`</sub> -caract`ere de F ^∗ _q ; un caract`ere est `-supercuspidal par d´efinition.

On a donc :

Lemme Si f (π) = 1, alors π est `-supercuspidale.

2.5 Dimensions La repr´esentation π ∈ Scusp(G) est le produit d’un caract`ere non ramifi´e et d’une repr´esentation sur laquelle p F agit trivialement. Supposons que p F agit trivialement sur π. Un sous-groupe d’indice fini H de 1 + P F agit trivialement sur π donc aussi sur le type ´etendu Λ. On note

Z = p ^Z _F H.

Ainsi Λ s’identifie ` a une repr´esentation d’un groupe fini E ^∗ J/Z. Le lemme suivant sera utile en (3.2) et (3.5).

2.5.1 Lemme Les valuations `-adiques de e(q ^n/e − 1) et de | E ^∗ J/Z | dim Λ ⁻¹ sont ´egales.

Preuve [Vig3 III.4.28] Comme (p, `) = 1 on peut n´egliger p dans les calculs. Si a, b sont deux nombres supernaturels non nuls, on ´ecrira

a ∼ b

si le quotient a/b appartient ` a p <sup>Z∪{±∞}</sup> . Le choix du sous-groupe H n’intervient pas car | (1+P <sub>F</sub> )/H | ∼ 1. On a dim Λ = dim κ dim ρ; la dimension de κ est une puissance de p donc dim Λ ∼ dim ρ; la dimension d’une Q <sub>`</sub> - repr´esentation irr´eductible supercuspidale de GL(n, F _q ) est la partie premi`ere ` a p dans | GL(n, F _q ) | (q ⁿ − 1) ⁻¹ . Avec (2.4.1)

dim Λ ∼ | GL(d, F _q

) | (q ^fd − 1) ⁻¹ = | GL(d, F _q

) | (q ^n/e − 1) ⁻¹ ,

| F ^∗ J/Z | ∼ | GL(d, F _q

) | .

Le groupe F ^∗ J est distingu´e dans le groupe E ^∗ J , de quotient, isomorphe ` a E ^∗ /F ^∗ O ^∗ _E , cyclique d’ordre e; et

| E ^∗ J/Z | ∼ e | GL(d, F _q

) | . ¦

En particulier, si π est `-supercuspidale, on d´eduit de la proposition (2.3) que

(2.5.2) m(π) | E ^∗ J/Z | ⁻¹ dim Λ ⁻¹ ∈ Z ^∗ _`

est une unit´e `-adique.

2.6 Repr´ esentations irr´ eductibles de W F Soit R un corps alg´ebriquement clos de caract´eristique

6

= p. La th´eorie de Clifford (voir le chapitre 4) permet de d´ecrire une repr´esentation σ ∈ Irr R (W F )(n) de diff´erentes fa¸cons (formules (2.6.1), (2.6.3), (2.6.4)).

On choisit, dans la restriction de σ au groupe de ramification sauvage P, une repr´esentation irr´eductible ν ⊂ σ | P ; on note E/F l’extension mod´er´ement ramifi´ee telle que W E est le stabilisateur de ν . Comme P est normal dans W F et que σ est irr´eductible, la dimension de ν, l’indice de ramification et le degr´e r´esiduel de E/F ne d´ependent que de σ; on les note δ = δ _σ , e = e _σ , f = f _σ . On note ind _F,E l’induction de W _E ` a W <sub>F</sub> . On choisit un prolongement ρ de ν ` a W _E [Vig4 1.19]. Soit σ _mr une repr´esentation irr´eductible mod´er´ement ramifi´ee de W _E telle que

(2.6.1) σ = ind F,E ρ ⊗ σ mr .

Une fois que ρ est choisie, σ _mr est unique; sa dimension ne d´epend que de σ, on la note d = d _σ . On dit que δ _σ , d _σ , e _σ , f _σ sont les invariants de σ.

Si ε : W _F → {± 1 } est le signe de la permutation de W _F sur W _F /W _E , et si t : W _F ^ab → W _E ^ab est le transfert, alors [G]:

(2.6.2) det σ(x) = ε(x) ^dδ det(ρ ⊗ σ mr )(t(x)).

La repr´esentation σ _mr = ind _E,E

χ est induite d’un caract`ere mod´er´ement ramifi´e r´egulier χ de l’extension non ramifi´ee E <sub>d</sub> /E de degr´e d [Vig4 1.11], et le caract`ere χ est unique modulo Gal(E _d /E). On a

(2.6.3) σ = ind _F,E

ρ _d ⊗ χ

o` u ρ d est la restriction de ρ ` a W E

.

Il est clair sur cette description (2.6.3) que tout σ ∈ Irr _F

`

W (n) est la r´eduction modulo ` d’une Q <sub>`</sub> - repr´esentation de W _F (n´ecessairement irr´eductible). La description (2.6.3) implique aussi facilement :

Lemme Soit r ∈ R ^∗ . On a σ ' σ ⊗ ν r si et seulement si r ^{f d} = 1.

Preuve La restriction ` a W <sub>E</sub> du caract`ere non ramifi´e ν _r = ν _r ^F de W _F est le caract`ere ν <sub>s</sub> <sup>E</sup> o` u s = r ^fd , car fd est le degr´e r´esiduel de l’extension E _d /F . On a donc

(ind _F,E

ρ _d ⊗ χ) ⊗ ν ^F _r ' ind _F,E

(ρ _d ⊗ χν _s ^E )

On en d´eduit que σ ' σ ⊗ ν r si et seulement si χν _s ^E est Gal(E d /E )-conjugu´e ` a χ. Ceci ´equivaut ` a s = 1. ¦ Supposons R = Q <sub>`</sub> . Le lemme implique que le nombre f (σ) de caract`eres non ramifi´es χ de W _F tels que σ ⊗ χ ' σ est

(2.6.4) f (σ) = f _σ d _σ = n/(δ _σ e _σ ).

Notons que e σ ∼ n/f(σ) (´egalit´e modulo p ^Z ). La repr´esentation semi-simple r ` (σ) est d´ecrite en (6.2). Elle est r´eductible, si et seulement si la repr´esentation r ` (σ mr ) est r´eductible, si et seulement si le caract`ere r ` (χ) n’est pas r´egulier pour l’extension E _d /E .

Lemme Si f (σ) = 1, alors σ est `-irr´eductible.

Preuve σ mr est un caract`ere par (2.6.4); ´evidemment σ mr est `-irr´eductible. ¦ .

Supposons R = Q <sub>`</sub> , et soient σ, σ <sup>0</sup> ∈ Irr(W <sub>F</sub> )(n) enti`eres. Il est utile pour (2.7) de d´ecrire la congruence σ ≡ σ ⁰ plus en d´etail.

Si σ ≡ σ ⁰ on peut choisir le mˆeme E et le mˆeme ρ pour σ et pour σ ⁰ , et les repr´esentations σ et σ ⁰ ont les mˆemes invariants.

Supposons que σ et σ ⁰ ont le mˆeme E et le mˆeme ρ. L’unicit´e de σ _mr , σ _mr ⁰ montre que les congruences σ ≡ σ ⁰ et σ _mr ≡ σ ⁰ _mr sont ´equivalentes. Soient χ, χ ⁰ les Q <sub>`</sub> -caract`eres mod´er´ement ramifi´es de E _d ^∗ r´eguliers sur E induisant σ _mr , σ _mr ⁰ . On choisit une uniformisante p _E

de E _d qui correspond par l’isomorphisme de r´eciprocit´e ` a l’inverse d’un Frobenius arithm´etique Fr _E

. Le caract`ere χ est le produit d’un caract`ere non ramifi´e ν ^E _s

o` u

s = χ(p E

) ∈ Z ^∗ _` ,

et d’un caract`ere mod´er´ement ramifi´e de E _d ^∗ trivial sur p _E

. Comme E ^∗ _d = p ^Z _E

d

× O ^∗ _E

d

, le dernier caract`ere s’identifie ` a un caract`ere de (O _E

/P _E

) ^∗ ' F ^∗ _q

. Par dualit´e le Q <sub>`</sub> -caract`ere de F ^∗ _q

s’identifie ` a un ´el´ement x ∈ F ^∗ _q

. Cette identification n’est pas canonique mais elle est ´equivariante pour l’action des groupes de Galois et x est de degr´e d sur F ^∗ _q

. Modulo `, x s’identifie ` a sa partie `-r´eguli`ere z ∈ F ^∗ _q

, i.e. l’ordre de z est premier ` a ` et l’ordre de x/z est une puissance de `. On note

(2.6.5) χ = χ(s, x)

avec s ∈ R ^∗ , x ∈ F ^∗ _q

de degr´e d sur F ^∗ _q

unique modulo Gal(F ^∗ _q

/F ^∗ _q

). Si χ ⁰ = χ(s ⁰ , x ⁰ ) alors les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes

(a) σ ≡ σ ⁰ (b) σ _mr ≡ σ _mr ⁰

(c) s ≡ s ⁰ et les parties `-r´eguli`eres z, z ⁰ de x, x ⁰ sont conjugu´ees sur F ^∗ _q

.

Ainsi la restriction de χ ⁰ χ ⁻¹ au groupe des unit´es O _E ^∗

est d’ordre fini, divisant la puissance de ` divisant q ^{f d} − 1.

Le transfert t : W _F ^ab → W _E ^ab

correspond ` a l’inclusion F ^∗ ⊂ E _d ^∗ par l’isomorphisme de r´eciprocit´e. On a p _F = p ^e _E

u pour une unit´e u ∈ O _E ^∗

. Le d´eterminant v´erifie (2.6.2)

(2.6.6) det σ(Fr _F ) = ² ^δ s ^e χ(u)

avec le mˆeme signe ² pour σ, σ ⁰ .

Terminons ce paragraphe en donnant une autre forme de σ utile en (2.9). Notons F fd /F l’extension non ramifi´ee de degr´e f(σ) = f d contenue dans E _d , et

(2.6.7) τ = ind F

,E

(ρ d ⊗ χ)

l’induite de ρ _d ⊗ χ ` a W _F

. L’extension E _d /F _fd est totalement ramifi´ee, donc f (τ ) = 1 par (2.6.4). On a

(2.6.8) σ = ind _F,F

τ.

2.7 Preuve de (2.3) Le cas non galoisien. Soit π ∈ Scusp(G) enti`ere. On va compter le nombre

m(π) de π ⁰ ∈ Scusp(G) enti`eres, tels que π ⁰ ≡ π , et ω _π (p _F ) = ω _π

(p _F ).

On d´ecrit π avec la th´eorie des types de Bushnell-Kutzko, comme en (2.4). Alors m(π) est le nombre de types ´etendus Λ ⁰ de E ^∗ J tels que Λ ⁰ ≡ Λ, et l’uniformisante p F agit sur Λ et Λ ⁰ , par ω π (p F ). L’unicit´e du type Λ | J , et la description de Λ ` a partir de Λ | J [Vig3, III.4.27], montrent que m(π) est le nombre de `-caract`eres du groupe E ^∗ J/F ^∗ J cyclique d’ordre e = n/f(π), multipli´e par le nombre m(ρ) de ρ ⁰ ∈ Scusp GL(d, F _q

) telles que ρ ⁰ ≡ ρ. Donc m(π) est le produit de m(ρ) et de la puissance de ` divisant n/f(π).

Le nombre m(ρ) se calcule en utilisant la construction de Green des repr´esentations irr´eductibles super- cuspidales.

2.7.1 Lemme Soit ρ ∈ Scusp GL(n, F _q ); le nombre m(ρ) de ρ ⁰ ∈ Scusp GL(n, F _q ) tels que ρ ⁰ ≡ ρ est inf´erieur ou ´egal nombre de `-´el´ements de F ^∗ _q

; il lui est ´egal si et seulement si ρ est `-supercuspidal.

Preuve Le r´esultat se d´eduit de [Vig3, III.2].

Notons Σ := Gal(F _q

/F _q ), et Σ _d := Gal(F _q

/F _q

) pour tout entier d ≥ 1 divisant n. On utilise que : 1) Les Σ-orbites Σ.t des ´el´ements t ∈ F ^∗ _q de degr´e n sur F _q classifient les repr´esentations ρ(t) ∈ Scusp GL(n, F q ).

Soient t ∈ F ^∗ _q de degr´e n sur F _q de partie `-r´eguli`ere s de degr´e d sur F _q , et t ⁰ ∈ F ^∗ _q de degr´e n sur F _q de partie `-r´eguli`ere s ⁰ de degr´e d ⁰ sur F _q . Les entiers d, d ⁰ divisent n car s, s ⁰ ∈ F _q

.

2) On a ρ(t) ≡ ρ(t ⁰ ) si et seulement si Σ.s = Σ.s ⁰ , et ρ(t) est `-supercuspidale si et seulement si le degr´e de s ne chute pas: d = n.

On voit que m(ρ(t)) est le nombre de Σ _d -orbites parmi les `-´el´ements y ∈ F ^∗ _q

tels que sy est de degr´e n sur F q .

Si d = n, alors sy est de degr´e n sur F q pour tout `-´el´ement y ∈ F ^∗ _q

, et Σ n est trivial; donc m(ρ(t)) est le nombre de `-´el´ements de F ^∗ _q

(la plus grande puissance de ` divisant (q ⁿ − 1)).

Si d < n, alors l’action de Σ d sur les `-´el´ements de F ^∗ _q

n’est pas triviale (ts ⁻¹ est un `-´el´ement de F ^∗ _q

de degr´e n/d sur F _q

). A fortiori, m(ρ(t)) est strictement inf´erieur au nombre de `-´el´ements de F ^∗ _q

. ¦ En appliquant le lemme ` a ρ ∈ Scusp GL(d, F _q

) et en utilisant que f d = f (π) on obtient

m(π ) ≤ l ^a , a ≤ v _{`</sub> (n/f (π)) + v <sub>`} (q ^f(π) − 1)

avec ´egalit´e si et seulement si r ` π est supercuspidale. La proposition (2.3) est d´emontr´ee dans le cas non galoisien.

Le cas galoisien est similaire. On va montrer une propri´et´e un peu plus faible que la proposition 2.3 car on ne sait pas si l’on peut choisir les uniformisantes telles que χ(u) = 1 et p F = p ^e _E

u, dans la formule du d´eterminant (2.6.6). Soit σ ∈ Irr(W )(n) enti`ere d’invariants e, f, d, δ comme en (2.6). On a f (σ) = f d (2.6.4). Soit N un entier de valuation `-adique v _{`</sub> (N) ≥ v <sub>`} (q ^f(σ) − 1). On va montrer que le nombre m _N (σ) de σ ⁰ ∈ Irr(W )(n) enti`eres telles que

σ ⁰ ≡ σ, det σ(Fr) ^N = det σ ⁰ (Fr) ^N v´erifie :

2.7.2 Lemme On a m N (σ) ≤ l ^c o` u c = v ` (N) + v ` (n/f (σ)) + v ` (q ^f(σ) − 1) avec ´egalit´e si et seulement si σ est `-irr´eductible.

Preuve Comme σ ⁰ ≡ σ, on d´ecrit σ, σ ⁰ comme en (2.6.3), (2.6.5) avec le mˆeme ρ, E, les mˆemes invariants, s ⁰ ≡ s et les orbites de z, z ⁰ par le groupe Gal(F _q

/F _q

) sont ´egales.

Le nombre m(z) d’orbites possibles de z ⁰ est major´e par le nombre d’´el´ements de F ^∗ _q

d’ordre une puissance de ` avec ´egalit´e si et seulement si z est de degr´e d sur F _q

(i.e. si σ est `-irr´eductible) comme dans le lemme (2.7.1).

On a det σ ⁰ (Fr) = det σ(Fr)(s ⁰ /s) ^e χ ⁰ (u)/χ(u). Comme χ ⁰ (u)/χ(u) est d’ordre une puissance de ` divisant q ^f(σ) − 1, on a

det σ ⁰ (Fr) ^N = det σ(Fr) ^N (s ⁰ /s) ^eN

car v ` (N) ≥ v ` (q ^f(σ) − 1). Le nombre m(s) de s ⁰ est ´egal ` a la puissance de ` divisant eN . On a v ` (e) = v ` (n/f(π)) car e ∼ n/f(σ) (2.6.4). On a m N (z) = m(z)m(s). ¦ .

On peut d´efinir m N (π) de fa¸con analogue et d´emontrer (en utilisant l’unicit´e du type de Bushnell-Kutzko contenu dans π):

m _N (π ) ≤ l ^t o` u t = v <sub>`</sub> (N )+v _{`</sub> (n/f (π))+v <sub>`} (q ^f(π) − 1) avec ´egalit´e si et seulement si π est `-supercuspidale.

Si π, σ sont en bijection de Langlands π ↔ σ, alors f (π) = f (σ) et le (3) du th´eor`eme principal implique m <sub>N</sub> (π) = m <sub>N</sub> (σ). On en d´eduit que π est `-supercuspidale si et seulement si σ est `-irr´eductible. Donc dans le th´eor`eme principal (3) implique (2).

2.8 Le cas f = 1 On d´emontre facilement la partie essentielle (3) du th´eor`eme principal, sans restriction sur la caract´eristique de F , mais en supposant (`, n) = 1, lorsque les repr´esentations ne sont fixes par aucun caract`ere non ramifi´e non trivial. Cela r´esulte du lemme suivant et de ce que la correspondance de Langlands est compatible avec la torsion par un caract`ere (la propri´et´e (c)).

Lemme On suppose (`, n) = 1. Soient des repr´esentations enti`eres σ, σ ⁰ ∈ Irr(W )(n), π, π ⁰ ∈ Scusp(G), telles que f (π) = f (σ) = f (π ⁰ ) = f (σ ⁰ ) = 1. On a

σ ≡ σ ⁰ si et seulement si σ = σ ⁰ ⊗ µ pour un `-caract`ere µ de F ^∗ , π ≡ π ⁰ si et seulement si π = π ⁰ ⊗ µ pour un `-caract`ere µ de F ^∗ . Preuve Le sens “si” est ´evident. D´emontrons le sens “seulement si”.

a) Pr´eliminaire. Notons H (resp. H ⁰ ) le sous-groupe des racines l’unit´e d’ordre une puissance de ` (resp. d’ordre premier ` a `p) contenues dans F ^∗ ; on a

F ^∗ = p ^Z _F × H × H ⁰ × (1 + P _F ), F ^∗ _q ' H × H ⁰ .

Si E/F est une extension finie et totalement ramifi´ee, on a E ^∗ = p ^Z _E × H × H ⁰ × (1 + P E ), et un `-caract`ere de E ^∗ est trivial sur H ⁰ × (1 + P E ). Si le degr´e [E : F ] de l’extension E/F est premier ` a `, la norme N _E/F restreinte au `-groupe H (l’´el´evation ` a la puissance [E : F ]) est une permutation de H , et tout `-caract`ere de E ^∗ se factorise par la norme N _E/F .

b) Le cas galoisien. Comme on l’a vu en (2.6), σ ≡ σ ⁰ est ´equivalent ` a σ = ind <sub>F,E</sub> ρ ⊗ χ, σ <sup>0</sup> = ind <sub>F,E</sub> ρ ⊗ χ <sup>0</sup> o` u E/F est une extension totalement ramifi´ee, χ, χ ⁰ sont des caract`eres mod´er´ement ramifi´es de W <sub>E</sub> , tels que χχ <sup>0−1</sup> est un `-caract`ere. Le caract`ere χχ ⁰⁻¹ de W E s’identifie, par l’isomorphisme de r´eciprocit´e, ` a un caract`ere de E ^∗ . Comme [E : F ] divise n et (n, `) = 1, par a), il existe un `-caract`ere µ de F ^∗ tel que χχ ⁰⁻¹ = µN _E/F ; comme ind F,E (τ ⊗ µN _E/F ) = (ind F,E τ) ⊗ µ pour toute repr´esentation τ de W E , on a donc σ = σ ⁰ ⊗ µ.

c) Le cas non galoisien. Si π ≡ π ⁰ , avec les notations de (2.4) on a : π = ind _G,E

J Λ, π ⁰ = ind _G,E

J Λ ⁰ ,

o` u Λ ≡ Λ <sup>0</sup> , E/F est totalement ramifi´ee de degr´e n, et ρ, ρ <sup>0</sup> sont des caract`eres de F ^∗ _q tels que ρρ ⁰⁻¹ est un

`-caract`ere. Il existe un `-caract`ere ν de F ^∗ _q tel que ρρ ⁰⁻¹ = ν ⁿ , car (`, n) = 1; on identifie ν ` a un `-caract`ere de F ^∗ trivial sur p _F , et via le d´eterminant det : G → F ^∗ ` a un caract`ere de G. La restriction ` a E <sup>∗</sup> J = E <sup>∗</sup> J <sub>p</sub> du caract`ere ν de G est triviale sur J _p puisque (p, `) = 1; le d´eterminant coincide avec la norme N <sub>E/F</sub> sur E <sup>∗</sup> , qui est l’´el´evation ` a la puissance n sur H . Donc π ⁰ ⊗ ν a pour type ´etendu Λ ⁰ ⊗ (ν det) | E

J , et pour type κ ⊗ (ρ ⁰ ν ⁿ ) = Λ | J .

En remplacant π ⁰ par π ⁰ ⊗ ν , on se ram`ene ` a Λ ⁰ | J = Λ | J . Par [Vig3, III.4.27.2], cela signifie que

Λ = Λ ⁰ ⊗ χ pour un caract`ere χ de E <sup>∗</sup> J/J, qui est un `-caract`ere car Λ ≡ Λ <sup>0</sup> . On identifie χ ` a un `-caract`ere

de E ^∗ . Comme dans le cas galoisien, comme (`, [E : F ]) = 1, on a χ = µN <sub>E/F</sub> pour un `-caract`ere µ de F ^∗

et π ⁰ = π ⊗ µ. ¦

2.9 R´ eduction au cas f = 1

Pour tout entier f ≥ 1, on note F f /F l’extension non ramifi´ee de degr´e f , Σ f son groupe de Galois (la notation est d´esormais diff´erente de celle de (2.7.1)), ind _F,F

l’induction de W _F

` a W <sub>F</sub> dans le cas galoisien et l’induction automorphe [HH] de GL(n/f, F <sub>f</sub> ) ` a GL(n, F ) dans le cas non galoisien. Nous devons supposer F de caract´eristique nulle pour la d´efinition de l’induction automorphe.

Soient σ ∈ Irr(W )(n) et π ∈ Scusp(G) en bijection de Langlands σ ↔ π; posons pour l’enonc´e du lemme ci-dessous

f = f (σ) = f (π ) (` a ne pas confondre avec f π , f σ de (2.4) et (2.6)).

Lemme Il existe des repr´esentations σ f ∈ Irr W F

(n/f ) dans le cas galoisien, π f ∈ Scusp GL(n/f, F f ) dans le cas non galoisien, telles que

σ = ind F,F

σ f , π = ind F,F

π f , σ f ↔ π f , f(σ f ) = f (π f ) = 1.

Preuve : Dans le cas galoisien, on prend σ f = τ comme en (2.6.7). Par (2.6.8) σ = ind F,F

σ f . Soit π f ↔ σ f en bijection de Langlands; on a alors f (π f ) = 1. La compatibilit´e de la bijection de Langlands avec l’induction (propri´et´e (d)) montre que π = ind F,F

π f . ¦

Les orbites Σ f .σ f , Σ f .π f des repr´esentations σ f , π f pour Σ f sont uniques et se correspondent par la propri´et´e (e) de la bijection de Langlands.

Continuons la d´emonstration de (3) du th´eor`eme principal. Soient σ, σ <sup>0</sup> ∈ Irr(W )(n), π, π <sup>0</sup> ∈ Scusp(G), enti`eres telles que π ↔ σ, π ⁰ ↔ σ ⁰ . Avec les notations ci-dessus, les trois congruences suivantes sont

´equivalentes a) σ ≡ σ ⁰

b) Σ f .σ f ≡ Σ f .σ _f ⁰ c) Σ _f .π _f ≡ Σ _f .π _f ⁰

En effet, les repr´esentations σ _f , σ _f ⁰ sont `-irr´eductibles (2.6), et par la th´eorie de Clifford, σ ≡ σ <sup>0</sup> si et seulement si r <sub>`</sub> σ _f est isomorphe ` a un conjugu´e de r <sub>`</sub> σ ⁰ _f par Σ _f . La r´eduction modulo ` commute avec l’action de Σ <sub>f</sub> . Donc σ ≡ σ <sup>0</sup> si et seulement si Σ <sub>f</sub> .σ <sub>f</sub> ≡ Σ <sub>f</sub> .σ <sup>0</sup> <sub>f</sub> . La bijection de Langlands sur F <sub>f</sub> est compatible avec l’action de Σ <sub>f</sub> (propri´et´e (e)), et le (3) du th´eor`eme principal a ´et´e montr´e dans le cas f = 1 en (2.8); donc Σ f .σ f ≡ Σ f .σ _f ⁰ si et seulement si Σ f .π f ≡ Σ f .π _f ⁰ .

La d´emonstration du th´eor`eme principal sera achev´ee, si l’on d´emontre que π ≡ π ⁰ si et seulement si Σ _f .π _f ≡ Σ _f .π _f ⁰ .

C’est l’objet des paragraphes 3 ` a 5. Notre m´ethode, bas´ee sur le travail de Herb et Henniart [HH], utilise l’analyse harmonique modulaire, dans laquelle la restriction ` > n est, h´elas, indispensable.

3 Ind´ ependance lin´ eaire des caract` eres sur les elliptiques

On suppose d´esormais F de caract´eristique 0 et ` > n.

Un ´el´ement de G est r´egulier s’il est semisimple et son centralisateur dans G est un tore. On note G ^reg l’ensemble des ´el´ements r´eguliers de G. Un ´el´ement de G ^reg est elliptique si son centralisateur est un tore compact modulo le centre. On note G ^e l’ensemble des ´el´ements elliptiques de G.

3.1 Th´ eor` eme Les caract`eres des F _` -repr´esentations irr´eductibles supercuspidales de G sur les

´el´ements elliptiques de G sont lin´eairement ind´ependants.

La d´emonstration de ce th´eor`eme occupe la suite du paragraphe 3.

Soit π ∈ Scusp(G). On supposera que l’uniformisante p F et qu’un sous-groupe H d’indice fini de 1 + P F

agissent trivialement sur π. Cela n’apporte aucune restriction, on s’y ram`ene en tordant par un caract`ere non ramifi´e. Comme en (2.5) on note

Z := p ^Z _F H

(c’est un sous-groupe d’indice fini du centre F ^∗ de G = GL(n, F ), et le centre de G/Z est fini). La repr´esentation π est enti`ere. On d´efinit m(π) comme en (2.3). L’action de Z sur les repr´esentations de G consid´erees dans le chapitre 3 est suppos´ee triviale.

3.2 Congruence dans le cas fini

On choisit une donn´ee de Bushnell-Kutzko de π comme en (2.4). Le type ´etendu Λ ∈ Irr E ^∗ J de π = ind ^G _E

J Λ s’identifie ` a une repr´esentation du sous-groupe ouvert compact E ^∗ J/Z de G/Z. Le bloc du type ´etendu Λ dans Irr E ^∗ J/Z est l’ensemble

{ Λ i } 1≤i≤m(π)

des Q _` -types ´etendus de E ^∗ J sur lesquels p _F agit trivialement, et tels que Λ _i ≡ Λ. Notons χ _Λ

le caract`ere du type ´etendu Λ _i pour tout i. Pour tout x ∈ E ^∗ J,

| E ^∗ J/Z | ⁻¹ dim Λ X

1≤i≤m(π)

χ _Λ

(x)

appartient ` a Z <sub>`</sub> , par la th´eorie des repr´esentations des groupes finis [Gold 7.4, 7.6].

Par (2.5.2), m(π) | E ^∗ J/Z | ⁻¹ (dim Λ) ∈ Z ^∗ <sub>`</sub> est une unit´e `-adique, donc Lemme P

1≤i≤m(π) χ _Λ

(x) ∈ m(π)Z _` .

3.3 Caract` ere sur G <sup>e</sup> Soit π ∈ Scusp G triviale sur Z. Le caract`ere χ π de π est une fonction enti`ere (` a valeurs dans Z ` ) localement constante sur G ^reg . Sa valeur sur G ^e peut ˆetre calcul´ee de deux fa¸cons.

1) Le caract`ere χ <sub>π</sub> sur G <sup>e</sup> de la repr´esentation induite ` a support compact π = ind _G,E

J Λ est reli´e au caract`ere χ <sub>Λ</sub> de Λ (prolong´e par 0 ` a tout G), par :

χ π (x) = X

gE

J

χ Λ (g ⁻¹ xg) (x ∈ G ^e )

la somme est prise sur l’ensemble fini des classes gE ^∗ J ⊂ G/E ^∗ J telles que g ⁻¹ xg ∩ E ^∗ J 6 = ∅ [HC-VD lemma 19].

2) Pour x ∈ G, on note G.x la classe de conjugaison de x dans G, et I _G.x (f dg) :=

Z

G/Z

f (g ⁻¹ xg)dg

pour toute mesure de Haar dg sur G/Z et toute fonction localement constante f : G → Q _` , lorsque cela a un sens; on dit que I G.x (f dg) est l’int´egrale orbitale de f sur x pour la mesure dg.

La repr´esentation π de G/Z est compacte [Vig3 I.7.2]. Les coefficients de Λ sont des coefficients de π.

Le degr´e formel dg _π [Vig3 I.8.4] (une mesure de Haar sur G/Z) restreint ` a E <sup>∗</sup> J/Z est ´egal au degr´e formel dg Λ de Λ. Le degr´e formel d’une Q <sub>`</sub> -repr´esentation irr´eductible ρ d’un groupe profini X est la mesure de Haar sur X telle que le volume de X est ´egal ` a dim ρ. On a donc

vol(E ^∗ J/Z, dg _π ) = dim Λ.

Soit f π : G → Z ` un coefficient quelconque de π, entier (` a valeurs dans Z ` ) et tel que f π (1) = 1 (on peut prendre un coefficient de Λ avec cette propri´et´e, ou utiliser [Vig9 paragraphe 7]).

Le caract`ere χ _π sur G ^e v´erifie

χ π (x ⁻¹ ) = I G.x (f π dg π ) (x ∈ G ^e ).

On sait que [DKV A.3.g, A.3.h, page 57-60] f π annule les int´egrales orbitales r´eguli`eres non elliptiques, et que

tr π ⁰ (f _π dg _π ) = δ _π,π

pour tout π ⁰ ∈ Irr(G/Z), o` u δ _π,π

= 1 si π ' π ⁰ , et δ _π,π

= 0 sinon.

3.4 Congruence pour les int´ egrales orbitales Le bloc B de π dans Irr(G/Z) est form´e des repr´esentations `-supercuspidales

π _i = ind _G,E

J Λ _i , 1 ≤ i ≤ m(π).

pour les types Λ i de (3.2). Elles ont le mˆeme degr´e formel dg π car les Λ i ∈ Irr(E ^∗ J/Z) ont la mˆeme dimension (2.5.1). On note χ π

le caract`ere de π i et l’on choisit un coefficient entier f π

de π i tel que f π

(1) = 1 pour tout i. On note

χ B := X

1≤i≤m(π)

χ π

, f B := X

1≤i≤m(π)

f π

leur somme. La fonction χ B et les int´egrales orbitales de f B ne d´ependent que du bloc B . En utilisant (3.2) et (3.3), on obtient :

Lemme Pour tout x ∈ G ^e ,

χ _B (x ⁻¹ ) = I _G.x (f _B dg _π ) ∈ m(π)Z <sub>`</sub> . La fonction f B annule les int´egrales orbitales r´eguli`eres non elliptiques, et

tr π

(f B dg π ) = δ _r

_(π

),r

(π)

pour tout π ⁰ ∈ Irr(G/Z).

3.5 Congruence pour les int´ egrales orbitales fondamentales

Soit x ∈ G ^e elliptique. On va comparer l’int´egrale orbitale I G.x (f dg π ) d´efinie en (3.3) et un g´en´erateur D _G.x (f dg/dt) du Z _{`</sub> -module libre form´e par les Z <sub>`} -mesures invariantes sur G.x [Vig6].

On choisit des Z[1/p]-mesures invariantes [Vig3, I.2.4] dg, dt, dg/dt sur X = G/Z, F (x) ^∗ /Z, G/F (x) ^∗ qui sont admissibles, i.e. engendrent le Z[1/p]-module libre des Z[1/p]-distributions invariantes sur G/Z, F (x) ^∗ /Z, G de support la classe de conjugaison G.x de x. Un Z[1/p]-mesure de Haar d´efinit naturellement une R-mesure pour tout anneau commutatif int`egre R o` u p est inversible. L’application qui associe ` a f ∈ C <sub>c</sub> <sup>∞</sup> (G/Z; Z <sub>`</sub> ) la valeur

D _G.x (f dg/dt) :=

Z

G/F(x)

f (gxg ⁻¹ )dg/dt,

est une int´egrale orbitale sur G.x. Elle est admissible, dans le sens o` u, par restriction, elle engendre le Z ` -module libre des Z ` -distributions invariantes sur G de support la classe de conjugaison G.x de x. On a

´evidemment

I _G.x (f dg) = vol(F (x) ^∗ /Z, dt) D _G.x (f dg/dt)

L’alg`ebre F (x) est un corps, de degr´e n sur F; on note e _x l’indice de ramification de F(x)/F . Avec la notation (2.3), on a modulo p ^Z

vol(F (x) ^∗ /Z, dt) ∼ | F(x) ^∗ /Z | ∼ e _x (q ^n/e

− 1).

On a ´evidemment

dg/ vol(E ^∗ J/Z, dg) = dg π / vol(E ^∗ J/Z, dg π ).

On d´efinit le degr´e formel de π par rapport ` a dg comme le quotient d(π) := dg π /dg = dim Λ

vol(E ^∗ J/Z, dg) On rappelle que m(π) = ` ^a avec

a = v ` (e π (q ^n/e

− 1)) = v ` ( vol(E ^∗ J/Z, dg)

dim Λ )

par (2.3) car π est `-supercuspidale, et (2.5.1). On a donc v ` (d(π)) = − a On d´eduit de ces calculs :

3.5.1 Lemme Soit x ∈ G ^e . Il existe une constante d = d(x, π) ∈ Z ^∗ _` , telle que I _G.x (fdg _π ) = d e _x (q ^n/e

− 1)

e _π (q ^n/e

− 1) D _G.x (f dg/dt).

L’int´egrale orbitale I _G.x (fdg _π ) est admissible, si et seulement si la valuation `-adique de e _x (q ^n/e

− 1) est ´egale ` a celle de e _π (q ^n/e

− 1).

3.5.2 Lemme Supposons ` > n. Alors D G.x (f B dg/dt) ∈ m(π) Z ` pour tout x ∈ G ^e .

Preuve Les valeurs de la fonction f _B sont enti`eres ainsi que la mesure de Haar dg/dt, donc D <sub>G.x</sub> (f <sub>B</sub> dg/dt) ∈ Z <sub>`</sub> . Le lemme est donc vrai si m(π) = 1. Sinon m(π) = ` <sup>a</sup> avec a > 0. On a I <sub>G.x</sub> (f <sub>B</sub> dg <sub>π</sub> ) ∈ m(π ) Z <sub>`</sub> par (3.4). La relation (3.5.1) montre qu’il suffit de montrer que

0 < a < v ` (e x (q ^n/e

− 1))

est impossible. La condition ` > n implique que l’on peut oublier e _π , e _x qui divisent n, et les in´egalit´es s’´ecrivent

0 < v ` (q ^n/e

− 1) < v ` (q ^n/e

− 1).

Notons ε le plus petit entier ≥ 1 tel que

q ^ε ≡ 1 modulo `.

Pour tout entier a ≥ 1, la valuation `-adique de q ^a − 1 est [Vig3 III.0.4] : - nulle si ε ne divise pas a,

- v _{`</sub> (q <sup>ε</sup> − 1) + v <sub>`} (a/ε) si ε divise a, sauf dans le cas exceptionnel,

- v ₂ (q − 1) + v ₂ (a) + v ₂ (q + 1) − 1, dans le cas exceptionnel ε = 1, ` = 2, q ≡ 3 mod 4.

Comme ` > n, le cas exceptionnel o` u ` = 2 ne se pr´esente pas, et pour a divisant n, la valuation `-adique de q ^a − 1 est simplement

- nulle si ε ne divise pas a, - v ` (q ^ε − 1) si ε divise a

Il n’y a que deux valeurs possibles, donc l’in´egalit´e pr´ec´edente ` a trois termes est impossible. ¦ 3.6 Congruence sur les coefficients

On utilise maintenant le th´eor`eme de densit´e des int´egrales orbitales r´eguli`eres [VW F.17]. Le groupe

G agit sur C ^∞ _c (G/Z, Q _` ) par conjugaison.

Th´ eor` eme Supposons ` > n et F de caract´eristique 0. Soit f ∈ C _c ^∞ (G/Z, Q <sub>`</sub> ) telle que les int´egrales orbitales r´eguli`eres

D _G.x (f dg/dt) ∈ Z _` (x ∈ G ^reg )

soient enti`eres. Alors il existe φ ∈ C <sub>c</sub> <sup>∞</sup> (G/Z, Z ` ) enti`ere telle que f, φ aient la mˆeme image dans le module des G-coinvariants C <sup>∞</sup> (G/Z, Q <sub>`</sub> ) G .

Le th´eor`eme de [VW F.17] concerne C <sup>∞</sup> <sub>c</sub> (G, C) au lieu de C <sub>c</sub> <sup>∞</sup> (G/Z, Q <sub>`</sub> ), mais la topologie de C n’intervient pas et l’on peut remplacer C par le corps isomorphe Q _` . On peut aussi remplacer G par G/Z car Z est contenu dans le centre.

Par (3.5.2), m(π) = ` <sup>a</sup> , a ≥ 0, divise toutes les int´egrales orbitales r´eguli`eres elliptiques de f B . Les autres int´egrales orbitales r´eguli`eres de f <sub>B</sub> sont nulles. Comme ` > n et v _{`</sub> (d(π)) = − a, le th´eor`eme de densit´e des int´egrales orbitales r´eguli`eres permet de choisir φ <sub>B</sub> ∈ C <sub>c</sub> <sup>∞</sup> (G/Z; Z <sub>`} ) tel que f _B − d(π) ⁻¹ φ _B annule toutes les distributions invariantes sur G. Pour tout π ⁰ ∈ Irr(G/Z), on a alors :

tr π ⁰ (φ B dg) = tr π ⁰ (f B dg π ) = δ _r

_(π

),r

(π) .

3.7 D´ emonstration du th´ eor` eme 3.1.

On utilisera [VW F.21] :

Th´ eor` eme Supposons ` > n et F de caract´eristique 0. Alors les caract`eres des F ` -repr´esentations irr´eductibles de G sur les ´el´ements r´eguliers sont lin´eairement ind´ependants.

On d´emontre le th´eor`eme 3.1 par l’absurde. Supposons qu’il existe un entier r ≥ 1, des F <sub>`</sub> -repr´esentations ρ ₁ , . . . , ρ _r ∈ Scusp(G/Z; F _{`</sub> ) non isomorphes, et des ´el´ements a <sub>1</sub> , . . . , a <sub>r</sub> ∈ F <sup>∗</sup> <sub>`} tels que les traces χ _ρ

des repr´esentations ρ _i sur G ^e v´erifient P

a _i χ _ρ

= 0. On choisit π ₁ , . . . , π _r dans Scusp _Q

`

(G/Z) qui rel`event ρ 1 , . . . , ρ r (2.4), et b 1 , . . . , b r dans Z <sup>∗</sup> <sub>`</sub> qui rel`event a 1 , . . . , a r . Sur G ^e , on a

X b _i χ _π

≡ 0,

i.e. l’image canonique de P

b _i χ _π

(x) dans F <sub>`</sub> est nulle, pour tout x ∈ G <sup>e</sup> . Comme ` > n, le th´eor`eme d’ind´ependance des caract`eres des F _` -repr´esentations irr´eductibles de G sur les ´el´ements r´eguliers implique

que X

b _i tr _π

(f dg) ≡ 0

pour tout f ∈ C _c ^∞ (G/Z; Z _` ) d’int´egrale orbitale nulle sur G ^reg − G ^e . Si f est la fonction not´ee φ _B en (3.6)

relative ` a π = π ₁ , on a X

b _i tr _π

(f ₁ dg) = b ₁ . On aboutit ` a une contradiction. ¦

4 Th´ eorie de Clifford

Soient R un corps alg´ebriquement clos de caract´eristique quelconque, H ⊂ G deux groupes profinis, avec H distingu´e dans G ` a quotient fini. La th´eorie de Clifford relie les R-repr´esentations de G avec celles de H [CR § 11].

Soit τ ∈ Irr R (H ). On d´efinit son normalisateur dans G

N := { g ∈ G | g.τ ' τ }

(pour g ∈ G, h ∈ H, on note (g.τ)(ghg ⁻¹ ) = τ(h)), et son alg`ebre de Hecke dans G H(G, τ ) := End G ind ^G _H τ.

4.1 Proposition Les R-repr´esentations irr´eductibles π de G qui contiennent τ s’identifient aux modules simples ` a droite de H(G, τ ) par l’application

π → Hom _G (ind ^G _H τ, π), et les alg`ebres de Hecke de τ dans G et dans N sont isomorphes

H(G, τ ) ' H(N, τ ) par l’inclusion canonique H (N, τ ) ⊂ H(G, τ ).

Dans les deux cas suivants, τ se prolonge ` a son normalisateur . a) G/H est un groupe cyclique. C’est un r´esultat classique [CR 11.46]

b) G = Gal(E/F ) et H est le groupe de ramification sauvage d’une extension galoisienne finie E/F de corps locaux non archim´ediens. En introduisant le groupe d’inertie H ⊂ I ⊂ G on se ram`ene par d´evissage au cas cyclique [Vig4 1.19].

On dit qu’une R-repr´esentation V de G est engendr´ee par sa partie τ-isotypique lorsqu’elle est quotient d’une somme directe ⊕ ^I ind ^G _H τ (pour un ensemble I). On note Mod R (G, τ) la cat´egorie des R-repr´esentations de G engendr´ees par leur parties τ-isotypiques.

4.2 Proposition Lorsque τ ∈ Irr _R H se prolonge ` a son normalisateur N , l’alg`ebre de Hecke de τ dans G est isomorphe `a l’alg`ebre du groupe quotient N/H

H(G, τ ) ' R[N/H],

et la cat´egorie des R-repr´esentations V de G engendr´ees par leur parties τ-isotypiques est ´equivalente ` a la cat´egorie des R-repr´esentations de N/H

Mod _R (G, τ ) ' Mod _R (N/H ).

On suppose maintenant que G/H est cyclique. On choisit un g´en´erateur κ de Hom(G/H, R ^∗ ) et un prolongement τ ⁰ de τ ` a son normalisateur N . On note

π := ind ^G _N τ ⁰ .

4.3 Corollaire Lorsque G/H est cyclique, les repr´esentations τ ⁰ ⊗ χ ∈ Irr _R N (χ ∈ Hom(N/H, R ^∗ )) ne sont pas isomorphes et sont les prolongements de τ ` a N .

Les repr´esentations induites ` a G

ind ^G _N (τ ⁰ ⊗ χ) (χ ∈ Hom(N/H, R ^∗ ))

sont irr´eductibles, non isomorphes et sont les repr´esentations irr´eductibles de G qui contiennent τ .

L’induite ` a G de τ est semi-simple et les multiplicit´es de ses sous-quotients irr´eductibles sont 1 si

d = [N : H ] n’est pas nul dans R. Sinon la caract´eristique de R est ` > 0, ` divise d, la repr´esentation ind ^G _H τ

n’est pas semi-simple, et sa multiplicit´e est la plus grande puissance de ` qui divise d. Dans tous les cas, la semi-simplifi´ee est

[ind ^G _H τ] = π ⊕ (π ⊗ κ) ⊕ . . . ⊕ (π ⊗ κ ^d−1 ).

Nous allons maintenant donner les d´emonstrations.

4.4 Preuve de 4.1 1) La premi`ere assertion est certainement bien connue depuis les travaux de Dipper. Il suffit de montrer que la repr´esentation ind <sup>G</sup> <sub>H</sub> τ est “presque projective” [Vig5 1.4.1] ou plus g´en´eralement est “quasi-projective” dans le sens de Arabia [Vig 5, A.3]). Le noyau de τ ´etant d’indice fini, on se ram`ene au cas o` u le groupe G est fini. La th´eorie des repr´esentations des groupes finis fournit une couverture projective P τ → τ de τ dans Mod R H . L’image de cette application par l’induction de H ` a G (qui est exacte, est adjointe ` a droite et ` a gauche de la restriction de G ` a H et respecte la projectivit´e) est un homomorphisme surjectif (que nous notons f )

P := ind ^G _H P _τ → ind ^G _H τ, et P est projectif dans Mod R G. L’application naturelle qui s’en d´eduit

φ : H (G, τ) → End G (P, ind ^G _H τ ) est injective car f est surjectif. Elle est surjective car

(4.4.1) [N : H ] = dim _R H (G, τ) = dim _R End _G (P, ind ^G _H τ).

Ces ´egalit´es r´esultent de l’adjonction, de la formule de Mackey

(4.4.2) (ind ^G _H τ) | H ' ⊕ g∈G/H g.τ,

du lemme de Schur End H τ ' R, et de Hom H (P τ , g.τ ) ' Hom H (τ, g.τ ) P τ ´etant une couverture projective de τ. Comme φ est bijective, la repr´esentation ind ^G _H τ est presque projective [Vig5 1.3.1], et la premi`ere assertion est d´emontr´ee.

2) On sait [Vig3 I.8.6] qu’il existe un isomorphisme canonique Φ de H (G, τ) sur l’alg`ebre des fonctions f : G → End _R τ v´erifiant

(4.4.3) f (hgh ⁰ ) = τ (h)f (g)τ(h ⁰ )

pour tout g ∈ G, h, h ⁰ ∈ H munie du produit de convolution

(4.4.4) f ∗ f ⁰ (g) = X

x∈G/H

f (gx ⁻¹ )f ⁰ (x).

Pour w ∈ τ , on note e w ∈ ind ^G _H τ la fonction de support H telle que e w (1) = w. L’isomorphisme Φ est d´efini par

(4.4.5) Φ(A)(g) : w → A(e w )(g) (A ∈ H (G, τ ), g ∈ G).

Dans le cas particulier o` u τ est la repr´esentation triviale id, on retrouve que H (G, id) est isomorphe ` a la R-alg`ebre du groupe G/H, not´ee R[G/H].

Pour ´etablir la seconde assertion H (G, τ) ' H (N, τ ), il suffit de montrer que la relation (4.4.3) implique que le support de f est contenu dans N . Comme H est distingu´e dans G, pour tout h ∈ H, g ∈ G on a g ⁻¹ hg ∈ H et par (4.4.3),

f (g)(g.τ)(h) = τ(h)f (g).

Comme τ est irr´eductible, cette relation implique que f (g) = 0 ou que f (g) ∈ End R τ est bijectif. Si f (g) est bijectif, alors g ∈ N . Le support de f est contenu dans N, on en d´eduit la seconde assertion. ¦

4.5 Preuve de 4.2 1) La premi`ere assertion signifie qu’il existe un isomorphisme d’alg`ebres

(4.5.1) H (N, τ) ' H (N, id)

par (4.1) et sa preuve en (4.4). Cela r´esulte de l’isomorphisme canonique de R-repr´esentations de N

(4.5.2) ind ^N _H τ ' τ ⁰ ⊗ R ind ^N _H id

pour tout prolongement τ ⁰ de τ ` a N , et du lemme de Schur End _N τ ⁰ ' R. On construit facilement l’isomorphisme de (4.5.2). Pour tout w ∈ τ, n ∈ N, on note f _w,n ∈ ind ^N _H τ (resp. φ _n ∈ ind ^N _H id) la fonction de support Hn telle que

f _w,n (n) = w (resp. φ _n (n) = 1) On a

f _τ(h)w,hn = f _w,n

pour tout w ∈ τ, h ∈ H, n ∈ N . On d´efinit un ´el´ement de τ ⁰ ⊗ ind ^N _H id:

φ _w,n := τ ⁰ (n ⁻¹ )w ⊗ φ _n

pour tout w ∈ τ ⁰ , n ∈ N (l’espace de τ est celui de τ ⁰ ). Soit y ∈ N . L’image de f _w,n par y est la fonction x → f _w,n (xy) ´egale ` a f _w,ny

, celle de φ _w,n par y est τ(yn ⁻¹ )w ⊗ φ _ny

= φ _w,ny

. L’application f _w,n → φ _w,n est l’isomorphisme de (4.5.2).

2) Pour la seconde assertion, on montre que les cat´egories Mod _R (G, τ ) et Mod _R (N/H ) sont toutes les deux canoniquement ´equivalentes ` a Mod _R (N, τ).

Les cat´egories Mod _R (N, τ) et Mod _R N/H sont ´equivalentes via les foncteurs inverses η → ρ := τ ⁰ ⊗ R η, ρ → η := Hom H (τ, ρ | H )

pour η ∈ Mod R (N/H), ρ ∈ Mod R (N, τ ). En effet, tout ρ ∈ Mod R (N, τ ) est ´egal ` a ρ = τ ⁰ ⊗ R η pour η = Hom H (τ, ρ | H ) ∈ Mod R N/H. Ceci peut se voir en utilisant (4.5.2) et l’´equivalence ´evidente des cat´egories Mod R (N/H) et Mod R (N, id). D’autre part, on peut montrer

Hom _N (τ ⁰ ⊗ η, τ ⁰ ⊗ η) ' Hom _N (η ⁰ , η)

pour tout η, η ⁰ ∈ Mod R (N/H ), en restreignant ` a H et en utilisant le lemme de Schur End R τ ' R.

Les cat´egories Mod R (N, τ) et Mod R (G, τ ) sont ´equivalentes via l’induction de N ` a G d’inverse le foncteur res _N,τ : Mod _R (G, τ ) → Mod _R (N, τ)

ainsi d´efini: une repr´esentation π de G est engendr´ee par sa partie τ-isotypique si et seulement si

(4.5.3) π | N ' ⊕ g∈G/N g.ρ

o` u ρ ∈ Mod _R (N, τ ). On d´efinit res _N,τ (π) := ρ. Il est clair que π = ind ^G _N res _N,τ (π). Soit ρ ∈ Mod _R (N, τ).

Alors par la formule de Mackey

(ind ^G _N ρ) | N = ⊕ g∈G/N g.ρ

et ρ = res _N,τ ind ^G _N ρ. Par adjonction, (4.5.3), et le fait que les g.τ pour g ∈ G/N ne sont pas isomorphes, on a

Hom G (π, π ⁰ ) = ⊕ g∈G/N Hom G (g.ρ, ρ ⁰ ) = Hom N (ρ, ρ ⁰ )

pour tout ρ, ρ ⁰ ∈ Mod _R (N, τ ) d’induite π, π ⁰ ∈ Mod _R (G, τ ). Donc les cat´egories Mod _R (N, τ ), Mod _R (G, τ)

sont ´equivalentes.

4.6 Preuve de 4.3 Seule l’assertion sur la semi-simplifi´ee n’a pas ´et´e d´emontr´ee. Elle r´esulte de (4.5.2) qui implique

ind ^G _H τ = π ⊗ ind ^G _H 1 avec π = ind ^G _N τ ⁰ , et de la forme de la semi-simplifi´ee

[ind ^G _H 1] = 1 ⊕ κ ⊕ . . . ⊕ κ ^d−1 .

4.7 Remarques On suppose que G/H est cyclique, et que la caract´eristique de R est 0 ou ne divise pas [G : H ]. Le groupe (G/H) ^∗ := Hom(G/H, R ^∗ ) de g´en´erateur κ agit par produit tensoriel sur Irr _R G et le groupe G/H agit par conjugaison sur Irr _R H . Les orbites de dimension maximale [G : H] sont appel´ees r´eguli`eres et leur ´el´ements aussi. Alors on d´eduit de (4.3) :

1) L’induction et la restriction induisent des bijections, inverses l’une de l’autre, entre l’ensemble des orbites r´eguli`eres de G/H dans Irr R H et l’ensemble des points fixes de (G/H) ^∗ dans Irr R G :

π | H = ⊕ g∈G/H g.τ, π = ind G,H τ pour τ ∈ Irr R (H) de stabilisateur N = H et π ∈ Irr R (G) fixe par (G/H) ^∗ .

2) Soit (τ, π) comme ci-dessus. On choisit un R-isomorphisme A de l’espace de π, qui agit sur l’espace de g.τ par multiplication par κ(g) pour tout g ∈ G. Alors

A ◦ π(g) = κ(g)π(g) ◦ A pour tout g ∈ G.

5 Induction automorphe

On suppose F de caract´eristique 0 et ` > n. Soit R = Q <sub>`</sub> ou R = F _{`</sub> . Pour simplifier, on supprime souvent l’indice R lorsque R = Q <sub>`} .

Soient n, m, r des entiers ≥ 1 avec n = mr et E/F une extension cyclique de degr´e m. On note N _E/F : E ^∗ → F ^∗ la norme de E/F , et

G := GL(n, F ), H := GL(r, F ), G _E := GL(n, E), H _E := GL(r, E).

Le groupe Ξ = Hom(F ^∗ /N _E/F E ^∗ , Z ^∗ <sub>`</sub> ) est cyclique d’ordre m < `, isomorphe canoniquement ` a Hom(F ^∗ /N _E/F E ^∗ , R ^∗ );

on choisit un g´en´erateur κ de Ξ. Identifi´e via le d´eterminant ` a un groupe de caract`eres de G ou de H , Ξ agit naturellement sur Irr _R (G) et sur Irr _R (H ). Le groupe de Galois Σ = Gal(E/F ), cyclique d’ordre m, agit naturellement sur Irr _R (G _E ), Irr _R (H _E ). L’action des deux groupes respecte la propri´et´e d’ˆetre supercuspidale.

L’exposant reg indiquera que l’on consid`ere des repr´esentations r´eguli`eres (d’orbite ` a m ´el´ements); par exemple, Scusp _R (H E ) ^reg est l’ensemble des classes d’isomorphie des R-repr´esentations supercuspidales de H E , dont les conjugu´es par le groupe de Galois Σ sont distincts.

L’exposant Ξ ou Σ indiquera que l’on consid`ere les repr´esentations fixes (d’orbite ` a 1 ´el´ement); par exemple, Scusp _R (G) ^Ξ est l’ensemble des classes d’isomorphie des R-repr´esentations supercuspidales de G, isomorphes ` a tous leurs produits tensoriels par un caract`ere dans Ξ.

5.1 L’induction automorphe de H _E ` a G (le κ-lift [HH 3.7, 3.11]) que l’on note ind _F,E par analogie

au cas galoisien, est d´efinie sur les Q _` -repr´esentations irr´eductibles g´en´eriques de H _E , v´erifiant une certaine

condition de r´egularit´e, et son image est l’ensemble des Q _` -repr´esentations irr´eductibles g´en´eriques de G

fixes par Ξ [HH th. 2.4 ]. L’induction automorphe induit une bijection [HH 5.5] (not´ee encore ind _F,E )

(5.1.1) ind _F,E : Scusp(H _E ) ^reg /Σ → Scusp(G) ^Ξ .