Fonction Polynôme du Troisième Degré

Fonction Polynôme du Troisième Degré

Fonction polynôme du tiroisimme degrm

Rappel

La fonction carré x ⟼ x ² a permis de « fabriquer » les fonctions polynômes du second degré x ⟼ a x ² + b x + c Définitioin

Ainsi, de même, la fonction cube x ⟼ x ³ permet de « fabriquer » les fonctions polynômes du troisième degré x ⟼ a x ³ + b x ² + c x + d ( a, b, c et d sont des nombres réels et a ≠ 0 )

x ⟼ x ³ x ⟼ 0,2 x ³ x ⟼ – 0,5 x ³ + 2 x ⟼ – x ³ – 5 x ² – 2 x + 8

Racines eti forme factiorisme d’une fonction polynôme du tiroisimme degrm

Une fonction polynôme du troisième degré possède 1, 2 ou 3 racines :

x ⟼ – x ³ – 5 x ² – 2 x + 8 x ⟼ 0,2 x ³ – x ² + 2 x + 1,6 x ⟼ 0,5 x ³ + 2 x ² – 1,5 x – 9

3 racines : – 4 , – 2 et 1 1 racine : – 2 2 racines : – 3 et 2

La forme factorisée est :

– 1 × ( x + 4 ) ( x + 2 ) ( x – 1 ) 0,2 ( x + 2 ) ( x² + 3 x + 4 ) 0,5 ( x + 3 ) ² ( x – 2 )

A RETENIR

Une fonction polynôme du troisième degré qui possède trois racines x1, x2 et x3 peut également s’écrire sous forme factorisée : f ( x ) = a ( x− x1)( x− x2)( x−x3).

Tableau de signe d’une fonction polynôme du second degrm

x – ∞ – 4 – 2 1 + ∞

–1 – | – | – | –

x + 4 – 0 + | + | +

x + 2 – | – 0 + | +

x – 1 – | – | – 0 +

– ( x + 4 ) ( x + 2 ) ( x – 1 ) + 0 – 0 + 0 –

→ On pourra également retenir (même si ce n’est pas nécessaire) :

→ si a > 0 :

x – ∞ x1 x2 x3 + ∞

a ( x – x1 ) ( x – x2 ) ( x – x3 ) – 0 + 0 – 0 +

→ si a < 0 :

x – ∞ x1 x2 x3 + ∞

a ( x – x1 ) ( x – x2 ) ( x – x3 ) + 0 – 0 + 0 –

Rmsolution de l’mquation x

= k

L’équation x ³ = k ( k  ℝ ) possède une unique solution : x =

√

Exemples

▪ x ³ = 343 → la solution est x=

√

▪ x ³ = – 64 → la solution est x=

√

▪ x ³ = 0,125 → la solution est x=

√

▪ x ³ = 81 → la solution est x=

√