E lectromagne tisme. 19 mars 2020

Electromagn´ ´ etisme

Poynting(1852-1914) Maxwell (1831-1879) Laplace(1749-1827) 19 mars 2020

1 Induction ´electromagn´etique 2

1.1 Introduction : . . . 2

1.2 Le ph´enom`ene d’induction : . . . 2

1.2.1 Mise en ´evidence exp´erimentale des ph´enom`enes d’induction : . . . 2

1.2.2 Unicit´e des ph´enom`enes : . . . 3

1.2.3 Loi qualitative de Lenz (ou loi de mod´eration) :. . . 3

1.2.4 Loi de Faraday : . . . 3

1.3 Circuit fixe dans un champ magn´etique variable : (Induction de Neumann) . . . 3

1.3.1 Champ ´electromoteur de Neumann : . . . 3

1.3.2 Loi d’Ohm g´en´eralis´ee : . . . 3

1.4 Inductance propre, inductance mutuelle. Energie ´electromagn´etique : . . . 4

1.4.1 Inductance propre : . . . 4

1.4.2 Loi d’Ohm aux bornes d’une portion de circuit pr´esentant une inductance propre : . . 5

1.4.3 Energie magn´etique : . . . 5

1.4.4 Inductance mutuelle : . . . 6

1.4.5 Couplage magn´etique entre deux circuits : . . . 6

1.4.6 Transformateur monophase : . . . 8

1.5 Circuit mobile dans un champ magn´etique permanent : (Induction de Lorentz) . . . 9

1.5.1 Remarque pr´eliminaire : . . . 9

1.5.2 Changement de r´ef´erentiel : . . . 9

1.5.3 Champ ´electromoteur de Lorentz : . . . 9

1.5.4 Loi d’Ohm g´en´eralis´ee : . . . 10

1.5.5 Cas g´en´eral : . . . 11

1.6 Courants de Foucault : . . . 11

1.6.1 Origine des courants de Foucault : . . . 11

1.6.2 Effet de peau - Courants de Foucault : . . . 11

1.6.3 Caract´eristiques des Courants de Foucault : . . . 11

1.7 Applications : . . . 12

CHAPITRE 1

INDUCTION ´ ELECTROMAGN´ ETIQUE

1.1 Introduction :

Le ph´enom`ene d’induction ´electromagn´etique a ´et´e d´ecouvert en 1831 par Michael Faraday (1791-1867) :

”Il y a induction lorsqu’une tension et ou un courant apparaˆıt dans un circuit d´emuni de g´en´erateur.”

Ce ph´enom`ene est li´e `a l’´equation de Maxwell-Faraday en r´egime variable :−→

rot ~E =−^{∂ ~}_∂t^B qui fait apparaˆıtre une tension induite appel´ee f.e.m induite : e=¸ E.~ −→

dl 6= 0.

Remarque 1

• On travaillera dans l’A.R.Q.S ,

1.2 Le ph´ enom` ene d’induction :

1.2.1 Mise en ´evidence exp´erimentale des ph´enom`enes d’induction : a)- Exp´erience 1 : bobine mobile dans un champ magn´etique permanent : Description : Un circuit ferm´e est d´eplac´e `a proximit´e d’un

aimant immobile dans le r´ef´erentiel du laboratoire : il ap- paraˆıt un courant dans le circuit pendant le d´eplacement du circuit, et le sens de ce courant s’inverse avec le sens du d´eplacement du circuit. L’aimant peut ˆetre remplac´e par une bobine parcourue par un courant : l’important est ici de disposer d’un champ magn´etique permanent dans le r´e- f´erentiel du laboratoire.

Interpr´etation : Un circuit se d´epla¸cant dans un champ magn´etique permanent se comporte comme un g´en´erateur ´electrocin´etique : il est le si`ege d’un ph´enom`ene d’induction, appel´e induction de Lorentz.

b)- Exp´erience 2 : bobine fixe dans un champ magn´etique variable :

Description : Le circuit est maintenant immobile dans le r´ef´erentiel du laboratoire et c’est l’aimant que l’on d´eplace : les observations sont les mˆemes que dans l’exp´erience pr´ec´edente `a savoir qu’il apparaˆıt un courant dans le circuit pendant le d´eplacement de l’aimant et que le sens de ce courant s’inverse avec le sens du d´eplacement de l’aimant.

2

L’aimant peut ˆetre remplac´e par un circuit parcouru par un courant constant et d´eplac´e dans le r´ef´erentiel du labo- ratoire ou bien encore par un circuit fixe mais parcouru par un courant variable : l’important est ici de disposer d’un champ magn´etique variable dans le r´ef´erentiel du labora- toire.

Interpr´etation :Lorsqu’un circuit fixe est soumis `a un champ magn´etique variable, il se comporte comme un g´en´erateur ´electrocin´etique : il est le si`ege d’un ph´enom`ene d’induction, appel´e induction de Neumann.

1.2.2 Unicit´e des ph´enom`enes :

L’induction ´electromagn´etique est un ph´enom`ene unique : l’induction de Lorentz et l’induction de Neumann en sont deux facettes, qui d´ependent du point de vue de l’observateur.

1.2.3 Loi qualitative de Lenz (ou loi de mod´eration) :

”Le courant induit s’oppose toujors (par ses effets) aux causes qui lui ont donn´e naissance.”

1.2.4 Loi de Faraday :

Application 1 (Exercice 3. TD induction)

1.3 Circuit fixe dans un champ magn´ etique variable : (Induction de Neumann)

1.3.1 Champ ´electromoteur de Neumann :

Dans le cas de l’induction de Neumann, le champ magn´etique d´epend du temps et d’apr`es les ´equa- tions de Maxwell cette d´ependance temporelle de B~ induit une composante du champ ´electrique E~ :

1.3.2 Loi d’Ohm g´en´eralis´ee :

Une portion AB de circuit filiforme d’un conducteur ohmique v´erifie la loi d’Ohm

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Remarque 2

• Si on parle d’un circuit ferm´e : e_AB =R_ABI_AB

• Si on parle d’un circuit ouvert : U =VA−VB =−e_AB Application 2 Alternateur rudimentaire

Une bobine plate de N = 200 spires, d’aire S = 20cm², tourne avec une vitesse angulaire constante ω = 10rad.s⁻¹ entre les pˆoles d’un aimant en U, qui produit un champ B = 0,2T suppos´e uniforme et normal `a l’axe de rotation. La bobine dont les bornes sont reli´ees, poss`ede une r´esistanceR= 1Ω. Le champ qu’elle cr´ee est n´egligeable devant celui de l’aimant.

1. Calculer la f.e.m. d’induction induite par le mouvement de la bobine.

2. D´eterminer le moment Γ, par rapport `a l’axe qu’il faut exercer pour entretenir la rotation (on pourra proposer plusieurs m´ethodes).

1.4 Inductance propre, inductance mutuelle. Energie ´ electromagn´ etique :

1.4.1 Inductance propre :

Un circuit filiforme (C )parcouru par un courant d’intensit´e i cr´ee un champ magn´etique B~ que l’on qualifie depropre. Le fux Φp de ce champ propre `a travers le circuit qui l’a cr´e´e est appel´e leflux propre.

CommeB~ et donc Φ_p sont proportionnels `a i (loi de Biot Savart), le rapport Φ/ine d´epend plus du courant qui parcourt le circuit et constitue donc une caract´eristique intrins`eque de celui-ci ; on l’appelle l’inductance propre :

L= Φ/i= 1 i

¨

S

B.~ −→

dS (Henry)

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Remarque 3

• L’inductance propre L est une grandeur toujours po- sitive.

• L’inductance propre L d´epend de la g´eom´etrie du cir- cuit et des propri´et´es magn´etiques du milieu dans le- quel il est plong´e.

• Il n’est pas n´ecessaire qu’un circuit soit parcouru r´eellement par un courant pour calculer son induc- tance propre, il suffit d’imaginer l’existence d’un cou- rant i quelconque et calculer le flux propre correspon- dant.

Application 3

1. On consid`ere un sol´eno¨ıde de longueur l infinie comportant N spires r´eguli`eres, suppos´ees jointives, de section S.D´eterminer l’inductance propre L du sol´enoide.

2. On consid`ere un tore (de rayons interne a et externe b) de section rectangulaire (hauteur h) comportant N spires. D´eterminer l’inductance propre L du tore.

1.4.2 Loi d’Ohm aux bornes d’une portion de circuit pr´esentant une inductance propre :

La loi d’Ohm g´en´eralis´ee s’´ecrit : u_AB =Ri_AB−e_ABext−e_ABpropre

La f.e.m. d’auto inductione_ABpropre est donn´ee par la loi de Faraday : e_ABpropre =−dΦ_propre

dt =−d(Li) dt Si le circuit ne se d´eforme pas (bobine rigide) et si son in-

ductance propre ne d´epend pas du temps et : e_ABpropre =−Ld(i)

dt =⇒u_AB =Ri_AB−e_ABext+Ldi dt Dans le cas o`u il n’y a pas de ph´enom`ene d’induction ”ex- terne” (le champ magn´etique externe est nulle : B~ext=−→

0 ) on obtient ,

u_AB =Ri_AB+Ldi dt

1.4.3 Energie magn´etique : On consid`ere le montage suivant :

http://prepanouar.sup.fr Cours d’ ´Electromagn´etisme En n´egligeant la r´esistance interne r de la bobine, la loi des

mailles donne : eg =Ri+Ldi dt

En multipliant cette ´equation par i(t), on obtient le bilan de puissance :

egi

|{z}

puissance f ournie

= Ri²

|{z}

puissance dissipee

+ d

dt 1

2Li²

| {z }

puissance magnetique

avec Emag = 1

2Li² : Cette ´energie magn´etique est stock´ee dans le circuit d’auto-inductance L.

1.4.4 Inductance mutuelle :

Soient deux circuits orient´es rep´er´es par (1) et (2) tels que :

• Φ21 le flux du champ magn´etique B~2 `a travers le circuit (1) : Φ21=˜

S1

B~2.−→ dS1

• Φ₁₂ le flux du champ magn´etique B~₁ `a travers le circuit (2) : Φ₁₂=˜

S2

B~₁.−→ dS₂

Les champsB~1 etB~2 ´etant respectivement proportionnels aux courants i1 eti2, les flux de mutuelle induc- tance peuvent s’´ecrire :

Φ₂₁=M₂₁.i₂ et Φ₁₂=M₁₂.i₁

Nous admettrons que les deux coefficients M12 etM21 sont ´egaux et d´esignerons par inductance mutuelle M leur valeur commune : M₁₂=M₂₁=M

La dimension d’une inductance mutuelle est celle d’une inductance propre et M se mesure donc en Henry.

Remarque 4

• Comme l’inductance propre L, l’inductance mutuelle M d´epend de la g´eom´etrie des deux circuits et des propri´et´es magn´etiques du milieu dans lequel ils sont plong´es.

• Contrairement `a l’inductance propre L toujours positive, l’inductance mutuelle M est une grandeur alg´ebrique dont le signe d´epend de l’orientation des deux circuits.

1.4.5 Couplage magn´etique entre deux circuits : a)- Loi d’Ohm g´en´eralis´ee :

Si deux circuits sont en inductance mutuelle et en supposant qu’il n’y a pas d’autre source de champ magn´etique, les flux totaux `a travers chacune des deux bobines s’´ecrivent :

Φ₁ = Φ₁₁+ Φ₂₁=L₁i₁+M i₂ Φ2 = Φ22+ Φ12=L2i2+M i1

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D’o`u les f.e.m. induites :

Les ´equations ´electriques de chacune des deux branches sont coupl´ees par inductance mutuelle. En r´egime sinuso¨ıdal permanent `a la pulsation ω ces ´equations deviennent :

u1 = R1i1+jωL1i1+jωM i2

u2 = R2i2+jωL2i2+jωM i1

b)- Energie magn´etique :

Soient deux circuits en inductance mutuelle. On suppose qu’il n’y a pas d’autre source de champ ma- gn´etique. Recherchons l’´energie stock´ee sous forme magn´etique quand l’intensit´e du courant vauti₁ dans le circuit (1) et i2 dans le circuit (2) :

On proc`ede comme au paragraphe 3.4.3. ; un bilan d’´energie appliqu´e au syst`emeL1, R1;L2, R2 donne : une ´energie magn´etique d’un syst`eme de deux circuits coupl´es est, en l’absence d’autres sources de champ magn´etique :

c)- Nature de couplage - Coefficient de couplage :

l’´energie magn´etique stock´ee est une forme quadratique positive. En effet, en factorisant i²₂ dans l’ex- pression de l’´energie et en posantX = i1

i2

:

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soit |M|<p L1L2

On d´efinit lecoefficient de couplage k(magn´etique) de deux circuits par la quantit´e sans dimension : 0≤k= |M|

√L1L2

≤1

• k'0 :Couplage faible (Couplage lˆache).

• k'1 : Couplage id´eal (On dit que l’influence entre les deux circuits est total, c’est le cas de transformateur).

1.4.6 Transformateur monophase : a)- Pr´esentation :

Le transformateur permet d’adapter, selon les besoins, une tension alternative sinuso¨ıdale en l’´elevant ou en l’abaissant sans en modifier la fr´equence. Il comporte deux types de circuit, lecircuit magn´etique(milieu ferromagn´etique) et deux circuits ´electriques ind´ependants appel´escircuit primaireetcircuit secondaire.

b)- Relations g´en´erales d’un transformateur parfait :

Le transformateur est consid´er´e parfaitsi les pertes Joules(donc les r´esistances des enroulements pri- maire et secondaire) etles pertes magn´etiques sont n´eglig´ees, et d’autre part si son circuit magn´etique n’est pas satur´e et sans de fuites magn´etiques (le mˆeme flux traverse les deux enroulements). Son rendement est donc de 100%.

• Rapport de transformation : u1=−e₁ = dΦ1

dt =N1

dΦ

dt et u2=−e₂= dΦ2

dt =N2

dΦ dt

⇒ U₁ U₂ w N₁

N₂

avecU2etU1, tensions efficaces au primaire et au secondaire etN1 etN2, nombres de spires au primaire et au secondaire.

• Relation sur les courants :

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Il n’y a pas de fuite, Le flux est donc totalement contenu `a l’int´erieur du noyau.

Si on applique le th´eor`eme d’Amp`ere sur le contour par- couru par le flux Φc alors :

N1Ii1 +N2i2 w0 D’o`u,

U₁ U₂ w I₂

I₁ w N₁ N₂ Application 4 (Exercice 15. TD induction)

1.5 Circuit mobile dans un champ magn´ etique permanent : (Induction de Lorentz)

1.5.1 Remarque pr´eliminaire :

Dansl’exp´erience 2len d´epla¸cons un conducteur ferm´e sur un Amp`erm`etre dans un champ magn´etique permanent, nous constatons l’existence d’un courant induit(mˆeme ph´enom`ene d’induction).

Donc c’est une question de rep`ere li´ee li´e d’une part `a l’aimant (rep`ere (R)) et d’autre part au circuit (rep´ere (R’)).

On cherche la relation entre le champ EM permanet (E, ~~ B) li´e au rep`ere (R) et le champ EM (E~<sup>0</sup>, ~B<sup>0</sup>) li´e au rep`ere (R’)

1.5.2 Changement de r´ef´erentiel :

Soit~v la vitesse d’une particule de charge q (du circuit) dans un r´ef´erentiel (R) et soit~v⁰ sa vitesse dans un r´ef´erentiel (R’) anim´e de la vitesse~v_e par rapport `a (R).

~

v=~v⁰+~v_e

La force de Lorentz doit ˆetre identique dans les deux r´ef´erentiels (principe d’invariance de la force en m´eca- nique newtonienne), par cons´equent :

1.5.3 Champ ´electromoteur de Lorentz : D’apr`es la loi de Faraday dans (R ’) :

e=

˛ E~⁰.−→

dl =

˛ E.~ −→

dl +

˛

(~ve∧B~).−→ dl

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e=

˛

(−−−→

gradV).−→ dl

| {z }

=0

+

˛

(~ve∧B).~ −→ dl

La force ´electromotrice de Lorentz induite par le d´eplacement d’un circuit ´electrique dans un champ magn´e- tique permanent B~ est ´egale :

e= ˆ _B

A

E~_m.−→ dl =

ˆ _B

A

(~v_e∧B).~ −→

dl Ainsi, E~_m=~v_e∧B~ Application 5 (Exercice 7. TD induction)

1.5.4 Loi d’Ohm g´en´eralis´ee :

Une portion AB de circuit filiforme d’un conducteur ohmique v´erifie la loi d’Ohm

Montrons que :~j=~j⁰

• ~j : la densit´e volumique de courant dans (R)

• ~j⁰ : la densit´e volumique de courant dans (R’)

Une portion AB de circuit filiforme d’un conducteur ohmique qui se d´eplace avec une vitesse~v_e par rapport

`

a un rep`ere fixe (R) .

D’o`u la loi g´en´eralis´ee d’Ohm :

V_A−V_B =R_ABI_AB−e_AB Application 6 D´eplacement d’un cadre conducteur

On suppose que le champ magn´etique B~ =B−→e_z est uniforme et constant entre les plans (x = 0) et (x = d) , et nul ailleurs.

Un cadre conducteur carr´e, de cˆot´e a (a < d) , de r´esistance totale R et de cˆot´es parall`eles aux axes (Ox) et (Oy) , circule avec une vitesse constante ~v = v−→e_x. On d´esigne par X(t) l’abscisse du cˆot´e avant du cadre. D´eterminer en fonction de X le courant i et la force ´electromagn´etique −→

F r´esultante qui s’exerce sur le cadre :

1. en calculant le champ ´electromoteur ; 2. en utilisant la loi de Faraday ; 3. par un bilan ´energ´etique.

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1.5.5 Cas g´en´eral :

On admet que si les deux causes d’induction existent simultan´ement, il faut additionner leurs effets : e=

˛ (−∂ ~A

∂t +~v_e∧B~).−→ dl

1.6 Courants de Foucault :

Dans une pi`ece m´etallique ne pr´esentant pas n´ecessairement une g´eom´etrie filiforme, les courants induits qui apparaissent dansl’ensemble du volumedu conducteur sont alors appel´es lescourants de Foucault.

1.6.1 Origine des courants de Foucault :

Lorsqu’un conducteur (cuivre, fer, etc.) subit des variations de flux magn´etique soit parce que ce conduc- teur est en mouvement relatif par rapport au champ , soit parce que le champ est variable avec le temps il apparaˆıt une f.´e.m. d’induction au sein du conducteur. Cette f.´e.m. met en mouvement les ´electrons mobiles du conducteur cr´eant ainsi un courant ´electrique que l’on d´esigne par courant de Foucault.L’intensit´e du courant est proportionnelle `a la variation du flux magn´etique en fonction du temps.

1.6.2 Effet de peau - Courants de Foucault :

Soit une plaque conductrice d’´epaisseur e de conductivit´eγdans un champ magn´etique variableB~_ext(t)...

1.6.3 Caract´eristiques des Courants de Foucault :

Dans le cas d’un mouvement de translation de la pi`ece m´etallique comme le montre la figure ci-dessous.

Un courant i induit circule dans la pi`ece m´etallique seule en mouvement seulement lorsque celle-cifranchit les limites de la zone o`u se situe le champ B.~

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Lorsque la plaque est enti`erement dans la zone o`u se situe B~ tous ses ´el´ements horizontaux sont des

´

equipotentiels. Les lignes de courant ne peuvent se refermer par cons´equent on n’observe pas le ph´eno- m`ene de courant induit.

Remarque 5 L’avantage de ce type de freinage est qu’il ne comporte aucuneusure . Cela n’empˆeche que les freins `a courants de Foucault d´egagent de la chaleur `a cause de l’effet Joule.

1.7 Applications :

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