Les oscillateurs en ´electrocin´etique.

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Les oscillateurs en ´ electrocin´ etique.

P. Ribi`ere

Coll`ege Stanislas

Ann´ee Scolaire 2017/2018

P. Ribière (Collège Stanislas) Les oscillateurs en électrocinétique. Année Scolaire 2017/2018 1 / 30

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1 Introduction.

2 Les oscillateurs quasi sinuso¨ıdaux.

3 Les oscillateurs `a relaxation.

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Introduction.

Les oscillateurs en électrocinétique sont des circuits susceptibles de générer un signal de période stable, de caractéristiques spectrales choisies, à partir d’une alimentation continue (dans notre cas, l’alimentation±15 V de l’ALI), sans autre signal d’entrée.

L’int´erˆet des oscillateurs est diverse :

Réalisation de signaux de forme et période variable. (Traitement du signal, génération de fonction,...)

R´ealisation ”d’horloge” ´electronique.

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Les oscillateurs quasi sinuso¨ıdaux. Pr´esentation des oscillateurs quasi sinuso¨ıdaux.

Plan

1 Introduction.

Pr´esentation des oscillateurs quasi sinuso¨ıdaux.

Montage à résistance négative.

Circuit RLC associé au montage à résistance négative.

Etude des oscillations.

Structure des oscillateurs quasi-sinuso¨ıdaux.

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Les oscillateurs quasi sinuso¨ıdaux. Pr´esentation des oscillateurs quasi sinuso¨ıdaux.

Un oscillateur est dit quasi sinuso¨ıdal si le signal qu’il délivre est d’apparence sinuso¨ıdal bien que son analyse spectrale puisse révéler la présence d’autres harmoniques.

Nous étudierons un exemple d’oscillateur quasi sinuso¨ıdal : le montage à résistance négative.

L’autre exemple très classique est l’oscillateur à filtre de Wien, étudié en TD.

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Les oscillateurs quasi sinuso¨ıdaux. Montage à résistance négative.

Plan

1 Introduction.

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Figure–Montage à résistance négative.

Faisons l’hypothèse du régime linéaire (ALI idéal de gain infini).

V⁺=_R0^r+rus

V⁻=ue

ε= 0 donne_R0^r+rus=ue

Orue−R.ie=us. D’o`u

ue=−αrie

Rˆ ole du montage

L’imp´edance d’entr´ee du circuit est−αr. ue=−αri_e

Le montage simule une r´esistance n´egative.

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Figure–Montage à résistance négative.

V⁺=_R0^r+rus

V⁻=ue

ε= 0 donne _R0^r+rus=ue

Orue−R.ie =us. D’o`u

ue=−αrie

Rˆ ole du montage

L’imp´edance d’entr´ee du circuit est−αr. ue=−αri_e

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ue=−αrie

L’imp´edance d’entr´ee du circuit est−αr.

Ce mod`ele est valable tant que la tension de sortie n’atteint pas la valeur de saturationVsat. Pour la saturation haute

ue =R.ie+Vsat etimax=_R+α.r^V^sat

Tous ces éléments peuvent être résumé sur le graphique de la caractéristiqueue=f(ie) ci-contre

Figure–Graphique courant tension de la r´esistance n´egative.

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ue=−αrie

Ce mod`ele est valable tant que la tension de sortie n’atteint pas la valeur de saturationVsat.

Pour la saturation haute ue =R.ie+Vsat etimax=_R+α.r^V^sat

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ue=−αrie

ue=R.ie+Vsat etimax=_R+α.r^V^sat

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ue=−αrie

ue=R.ie+Vsat etimax=_R+α.r^V^sat

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Les oscillateurs quasi sinuso¨ıdaux. Circuit RLC associé au montage à résistance négative.

Plan

1 Introduction.

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Figure–Oscillateur à résistance négative.

L’´equation diff´erentielle devient : d²uc

dt² +R1−αr L

duc

dt + 1 LCuc= 0

Conditions d’oscillations : premi` ere approche.

Pour une valeurα=αc=^R_r¹, l’´equation diff´erentielle est celle d’un oscillateur harmonique.

Le système peut osciller sans signal d’entrée, à sa pulsation propreω0, les pertes dans la résistanceR1

sont compens´ees par l’apport d’´energie via l’alimentation de l’ALI.

(Facteur de qualit´e infini).

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dt² +R1−αr L

duc

dt + 1 LCuc= 0

Conditions d’oscillations : premi` ere approche.

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dt² +R1−αr L

duc

dt + 1 LCuc= 0

Conditions d’oscillations : premi` ere approche.

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Les oscillateurs quasi sinuso¨ıdaux. Etude des oscillations.

Plan

1 Introduction.

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Certes, les oscillations sont possibles. Mais il faut qu’elles soient amorc´ees.

Tant queuc(0⁻) = 0 eti(0⁻) = 0 les oscillations n’apparaissent pas, par continuit´e des grandeurs cit´ees.

L’amor¸cage des oscillations se fait sur un parasite, un bruit ´electronique pr´esent dans l’environnement.

Le bruit (blanc) contient, par définition même, toutes les harmoniques donc il en est une à la fréquence propref0du circuit.

Néanmoins, les oscillations ainsi créées sont d’amplitude très faible et doivent donc être amplifiées.

Conditions d’oscillations.

La condition d’oscillation précédemment énoncée doit être revue et réécriteααc. L’amplitude des oscillations croient donc jusqu’à ce que la saturation en tension de l’ALI soit atteinte.

Mais alors le montage à ALI cesse de se comporter comme une résistance négative. Et l’amplitude des oscillations décroˆıt.

Il est en effet possible de v´erifier que, dans le cas de la saturation,

ε=V+−V−=Vsat+R1.ie−_R0^r+r.Vsatau d´epart positif (saturation haute) d´ecroˆıt puisqueie

décroˆıt. Donc le système sort bien spontanément du régime saturé.

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Conditions d’oscillations.

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Conditions d’oscillations.

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Conditions d’oscillations.

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En conclusion,

Conditions d’oscillations : Bilan.

Les oscillations démarrent à partir de la composante spectrale du bruit à la fréquence de résonance du filtre passe bande.

La condition d’amplification doit ˆetreααc.

L’amplitude des oscillations est alors limitée par la saturation en tension de sortie de l’ALI, saturation qui ne dure pas car le système en sort spontanément.

N´eanmoins ce passage par la saturation fait que le signal n’est pas parfaitement sinuso¨ıdal. Il pr´esente des harmoniques, faibles mais visibles, dans le spectre de Fourier.

Figure–D´emarrage et limitation des oscillations d’un oscillateur quasi sinuso¨ıdal.

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Les oscillateurs quasi sinuso¨ıdaux. Structure des oscillateurs quasi-sinuso¨ıdaux.

Plan

1 Introduction.

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Les oscillateurs quasi sinuso¨ıdaux. Structure des oscillateurs quasi-sinuso¨ıdaux.

Structure d’un oscillateur quasi-sinuso¨ıdal.

Pour obtenir un oscillateur quasi sinuso¨ıdal, comme dans l’oscillateur à résistance négative ou l’oscillateur de Wien, trois éléments sont nécessaires

1 présence d’une double rétroaction sur l’entrée + et - de l’ALI.

2 un filtre passif passe bande.

(Étude en courant dans le RLC série, de fréquence de résonancef0, ou le filtre passe bande de Wien)

3 un montage amplificateur (`a ALI) pour compenser les ”pertes” dans le filtre passif.

Si ces trois conditions sont réunies, il est possible d’obtenir sous certaines conditions (choix judicieux des paramètres d’amplification) un signal quasi sinuso¨ıdal à la fréquence de résonance du filtre passe bande.

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Les oscillateurs à relaxation. Oscillateur à relaxation compact à un ALI.

Plan

1 Introduction.

Oscillateur `a relaxation compact `a un ALI.

Le multivibrateur astable.

Structure générale des oscillateurs à relaxation.

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Figure–Oscillateur `a relaxation `a un ALI.

(C’est la ”mauvaise” hypothèse et il ne faut la faire que si l’énoncé le demande explicitement.)

V⁺=

0 R1+^Vs_R

2 1 R1+_R¹

2

=_1+k^V^s V⁻=UC =^0.jCω+

Vs R

jCω+_R¹ =_1+jRCω^V^s ε= 0 donne _1+k^V^s =_1+jRCω^V^s SoitVs.(1 +jRCω) =Vs.(1 +k)

RC^dV_dt^s −kVS= 0 ´equation diff´erentielle instable. VS augmente et sature.

L’hypoth`ese n’est pas bonne.

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(C’est la ”mauvaise” hypothèse et il ne faut la faire que si l’énoncé le demande explicitement.)

V⁺=

0 R1+^Vs_R

2 1 R1+_R¹

2

=_1+k^V^s V⁻=UC =^0.jCω+

Vs R

jCω+_R¹ =_1+jRCω^V^s ε= 0 donne _1+k^V^s =_1+jRCω^V^s SoitVs.(1 +jRCω) =Vs.(1 +k)

RC^dV_dt^s −kVS= 0 ´equation diff´erentielle instable.

VS augmente et sature.

L’hypoth`ese n’est pas bonne.

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Faisons l’hypothèse du régime saturé.

Supposons donc la saturation haute :Vs= +Usat

Quelle est alors la condition surUC pour que cette hypothèse soit vérifiée ?

ε >0

V⁺=_1+k^V^s =^U_1+k^sat V⁻=Uc

DoncU_C <^U_1+k^sat

Reste `a trouver l’´equation deUC(t)

Par la loi des mailles :UC(t) +UR(t) =US=Usat

UC+RC^dU_dt^C =Usat

En supposant le condensateur d´echarg´e : UC(t) =Usat(1−exp(−t/τ))

D’o`uUsat(1−exp(−t/τ))<^U_1+k^sat t< τ.ln(^1+k_k )

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Supposons donc la saturation haute :Vs= +Usat

ε >0

V⁺=_1+k^V^s =^U_1+k^sat V⁻=Uc

DoncU_C <^U_1+k^sat

Par la loi des mailles :UC(t) +UR(t) =US=Usat

U_C+RC^dU_dt^C =Usat

En supposant le condensateur d´echarg´e : UC(t) =Usat(1−exp(−t/τ))

D’o`uUsat(1−exp(−t/τ))<^U_1+k^sat t< τ.ln(^1+k_k )

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Supposons donc le r´egime satur´e : Vs= +Usat

Quelle est alors la condition surUC pour que cette hypothèse soit vérifiée ?ε >0 UC< Û_1+k^sat

t< τ.ln(^1+k_k )

Figure–D´ebut des scillations `a relaxation.

(31)

Supposons la saturation passe :Vs=−Usat

ε <0

V⁺=_1+k^V^s =^−U_1+k^sat V⁻=Uc

DoncU_C >^−U_1+k^sat

Par la loi des mailles :UC+UR=US=−Usat

U_C+RC^dU_dt^C =−Usat

En supposant le condensateur `a−^U^sat

1+k `a t=0 : UC(t) =−Usat+^kU_1+k^satexp(−t/τ))

Le basculement se produit donc pour :

−Usat+^kU_1+k^satexp(−T/(2.τ))) =−^U_1+k^sat

Soit un temps (correspondant `a la demi p´eriode) :

T

2 =τ.ln(^2+k_k ) (le r´egime est ´etabli)

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Supposons la saturation basse :Vs=−Usat

Quelle est alors la condition surUC pour que cette hypothèse soit vérifiée ?ε <0 UC> ^−U_1+k^sat

T

2 =τ.ln(^2+k_k ) (le r´egime est ´etabli)

Figure–Oscillations `a relaxation.

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Les oscillateurs `a relaxation. Le multivibrateur astable.

Plan

1 Introduction.

(34)

Figure–Oscillateur `a relaxation `a deux ALI.

Supposons le r´egime satur´e, en saturation haute : Vs2= +Usat

DoncVs1=−_RC¹ R

Vedt=−_RC¹ R

Usatdt=−Û_RC^satt Hypothèse du condensateur déchargé.

Quelle est alors la condition surV+ 2pour que cette hypothèse soit vérifiée ?

ε2>0 soit V+ 2=

Vs1 R1 +^Vs_R

2 1 R1+_R¹

2

=^k.V^s_1+k¹^+U^sat =^−k.

Usat RC t+U_sat

1+k >0 Finalementt< ^RC_k .

(35)

DoncVs1=−_RC¹ R

Vedt=−_RC¹ R

ε2>0 soit V+ 2=

Vs1 R1 +^Vs_R

2 1 R1+_R¹

2

=^k.V^s_1+k¹^+U^sat =^−k.

Usat RC t+U_sat

(36)

DoncVs1=−_RC¹ R

Vedt=−_RC¹ R

ε2>0 soit V+ 2=

Vs1 R1 +^Vs_R

2 1 R1+_R¹

2

=^k.V^s_1+k¹^+U^sat =^−k.

Usat RC t+U_sat

(37)

Supposons le r´egime satur´e, en saturation haute :Vs2= +Usat

DoncVs1=−_RC¹ R Vedt=

−_RC¹ R

Usatdt=−^U_RC^satt

Hypothèse du condensateur déchargé.

Quelle est alors la condition surV+ 2 pour que cette hypothèse soit vérifiée ? V+ 2= ^−k.

Usat RC t+Usat

1+k >0 Finalementt<^RC_k .

Figure–D´ebut des oscillations `a relaxation.

(38)

Supposons donc le r´egime satur´e, en saturation basse :Vs2=−Usat

Donc Vs1=− ¹

RC

RVedt=_RC¹ R

Usatdt=Û_RC^satt−Û^sat Par continuité dans le condensateur . k

ε2<0 soit V+ 2=

Vs1 R1 +^Vs_R

1 2 R1+_R¹

2

=^k.V^s_1+k¹^−U^sat =^−k.

Usat RC t−2U_sat

1+k >0 Finalementt<2.^RC_k

Donc^T₂ = 2.^RC_k .

(39)

Supposons donc le r´egime satur´e, en saturation basse :Vs2=−Usat

Donc Vs1=− ¹

RC

RVedt=_RC¹ R

Usatdt=Û_RC^satt−Û^sat Par continuité dans le condensateur . k

Quelle est alors la condition surV+ 2 pour que cette hypothèse soit vérifiée ?

V+ 2= ^−k.

Usat RC t−2U_sat

1+k >0 Finalementt<2.^RC_k Donc ^T₂ = 2.^RC_k .

Figure–D´ebut des oscillations `a relaxation.

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Figure–Oscillateur à relaxation à deux ALI, dissymétrique.

Figure–Oscillations à relaxation disymétrisée. Le rapport cycliqueαest tel queVs2soit positive surt∈[0, αT] et négatif sur le reste de la période (pour un signal symétriqueα= 0,5 ).

Ici le rapport cyclique estα= _R+R^R 0

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Figure–Oscillateur à relaxation à deux ALI, dissymétrique.

Figure–Oscillations à relaxation disymétrisée.

Le rapport cycliqueαest tel queVs2soit positive surt∈[0, αT] et négatif sur le reste de la période (pour un signal symétriqueα= 0,5 ).

Ici le rapport cyclique estα= _R+R^R 0

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Les oscillateurs à relaxation. Structure générale des oscillateurs à relaxation.

Plan

1 Introduction.

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Structure d’un oscillateur quasi-sinuso¨ıdal.

Un oscillateur à relaxation est donc un oscillateur qui bascule entre deux états, sans jamais parvenir à sa stabiliser dans l’un.

Il pr´esente deux composantes :

1 un comparateur à hystérésis (2 états de saturation).

2 un intégrateur qui va forcer le basculement de l’ALI d’un état à l’autre.

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1 Introduction.