Distributions en ˆ age persistantes et approch´ees d’une EDP

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Ecole Polytechnique´ MAP 431 - Mini-Projet (2012)

Distributions en ˆ age persistantes et approch´ees d’une EDP

Sujet propos´e par Xavier Dupuis xavier.dupuis@cmap.polytechnique.fr

Introduction

Dans de nombreux modèles en économie, biologie,. . . , il peut être intéressant de considérer qu’au sein d’une population globale, les différents individus n’ont pas tous les mêmes paramètres d’évolution, ceux-ci dépendant d’un trait défini pour chaque individu. On parle de populations structurées. On peut aussi ima- giner que ce trait évolue au cours de la vie de l’individu. Il peut s’agir par exemple de la taille, de l’âge, d’un degré de maturité,. . . Parmi ces exemples, c’est la stucture en âge qui est la plus simple à étudier puisque l’âge augmente linéairement avec le temps. C’est donc une EDP structurée en âge à laquelle on s’intéresse dans ce mini-projet. Cette équation apparaˆıt particulièrement en

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epidémiologie, en démographie, ou encore dans des modèles du cycle de division cellulaire.

1 Un mod` ele avec structure en ˆ age

Les donn´ees sont un ˆage maximala^∗ ainsi qu’un triplet de fonctionsµ, β, φ.

Les variables sont l’âge a et le temps t. L’inconnue est la densité d’individus d’âgeaà l’instantt, que l’on noteρ(a, t).

La dynamique est donn´ee par l’´equation suivante :

(1) ∂ρ

∂a(a, t) +∂ρ

∂t(a, t) +µ(a)ρ(a, t) = 0, 0< a < a^∗, 0< t.

Les naissances sont donn´ees par la condition de renouvellement suivante :

(2) ρ(0, t) =

Z a^∗

0

β(a)ρ(a, t)da, 0< t.

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1) Interpréter biologiquement les fonctionsµetβ. Justifier en particulier le fait que les données µ, β, φdoivent être positives.

On suppose de plus que

µ∈C⁰([0, a^∗)), β∈C¹([0, a^∗]), φ∈C¹([0, a^∗]).

2) En utilisant la m´ethode des caract´eristiques, montrer qu’une solutionρ de (1)-(3)de classeC¹ satisfait :

ρ(a, t) =ρ(0, t−a)e⁻^R⁰â^µ(α)dα poura≤t, ρ(a, t) =φ(a−t)e⁻^Râ−tâ ^µ(α)dα pourt < a.

3) Justifier que l’on fasse une derni`ere hypoth`ese surµ: Z a^∗

0

µ(α)dα= +∞

On note pour la suite P(t) :=

Z a^∗

0

ρ(a, t)da B(t) :=ρ(0, t),

π(a) :=e⁻^R⁰^a^µ(α)dα (π(a^∗) = 0).

4) Interpr´eter ces quantit´es.

5) Etablir l’´´ equation intégrale de renouvellement vérifiée parB : (4) B(t) =ψ(t) +

Z t

0

β(a)π(a)B(t−a)da pourt≤a^∗, oùψ est une fonction (ne dépendant ni deρni deB) à déterminer.

6) Montrer que réciproquement, on peut construire une solution du modèle (1)-(3) à partir d’une solutionC¹de l’équation de renouvellement (4).

Les questions d’existence de cette dernière équation peuvent se traiter par théorème de point fixe ou par transformation de Laplace. On ne s’y intéressera pas dans le cas général.

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2 Distributions persistantes

On cherche dans cette partie des solutions sous une forme particulière. L’idée est de découpler la tendance de croissance (positive ou négative) dans le temps d’un côté, et la distribution en âge de l’autre. Un des intérêts de cette approche est de garantir l’existence d’une solution dans le cas où la distribution initiale est adaptée, comme on le verra à la fin de cette partie. On appelle donc (stable age distribution, oudistribution en âge persistante) toute solution de notre modèle de la forme :

ρ(a, t) =A(a)T(t), avec Z a^∗

0

A(a)da= 1.

7) Que repr´esenteT(t) ?A(a) ?

8) Supposons qu’il existe une telle solution,C¹et strictement positive. Établir alors deux équations différentielles ordinaires non couplées sur T et A, puis les résoudre.

La condition de renouvellement (2) s’´ecrit dans ce cas : (5)

Z a^∗

0

β(a)π(a)e^−p⁰^ada= 1,

oùp0est naturellement apparu dans les deux équations différentielles précédentes.

On appelle ´equation de Lotka-Sharpe pourp0 l’´equation (5).

9) Etablir l’´´ equation de Lotka-Sharpe.

10) En étudiant l’intégrale à paramètrep7→Ra^∗

0 β(a)π(a)e^−pada, montrer que l’´equation de Lotka-Sharpe (5) admet une unique solutionp₀∈R.

Proposition 1. Soient :

µ∈C⁰([0, a^∗)), µ≥0, Ra^∗

0 µ= +∞, β∈C¹([0, a^∗]), β≥0,

φ(0)∈R, φ(0)≥0.

Alors il existe un unique couple (φ, ρ)∈ C¹([0, a^∗])×C¹([0, a^∗]×R+) tel que ρ est une solution de la forme ’distribution persistante’ du syst`eme (1)-(3), strictement positive, avecφcomme condition initiale. On appelleφla condition initiale adapt´ee.

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3 Distributions approch´ ees

Dans cette dernière partie, on s’intéresse à des solutions approchées, que l’on calculera numériquement.

On fixe un temps finalTet on considère notre problème (1)-(3) sur le rectangle 0≤a≤a^∗, 0≤t≤T. On discrétise l’âge et le temps avec le même pas constant h:

h= a^∗ M = T

N, M, N∈N, et on note ρⁿ_j notre approximation deρ(a_j, t_n) :=ρ(jh, nh).

On utilise pour l’´equation de transport (1) le sch´ema suivant : (6) ρⁿ_j −ρⁿ⁻¹_j−1

h +µjρⁿ_j = 0 j, n≥1,

et pour la condition de renouvellement (2) la somme de Riemann suivante :

(7) ρⁿ₀ =

M−1

X

j=0

βjρⁿ_jh n≥1 .

On complète le schéma par une discrétisation de la condition initiale (3) :

(8) ρ⁰_j =φj j ≥0 .

12) Montrer que le schéma (6) est précis à l’ordre 1 (considérer ρle long des caractéristiques).

13) Donner la condition surhimpos´ee par (7).

On veillera `a ce que cette condition soit bien satisfaite pour les impl´ementations

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a venir. Pour les simulations, on choisit : a^∗= 1, T = 3, µ(a) = 1

1−a,

β(a) =β >0 une constante que l’on fera varier, φ(a) =

(1−2a)³(1−a) a∈[0,¹₂] (2a−1)³(1−a) a∈[¹₂,1] . β = 2

14) Ecrire un code en Scilab impl´´ ementant le sch´ema (6)-(8).

15) Montrer que la solution de l’´equation de Lotka-Sharpe (5) estp0= 0.

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16) Calculer ˜φ(0) tel que la condition initiale ˜φadapt´ee (au sens de la proposition 1) `a (µ, β,φ(0)) v´˜ erifie :

Z a∗

0

φ= Z a∗

0

φ.˜

On note ˜ρla solution de la forme ’distribution persistante’ associ´ee.

17) Tracer sur des mêmes graphes la solution du schéma (pour la condition initialeφ) et ˜ρ, en fonction de l’âge pourt= 0,1,2,3.

β = 6

18) Adapter le code pr´ec´edent.

19) Montrer que résoudre l’équation de Lotka-Sharpe (5) revient à résoudre : (9) 6(e^−p−1 +p) =p² pour p >0 .

20) Ecrire un code en Scilab bas´´ e sur l’algorithme de Newton pour trouver une solution de (9) `a 0.01 pr`es.

21) Calculer ˜φ(0) dans le mˆeme but que la question 16). On note encore ˜ρla solution de la forme ’distribution persistante’ associ´ee.

22) Tracer sur des mêmes graphes la solution du schéma (pour la condition initialeφ) et ˜ρ, en fonction de l’âge pourt= 0,1,2,3.

β = 1

23) Reprendre les questions 18) `a 22) pourβ = 1.