• La probabilité de l’événement est cette

Théorie des probabilités

• Un phénomène aléatoire est un phénomène qui ne donne pas toujours le même résultat (exemples: loterie, rendement des actions)

• Un événement aléatoire est un phénomène dont la fréquence relative de réalisation

approche une limite stable lorsque n ∞ ∞ ∞ ∞

• La probabilité de l’événement est cette

valeur limite (ex. pile ou face: p=0.5)

FREQUENCE DES TIRAGES DU SWISSLOTTO FREQUENCE DES TIRAGES DU SWISSLOTTO

1/1986-68/2007 7/45=0.1555…

FREQUENCES DES TIRAGES DU SWISSLOTTO 1/1986-68/2007

7/45=0.1555…

0 500 1000 1500 0.10

0.15 0.20

tirages

FREQ.

FREQUENCE DU NUMERO 4

fréquence théorique

fréquence empirique

(‘000)

Théorie des probabilités

• Les événements:

• Événement certain = espace d’échantillonnage (description de tous les résultats possibles): S

• Soit un événement E. Son complément est le cas ou E n’arrive pas

• L’intersection de deux événements E et F est le cas où les deux arrivent en même temps

• La réunion des deux événements E et F est le

cas où E ou F ou les deux arrivent

Description des événements

• Le sous-événement: E est un sous-événement de F si lorsque E arrive, F arrive aussi

• Deux événements sont mutuellement exclusifs s’ils ne peuvent pas arriver en même temps

• Un événement est impossible s’il ne peut pas se produire

• Un événement est certain s’il arrive toujours

E et son complément

• Diagramme de Venn

E E

S

L’intersection

• Les deux événement arrivent en même temps

F E∩

E ^F

F

E ∩

La réunion

• E ou F ou les deux arrivent

E

F E ∪

F

Le sous-événement

• Si E arrive, F arrive aussi:

E F E

F

E ⊂

Evénements mutuellement exclusifs

• Ne peuvent pas arriver en même temps:

E ^F

O F

E ∩ =

E

Théorie axiomatique

• Axiomes:

• 1) P(E) ≥ 0

• 2) P(S)=1

• 3) P(E U F)= P(E) + P(F) si E et F sont deux événements mutuellement exclusifs

• Théorème de l’addition des probabilités:

• P(E U F) = P(E)+ P(F) – P(E ∩ F)

) (

)

( F E F E

F = ∩ ∪ ∩

) (

) (

)

( F P F E P F E

P = ∩ + ∩

) (

) (

)

( F E P F P F E

P ∩ = − ∩

)

( F E

E F

E ∪ = ∪ ∩

) (

) (

)

( E F P E P F E

P ∪ = + ∩

) (

) (

) (

)

( E F P E P F P E F

P ∪ = + − ∩

E F ∩

E F

Exemple

• Phénomène aléatoire: on jette un dé et on s’intéresse au chiffre qui sort.

• S={1,2,3,4,5,6} ; E={1,2,3} ; F={2,4,6}

• Le complément de E est E={4,5,6}

• E est un sous-événement de S:

• Intersection:

• Réunion:

• P(S)=P({1})+P{2}+ . . .+ P{6}=1 P{i}=1/6

S E ⊂

) (

) ( )

( )

(E F P E P F P E F

P ∪ = + − ∩

6 5 6

1 6

3 6

) 3

(E ∪ F = + − = P

{ ^{1 , 2 , 3 , 4 , 6} }

=

∪ F E

{ } ²

=

∩ F

E

Exemple

• Quelle est la probabilité que le 13

jour d’un mois soit un vendredi (le fameux vendredi 13):

• Premier modèle S={LU,MA,ME,JE,VE,SA,DI}

• Evénement également probables: la probabilité est alors 0.14286=1/7

• Deuxième modèle: le calendrier a une périodi- cité de 400 ans. Si l’on examine les 12 x 400 = 4800 jours on trouve 688 vendredi. La

probabilité est alors 0.14333=688/4800

• On trouve 684 jeudi et 687 dimanche

Analyse combinatoire

• Soient les trois lettres A, B, C. Calculer toutes les permutations et toutes les combinaisons de deux lettres (sans répétitions):

• permutations combinaisons

• A B

• B A A B

• A C

• C A A C

• B C

• C B B C

• 3 x 2 = 6 3=6/2

Permutations

• n éléments tirés d’une population de M (n≤M)

• Permutations (l’ordre compte: AB ≠ BA):

• a) sans répétition (tirage exhaustif: sans remise):

• !=factorielle ; M!=1 x 2 x 3 x … x M (!0=1)

• b) avec répétition (tirage non exhaustif: avec remise):

[ ] ( )!

) ! 1 (

...

) 2 (

) 1

( M n

n M M

M M

M × − × − × × − − = −

M n

Cas spécial

• Lorsque n=M et des éléments sont identiques, le

nombre de permutations sans répétition n’est pas M!

mais:

• où k₁,k₂,…,k_s sont les nombres d’éléments identiques

• Exemple: atterrir (M=8 et 3r, 2 t)

!

!...

!

!

2

1

k k

k

M

! 3360 2

! 3

!

8 =

Exemple

• Dix chevaux participent à une course. En supposant que tous les chevaux ont la même probabilité

d’arriver dans des ordres différents, quelle est la

probabilité qu’un joueur qui choisit au hasard trouve les noms et le bon ordre d’arrivée des trois premiers?

• Permutations avec M=10 et n=3:

720 720 1

10 9

)! 8 3 10

(

!

10 = × × = ⇒ =

− P

Exemple

• a) Calculer toutes les permutations possibles des jours d’anniversaire de n personnes

• b) Calculer la probabilité que n personnes n’aient pas le même jour d’anniversaire

• a) 365ⁿ . Si n=2 on trouve 133225

• b)

• Si n=2 P=0.997

• Si n=40 P=0.109

• Si n=64 P=0.003

n

P n

365

)!

365 (

! 365

= −

Combinaisons

• n éléments tirés d’une population de M

• Combinaison (l’ordre ne compte pas: AB=BA)

• a) sans répétition (tirage exhaustif: sans remise):

• b) avec répétition (tirage non exhaustif: avec remise):

( ) ^{n M + n − 1}

( )

n n

M

M =

− )! ! (

!

Commande TI-83/84

Taper la valeur de M (n pour la TI)

• Aller dans MATH/PRB et choisir 2:nPr pour les permutations

• Taper la valeur de n (r pour la TI)

• En pressant ENTER vous obtenez le nombre de permutations

• Aller dans MATH/PRB et choisir 3:nCr pour les combinaisons

• Taper le valeur de n (r pour la TI)

• En pressant ENTER vous obtenez le nombre

de combinaisons

Commandes MINITAB et EXCEL

• Pour MINITAB, mettre la valeur de M dans C1 et celle de N dans C2. Aller dans la fenêtre

Session et tapez %PERMUT C1-C2 pour les permutations et %COMBIN C1-C2 pour les combinaisons. Ces programmes ne font pas partie des programmes standard de MINITAB.

• Pour EXCEL, chercher Permutation dans les fonctions statistiques ou Combin dans le

groupe math. Vous pouvez aussi taper, dans

une cellule, par exemple :=Permutation(45,7)

pour les permutations et :=Combin(45,7) pour

les combinaisons.

Exemple

• Quelle est la probabilité de gagner le premier prix en jouant:

• au Swisslotto (6 numéros sur 45)

• à l’euro-million (5 numéros sur 50 + 2 étoiles sur 9)

• 1 sur

( )

^{1 = 8 ' 145 1 ' 060}

( ) ( )

^×

^{= 76 ' 275 ' 360}

Théorème du binôme

• Les combinaisons sont utilisées dans le théorème du binôme:

• Si M=2 on a: b² + 2 ab + a²

• Si a=b=1 on a le nombre de tous les échantillons

( )

∑

=

+

n

n M n

M n

M

a b

b a

0

) (

( )

∑ =

= ^M

n

M n M

0

2

Probabilité conditionnelle

• Probabilité que B arrive étant donné que A est arrivé

A _B

A

) (

) ) (

/

( P A

B A

A P B

P = ∩

Théorème de multiplication

• Multiplication des probabilités:

• P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A)

• Evénements indépendants: deux événements sont statistiquement indépendants si

• P(B/A)=P(B)

• Dans ce cas on a:

• P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

Exemple

• On jette un dé. Soit A un nombre pair et B un nombre supérieur à 2. A et B sont-ils indépendants?

• 1 2 4 6 3 5

• A={2,4,6} ; B={3,4,5,6} ;

• A et B sont statistiquement indépendants

} 6 , 4

= {

∩ B A

) 3 (

2 6

/ 3

6 / 2 )

(

) ) (

/

( P B

A P

B A

A P B

P = ∩ = = =

Exemple

• On jette un dé. Soit A un nombre pair et B un nombre supérieur à 3. A et B sont-ils indépendants?

• 1 3 2 4 6 5

• A={2,4,6} ; B={4,5,6} ;

• A et B sont statistiquement dépendants

} 6 , 4

= {

∩ B A

) 3 (

2 6

/ 3

6 / 2 )

(

) ) (

/

( P B

A P

B A

A P B

P = ∩ = = ≠

Arbre de probabilité

• Hommes(H) Femmes(F) Total

• Suisses (CH) 200 300 500

• Etrangers (E) 900 600 1500

• Total 1100 900 2000

• 0.4

• 0.6

• 0.25

• 0.6

• 0.75

• 0.4

• Total 1.00

10 . 0 )

( CH ∩ H = P

15 .

0 )

( CH ∩ F = P

45 .

0 )

( E ∩ H = P

30 .

0 )

( E ∩ F = P

CH

E

H

F H

F

probabilité conditionnelle probabilité jointe

Formule de Bayes

P(B)=P(B∩C₁)+P(B∩C₂)=P(B/C₁)xP(C₁)+P(B/C₂)xP(C₂)

1 C

C

C

) (

) /

( )

( ) /

(

) (

) /

( )

(

) ) (

/ (

2 2

1 1

1 1

1

1

P B C P C P B C P C

C P C

B P B

P

C B

B P C

P = ∩ = +

B

Formule de Bayes

•

) (

) /

( )

( ) /

(

) (

) /

) ( / (

2 2

1 1

1 1

1 P B C P C P B C P C

C P C

B B P

C

P = +

Probabilité a priori Probabilité conditionnelle

Probabilité a posteriori

Exemple

• On vient de développer un test qui permet de

détecter dans le sang une maladie très rare (1 cas sur 10000). Le test est fiable à 90% (10% de faux négatifs) et, d’autre part, dans 1 cas sur 1000 il

donne un résultat faux (0.1 % de faux positifs). Si le test est positif (TP), quelle est la probabilité que la personne ait cette maladie (M)?

) (

) /

( )

( ) /

(

) (

) /

) ( /

( P TP M P M P TP M P M

M P

M TP

TP P M

P = +

0826 .

9999 0 .

0 001

. 0 0001

. 0 9

. 0

0001 .

0 9

. ) 0

/

( =

× +

×

= × TP

M

P

• Bière Vin Total Cantine I 400 200 600 cantine II 300 100 400 Total 700 300 1000

•

• E.N. A priori Conditionnelle Jointe A posteriori . bière vin bière vin bière vin C.I 0.6 2/3 1/3 0.4 0.2 4/7 2/3 C.II 0.4 3/4 1/4 0.3 0.1 3/7 1/3 1.0 0.7 0.3 1.0 1.0

Etat de la nature

Probabilité a priori (1)

Probabilité conditionnelle (2)

(1)x(2)=Probabilité jointe (3)

(3)/Σ(3)=Probabilité a posteriori

numérateur

dénominateur

Commande TI-83/84

• Introduire les probabilités a priori dans L1 et les probabilités conditionnelles dans L2 en utilisant la commande STAT / EDIT.

• Aller dans PRGM et choisir BAYES

• En pressant ENTER vous obtenez les

probabilités jointes dans L3 et les probabilités a posteriori dans L4

• Ce programme ne fait pas partie des

programmes standard de la TI. Vous devez le

télécharger (voir page web du cours)

Probabilités subjectives

• La formule de Bayes permet de tenir compte à la fois des probabilités subjectives et des données objectives tirées de l’observation de phénomènes similaires. Les probabilités

subjectives sont les probabilités a priori et les données tirées des observations sont les

probabilités conditionnelles.

• On parle alors de méthodes bayesiennes.

Exemple avec méthodes classiques

0.6

0.75 0.871 (27/31)

Exemples de probabilités subjectives

• 1) Rapport du Rectorat de l’Université de Lausanne sur l’évolution du système

universitaire suisse (1.10.2001):

• Statu quo: 25%

• Universités fédérales: 20%

• Regroupement: 50%

• Universités concordataires: 5%

• Disparition: 0%

• 2) Alain Greenspan: 50% de probabilité de

récession

Distributions de probabilité

• Lorsqu’une expérience est répétée

plusieurs fois, on obtient une distribution des différents résultats.

• Exemple: on jette 4 pièces de monnaie et on compte le nombre de « pile » obtenu.

• L’expérience est répétée 2000 fois. La

distribution de « pile » (de 0 à 4) peut être

comparée avec des valeurs théoriques.

EMPIRIQUE THEORIQUE

0 1 2 3 4

100 200 300 400 500 600 700 800

NOMBRE DE PILE PAR JET

Somme de PILE

2000 JETS DE 4 PIECES DE MONNAIE

•

EMPIRIQUE THEORIQUE

0 1 2 3 4

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

NOMBRE DE 6 PAR JET

Somme de 6

2000 JETS DE 4 DEdés

Modèle théorique

• 4 jets. Nombre de « pile » (P=pile, F=face)

• 0: FFFF (1 cas)

• 1: PFFF FPFF FFPF FFFP (4)

• 2: PPFF PFPF PFFP FPPF FFPP FPFP (6)

• 3: PPPF PPFP PFPP FPPP (4)

• 4: PPPP (1)

• Fréquence théorique:

• 0: 1/16 ; 1: 4/16 ; 2: 6/16 ; 3: 4/16 ; 4: 1/16

Moyenne théorique

• Nombre moyen de « pile »:

• p(x)= probabilité d’obtenir x « pile »

16 2

1 4

4 3

6 2

4 1

1

0 × + × + × + × + × =

µ =

16 4 1

16 3 4

16 2 6

16 1 4

16

0 × 1 + × + × + × + ×

µ =

∑

=

( )

x

xp x

µ

Variance théorique

• Variance du nombre de « pile »:

16 1

) 2 4

( )

2 3

( 4 )

2 2

( 6 )

2 1

( 4 )

2 0

( ^{2 2 2 2 2}

2 = − + − + − + − + − =

σ

2 2

2

2

( 2 2 )

16 ) 6

2 1

16 ( ) 4

2 0

16 (

1 − + − + −

σ =

∑

⁻

=

− +

−

+

( 4 2 )

( )( )

16

) 1 2 3

16 ( 4

x

p x x µ

Variable aléatoire

• Fonction définie sur le résultat d’un phénomène aléatoire. Elle définit un nouvel espace d’échan- tillonnage. Ex: on jette 2 dés. x=nombre de 4

• 11 12 13 14 15 16 x p(x)

• 21 22 23 24 25 26 0 25/36

• 31 32 33 34 35 36 1 10/36

• 41 42 43 44 45 46 2 1/36

• 51 52 53 54 55 56

• 61 62 63 64 65 66 P{44}=1/36

Distribution binomiale

• Soit x le nombre de « pile » et n le nombre de pièces de monnaie. Le nombre de cas avec x

« pile » est:

• La probabilité de x « pile » est alors:

• où p est la probabilité de « pile » (1/2)

( )

x n

x

n =

− )!

(

!

!

( ) ^{n x p x p n x}

x

P ( ) = ( 1 − ) ⁻

Moyenne et variance

• La moyenne de la distribution binomiale est:

• et la variance:

• (q=1-p)

( )

∑ ^{− =}

= x

p

( 1 p )

np

µ

( )

∑ ^{− − =}

= x

p

p

npq

2

( 1 ) µ

σ

Fonction de probabilité discrète P(x)

• Conditions:

• 1) 0 ≤ P(x) ≤ 1

• 2) Σ P(x) = 1

• Exemple: distribution binomiale

• TI83: P(x=s)=binompdf(n,p,s)

• Fonction de répartition:

• TI83: P(x ≤ s)=binomcdf(n,p,s)

∑

=

≤

x

x P

s x

P

0

) (

)

(

0 1 2 3 4 0.1

0.2 0.3 0.4

pile

Somme de C2

DISTRIBUTION BINOMIALE, n=4, p=0.5

0 1 2 3 4 0.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

pile

Somme cumulé de C2

FONCTION DE REPARTITION, DIST. BINOMIALE, n=4, p=0.5

Commande TI-83/84

Ex: calcul de b(x=31,n=80,p=0.4)

• Presser la touche DISTR (2nd Vars)

• Déplacer le curseur jusqu’à 0:binompdf( ou taper 0). Presser ENTER

• Taper 80,0.4,31) (c’est-à-dire n,p,x)

• En pressant ENTER vous obtenez la probabilité de 31 succès

• P(x=31)=0.08889

• Pdf= Probability Density Function (fonction de

probabilité)

Commande TI-83/84

• Fonction de répartition: P(x≤y)=∑

P(x)

• Calcul de P(x≤31)=∑b(x,80,0.4)=∑

P(x)

• Presser la touche DISTR (2nd Vars)

• Déplacer le curseur jusqu’à A:binomcdf( ou taper A)

• Taper 80,0.4,31) (c’est-à-dire n,p,y)

• En pressant la touche ENTER vous obtenez la probabilité P(x≤31)=0.457621

• CDF=Cumulative Distribution Function

(fonction de répartition)

Commandes MINITAB et EXCEL

• Pour MINITAB, mettre la valeur de x (ex. 31) dans la colonne C1

• Aller dans Calc / Lois de probabilité / Binomiale

• Cocher Probabilité (ou Probabilité cumulée)

• Mettre le nombre d’essais (ex. n=80) et la probabilité de succès (ex. p=0.4)

• Sélectionner la colonne d’entrée

En cliquant sur OK vous obtenez P(x) [ou P(x≤31)]

• Dans EXCEL, choisir parmi les formules statistiques Loi.Binomiale. Introduire x et p

• Choisir faux dans cumulative pour P(x) et vrai pour P(x≤31) (fonction de répartition)

Applications

• La distribution binomiale s’applique à tous les phénomènes aléatoires avec deux cas

possibles (« succès » ou « échec »). Lorsqu’il y a n épreuves et des événements

statistiquement indépendants, la probabilité de x succès est donnée par la distribution

binomiale.

• Exemples: pile ou face, pièce conforme ou

défectueuse, garçon ou fille, achat ou pas,

acceptation ou refus, etc.

EMPIRIQUE THEORIQUE

0 1 2 3

0 100 200

FILLES

Dénombrement de FILLES

NOMBRE DE FILLES DANS 505 FAMILLES AVEC 3 ENFANTS

Données tirées de l’enquête sur la consommation de 10176 ménages

Distribution continue f(x)

• La fonction f(x) ne peut pas donner la probabilité la probabilité est donnée par la surface sous la courbe qui représente la distribution

• Condition:

• 1) f(x) ≥ 0

• 2)

∫

∞

−

dx x

f

∫

=

≤

≤

1

) (

)

(

x

x

dx x

f x

x x

P

Exemple

• Le nombre de jours entre un accident rare et le suivant est décrit par la densité de probabilité:

• Calculer:

0

002

. 0 )

( x = e

pour x ≥

f

582 .

0 002

. 0 )

30 ( )

30 (

30

0

30 0 002 . 0 002

.

0 = − =

=

=

≤ ^F

∫

x P

384 .

0 002

. 0 )

30 10

( ³⁰

10 002

. 0 30

10

002 .

0 = − =

=

≤

≤ ^x

∫

P

-e^-0.06+e^-0.02

Distribution normale

• Lorsqu’un phénomène subit l’influence de

nombreux effets, petits et indépendants, il suit une distribution normale

• µ=moyenne ; σ = écart-type

2

5 . 0

2 ) 1

(

 

 



 −

= − ^σ

µ

π σ

x

e x

f

•

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

C1

C2

DISTRIBUTION NORMALE

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0.0

0.1 0.2 0.3 0.4

z

f(z)

DISTRIBUTION NORMALE [N(0,1)]

95%

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0.0

0.1 0.2 0.3 0.4

z

f(z)

DISTRIBUTION NORMALE [N(0,1)]

99%

•

Moyenne=médiane=mode

Moyenne et variance

• La distribution normale dépend de deux

paramètres, la moyenne (µ) et la variance (σ²).

• Pour utiliser les tables de la distribution normale, il faut standardiser les valeurs.

• La variable normale standardisée est:

• Sa distribution a une moyenne nulle et un écart- type égal à 1.

σ

µ

= x −

z

•

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

C1

C2

MOYENNE DIFFERENTE (0 ET 3)

•

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

C1

C2

ECART-TYPE DIFFERENT (1 ET 1.5)

Indice de masse corporelle (IMC):

< 20 : maigre 25-30: OK

>30: obèse

33% d’obèses aux E.U.

poids en kg 70

BMI = = = 22.9 (taille en mètres)² 1.75²

•

•

-50 0 50 100 150

0 10 20 30 40 50 60

RENDEMENT

Effectif

RENDEMENT ACTIONS SUISSES EN 2006 (mu=23.7% , s=28%)

•

•

10 15 20 25 30 35 40 45

0 100 200

age

Effectif

Histogramme de age, avec courbe normale

•

0 1000 2000

0 50 100

C1

Effectif

DEPENSE MENSUELLE POUR LE LOYER ET L`ENERGIE

•

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0

100 200 300

POINTS

Effectif

DISTRIBUTION DES POINTS D`UN EXAMEN

Commande TI-83/84

• Calcul de P(304≤x≤696) [N(500,100)]

• Presser la touche DISTR (2nd Vars)

• Déplacer le curseur jusqu’à 2:normalcdf( ou taper 2)

• Taper 304,696,500,100) (c’est-à-dire borne inférieure, borne supérieure, moyenne, écart- type)

• En pressant la touche ENTER vous obtenez

la probabilité P(304≤x≤696)=0.95

Commandes MINITAB et EXCEL

• Pour MINITAB, mettre les valeurs de x₁ et x₂ (ex. 304 et 696) dans la colonne C1

• Aller dans Calc / Lois de probabilité / Normale

• Mettre la moyenne et l’écart-type

• Sélectionner la colonne d’entrée et celle de stockage En cliquant sur OK vous obtenez P(x≤304) et P(≤696) (fonctions de répartition)

• Dans la fenêtre Session, taper Let C3=C1(2)-C1(1) pour obtenir P(304≤x≤696)

• Dans EXCEL, choisir parmi les formules statistiques Loi.Normale. Introduire x, µ et σ

• Choisir vrai dans cumulative

•

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

C1

C2

DISTRIBUTION NORMALE

NORMALCDF(-2,3,0,1)

?

=0.976

•

-4 -3 -2 0 1 2 3 4

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

C1

C2

DISTRIBUTION NORMALE

?

0.1586

invNorm(0.1586,0,1)=-1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0.0

0.5 1.0

x

F(x)

FONCTION DE REPARTITION, DIST. NORMALE N(0,1)

Applications

• La distribution normale est utilisée lorsque le phénomène aléatoire subit l’influence de

nombreuses causes indépendantes et très petites. On verra plus tard une utilisation importante dans le théorème limite central.

• La distribution normale peut être utilisée

comme approximation de beaucoup d’autres distributions. Par exemple, lorsque n ∞ la distribution binomiale tend vers une

distribution normale avec µ=np et σ

=npq. On

obtient un intervalle en ajoutant et en enlevant

0.5 à la valeur de x.

Approximation de la distribution binomiale par la loi normale

•

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 100 200 300 400 500

Somme de PILE

2000 JETS DE 10 PIECES DE MONNAIE

Binompdf(10,0.5,7)=0.117 Normalcdf(6.5,7.5,5,√2.5)=0.114 np=5

npq=2.5

Test de normalité

• On peut tester de plusieurs manières si une distribution suit une loi normale:

• 1) méthodes graphiques: on calcule les scores

normaux (nscore) et on regarde si l’on obtient une droite avec x_i et nscore_i ou on dessine la droite

d’Henry en prenant la variable standardisée z.

• 2) faire un test comme celui de Anderson-Darling σ

µ

π ₊ ⁼ σ ⁻

= −

=

∫

n i dx

e

nscore ^{zi x} ;

4 1 8 3 2

1 _0.5 ²

Ex: i=1,2,…,9 (n=9)

Commandes MINITAB

• Pour MINITAB, mettre les valeurs dans la colonne C1

• Aller dans Calc / Calculatrice. Sélectionner dans Fonction: scores normaux. Mettre C1. Choisir C2

pour le résultat. Faire ensuite un graphique de C1 et C2 avec Graphique / Diagramme.

• Pour la droite de Henry et le test de normalité

choisir Stat / Statistiques élémentaires / Test de normalité

• Vous pouvez aussi choisir Graphique / Diagramme de probabilité. Vous obtenez les intervalles de

confiance.

Espérance mathématique

• Les paramètres d’une distribution théorique sont définis en utilisant le concept d’espérance

mathématique. On introduit cette notion avec l’exemple suivant:

• On jette un dé et on gagne 10 fois le chiffre qui est sorti. Quelle somme espérez-vous gagner?

• En général:

Frs 6 35

60 1 6

50 1 6

40 1 6

30 1 6

20 1 6

10 1 + + + + + =

∑

=

1

) ( )

( )]

( [

x

x p x

g x

g

E

• Si g(x)=x on obtient la moyenne théorique:

• Lorsque la distribution est continue on a:

• L’opérateur espérance mathématique a les propriétés suivantes:

• (a) E(c)=c

• (b) E[cg(x)]=cE[g(x)]

• (c) E[g₁(x)+g₂(x)]=E[g₁(x)]+E[g₂(x)]

∞

∫

∞

−

= xf x dx x

E ( ) ( )

∑ ⁼

= ^{( )} µ

)

( x xp x

E

Les moments théoriques

• Moment d’ordre n:

• µ_n=E[xⁿ]

• Si n=1 on a la moyenne: µ₁=E(x)=µ

• Moment centré d’ordre n:

• Si n=2 on a la variance:

2 2

2 2

2 2

2

[( µ ) ] ( ) µ σ µ µ

µ

= E x − = E x − = = −

] )

[(

c

n

E x µ

µ ^{= −}

Distribution de probabilité jointe

• Si plusieurs variables influencent le résultat d’une épreuve il faut utiliser les probabilités jointes. La

fonction de probabilité jointe doit satisfaire les critères suivants:

• (a) p(x,y) ≥ 0 ; (b)

• La covariance de x et y est:

• Coefficient de corrélation:

∑∑

= = n

=

x

n

y

y x p

0 0

1 )

, (

{ ^{[ ( )][ ( )]} } ^{( ) ( ) ( )}

) ,

cov( x y = E x − E x y − E y = E xy − E x E y

∑∑ ⁻

=

x y

y

xy

y x p y

x ^{, ) ( , )[ ]} µ µ cov(

y x

xy y

x

y y x

x

σ σ

σ σ

ρ

σ

, (

Probabilité jointe et indépendance statistique

• A = résultat 1^er dé: 3 ; B = résultat 2^ème dé: 5

• P(A∩B) = P(A) P(B/A) = = P(A) x P(B)

• Soit x=1^er dé et y=2^ème dé. On a:

• P(x=3;y=5)= =P(x=3) x P(y=5)=

• E(xy)=

• Si x et y sont indépendants on a p(x,y)=p(x)p(y) et:

• E(xy)=

∑∑

∑ ∑

x y x y

y E x E y

yp x

xp xy

y p x

p( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∑∑

x y

xy y

x

p( , )

6 1 6 1

36 1

6 1 6 1

Indépendance et corrélation

• Cov(x,y)=E(xy)-E(x) E(y)

• Indépendance corrélation nulle:

• E(xy)=E(x)E(y) Cov(x,y)=0

• Corrélation non nulle dépendance

• Corrélation nulle ? (souvent indépendance)

• var(ax+by)=a

var(x)+b

var(y)+2ab cov(x,y)

• Var(ax+by)=a

σ

+ b

σ

+2 ab ρ

σ

σ

• ρ=0 var(ax+by)=a

var(x)+b

var(y)

Pas de corrélation

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 5 10 15

C1

C2

RHO=0

1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

C4

C3

RHO=0

Indépendance Dépendance

Distribution marginale

Distributions marginales

• P(x) =

• f(x) =

• P(y) =

• f(y) =

∑

x

y x p

0

) ,

(

∑

y

y x p

0

) ,

(

∫

∞

−

dy y

x

f ( , )

∫

∞

−

dx y

x

f ( , )

Commande TI-83/84

Le programme LISTABLE décompose le tableau afin de pouvoir utiliser les commandes pour le calcul de la moyenne, de la variance, de la

covariance et du coefficient de corrélation.

• Mettre le tableau, y compris les valeurs des

variables, dans la matrice A (ex. 0 0 1 2 3 pour la première ligne et 2 340 505 645 190 pour la

dernière ligne).

• Aller dans PRGM et choisir LISTABLE

• En pressant ENTER vous obtenez les données

désagrégées de X dans L1, celles de Y dans L2 et le fréquences dans L3.

Distribution de Poisson

• La distribution de Poisson est une

distribution discrète très utilisée dans le cas d’événements rares, d’accidents,

d’erreurs, de rupture de machines ou de circuits. Sa fonction de probabilité est:

• P(x)=e

µ

/x! Pour x=0,1,2,…

• La moyenne est µ et la variance aussi

Distribution de Poisson

•

EMPIRIQUE THEORIQUE

0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7

DECES

Dénombrement de DECES

NOMBRE DE DECES EN OUVRANT LA PORTE DE L`AUTO

P(x)=e^-µ µ^x / x!

Commande TI-83/84

• x=2 ; µ=3 ; P(2) = ?

• Presser la touche DISTR (2nd Vars)

• Déplacer le curseur jusqu’à B:poissonpdf(

• Taper 3,2)

• En pressant ENTER, vous obtenez P(x=2)=0.224

• Fonction de répartition: P(x≤y)=∑^y_x=0 P(x)

• Calcul de P(x≤2)=∑²_x=o P(x)

• Presser la touche DISTR (2nd Vars)

• Déplacer le curseur jusqu’à C:poissoncdf(

• Taper 3,2)

• En pressant la touche ENTER vous obtenez la probabilité P(x≤2)=0.423

Commandes MINITAB et EXCEL

• Pour MINITAB, mettre la valeur de x (ex. 2) dans la colonne C1

• Aller dans Calc / Lois de probabilité / Poisson

• Cocher Probabilité (ou Probabilité cumulée)

• Mettre la moyenne

• Sélectionner la colonne d’entrée (C1)

En cliquant sur OK vous obtenez P(x) [ou P(x≤2)]

• Dans EXCEL, choisir parmi les formules statistiques Loi.Poisson. Introduire x et µ (ex. 2 et 3)

• Choisir faux dans cumulative pour P(x) et vrai pour P(x≤2) (fonction de répartition)

Approximation de la distribution

binomiale par la distribution de Poisson

• Lorsque n est grand et p petit de telle

sorte que np < 5, on ne peut pas prendre l’approximation de la loi binomiale par la loi normale. Dans ce cas, il faut prendre la distribution de Poisson.

• Exemple: binompdf(200,0.01,3)=0.18136

• µ=np=2 ; poissonpdf(2,3)=0.18045

Distribution exponentielle

• Cette distribution continue est utilisée pour des problèmes de queues (files d’attente) ou du temps qui passe entre un

événement et le suivant. La densité de probabilité est:

• f(x)=λe

pour x≥ 0

• On a alors P(a≤x≤b)=e

-e

• Sa moyenne et son écart-type sont 1/λ

Distribution exponentielle

•

0 100 200 300 400

0.001 0.002 0.003

jours

C2

JOURS ENTRE UN ACCIDENT ET LE SUIVANT

Commandes MINITAB et EXCEL

• Pour MINITAB, mettre les valeurs de x₁ et x₂ (ex. 15 et 30) dans la colonne C1

• Aller dans Calc / Lois de probabilité / Exponentielle

• Mettre la moyenne (ex. 10)

• Sélectionner la colonne d’entrée et celle de stockage En cliquant sur OK vous obtenez P(x≤15) et P(≤30) (fonctions de répartition)

• Dans la fenêtre Session, taper Let C3=C1(2)-C1(1) pour obtenir P(15≤x≤30)

• Dans EXCEL, choisir parmi les formules statistiques Loi.Exponentielle. Introduire x et λ (1/µ)

• Choisir vrai dans cumulative

Distribution binomiale négative

• Si l’on s’intéresse au nombre d’échecs (x) avant

d’obtenir certain nombre (r) de succès, il faut utiliser la distribution binomiale négative:

• µ=rq/p ; σ² = rq/p²

( ) ^{r x r p r p x}

x

P ( ) = ₋ ⁺ ₁ ^{− 1} ( 1 − )

Distribution hypergéométrique

• Si l’échantillon est exhaustif, on ne peut pas utiliser la distribution binomiale car les épreuves ne sont pas indépendantes. Il faut alors prendre la distribution hypergéométrique:

• N et X se réfèrent à la population et n, x à l’échantillon

• On a µ=np et σ² = npq(N-n)/(N-1). Si N∞, on obtient la distribution binomiale (voir polycopié, p. 216)

( )( ) ( )

X N

x n X

x

P

−−

= )

(

Distribution hypergéométrique

•

BINOMIALE HY PERGEOM.

0 1 2 3 4 5

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

NOMBRE DE PIECES DEFECTUEUSES

Somme de PIECES DEF.

ECHANTILLON DE 5 PIECES (N=20, X=4)

Distribution lognormale

• Distribution continue non symétrique utilisée pour la distribution des revenus ou les pertes bancaires sur débiteurs.

•

•

2 2 / 2 )

(ln

2 ) 1

(

π σ

−

= e

x x f

) 1 (

;

2 2 (2 )

5 .

0

= −

=

σ

µ ^{e e e}

Distribution lognormale

•

0 10000 20000 30000 40000 50000 0

500 1000

REVENU

Effectif

REVENU MENSUEL SELON ERC98

ACRA

ACRA: Actuarial Credit Risk Accounting

Distribution uniforme

• Distribution très simple, utilisée pour les erreurs d’arrondis. Sa densité est constante:

b x

a a x b

f ≤ ≤

= −1 )

(

12 ) ; (

2

2

2 b a

b

a + = −

= σ

µ

a b x

1/(b-a)

Méthodes bayesiennes

• L’analyse statistique est souvent utilisée pour prendre des décisions en situation d’incertitude. Les méthodes bayesiennes proposent un critère de décision: la maximisation du profit espéré ou de l’utilité espérée.

• Exemple: un boulanger doit décider s’il doit produire une ou deux fournées (200 ou 400 kg de pain). S’il fait beau, il peut vendre 400 kg tandis que s’il pleut il vend 180 kg. Le prix de vente est de 5 Fr et le coût de fabrication de 4 Fr. Les invendus sont repris par un paysan au prix de 3.50 Fr.

• On peut calculer le profit brut en fonction de la décision prise et du temps qu’il fera. Voici la table de payoff et celle des pertes implicites:

• État de la nature action Pertes implicites

• A (200 kg) B (400 kg) A B

• beau temps (p) 200 400 200 0

• pluie (1-p) 170 70 0 100

• E(π_A) = 200p + 170(1-p) E(L_A)=200p

• E(π_B) = 400p + 70(1-p) E(L_B)=100(1-p)

• Si p=1/3 on a E(π_A)=E(π_B) et E(L_A)=E(L_B)

Profit brut