1 Construction de noyaux des transformations de Fourier

Expos´e II.

Le cas des tores

(Laurent Lafforgue, IHES, 26 juin 2014)

1 Construction de noyaux des transformations de Fourier

On consid`ere toujours un groupe r´eductif quasi-d´eploy´eGsurF, muni d’une repr´esentation de transfert ρ:GboΓF →GLr(C).

Par d´efinition d’une repr´esentation de transfert, ρinduit un morphisme de tores complexes ρT = (ρ¹_T, . . . , ρ^r_T) :Tb→Tbr= (C^×)^r.

Lemme II.1.–

Faisons l’hypoth`ese que le groupe de GaloisΓF agit sur l’espaceC^r deρpar permutation de sesrvecteurs de base.

SoitE l’extension s´eparable de degr´er deF qui est associ´ee `a l’ensemble d’indices{1,2, . . . , r}muni de l’action deΓ_F, et soit

T_E= Res_E/FGm

le tore alg´ebrique de rang rsur F d´eduit deGmpar restriction des scalaires `a la Weil de E `aF.

Alors :

(i) Le dual TbE deTE s’identifie au produit

(C^×)^r muni de l’action par permutation de ΓF.

(ii) L’homomorphisme ΓF-´equivariant de tores complexes

ρ_T = (ρ¹_T, . . . , ρ^r_T) :Tb→(C^×)^r=Tb_E est dual d’un morphisme de tores

ρ^∨_T :TE→T bien d´efini sur F.

(iii) Le compos´e

detE:TE ρ^∨_T

−−−−→T −−−−→^detG Gm

n’est autre que l’homomorphisme de norme, c’est-`a-dire le d´eterminant de l’action deTE sur l’espace lin´eaire

TE = ResE/FA¹.

En particulier, la restriction de ce d´eterminant au noyau Tρ= Ker

TE

ρ^∨_T

−−−−→T

est triviale.

Remarque :

Par d´efinition d’une repr´esentation de transfert, le noyau de ρ_T :Tb→Tb_r= (C^×)^r

est trivial. Il en r´esulte que l’on a une suite exacte de tores alg´ebriques surF 1−−−−→Tρ−−−−→TE

ρ^∨_T

−−−−→T−−−−→1.

Exemple :

SiGest d´eploy´e surF et l’action de Γ_F sur l’espaceC^rdeρest triviale, on aT_E =G^rmetT_ρest un tore d´eploy´e surF commeT etT_E.

C’est en particulier le cas si

Gb= GL_r(C)/µ_k et

ρ= sym^k:Gb→GL_k+1(C) pour n’importe quel entierk≥1.

Dans ce cas, on a

T_E=T_k+1 =G^k+1m

et l’homomorphisme

ρ^∨_T :T_k+1=G^k+1m →T =G²m×_GmGm

est

(λ0, λ1, . . . , λk)7→

λ1λ²₂. . . λ^k_k =µ1, λ^k₀λ^k−1₁ . . . λ_k−1=µ2, λ0λ1. . . λk = (µ1µ2)^1k .

L’espace lin´eaireTE= Res_E/FA¹ est muni du morphismeF-lin´eaire Tr :TE= ResE/FA¹→A¹

qui, pour touteF-alg`ebreA, associe `a tout ´el´ementa∈TE(A) =E⊗F Asa trace comme endomorphisme duA-moduleE⊗FAlibre de rangr.

En particulier, pour toute placexdeF, leFx-espace vectoriel TE(Fx) =E⊗FFx, qui est de dimension r, est muni de la forme lin´eaire

Tr :TE(Fx)→Fx. On peut composer celle-ci avec la composante

ψ_x:F_x→C^× du caract`ere additif unitaire continu non trivial

ψ:A/F →C^×

pour d´efinir

k_x^E:TE(Fx)⊂TE(Fx) → C,

tx 7→ ψx(Tr (tx)).

On connaˆıt l’existence et les propri´et´es de laψx-transformation de Fourier lin´eaire surTE(Fx)⊃TE(Fx) : Th´eor`eme II.2.–

Pour toute placex∈ |F|, il existe surT_E(F_x)⊃T_E(F_x)une unique mesure additivedt_x, dite la “mesure autoduale”, telle que laψ_x-transformation de Fourier sur T_E(F_x)

fx7→fbx= Z

T_E(F_x)

dtx·fx(tx)·k_x^E(tx•) d´efinisse un op´erateur unitaire, c’est-`a-dire qui respecte le produit hermitien

(f₁, f₂)7→ hf1, f₂i= Z

T_E(F_x)

dt_x·f₁(t_x)·f₂(t_x).

Remarque :

Les mesures additives surTE(Fx)⊂TE(Fx) sont transform´ees par les translations multiplicatives suivant le caract`ere

|detE(•)|x:TE(Fx)→F_x^×→R^×+.

Par cons´equent, on a pour toute fonctionf_xsurT_E(F_x) et tout ´el´ementt∈T_E(F_x) fb_x^t=|det_E(t)|⁻¹_x ·fb_x^t−1.

En particulier, sit∈T_ρ(F_x), on a

fb_x^t=fb_x^t−1.

Lemme II.3.–

En toute placex∈ |F|, on a :

(i) La suite exacte de tores alg´ebriques sur F

1−−−−→Tρ−−−−→TE ρ^∨_T

−−−−→T−−−−→1 induit un homomorphisme

T_E(F_x)→T(F_x)

dont le noyau est T_ρ(F_x)et dont l’image est un sous-groupe ouvert deT(F_x).

(ii) Si l’on munit T_ρ(F_x) d’une mesure invariante dt_ρ, il existe sur T(F_x) une unique mesuredt qui se transforme suivant le caract`ere

|det_G(•)|_x

et dont la restriction `a l’image deTE(Fx)→T(Fx)est le quotient de la mesure autoduale deTE(Fx) par la mesure invariante dtρ deTρ(Fx).

Pour toute fonctionfx:TE(Fx)→C, on peut noter (ρ^∨_T)_∗(f_x) :T(F_x) → C

t 7→

Z

(ρ^∨_T)⁻¹(t)

dt_ρ·f_x(t_ρ) quand cette int´egrale est bien d´efinie en presque toutt∈T(Fx).

On d´eduit du th´eor`eme II.2 et du lemme II.3 : Corollaire II.4.–

En toute placex∈ |F|comme ci-dessus, on a :

(i) Le sous-espace des fonctions de carr´e int´egrable sur TE(Fx) fx:TE(Fx)→C telles que

(ρ^∨_T)_∗(fx) :T(Fx)→C

soit bien d´efinie et de carr´e int´egrable surT(F_x), est stable par la ψ_x-transformation de Fourier fx7→fbx.

(ii) Il existe un unique op´erateur unitaire sur T(Fx) ϕ_x7→ϕb_x tel que :

• pour toute fonctionfx:TE(Fx)→Ccomme dans (i), on a (f_T\^∨)_∗(f_x) = (f_T^∨)_∗(fb_x),

• pour toute fonctionϕ_x et toutt∈T(F_x), on a

ϕc^t_x=|detG(t)|⁻¹_x ·ϕb^t_x⁻¹. (iii) Cette transformation de Fourier surT(Fx)

ϕx7→ϕbx

a la forme

ϕbx(•) = Z

T(Fx)

dt·k^ρ_x^T(•t)·ϕx(t) o`u

k^ρ_x^T :T(Fx)→C est une fonction localement int´egrable telle que

k^ρ_x^T(t) = lim

a7→0

Z

(ρ^∨_T)⁻¹(t)

dtρ·k^E_x(tρ)·1Ix(a·tρ)

pour n’importe quelle fonction localement constante `a support compact [resp. de classeC<sup>∞</sup>`a d´ecroissance rapide si xest une place archim´edienne]

1Ix:TE(Fx)→C

qui est ´egale `a1 dans un voisinage du point0∈TE(Fx) =E⊗FFx. Remarque :

L’inverse de l’op´erateur de ρT-transformation de Fourier d´efini par le noyau t7→k_x^ρT(t) est l’op´erateur

d´efini par le noyaut7→k^ρx^T(t) =k_x^ρT(−t).

2 Espaces de ρ

-fonctions locales

Comme au paragraphe pr´ec´edent, on suppose que ΓF agit sur l’espaceC^r de ρ:GboΓF →GLr(C)

par permutation de sesr vecteurs de base, ce qui permet d’introduireE, TE,ρ^∨_T, Tρ,TE et les op´erateurs unitaires deρ_T-transformation de Fourier locale sur lesT(F_x)

fx7→fbx(•) = Z

T(Fx)

dt·k_x^ρT(•t)·fx(t). On connaˆıt :

Th´eor`eme II.5.–

En toute place ultram´etrique xdeF, appelons ρE-fonctions les fonctions sur TE(Fx)qui se prolongent (de mani`ere n´ecessairement unique) en des fonctions localement constantes `a support compact surTE(Fx) = E⊗F Fx.

Alors l’espace des ρE-fonctions sur TE(Fx) satisfait toutes les conditions du probl`eme I.7 (except´e la condition(6)qui est vide dans ce cas) relativement `a laψx-transformation de Fourier lin´eaire sur TE(Fx)

f_x7→fb_x(•) = Z

T_E(F_x)

dt_x·ψ_x(Tr (•t_x))·f_x(t_x).

En particulier, cet espace desρ_E-fonctions est respect´e par laψ_x-transformation de Fourier, et sa connais- sance plus celle de l’action sur lui de la transformation de Fourier ´equivalent `a celle des fractions rationnelles

L_x(ρ_E, χ, Z) =L_x(χ, Z) ε_x(ρ_E, χ, Z) =ε_x(χ, ψ_x, Z)

associ´ees `a tout ´el´ementχ∈ {π}<sup>T</sup><sub>x</sub><sup>E</sup> c’est-`a-dire `a tout caract`ere localement constant χ:TE(Fx)→C^×.

SiF est un corps de nombres etxune place archim´edienne deF,TE(Fx) =E⊗FFxest un produit fini de facteursEx⁰ tous isomorphes `a RouC.

Nous allons introduire des espaces deρE-fonctions sur ces facteursEx⁰ et leur produitTE(Fx).

Pour cela, nous allons introduire des notations nouvelles.

Tout d’abord, consid´erant les 2 fonctions C3s7→

G₁(s) = π^−12s·Γ ¹₂s , G₂(s) = (2π)^1−s·Γ(s),

on appelle “facteur eul´erien r´eel” [resp. “facteur eul´erien complexe”] les fonctions de la forme P(s)·G₁(s+s₀)

[resp. P(s)·G₂(s+s₀) ] o`uP est un polynˆome ens∈Cets0∈Cest une constante.

Le th´eor`eme II.5 est compl´et´e par le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme II.6.–

SiF est un corps de nombres et xune place archim´edienne deF, consid´erons la d´ecomposition TE(Fx) =E⊗FFx=Y

x⁰

Ex⁰

en facteursE_x⁰ isomorphes `aRouC.

Lorsque E_x⁰ ∼=R[resp. E_x⁰ ∼=C] et le caract`ere unitaire ψ<sub>x</sub>◦Tr restreint `aE_x⁰ est ´ecrit sous la forme a7→exp (2π i cx⁰a), avec cx⁰ ∈R^×,

[resp. a7→exp (2π i(cx⁰a+cx⁰a)), avec cx⁰ ∈C^× ], on appelleρ_E-fonctions sur E_x⁰ les fonctions de la forme

a7→P(a)·exp (−π|cx⁰|a²) [resp. a7→P(a, a)·exp (−2π|cx⁰| |a|²)] o`u P est un polynˆome arbitraire de C[Z] [resp.C[Z₁, Z₂]].

Et on appelle ρ_E- fonctions surT_E(F_x) =E⊗FF_x=Q

x⁰

E_x⁰ les combinaisons lin´eaires de produits O

x⁰

fx⁰

deρE- fonctions sur les facteursEx⁰. Alors :

(i) L’espace desρE-fonctions sur chaque facteurEx⁰ [resp. sur leur produitTE(Fx)] est stable par trans- lation par les ´el´ements du sous-groupe compact maximal deE_x^×0 [resp. deTE(Fx)] (mais pas par les

´

el´ements en dehors de ce sous-groupe).

Il est ´egalement stable par laψx-transformation de Fourier et par son inverse.

D’autre part, il est dense dans l’espace de Hilbert des fonctions de carr´e int´egrable sur Ex⁰ [resp.

TE(Fx)].

(ii) Pour tout caract`ere continuχ:E^×_x0 →C^× [resp.χ∈ {π}^T_x^E], les int´egrales Z

E_x0

dtx⁰·fx⁰(tx⁰)·χ(tx⁰)· |detE(tx⁰)|^s−1_x

[resp.

Z

TE(Fx)

dtx·fx(tx)·χ(tx)· |detE(tx)|^s−1_x ]

associ´ees auxρE-fonctionsfx⁰ surEx⁰ [resp.fxsurTE(Fx)], convergent absolument, pour touts∈C de partie r´eelle Re (s)assez grande, vers une fonction analytique ens.

De plus, ces fonctions analytiques forment un module libre surC[Z]qui poss`ede un unique g´en´erateur de la forme

Lx⁰

χ, s+1

2

· |cx⁰|^−12(s+1) si Fx⁰ ∼=R [resp. Lx⁰

χ, s+1

2

· |cx⁰|^−(s+1) si Fx⁰ ∼=C]

[resp. L_x

χ, s+1 2

·



 Y

F_x0∼=R

|c_x⁰|^−12(s+1)



·



 Y

F_x0∼=C

|c_x⁰|^−(s+1)



 ]

o`u les Lx⁰(χ,•)sont des facteurs eul´eriens r´eels [resp. complexes] et Lx(χ,•) =Y

x⁰

Lx⁰(χ,•).

(iii) Lesρ_E-fonctions sur chaque facteurE_x⁰ [resp. surT_E(F_x)] admettent une d´ecomposition spectrale de la forme

f_x⁰(•) =|det_E(•)|⁻x¹² · Z

{χ:E^×

x0→C^×unitaire}

dχ·χ(•)·L_x⁰

χ⁻¹,1 2

·p_x⁰(χ)

[resp. fx(•) =|detE(•)|⁻x¹² · Z

Im{π}^TEx

dχ·χ(•)·Lx

χ⁻¹,1

2

·px(χ)] o`u, pour tout caract`ere continuχ:E_x^×0 →C^×, la fonction

C3s7→p_x⁰(χ⊗ |det_E(•)|^s_x) est le produit d’un polynˆome en set de

s 7→ |c_x⁰|^−12s si F_x⁰ ∼=R, s 7→ |c_x⁰|^−s si F_x⁰ ∼=C, et o`u la fonction px est une somme de produits de telles fonctionspx⁰.

(iv) Il existe une famille (n´ecessairement unique) de fonctions exponentielles ens∈C εx⁰(χ, s, ψx)

[resp. εx(χ, s, ψx) =Y

x⁰

εx⁰(χ, s, ψx)]

index´ees par les caract`eres continusχ:E_x^×0 →C^× [resp. χ∈ {π}^T_x^E], telles que εx⁰(χ, s, ψx) =εx⁰(χ⊗ |detE(•)|^s,0, ψx)

[resp. εx(χ, s, ψx) =εx(χ⊗ |detE(•)|^s,0, ψx) ]

et que, pour toute ρE-fonction fx⁰ sur Ex⁰ [resp. fx sur TE(Fx)] d´ecompos´ee spectralement comme ci-dessus, on ait

fbx⁰(•) =|detE(•)|⁻x¹² · Z

{χ:E^×

x0→C^×unitaire}

dχ·χ⁻¹(•)·Lx⁰

χ,1

2

·εx⁰

χ,1

2, ψx

·px⁰(χ)

[resp. fbx(•) =|detE(•)|⁻x¹² · Z

Im{π}^TEx

dχ·χ⁻¹(•)·Lx

χ,1

2

·εx

χ,1

2, ψx

·px(χ)]. Rempla¸cons maintenant cette notion de ρE-fonctions sur Ex⁰ ou TE(Fx) par une notion tr`es proche mais encore provisoire deρE-fonctions sur E<sub>x</sub><sup>×</sup>0 ouTE(Fx), qui est davantage analogue `a celle en les places ultram´etriques et mieux adapt´ee `a la structure multiplicative de E^×_x0 ouTE(Fx) :

D´efinition provisoire II.7.–

SiF est un corps de nombres et xune place archim´edienne deF, consid´erons la d´ecomposition TE(Fx) =Y

x⁰

E_x^×0

en facteursE_x^×0 isomorphes `aR^× ouC^×.

(i) On appelleρE-fonctions sur chaque facteur E_x^×0 les fonctions fx⁰ :E_x^×0 →C qui admettent une d´ecomposition spectrale de la forme

fx⁰(•) =|detE(•)|⁻x¹² · Z

{χ:E^×

x0→C^×unitaire}

dχ·χ(•)·Lx⁰

χ⁻¹,1

2

·px⁰(χ) o`u

• la fonction px⁰ des caract`eres continus χ:E^×_x0 →C^× est support´ee par un nombre fini de classes modulo l’action de

C3s7→ |detE(•)|^s_x,

• pour tout repr´esentant χ d’une telle classe, la fonction

C3s7→px⁰(χ⊗ |detE(•)|^s_x) est le produit d’un polynˆome ens et d’une exponentielle de la forme

s7→exp (c·s) avec c∈R.

(ii) On appelleρ_E-fonctions sur T_E(F_x)les combinaisons lin´eaires (finies) de produits O

x⁰

fx⁰

deρE-fonctions sur les facteurs E_x^×0. Remarques :

(i) L’espace des ρ_E-fonctions sur chaque facteur E_x^×0 [resp. sur T_E(F_x)] est stable par translation par des ´el´ements arbitraires de E_x^×0 [resp. T_E(F_x)], ainsi que par laψ_x-transformation de Fourier et son inverse.

D’autre part, il est dense dans l’espace de Hilbert des fonctions de carr´e int´egrable sur E_x^×0 [resp.

TE(Fx⁰)].

(ii) La connaissance de l’espace desρE-fonctions sur lesE_x^×0 etTE(Fx) ´equivaut `a celle des facteurs Lx⁰(χ,•)

et

Lx(χ,•) =Y

x⁰

Lx⁰(χ,•).

(iii) La ψx-transformation de Fourier des ρE-fonctions sur les E_x^×0 et TE(Fx) consiste `a associer `a une fonction d´ecompos´ee spectralement sous la forme

fx⁰(•) =|detE(•)|⁻x¹² · Z

{χ:E^×

x0→C^×unitaire}

dχ·χ(•)·Lx⁰

χ⁻¹,1

2

·px⁰(χ)

[resp. f_x(•) =|det_E(•)|⁻x¹² · Z

Im{π}^TE_x

dχ·χ(•)·L_x

χ⁻¹,1 2

·p_x(χ) ]

la fonction d´efinie spectralement par la formule

fbx⁰(•) =|detE(•)|⁻x¹² · Z

{χ:E_x^×₀→C^×unitaire}

dχ·χ⁻¹(•)·Lx⁰

χ,1

2

·εx⁰

χ,1

2, ψx

·px⁰(χ)

[resp. fb_x(•) =|det_E(•)|⁻x¹² · Z

Im{π}^TE_x

dχ·χ⁻¹(•)·L_x

χ,1 2

·ε_x

χ,1 2, ψ_x

·p_x(χ) ]. Sa connaissance est ´equivalente `a celle des facteurs

ε_x⁰(χ,•, ψ_x) [resp. εx(χ,•, ψx) =Y

x⁰

εx⁰(χ,•, ψx) ].

On d´eduit du th´eor`eme II.5 : Corollaire II.8.–

Supposant toujours que ΓF agit sur l’espace C^r de la repr´esentation de transfert ρ:GboΓF →GLr(C)

par permutation de sesrvecteurs de base, on consid`ere une place ultram´etrique xdeF.

Appelons ρT-fonctions sur T(Fx) les combinaisons lin´eaires de fonctions images directes ϕx= (ρ^∨_T)∗fx=

Z

(ρ^∨_T)⁻¹(•)

dtρ·fx(tρ)

deρ_E-fonctionsf_x sur T_E(F_x) et de leurs translat´ees par des ´el´ements de T(F_x).

Alors :

(i) L’espace des ρ_T-fonctions sur T(F_x)satisfait toutes les conditions du probl`emeI.7(except´e la condi- tion(6) qui est vide dans ce cas) relativement `a la ρ_T-transformation de Fourier sur T(F_x)

ϕx7→ϕbx(•) = Z

T(Fx)

dt·k^ρ_x^T(t•)·ϕx(t).

En particulier, cet espace desρ_T-fonctions surT(F_x)est respect´e par laρ_T-transformation de Fourier et son inverse, et il est dense dans l’espace de Hilbert des fonctions de carr´e int´egrable.

(ii) La connaissance de cet espace desρ_T-fonctions surT(F_x)et de l’action sur lui de laρ_T-transformation de Fourier ´equivaut `a celle des fractions rationnelles

Lx(ρT, χ, Z) =Lx(ρE, χ◦ρ^∨_T, Z) εx(ρT, χ, Z) =εx(ρE, χ◦ρ^∨_T, Z)

associ´ees `a tout ´el´ement χ∈ {π}<sup>T</sup><sub>x</sub>, c’est-`a-dire `a tout caract`ere localement constant χ:T(Fx)→C^×.

De mani`ere analogue, on d´eduit du th´eor`eme II.6 r´einterpr´et´e grˆace `a la d´efinition II.7 : Corollaire II.9.–

Sous les mˆemes hypoth`eses, supposons de plus que F est un corps de nombres, et consid´erons une place archim´ediennexdeF.

Appelons provisoirement (c’est-`a-dire dans le cadre du pr´esent expos´e II) ρ_T-fonctions sur T(F_x) les combinaisons lin´eaires de fonctions images directes

ϕx= (ϕ^∨_T)∗fx= Z

(ρ^∨_T)⁻¹(•)

dtρ·fx(tρ)

deρE-fonctionsfx sur TE(Fx) et de leurs translat´ees par des ´el´ements de T(Fx).

Alors :

(i) L’espace des ρ_T-fonctions surT(F_x)est stable par translation par des ´el´ements arbitraires deT(F_x), ainsi que par la ρT-transformation de Fourier

ϕ_x7→ϕb_x(•) = Z

T(F_x)

dt·k_x^ρT(t•)·ϕ_x(t) et son inverse.

D’autre part, il est dense dans l’espace de Hilbert des fonctions de carr´e int´egrable sur T(F_x).

(ii) Posant pour tout χ∈ {π}^T_x

Lx(ρT, χ, s) =Lx(χ◦ρ^∨_T, s) =Y

x⁰

Lx⁰(χ◦ρ^∨_T, s), les ρ_T-fonctions surT(F_x)sont les fonctions

fx:T(Fx)→C qui admettent une d´ecomposition spectrale de la forme

fx(•) =|detG(•)|⁻x¹² · Z

Im{π}^T_x

dχ·χ(•)·Lx

ρT, χ⁻¹,1 2

·px(χ) o`u

• la fonction px des caract`eres continus χ : T(Fx) → C^× est support´ee par un nombre fini de composantes connexes de{π}^T_x,

• sachant que chaque composante connexe de {π}^T_x a une structure naturelle d’espace affine sur R, avec des coordonn´ees affiness1, . . . , sk, la restriction depx`a chaque telle composante est le produit d’un polynˆome en s1, . . . , sk et d’une exponentielle de la forme

(s1, . . . , sk)7→exp (c1·s1+. . .+ck·sk) avec c1, . . . , ck∈R. (iii) Posant pour tout χ∈ {π}^T_x

εx(ρT, χ, s) =εx(χ◦ρ^∨_T, ψx, s) =Y

x⁰

εx⁰(χ◦ρ^∨_T, ψx, s),

laρ_T-transformation de Fourier desρ_T-fonctions surT(F_x)consiste `a associer `a une fonction d´ecompos´ee spectralement sous la forme

fx(•) =|detG(•)|⁻x¹² · Z

Im{π}^T_x

dχ·χ(•)·Lx

ρT, χ⁻¹,1 2

·px(χ)

la fonction d´efinie spectralement par la formule fb_x(•) =|detG(•)|⁻x¹²·

Z

Im{π}^T_x

dχ·χ⁻¹(•)·L_x

ρ_T, χ,1 2

·ε_x

ρ_T, χ,1 2

·p_x(χ).

3 Formule de Poisson pour les tores et cons´ equence

On consid`ere toujours une repr´esentation de transfert ρ:GboΓF →GLr(C)

telle que ΓF agisse sur l’espaceC^r deρpar permutation de sesrvecteurs de base.

On a d´efini en toute placexdeF un op´erateur deρ_T-transformation de Fourier surT(F_x) f_x7→fb_x(•) =

Z

T(F_x)

dt·k_x^ρT(t•)·f_x(t)

ainsi qu’un espace deρT-fonctions surT(Fx). Cet espace est stable par translation, par laρT-transformation de Fourier et par son inverse, et il est dense dans l’espace de Hilbert des fonctions de carr´e int´egrable. Sa connaissance ´equivaut `a celle des facteurs

L_x(ρ_T, χ,•) et ε_x(ρ_T, χ,•), χ∈ {π}^T_x, qui sont des fractions rationnelles en toute place ultram´etriquex.

En toute place ultram´etrique x en laquelle G et ρ sont non ramifi´es, on dispose de la “ρT-fonction standard” au sens de la d´efinition I.8(i). Cela permet comme dans la d´efinition I.8(ii) d’introduire l’espace desρT-fonctions globales surT(A). Comme on a en presque toute place ultram´etrique de F non ramifi´ee pourGetρ

εx(ρT, χ,•) = 1, ∀χ∈ {π}^T_x,∅,

lesρ_T-fonctions standard sont leur propreρ_T-transform´ee de Fourier en presque toute place, et l’espace des ρ_T-fonctions globales est muni d’un op´erateur unitaire inversible deρ_T-transformation de Fourier globale.

On a d´emontr´e dans le cas des corps de fonctions (et prouverait de la mˆeme fa¸con dans le cas des corps de nombres) que laρT-transformation de Fourier globale surT(A) satisfait toutes les conditions du probl`eme I.10 :

Th´eor`eme II.10.–

On suppose toujours queΓ_F agit sur l’espace C^r de la repr´esentation de transfertρ:GboΓ_F →GL_r(C) par permutation de sesrvecteurs de base.

Alors, pour toute ρT-fonction globale

f :T(A)→C, on a :

(i) Pour toute place ultram´etrique x∈ |F|en laquelle Getρsont non ramifi´es etf se factorise en f =fx⊗f^x,

avec pour facteur une ρT-fonction sph´erique sur T(Fx) fx:T(Fx)/T(Ox)→C,

la s´erie formelle

X

N,N⁰∈N

Z^N+N0· X

γ∈T(F)

f_x^N,N0⊗f^x (γ) est une fraction rationnelle en Z.

De plus, elle est absolument convergente dans la zone

|Z|< q^1/2_x ,

donc n’y admet pas de pˆole, et sa valeur enZ= 1, not´eeS(f), ne d´epend pas du choix de la placex.

(ii) On a la formule de Poisson

S(f) =S(fb) qui s’´ecrit encore

“ X

γ∈T(F)

f(γ)”=“ X

γ∈T(F)

fb(γ)” en notant

“ X

γ∈T(F)

f(γ)”=



 X

γ∈T(F)

f(γ)



+



 X

γ∈T(F)

fb(γ)



−S(f). (iii) On a

“ X

γ∈T(F)

f(γ)”= X

γ∈T(F)

f(γ) sif se factorise en au moins une place ultram´etrique xsous la forme

f =f_x⊗f^x, avec pour facteur une ρ_T-fonction locale

fx:T(Fx)→C

qui est support´ee par une partie compacte deT(Fx).

On a ´egalement prouv´e (dans le cas des corps de fonctions) que cette formule de Poisson pour le toreT implique pour le groupe r´eductifGmuni de la repr´esentation de transfertρla forme approch´ee suivante de formule de Poisson :

Th´eor`eme II.11.–

Sous les mˆemes hypoth`eses, consid´erons deux fonctions f1, f2:G(A)→C telles que

• en toute place ultram´etriquexdeF,f1 etf2sont invariantes `a gauche et `a droite par un sous-groupe ouvert compact de G(F_x)qui, de plus, est ´egal `aG(O<sub>x</sub>)en presque toute placexo`uGetρsont non ramifi´es,

• en toute place archim´ediennex deF, f₁ etf₂ sont des fonctions de classe C^∞ de la variableg_x ∈ G(F_x),

• pour tout ´el´ement k de tout sous-groupe compact deG(A), les deux fonctions T(A)3t7→ |detB(t)|^1/2·(f₁^k)N_B(t) =|detB(t)|^1/2· |δB(t)|^−1/2·

Z

NB(A)

f1(u·t·k)·du et

T(A)3t7→ |detB(t)|^1/2·(^k−1f₂)_NB(t) =|detB(t)|^1/2· |δB(t)|^1/2· Z

N_B(A)

f₂(k⁻¹·t·u)·du sont bien d´efinies et sont deux ρT-fonctions globales sur T(A)dont la seconde est la ρT-transform´ee de Fourier de la premi`ere.

Alors :

(i) Pour toute place ultram´etrique x∈ |F| en laquelleGetρsont non ramifi´es etf1, f2 se factorisent en f₁=f_1,x⊗f₁^x,

f2=f2,x⊗f₂^x, avec pour facteurs deux fonctions sph´eriques sur G(Fx)

f_1,x, f_2,x:G(O_x)\G(Fx)/G(O_x)→C, les s´eries formelles

X

N,N⁰∈N

Z^N+N0· Z

N_B(A)/N_B(F)

du· X

γ∈G(F)

f_1,x^N,N0⊗f₁^x (u γ)

et

X

N,N⁰∈N

Z^N+N0· Z

N_B(A)/N_B(F)

du· X

γ∈G(F)

f_2,x^N,N0⊗f₂^x (γ u⁻¹) sont des fractions rationnelles ´egales entre elles.

De plus, leurs “valeurs r´egularis´ees” en Z = 1, not´ees S_B(f₁) etS_B⁰ (f₂), ne d´ependent pas du choix de la place x.

Elles v´erifient

SB(f1) =S⁰_B(f2). (ii) On a

SB(f1) = Z

N_B(A)/N_B(F)

du· X

γ∈G(F)

f2(γ u⁻¹)

[resp. SB(f2) = Z

NB(A)/NB(F)

du· X

γ∈G(F)

f1(u γ)]

si la fonction f₁ [resp. f₂] se factorise en au moins une place ultram´etrique xsous la forme f1=f1,x⊗f₁^x [resp. f2=f2,x⊗f₂^x],

avec pour facteur une fonction

f_1,x:G(F_x)→C [resp. f_2,x:G(F_x)→C] localement constante `a support compact dans G(Fx).

Remarque :

Les facteurs f1,x et f2,x de (i) sont par hypoth`ese des fonctions sph´eriques, donc ne font apparaˆıtre dans leurs d´ecompositions spectrales que des repr´esentations π ∈ Im{π}<sup>G</sup><sub>x,∅</sub>, lesquelles sont des induites normalis´ees de caract`eresχπ∈Im{π}^T_x,∅. Pour de telles repr´esentations, les facteurs

L_x(ρ, π, Z) =L_x(ρ_T, χ_π, Z) sont bien d´efinis.

Alors on dit que les fonctions sph´eriques f1,x et f2,x sur G(Fx) sont desρ-fonctions si et seulement si leurs termes constants

T(Fx)3t7→ |detB(t)|^1/2_x · |δB(t)|^−1/2_x · Z

NB(Fx)

du·f1,x(u·t), et

T(Fx)3t7→ |detB(t)|^1/2_x · |δB(t)|^1/2_x · Z

N_B(F_x)

du·f2,x(t·u)

sont desρ_T-fonctions surT(F_x). Dans ce cas, on peut leur associer les familles de fonctions f_1,x^N,N0 et f_2,x^N,N0, N, N⁰ ∈N,

suivant la r`egle de construction de la d´efinition I.9.

4 Un prolongement naturel des noyaux

Supposant toujours que Γ_F agit sur l’espaceC^r de la repr´esentation de transfertρ:GboΓ_F →GL_r(C) par permutation de sesrvecteurs de base, on consid`ere la fonction noyau associ´ee

k_x^ρT :T(Fx)→C en toute placex∈ |F|.

Cette fonction noyau est ´egale `a

k_x^ρT(t) = Z

(ρ^∨_T)⁻¹(t)

dtρ·ψx◦Tr (tρ)

au sens que, pour toute fonctionfxlocalement constante `a support compact [resp. de classeC<sup>∞</sup>`a d´ecroissance rapide sixest une place archim´edienne] surTE(Fx) =E⊗FFx, on a

Z

T(Fx)

dt·k^ρ_x^T(t)· Z

Tρ(Fx)

dtρ·fx(t·tρ) = Z

Tρ(Fx)

dtρ· Z

TE(Fx)

ψx◦Tr (tx·tρ)·fx(tx)·dtx.

Sixest une place ultram´etrique deF et 1I_OEx(•) d´esigne la fonction caract´eristique de l’anneau des entiers O_Ex de laF_x-alg`ebreT_E(F_x) =E⊗_FF_x=E_x, on a aussi

k^ρ_x^T(t) = lim

N7→+∞

Z

(ρ^∨_T)⁻¹(t)

dtρ·ψx◦Tr (tρ)·1IO_Ex($_x^N·tρ).

SiF est un corps de nombres,xest une place archim´edienne deF, lesEx⁰ ∼=RouCsont les facteurs de la Fx-alg`ebreEx=E⊗FFx=TE(Fx) et 1Ix(•) d´esigne le produit des fonctions

1Ix⁰ :Ex⁰ ∼=R → C

a 7→ exp (−π· |cx⁰| ·a²)

pourEx⁰ ∼=Ret ψx◦Tr (a) = exp (2π i·cx⁰·a), et 1I_x⁰ :E_x⁰ ∼=C → C

a 7→ exp (−2π· |cx⁰| · |a|²) pourEx⁰ ∼=Cet ψx◦Tr (a) = exp (2π i·(cx⁰·a+cx⁰·a)), on a

k_x^ρT(t) = lim

N7→0

Z

(ρ^∨_T)⁻¹(t)

dtρ·ψx◦Tr (tρ)·1Ix(a·tρ).

Lemme II.12.–

Consid´erons le cas o`uGest d´eploy´e surF etΓF agit trivialement sur l’espaceC^rdeρ:G×Γb F →GLr(C).

Notons S^r,ρ le sous-groupe du groupe sym´etrique S^r compos´e des ´el´ements w ∈ S^r qui respectent le sous-toreTb⊂Tbr= (C^×)^r et qui co¨ıncident surTb avec un ´el´ement du groupe de WeylWG deGagissant sur T.b

Alors :

(i) L’homomorphisme de restriction

S^r,ρ→WG

est surjectif, et son noyau co¨ıncide avec le sous-groupe deS^rcompos´e des permutations de{1,2, . . . , r}

qui respectent la partition d´efinie par la relation d’´egalit´e entre les caract`eres ρⁱ_T,1≤i≤r.

(ii) La restriction de

S^r,ρ→W_G au sous-groupe

w∈S^r,ρ⊂S^r|w respecte la relation d’ordre de chaque classe{1≤i≤r|ρⁱ_T =µ}, ∀µ∈X

Tb

est un isomorphisme.

Cet isomorphisme identifie donc W_G `a un sous-groupe deS^r,ρ. D´emonstration :

La repr´esentation de transfert ρinduit un morphisme d’alg`ebres

C[Tb_r]^Sr =C[GLc_r]^GLcr →C[G]b^Gb=C[Tb]^WG. Soitt un point g´en´erique deTb.

L’image deC[Tbr]^Sr dansC[T] est constitu´b ee des polynˆomesP tels que P(w(t)) =P(t)

pour toutw∈S^r tel quew(Tb)⊂T.b

D’autre part,C[T]b^WG est constitu´e des polynˆomesP ∈C[Tb] tels que P(w(t)) =P(t) ∀w∈WG.

Donc, siw∈WG, il existe w⁰∈S^rqui respecte le sous-toreTbdeTbret v´erifie w⁰(t) =w(t).

Cela montre que l’homomorphisme de (i) et surjectif. La description de son noyau est ´evidente.

Enfin, (ii) est une cons´equence imm´ediate de (i).

Exemple :

SiGb= GL2(C)/µk et ρest le repr´esentation sym´etrique

sym^k= GL2(C)/µk→GLk+1(C),

le groupeWG=S²s’identifie au sous-groupe du groupe sym´etriqueS^k+1agissant sur l’ensemble des indices {0,1, . . . , k} des vecteurs de base deC^k+1, engendr´e par l’involution

i7→k−i , ∀i∈ {0,1, . . . , k}.

Consid´erons maintenant le cas g´en´eral o`u Γ_F agit par permutation des vecteurs de la base de l’espaceC^r de la repr´esentationρ.

On note toujoursE laF-alg`ebre s´eparable de degr´erqui correspond `a l’action de ΓF sur{1,2, . . . , r}.

Ecrivons´ E comme un produit

E= Y

1≤i≤e

E_i^mi

de corpsE_i, 1≤i≤e, apparaissant avec des multiplicit´esm_i, et dont certains peuvent ´eventuellement ˆetre isomorphes entre eux.

En notantIi l’ensemble fini muni d’une action transitive de ΓF qui correspond `a chaqueEi, 1≤i≤e, la d´ecomposition

E= Y

1≤i≤e

E_i^mi

correspond `a une unique bijection

{1,2, . . . , r}−→^∼ a

1≤i≤e

Ii× {1,2, . . . , mi}

qui respecte les actions de ΓF. Le groupe lin´eaire surF

GLE= Y

1≤i≤e

ResE_i/FGLmi

admet pour tore maximal

TE = Res_E/FGm= Y

1≤i≤e

Res_Ei/FG^mmⁱ

et pour groupe dual

GLcE= Y

1≤i≤e

Y

ι∈I_i

GLm_i(C)

qui, munit de l’action naturelle de ΓF, s’identifie `a un sous-groupe de Levy deGLcr= GLr(C).

Enfin, le groupe de WeylW_E de GL_E s’identifie `a Y

1≤i≤e

Y

ι∈Ii

S^mi

muni de l’action naturelle de Γ_F par permutation des facteurs.

On pose la d´efinition suivante : D´efinition II.13.–

On dira que la d´ecomposition

E= Y

1≤i≤e

E_i^mi

est “bien dispos´ee” pourρ:GboΓ_F →GL_r(C)si :

(1) Pour tout i,1≤i≤e, et tout ι∈I_i,{ι} × {1,2, . . . , m_i} correspond `a un intervalle de {1,2, . . . , r}

dont l’ordre des ´el´ements est le mˆeme.

(2) La repr´esentation de transfert

ρ:GboΓF →GLr(C) envoie Gb dans le sous-groupe de Levy standard

GLcE= Y

1≤i≤e

Y

ι∈Ii

GLm_i(C),

et elle envoie le sous-groupe de Borel Bb deGb dans le sous-groupe de Borel deGLcE

BbE= Y

1≤i≤e

Y

ι∈Ii

Bm_i(C) =GLcE∩Br(C).

Cette d´efinition ´etant pos´ee, on a la g´en´eralisation suivante du lemme II.12 :

Lemme II.14.–

Supposons queE= Q

1≤i≤e

E_i^mi est “bien dispos´ee” pourρau sens de la d´efinition pr´ec´edente.

Notons WE,ρ le sous-groupe du groupe de WeylWE de GLE constitu´e des ´el´ements w qui respectent le sous-tore

T ,b →TbE=Tbr

et qui co¨ıncident surTb avec un ´el´ement du groupe de WeylWG deG.

Alors :

(i) L’homomorphisme

WE,ρ→WG

est surjectif, et son noyau co¨ıncide avec le sous-groupe deWE= Q

1≤i≤e

Q

ι∈Ii

S^mi constitu´e des familles de permutations des intervalles {ι} × {1,2, . . . , mi},1 ≤i≤e, ι∈Ii, qui respectent la partition de chaque tel intervalle d´efinie par la relation d’´egalit´e entre caract`eres ρ^j_T,1≤j≤r.

(ii) La restriction de cet homomorphisme

W_E,ρ→W_G au sous-groupe

n

w∈WE,ρ|wrespecte la relation d’ordre de chaque classe{1≤j≤r|ρ^j_T =µ}, ∀µ∈X

Tb

o

est un isomorphismeΓF-´equivariant.

Cet isomorphisme identifie donc W_G muni de l’action deΓ_F `a un sous-groupe deW_E,ρ⊂W_E. D´emonstration :

Elle est semblable `a celle du lemme II.12.

On d´eduit des lemmes II.12 et II.14 ci-dessus :

Corollaire II.15.–

(i) Si Gest d´eploy´e surF etΓ_F agit trivialement sur l’espaceC^rdeρ, identifionsW_G `a un sous-groupe deS^r,ρ⊂S^r comme dans le lemmeII.12.

Alors l’homomorphismeWG-´equivariant

ρ^∨_T :Tr→T dual de ρT :T ,b →Tbr, et le morphisme

Tr,→Tr= (A¹)^r−−−→^Tr A¹ invariant par l’action de S^r, d´efinissent un diagramme

Tr/WG

 //Tr/WG

Tr //A¹

T /W_G de sch´emas surF.

(ii) Plus g´en´eralement, siE = Q

1≤i≤e

E_i^mi est “bien dispos´ee” pour ρau sens de la d´efinitionII.13, identi- fionsWG `a un sous-groupe deWE,ρ⊂WE comme dans le lemmeII.14.

Alors l’homomorphisme

ρ^∨_T :T_E→T dual du plongement WGoΓF-´equivariant

ρT :T ,b →TbE, et le morphisme

TE ,→TE = Res_E/FA¹

T_r

−−−→A¹ invariant par la double action de W_E et deΓ_F, d´efinissent un diagramme

TE/WG

 //TE/WG

T_r //A¹

T /WG

de sch´emas surF. Remarque :

Pour tout corpsF⁰⊃F, toute fibre de

ρ^∨_T : (TE/WG)(F⁰)→(T /WG)(F⁰)

au-dessus d’un pointt∈(T /WG)(F⁰) qui admet un rel`evementt∈T(F<sup>0</sup>) s’identifie `a la fibre de ρ^∨_T :TE(F⁰)→T(F⁰)

au-dessus du pointt∈T(F⁰).

Toujours sous les hypoth`eses du corollaire II.15, consid´erons le faisceau libre TE-´equivariant et WG-

´equivariant

ΩT_E/T

des diff´erentielles relatives deT_E au-dessus deT.

Son quotient par l’action de W_G s’identifie au faisceau localement libre des diff´erentielles relatives de T_E/W_G au-dessus deT /W_G.

La puissance ext´erieure maximale de Ω_TE/T est engendr´ee par une sectionω_TE/T qui est invariante par l’action de T_E, F-rationnelle et sur laquelle W_G agit par un caract`ere W<sub>G</sub> → {±1}. Cette section ω<sub>TE/T</sub> ne provient pas n´ecessairement d’une forme diff´erentielle de degr´e maximal deT<sub>E</sub>/W<sub>G</sub> au-dessus deT /W<sub>G</sub>, mais elle suffit `a d´efinir une forme de volume d|ω_TE/T| sur les fibres de T_E/W_G → T /W_G au-dessus des points deT /W_G `a valeurs dans un F_x.

On a : Lemme II.16.–

Toujours sous les hypoth`eses du corollaireII.15, on a en toute placexdeF : (i) L’op´erateur

(ρ^∨_T)_∗= Z

(ρ^∨_T)⁻¹(•)

dtρ

d’int´egration le long des fibres de

ρ^∨_T :TE(Fx)→T(Fx)

est d´efini, modulo multiplication par une constante fixe, par la forme diff´erentielle relative de degr´e maximal ω_TE/T.

(ii) Par cons´equent, il se prolonge en un op´erateur encore not´e (ρ^∨_T)_∗=

Z

(ρ^∨_T)⁻¹(•)

dt_ρ

d’int´egration le long des fibres de

ρ^∨_T : (TE/WG)(Fx)→(T /WG)(Fx),

qui est d´efini, modulo multiplication par la mˆeme constante, par la forme de volumed|ωT_E/T|.

On peut maintenant ´enoncer : Proposition II.17.–

Toujours sous les hypoth`eses du corollaireII.15, consid´erons une place arbitraire x∈ |F|.

Alors la fonction

k_x^ρT :T(Fx) → C t 7→

Z

(ρ^∨_T)⁻¹(t)

dt_ρ·ψ_x◦Tr (t_ρ) se prolonge naturellement en la fonction, que nous noterons de la mˆeme fa¸con,

k^ρ_x^T : (T /W_G)(F_x) → C t 7→

Z

(ρ^∨_T)⁻¹(t)

dt_ρ·ψ_x◦Tr (t_ρ) = lim

a7→0

Z

(ρ^∨_T)⁻¹(t)

dt_ρ·ψ_x◦Tr (t_ρ)·1I_x(a·t_ρ)