Universit´e de Cergy-Pontoise Licence L2-Alg`ebre bilin´eaire Examen de Math´ematiques
Mme Dehy, Mr Duyckaerts, Mr Fang, Mr Hebey, Mme Varagnolo
Dur´ee 3h00 Mai 2009
Les questions de cours et les exercices sont ind´ependants. Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es. Le barˆeme est donn´e `a titre indicatif. Toute note sup´erieure `a 20 sera ramen´ee `a 20.
Questions de cours: (1) (1pt) Donner l’´enonc´e du th´eor`eme de la base incompl`ete.
(2) (1pt) Donner l’´enonc´e du th´eor`eme du rang.
(3) (2pts) Soient E et F deux espaces vetoriels r´eels de dimensions finies, B1,B2 deux bases de E, et B01,B02 deux bases de F. Soit f ∈ L(E,F) une application lin´eaire de E dans F. Quelle formule relie les matrices de repr´esentation MB1B0
1(f) et MB2B0
2(f) ? Vous pouvez illustrer votre r´eponse `a l’aide d’un diagramme.
Exercice 1: Soient E un IR-espace vectoriel de dimension 3 de base B = (e1, e2, e3), F1
un IR-espace vectoriel de dimension 2 de base ˜B1 = (˜e1,˜e2), F2 un IR-espace vectoriel de dimension 3 de base ˜B2 = (˜e1,e˜2,e˜3), et F3 un IR-espace vectoriel de dimension 4 de base B˜3 = (˜e1,˜e2,e˜3,e˜4). Soit aussi α un r´eel. On consid`ere les applications lin´eaires f1 :E →F1, f2 :E →F2, et f3 :E →F3 d´efinies par
f1(x1e1+x2e2+x3e3) = (4x1+ 2x2+ 5x3) ˜e1+ (2x1+ 4x2+x3) ˜e2
f2(x1e1+x2e2+x3e3) = (x1+αx2 + 3x3) ˜e1+ (3x1+αx2+x3) ˜e2
+ (αx1+αx2+x3) ˜e3
f3(x1e1+x2e2+x3e3) = (2x1+x2+ 2x3) ˜e1+ (3x1+ 4x3) ˜e2
+ (x1+ 5x2+x3) ˜e3+ (3x1+ 6x2+ 2x3) ˜e4 pour tous x1, x2, x3 ∈IR.
(1) (1pt) Ecrire la matrice de repr´esentation de f1 dans les bases B et ˜B1, et la matrice de repr´esentation de f3 dans les bases B et ˜B3.
(2) (2pts) Ecrire la matrice de repr´esentation de f2 dans les bases B et ˜B2. Si A est cette matrice, calculer le determinant de A. Sous quelles conditions portant sur α l’application lin´eairef2 est-elle un isomorphisme de E sur F2 ?
Exercice 2: SoitE un IR-espace vectoriel de dimension 3, etB= (e1, e2, e3) une base de E.
On notef ∈End(E) l’endomorphisme deE d´efini par f x1e1+x2e2+x3e3
= 1
2x1− 1
2x2+x3
e1+ −1
2x1+ 1
2x2+x3
e2− x1+x2−3x3
e3
pour tous x1, x2, x3 ∈IR.
(1) (2pts) Calculer le polynˆome caract´eristique de f. D´eterminer les valeurs propres de f. (2) (2pts) D´eterminer les sous-espaces propres de f par le calcul de bases pour ces espaces propres.
(3)(2pts) Montrer que f est diagonalisable et donner une matriceA pour laquelle la matrice A−1MBB(f)A est diagonale. Que vaut cette matrice diagonale ?
(4) (2pts) Calculer A−1 puis calculer explicitement f6 = f ◦. . .◦f (6 fois) en donnant la matrice de repr´esentation MBB(f6) =MBB(f)6 def6 dans B.
Exercice 3: SoitE un IR-espace vectoriel de dimension 3, etB= (e1, e2, e3) une base de E.
On noteh·,·i le produit scalaire sur E d´efini par
hx, yi=
3
X
i=1
xiyi
pour tous x = P3
i=1xiei et y = P3
i=1yiei, de sorte que B est une base orthonormale de E.
Soit de plusα un r´eel et fα ∈End(E) l’endomorphisme de E d´efini par f x1e1+x2e2+x3e3
= x3−x1
e1− αx2
e2− x3−x1
e3
pour tous x1, x2, x3 ∈IR.
(1) (1pt) Ecrire la matrice de repr´esentation MBB(fα) de fα dans B. En d´eduire (justifier l’affirmation) que fα est diagonalisable. Calculer les valeurs propres defα.
(2) (2pts) D´eterminer les sous-espaces propres de fα lorsque α = 1 et trouver une base orthonormale deE qui diagonalise fα dans ce cas.
(3) (2pts) D´eterminer les sous-espaces propres de fα lorsque α = 2 et trouver une base orthonormale deE qui diagonalise fα dans ce cas.
Exercice 4: Soit E un IR-espace vectoriel de dimension 2, et B = (e1, e2) une base de E.
Soitα un r´eel. On note B la forme bilin´eaire sur E d´efinie par B(x, y) =x1y1+x2y2−α2(x1y2+x2y1) pour tous x=P2
i=1xiei et y=P2
i=1yiei.
(1) (1 pt) Sous quelle condition portant sur α la forme B est-elle un produit scalaire ? (2) (1 pt) On suppose α = √1
2. Trouver une base orthonorm´ee pour B.
Exercice 5: (2pts) D´emontrer, dans le cas sp´ecifique de la dimension 2, le th´eor`eme de diagonalisation des endomorphismes sym´etriques.
