1 Le tore et ses fonctions 4

Tores complexes : propri´et´es ´el´ementaires et Espace de modules

Matthias Pigneur

9 juin 2010

Table des mati` eres

1 Le tore et ses fonctions 4

2 Espace de modules 13

Introduction

Un tore de dimension un est une vari´et´e qui peut se d´efinir de multiples mani`eres. On peut par exemple faire le quotient R

/ Z

ou alors le voir comme un produit de cercles S

× S

. On peut ´egalement quotienter R

par n’importe quel r´eseau de rang deux γ

Z ⊕ γ

Z et obtenir `a nouveau un tore. Un point int´eressant est que dans le cas r´eel, la structure de vari´et´e diff´erentiable mise sur le tore ne d´epend pas de ces diff´erentes constructions, car il existe des isomorphismes C

entre elles. Cette ´etude sera consacr´ee au cas complexe en utilisant l’identification R

= C :

D´ efinition 0.1. On appelle tore complexe de dimension un le quotient du plan complexe C par r´eseau de rang deux.

On demande alors aux changements de cartes de la structure de vari´et´e du tore d’ˆetre holomorphes et non plus seulement diff´erentiables. L’analyse de cet objet en devient autrement plus riche. Les diff´erentes constructions du tore ne sont alors plus ´equivalentes : elles engendrent diff´erentes classes de structures complexes possibles. Le but ultime de ce TER sera de d´eterminer l’ensemble de ces classes, appel´e l’espace de modules. Il s’agit de C comme le montre le th´eor`eme suivant :

Th´ eor` eme Il existe une structure complexe naturelle sur l’espace de mo- dules, et un isomorphisme entre cette vari´et´e complexe et C .

Nous nous int´eresserons ´egalement aux propri´et´es du tore complexe en

g´en´erale. La pr´esentation suivra le livre « Complex Function », de Jones et

Singerman.

Chapitre 1

Le tore et ses fonctions

Pour commencer une ´etude du tore complexe, il est n´ecessaire de v´erifier que cet objet dispose bien d’une structure de surface de Riemann. Pour y parvenir, on pourrait utiliser un r´esultat g´en´eral sur les surfaces de Riemann : le tore est un quotient de la surface de Riemann C par un sous-groupe discret de C (et donc agissant librement et proprement sur C ), en cons´equence on peut le munir d’un atlas holomorphe. Mais une approche plus ´el´ementaire -que nous choisissons ici- est ´egalement tr`es instructive :

Th´ eor` eme 1.1. Si Γ est un r´eseau dans C , alors C /Γ est une surface de Riemann

D´emonstration. Nous allons mener cette d´emonstration en trois ´etapes : 1. Tout d’abord, montrons que C /Γ est s´epar´e pour la topologie quotient.

Soit s

= [z

] et s

= [z

] tel que s

# = s

. Comme Γ est discret, il existe un η tel que :

η = inf

γ∈Γ

| z

− (z

+ γ ) | > 0.

Soit V

et V

deux disques ouverts de rayon η/2 centr´es respectivement en z

et z

. On a alors :

∀ γ ∈ Γ : (γ + V

) ∩ V

= ∅ (1.1) En effet sinon il existerait un γ

∈ Γ et un z ∈ V

tel que (z +γ

) ∈ V

. Et on aurait alors :

| z

− (z

+ γ) | = | z

− (z

+ γ

) + (z + γ

) − (z + γ

) |

≤ | z

− (z

+ γ

) | + | (z + γ

) − (z + γ

) |

< η/2 + η/2 = η,

ce qui est impossible par d´efinition de η. De plus la projection cano- nique π est ouverte car : soit U un ouvert alors π

(π(U )) = !

γ∈Γ

(γ + U ) est ouvert comme r´eunion de translat´es d’ouverts. Il en r´esulte que π(V

) et π(V

) sont ouverts, ils sont ´egalement disjoints d’apr`es (1).

On a donc trouv´e deux voisinages ouverts disjoints autour des points s

et s

, par cons´equent C /Γ est s´epar´e.

2. Construisons un atlas sur C /Γ.

Soit δ = inf

| γ | > 0 ; δ est bien d´efini car Γ est discret. Soit V l’ensemble des ouverts de C de diam`etre au plus δ/2. Pour tout V ∈ V on a alors les propri´et´es suivantes :

(i) ∀ γ ∈ Γ

, V ∩ (V + γ ) = ∅ ,

(ii) Si V, V

∈ V alors V ∩ (V

+ γ ) # = ∅ pour au plus un γ ∈ Γ.

Clairement, (i) est vrai par d´efinition de δ. Il nous faut v´erifier (ii).

Soit z

∈ V ∩ (V

+ γ

) et z

∈ V ∩ (V

+ γ

). On a alors z

= z

+ γ

et z

= z

+ γ

o` u z

, z

∈ V

et ainsi :

| γ

− γ

| = | (z

− z

) − (z

− z

) | ≤ | (z

− z

) | + | (z

− z

) | < δ.

Donc γ

= γ

et le (ii) est d´emontr´e. Le (i) implique que π

est bijective et continue. L’application π

est ouverte : soit A ⊂ V un ouvert relativement `a V , alors A est ouvert dans C car V est ouvert et π

(A) = π(A) est ouvert dans C /Γ (car π est ouverte). Donc π

est un hom´eomorphisme de V sur son image π

(V ) = U

. En posant Φ

= π

on obtient une carte locale (U

, Φ

), on a donc construit un atlas A = { (U

, Φ

) | V ∈ V} sur C /Γ.

3. Montrons que cet atlas A est holomorphe.

Pour cela, on va montrer que les changements de cartes sont holo- morphes. Soit (U

, Φ

) et (U

, Φ

) tel que U

∩ U

# = ∅ . Montrons que Φ

◦ Φ

: Φ

(U

∩ U

) → Φ

(U

∩ U

) est holomorphe. Soit

z ∈ Φ

(U

∩ U

) et z

= Φ

◦ Φ

(z), alors π

(z

) = Φ

(z) =

π

(z) d’o` u ρ(z

) = π(z). Donc z = z

+ γ

pour un γ

∈ Γ. Comme V ∩ (V

+ γ

) # = ∅ alors γ

est ind´ependant de z par (ii). Donc z

= z − γ

et Φ

◦ Φ

est holomorphe.

Maintenant que nous avons prouv´e l’existence d’une structure de sur- face de Riemann pour le tore, nous pouvons nous demander quelles sont les fonctions «qui se comportent bien» sur cette surface. Afin d’´eviter d’´even- tuelles confusions, nous allons introduire le mot morphisme de surface de Riemann, et reserver les mots holomorphe et m´eromorphe aux sens usuelles les concernant, c’est-`a-dire pour les fonctions d’un ouvert de C dans C . D´ efinition 1.2. Soit S

et S

deux surfaces de Riemann. Une application continue f : S

→ S

est appel´ee un morphisme de surface de Riemann si quel que soit (U

, Φ

) et (U

, Φ

) deux cartes respectives de S

et S

tel que U

∩ f

(U

) # = ∅ , la fonction :

Φ

◦ f ◦ Φ

: Φ

(U

∩ f

(U

)) → C

est analytique. Dans ce cas on dit que f est holomorphe lue dans les cartes locales de S

et de S

.

Avec ce vocabulaire on voit facilement qu’une fonction m´eromorphe g : C → C induit un morphisme ˜ g : C → C ˆ . La projection canonique ρ : C → C /Γ est ´egalement un morphisme. En effet Φ

◦ ρ se restreint ` a la fonction identit´e sur chaque V ∈ V et par cons´equent ρ est holomorphe lue dans des cartes. Notre probl`eme revient donc `a chercher les morphismes du tore dans la sph`ere de Riemann. De tels morphismes existent bien : ils sont induits par les fonctions elliptiques, dont nous allons d´emontrer quelques propri´et´es

´el´ementaires dans les paragraphes suivants.

D´ efinition 1.3. Soit Γ un r´eseau dans C , une fonction f : C → C est dite Γ-p´eriodique si pour tout γ ∈ Γ et pour tout z ∈ C on a f (z+γ ) = f (z). Si de plus la fonction f est m´eromorphe, alors elle est dite elliptique relativement

` a Γ.

Il est clair que si une telle fonction existe, elle passe au quotient C /Γ et induit une application ˜ f : C /Γ → C ˆ . Cette application induite est alors m´eromorphe lue dans les cartes de C /Γ et de C . En effet, si (U

, Φ

) est une carte comme d´efinit ci-dessus, alors sur U

on a ˜ f ◦ Φ

= ˜ f ◦ ρ = f qui est m´eromorphe (au sens usuel) par d´efinition, et donc holomorphe lue dans les cartes de ˆ C . Par cons´equent ˜ f est un morphisme. R´eciproquement si ˜ f : C /Γ → C ˆ est un morphisme, alors f = ˜ f ◦ ρ : z -→ f ([z]) est une fonction elliptique relativement `a Γ. Cette invariance des fonctions ellip- tiques sous l’action d’un r´eseau Γ sugg`ere d’introduire la notion de domaine fondamentale, qui nous sera utile dans toute la suite :

D´ efinition 1.4. Un domaine fondamental F pour un groupe G agissant sur un espace topologique X est un sous-ensemble ferm´e de X tel que :

(i) F ˚ = F (ii) !

g∈G

g(F ) = X ;

(iii) F ˚ ∩ g(˚ F ) = ∅ pour tout g ∈ G-Id.

Par exemple un parall´elogramme de cˆot´e 0, γ

, γ

, γ

+γ

est un domaine fondamental pour Γ(γ

, γ

). Et il en est de mˆeme pour toutes ses images par l’action de Γ.

Comme premier r´esultat nous pouvons imm´ediatement remarquer que les seules fonctions elliptiques analytiques (au sens usuel) sont les fonctions constantes :

Lemme 1.5. Une fonction elliptique f est constante si et seulement si elle n’a pas de pˆ oles.

D´emonstration. Si f est constante et m´eromorphe, elle n’a pas de pˆoles.

R´eciproquement, si f est elliptique sans pˆoles, alors elle est analytique sur C . Soit maintenant P un parall´elogramme fondamental de Γ, comme P est compact et f est continue, alors f (P ) est born´e. De plus, f (P ) = f ( C ) car f est elliptique. Ainsi f est born´e sur C , ´etant analytique, le th´eor`eme de Liouville permet de conclure.

En second lieu, il est tr`es important de comprendre le lien entre le nombre de pˆoles d’une fonction elliptique et le nombre de fois qu’elle peut prendre une valeur :

D´ efinition 1.6. Une fonction elliptique est dite d’ordre N si elle poss`ede N classes de congruences de pˆ oles en comptant leurs multiplicit´es.

Lemme 1.7. Si f est d’ordre N alors f prend chaque valeur c ∈ Σ exacte- ment N fois dans un domaine fondamental.

D´emonstration. f − c a mˆeme ordre que f , on peut donc supposer que c = 0.

Remarquons que f

/f est m´eromorphe et elliptique de mˆeme p´eriodes que f , de plus ses pˆoles sont les pˆoles et les z´eros de f . On choisit un parall´e- logramme fondamental P tel qu’il n’y ait aucun pˆoles de f sur le bord de P .

Γ

Γ

Γ

Γ

P

On peut donc int´egrer f

/f sur le bord de ce parall´elogramme (o` u l’on a not´e les arˆetes cons´ecutivement Γ

,Γ

,Γ

,Γ

) :

I =

"

∂P

f

(z)

f (z) dz =

#

j=1

"

Γj

f

(z)

f (z) dz

Or un simple changement de variable et la p´eriodicit´e de f

/f montrent que :

"

Γ3

f

(z)

f (z) dz =

"

Γ1+γ2

f

(z + γ

)

f (z + γ

) d(z + γ

) = −

"

Γ1

f

(z)

f (z) dz Par cons´equent I = 0.

Et donc par le th´eor`eme des r´esidus, la somme des r´esidus de f

/f dans P est nulle. Il reste `a montrer qui si f a un z´ero de multiplicit´e k en a alors

f

/f a un r´esidu k en a. En effet si f a un z´ero de multiplicit´e k en a alors :

f (z) = (z − a)

g(z)

o` u g est une fonction holomorphe tel que g(a) # = 0, donc : f

(z) = k(z − a)

g(z) + (z − a)

g

(z) et :

f

(z) f (z) = k

z − a + g

(z) g(z)

Donc f

/f a un r´esidu k en a. On montre de la mˆeme mani`ere que si f a un pˆole de multiplicit´e k en a alors f

/f a un r´esidu − k en a. Comme la somme des r´esidus est z´ero, le nombre de pˆ oles de f dans P doit ˆetre

´egal aux nombres de z´eros de f dans P en comptant les multiplicit´es. Donc l’´equation f (z) = 0 a N solutions comme voulu.

Nous avons d´ej` a observ´e qu’il y a avait tr`es peu de fonctions elliptiques sans pˆ oles : il s’agit des fonctions constantes. Dans l’optique de chercher `a construire une fonction elliptique la plus simple possible, on pourrait ˆetre tent´e d’en construire ne poss´edant qu’un seul pˆole. Mais cela n’est mal- heureusement pas possible, comme le montre un argument similaire `a celui utilis´e dans la d´emonstration du lemme 1.7. En effet, si f ´etait une fonc- tion elliptique d’ordre 1, elle poss´ederait un unique pˆ ole dans un domaine fondamentale P , et la somme des r´esidus de f dans P serait diff´erente de z´ero, ce qui est impossible. Les fonctions elliptiques non constantes les plus

»simplesf lqq doivent donc ˆetre d’ordre au moins deux. Il en existe bien `a

cet ordre, il s’agit de la fonction elliptique de Weierstrass :

Proposition 1.8. La s´erie, P (z) = 1

z

− #

γ∈Γ^∗

( 1

(z − γ)

− 1 γ

)

est convergente et d´efinit une fonction elliptique paire d’ordre 2. On l’appelle la fonction de Weierstrass.

D´emonstration. Tout d’abord, nous allons montrer que cette fonction est m´eromorphe en utilisant un r´esultat g´en´eral sur la convergence des s´eries de fonctions m´eromorphes. Si la s´erie de fonctions m´eromorphes S(z) =

$

γ∈Γ

(

−

) converge sur tous les compacts de C ne rencontrant pas le r´eseau Γ alors sa somme est une fonction m´eromorphe sur C . Soit K un disque ferm´e de centre 0 et de rayon R. Comme K est born´e il ne contient qu’un nombre fini d’´el´ements de Γ, disons les γ ∈ Φ ⊆ Γ. Par cons´equent les termes (

−

) sont analytiques pour γ ∈ Γ − Φ et z ∈ K . De plus en effectuant un d´eveloppement limit´e on obtient :

(z + γ)

= γ

(1 + z

γ )

= 1 γ

− 2z

γ

+ O( 1 γ

) d’o` u :

|| 1

(z + λ)

− 1

λ

||

≤ C(R) | λ |

Or comme la s´erie $

| λ |

converge cela entraine la convergence normale et donc l’analycit´e de $

γ∈Γ−Φ

(

−

) sur K. En rajoutant les termes associ´es aux γ ∈ Φ on obtient que S(z) est m´eromorphe sur K. Et par cons´equent P est une fonction m´eromorphe sur C avec des pˆoles d’ordre 2 en chaque point du r´eseau Γ.

Il reste ` a montrer que P est Γ-p´eriodique. On le voit en utilisant un r´esultat usuel de d´erivation terme ` a terme :

P

(z) = − 2

z

− #

γ∈Γ^∗

2

(z + γ)

= − 2 #

γ∈Γ

1 (z + γ )

Cette fonction est Γ-p´eriodique et impaire. Il en r´esulte que P est paire, et que P

(z + γ) − P

(z) est identiquement nul. D’o` u P (z + γ) − P (z) est constant. En ´evaluant en z = − γ/2 on obtient : P (γ/2) − P ( − γ/2) = 0 car P est paire. Cela ach`eve de d´emontrer que P est une fonction elliptique paire d’ordre 2.

Proposition 1.9. La fonction de Weierstrass associ´ee ` a un r´eseau Γ v´erifie

l’´equation diff´erentielle ( P

)

= p( P ) o` u p est un polynˆ ome cubique de la

forme :

p(z) = 4z

− g

z − g

, avec

g

= g

(Γ) = 60 $

γ∈Γ^∗

γ

, g

= g

(Γ) = 140 $

γ∈Γ^∗

γ

.

%

D´emonstration. Un calcul direct consistant ` a faire des d´eveloppements limi- t´es montre que P

(z)

− 4 P (z)

+ g

P (z) + g

= f (z) au voisinage de 0 o` u f est une fonction analytique s’annulant en 0. De l`a, f s’annule en tous les points de Γ. Or par construction f ne peut avoir de pˆole qu’en les points du r´eseau Γ, il en r´esulte que f n’a pas de pˆoles et est elliptique. Ainsi elle ne peut ˆetre que constante et donc identiquement nulle.

Proposition 1.10. Le polynˆ ome p a trois z´eros mutuellement distincts.

D´emonstration. D’apr`es la proposition pr´ec´edente, le polynˆ ome p poss`ede des z´eros aux points z = P (t) tel que P

(t) = 0, o` u P est la fonction de Weierstrass associ´ee ` a un r´eseau Γ de base (γ

, γ

). Il s’agit donc de calculer les z´eros de P

relativement `a ce r´eseau. Soit P un parall´elogramme fondamental contenant

γ

,

γ

et

(γ

+ γ

) =

γ

dans son int´erieur, et soit γ ∈ Γ, comme

γ et −

γ sont ´egaux modulo Γ, on a : P

(

γ ) = P

( −

γ ). L’imparit´e de P implique alors que P

(

γ

) = 0 pour i = 1, 2, et 3. Ce sont les seuls z´eros possibles dans P car P

est d’ordre 3. Et comme Z = [

γ

] ∪ [1/2γ

] ∪ [1/2γ

] est l’ensemble de tous les z´eros de P

, il en r´esulte que le triplet (e

= P

(

γ

), e

= P

(

γ

), e

= P

(

γ

)) = P (Z ) est ind´ependant du choix d’un base particuli`ere de Γ.

Il nous reste `a prouver que les e

= P

(

γ

) sont distincts. Pour cela on consid`ere la fonction f

(z) = P (z) − e

pour j = 1, 2,ou 3. Comme les pˆ oles de f

sont les mˆemes que ceux de P , on peut affirmer que f

est une fonction elliptique d’ordre 2, et a donc deux classes de z´eros, en comptant les multiplicit´es. Or, f

(

γ

) = f

(

γ

) = 0, d’o` u f

a une classe de double z´eros en [

γ

] et pas d’autres z´eros. Et en particulier, si k # = j on a f

(

γ

) = P (

γ

) − e

= e

− e

# = 0. Ce qui termine la d´emonstration.

Pour terminer cette pr´esentation des fonctions elliptiques nous allons

montrer qu’une telle fonction induit naturellement un revˆetement ramifi´e de

la sph`ere de Riemann par le tore. Il faut bien garder `a l’esprit que le cas

qui nous int´eresse ici n’est qu’un cas particulier de propri´et´es plus g´en´erales

concernant les surfaces de Riemann. En effet un morphisme non-constant

entre deux surfaces de Riemann compactes et connexes peut toujours ˆetre

vu comme un revˆetement ramifi´e. N´eanmoins, il peut ˆetre int´eressant de

construire ce revˆetement « ` a la main » dans un cas particulier comme celui

ci :

Th´ eor` eme 1.11. Soit f : C → C ˆ une fonction elliptique d’ordre N relative- ment ` a un r´eseau Γ, alors la fonction f & : C /Γ → C ˆ d´efinit par f & ([z]) = f (z) pour tout [z] ∈ C /Γ est un revˆetement ramifi´e holomorphe de la sph`ere de Riemann par le tore.

D´emonstration. Nous allons faire cette d´emonstration en trois ´etapes : 1. Montrons que f & est ouverte et localement k-sur-un :

Soit a ∈ C , supposons que f (a) = c ∈ C ˆ avec la multiplicit´e k. On choisit un voisinage U de a tel qu’aucun point de U ne soit congru `a un autre point de U . La projection canonique ρ restreinte `a U est un hom´eomorphisme de U sur son image ρ

(U ) = U & (un tel U existe car Γ est discret). De plus comme f est elliptique, elle est en particulier m´eromorphe et donc ouverte et localement k-sur-un en a par les th´eo- r`emes classiques d’analyse complexe. Par cons´equent f ◦ ρ

= f & est ouverte et localement k-sur-un.

2. Montrons que f & est un morphisme de surface de Riemann :

Soit U & un ouvert de C /Γ, il existe alors une carte Φ

= ρ

tel que

Φ

( U & ) = U .

Il faut v´erifier que l’application φ

◦ f & ◦ Φ

( U & ∩ f &

(V

)) → C est holomorphe (o` u les (Φ

, V

) sont les cartes usuelles de la sph`ere de Rie- mann).

En effet, φ

◦ f & ◦ Φ

= φ

◦ f est holomorphe car f est m´eromorphe et donc holomorphe lue dans les cartes Φ

.

3. Montrons que f & est un revˆetement sur C /Γ − P o` u P est l’ensemble des points de multiplicit´e k>1 et des pˆoles de f :

Remarquons tout d’abord que P est fini : P est discret car l’ensemble des z´eros de f &

est discret, et comme C /Γ est compact, P est fini.

Comme f est elliptique d’ordre N alors d’apr`es le lemme 1.7 l’´equa-

tion f & ([z]) = c admet N solutions distinctes dans C /Γ − P , disons

[z

], ..., [z

]. D’apr`es le 1. f & est ouverte et localement un-sur-un sur C /Γ − P . On peut donc choisir des voisinages ouverts W

des [z

] tel qu’ils soient disjoints et hom´eomorphes `a V

= f & (W

). Ainsi c a un voisinage V = V

∩ ... ∩ V

tel que f &

(V ) soit ´egal `a N ouverts dis- joints W '

= W

∩ f &

(V ), tous hom´eomorphes `a V . On a donc exhib´e un ouvert trivialisant V pour c, et par cons´equent f & est un revˆetement

`

a N feuillets en dehors de P .

En incluant les points de P , on obtient que f & est un revˆetement ramifi´e

de la sph`ere de Riemann par le tore.

Chapitre 2

Espace de modules

D´ efinition 2.1. Un isomorphisme de surface de Riemann est un morphisme bijectif dont la r´eciproque est ´egalement un morphisme. Deux surfaces de Riemann sont dites conform´ement ´equivalentes, ou isomorphes, s’il existe un isomorphisme de surface de Riemann entre elles.

Nous allons chercher `a d´eterminer les classes d’isomorphismes du tore complexe. Pour cela, nous allons r´epondre ` a la question suivante : en se don- nant deux tores C /Γ et C /Γ

quand peut-on affirmer qu’ils sont isomorphes ? La r´eponse est donn´ee par le th´eor`eme suivant :

Th´ eor` eme 2.2. Soit deux tores T = C /Γ et T

= C /Γ

. Les fonctions holomorphes f : C /Γ → C /Γ

sont de la forme : f

: [z] -→ [az + b]

, o` u a, b ∈ C et aΓ ⊆ Γ

. De plus f

est un isomophisme de surface de Riemann si et seulement si aΓ = Γ

.

D´emonstration. Soit π : C → C /Γ et π

: C → C /Γ

les deux projections cannoniques respectives des tores T et T

. Comme C est simplement connexe et que π (resp. π

) est un revˆetement, c’est le revˆetement universel du tore.

La th´eorie g´en´erale des revˆetements nous dit que l’application compos´ee f ◦ π admet un unique rel`evement ˜ f : C → C tel que f ◦ π = π

◦ f ˜ (voire le dia- gramme ci-dessous). Il nous faut v´erifier que ce rel`evement est holomorphe.

Au voisinage d’un point z

∈ C , on a alors que ˜ f = s

◦ f ◦ π o` u s

est une section locale du revˆetement π

. Au sens des surfaces de Riemann, cette application est clairement holomorphe. Nous pouvons maintenant raisonner sur ˜ f .

C

π

!!

f˜

"" C

π^"

!! C /Γ

^"" C /Γ

Partant de f ◦ π(z) = π

◦ f ˜ (z) pour tout z ∈ C , il vient : ˜ f (z+γ ) = ˜ f +γ

pour un certain γ ∈ Γ fix´e. O` u l’on remarquera que γ

d´epend peut-ˆetre de z. Mais la fonction holomorphe :

z -→ γ

= ˜ f(z + γ ) − f ˜ (z)

envoie l’espace connexe C sur l’espace discret Γ, par cons´equent elle est constante et γ

ne d´epend que de γ. On a donc :

f ˜ (z + γ) = ˜ f(z) + γ

En diff´erenciant par rapport `a z, on obtient : ˜ f

(z) = ˜ f

(z + γ ). Il en r´esulte que ˜ f

est une fonction holomorphe et elliptique relativement `a Γ, elle est donc constante. On en d´eduit que ˜ f est de la forme :

f ˜ (z) = az + b o` u a, b ∈ C . Ce qui est ´equivalent `a :

f ◦ π(z) = π

(az + b)

Nous avons ainsi montr´e que f est n´ecessairement de la forme f

. De plus pour tout γ ∈ Γ, f ◦ π(z + γ) = f ◦ π(z), et donc π

(a(z +γ ) + b) = π

(az + b).

On en conclut que aγ ∈ Γ

et donc aΓ ⊆ Γ

. R´eciproquement, si aΓ ⊆ Γ

alors la fonction f

est holomorphe.

Supposons que f = f

est un isomorphisme de surface de Riemann, alors f

poss`ede un inverse holomorphe de la forme π

(z) -→ π((z − b)/a) o` u a

Γ

⊆ Γ. Cela entraine l’inclusion : Γ

⊆ aΓ. R´eciproquement, si Γ

= aΓ, cela d´efinit un inverse holomorphe, et donc f est un isomorphisme de surface de Riemann. Ce qui ach`eve la preuve.

Nous pouvons d´esormais d´efinir les automorphismes du tore qui pr´e- servent sa structure complexe :

Proposition 2.3. Les automorphismes du tore complexe en tant que surface de Riemann sont les applications de la forme : f : [z] -→ [az + b] o` u a, b ∈ C et aΓ = Γ.

D´emonstration. Il suffit de poser Γ

= Γ et d’utiliser le th´eor`eme pr´ec´edent.

Il parait alors naturel de d´eterminer dans quelle mesure un r´eseau Γ de rang 2 de C poss`ede un nombre complexe a tel que aΓ = Γ. En cons´equence nous allons classifier les automorphismes de cette forme :

Lemme 2.4. Soit φ : γ -→ λγ un automorphisme d’un r´eseau Γ, alors

λ = ± 1; ± i; ± ρ = e

ou ± (ρ + 1)

D´emonstration. En premier lieu, montrons que le module de λ ne peut ˆetre que 1. Comme Γ est un sous-groupe discret de C pour la topologie usuelle, il existe un ´el´ement γ

de module minimal. On en d´eduit les deux in´egalit´es :

| φ(γ

) | = | λγ

| ≥ | γ

| et | φ

(γ

) | = |

γ

| ≥ | γ

| , d’o` u | λ | = 1. On peut ainsi voir φ comme une rotation d’angle θ. Dans une base orthonormale directe, une telle application poss`ede une matrice de la forme :

( cos(θ) − sin(θ) sin(θ) cos(θ)

)

Mais dans une base du r´eseau la matrice de φ se doit d’ˆetre `a coefficients entiers. Or comme la trace de la matrice d’une application lin´eaire ne change pas selon la base choisie, on a : 2 cos(θ) = k ∈ Z . Les seuls valeurs possibles de ce cosinus sont donc : ± 1, ±

ou 0. Ce qui termine la d´emonstration.

Les ordres possibles pour un automorphisme de r´eseau sont donc 2,3,4 ou 6. A partir de l`a on peut ´enum´erer la classification suivante :

– Tout r´eseau poss`ede un automorphisme d’ordre 2 donn´e par z -→ − z.

– Les r´eseaux poss´edants des automorphismes d’ordre 4 sont les r´eseaux dont au moins deux ´el´ements de mˆeme module minimal forment un angle de π/2. Ils sont donn´es par z -→ ± iz

.

– Les r´eseaux poss´edants des automorphismes d’ordre 3 ou 6 sont les r´e- seaux dont au moins deux ´el´ements de mˆeme module minimal forment un angle de π/3. Ils sont donn´es par z -→ ± ρ et z -→ ± (ρ + 1).

Nous avons d´ej` a vu que si Γ et Γ

sont deux r´eseaux de rang deux dans C alors les tores C /Γ et C /Γ

sont conform´ement ´equivalents si et seulement si Γ

et Γ sont similaires, c’est-`a-dire si Γ = λΓ

pour un certain λ ∈ C − 0.

Afin de pouvoir en dire plus, nous introduisons la d´efinition suivante : D´ efinition 2.5. Soit γ

, γ

une base d’un r´eseau Γ de C . On d´efinit le nombre complexe τ = γ

/γ

(o` u i, j = 1, 2 sont choisis afin que 1 (τ ) > 0) comme ´etant le module de la base γ

, γ

.

On remarque imm´ediatement que chaque r´eseau Γ d´etermine un en- semble de modules : les modules de ses diff´erentes bases, et comme λγ

/λγ

= γ

/γ

, des r´eseaux similaires ont le mˆeme ensemble de modules. En fait, nous avons ´egalement le th´eor`eme suivant :

Th´ eor` eme 2.6. : Si Γ = Γ(γ

, γ

) et Γ

= Γ

(γ

, γ

) sont des r´eseaux de C , en notant τ et τ

les modules de leurs bases respectives, les assertions suivantes sont ´equivalentes :

(i) Les tores C /Γ et C /Γ

sont conform´ement ´equivalents ;

(ii) Les r´eseaux Γ et Γ

sont similaires ; (iii) τ

= T (τ ) pour un certain T ∈ P SL(2, Z )

D´emonstration. L’´equivalence entre (i) et (ii) a d´ej` a ´et´e montr´ee pr´ec´edem- ment. Montrons donc l’´equivalence entre (ii) et (iii). Comme Γ et Γ

sont similaires on a :

γ

= λ(aγ

+ bγ

), γ

= λ(cγ

+ dγ

),

o` u a, b, c, d ∈ Z et ad − bc = +1 ou − 1 ; et ceci est ´equivalent `a :

τ

= aτ + b cτ + d .

Et comme τ et τ

appartiennent `a H = { z ∈ C | 1 (z) ≥ 0 } par d´efinition, on a n´ecessairement ad − bc = 1. R´eciproquement si ad − bc = 1 alors γ

, γ

est bien une base d’un r´eseau similaire `a Γ. On a donc montr´e l’´equivalence entre (ii) et (iii).

Le point int´eressant de ce th´eor`eme est qu’il nous fait apparaˆıtre un lien entre les classes d’isomorphisme du tore et l’action de P SL(2, Z ) sur H . On est ainsi tent´e de voir l’espace quotient H /P SL(2, Z ) comme l’en- semble des diff´erentes classes de structures complexes du tore. Autrement dit, l’espace de modules des tores complexes de dimension un. Cet ensemble dispose bien d’une structure complexe : c’est le quotient de la surface de Riemann mathcalH par un groupe agissant proprement discontinument sur cette surface (pour une d´emonstration d´etaill´ee, on pourra consulter [JON], p.248)ˇsbb. En cons´equence, nous allons maintenant chercher `a d´eterminer pr´ecis´ement cet espace en montrant qu’il est isomorphe `a C . Pour cela, il nous faut d’abord pousser un peu plus l’´etude de l’action de P SL(2, Z ) sur H , et notamment d´eterminer un domaine fondamental de cette action :

Proposition 2.7. F = { z ∈ H| | z | ≥ 1 et |2 (Z) | ≤ 1/2 } est un domaine

fondamental pour le groupe P SL(2, Z )

F

ρ i ρ + 1

−

D´emonstration. Montrons dans un premier temps la relation (i) de la d´efini- tion du domaine fondamental, autrement dit que le domaine F contient un repr´esentant de chaque orbite de l’action de P SL(2, Z ) sur H . Soit y ∈ H , alors en utilisant des translations bien choisis de P SL(2, Z ) on peut sup- poser que − 1/2 ≤ 2 (y) ≤ 1/2. Soit maintenant T ∈ P SL(2, Z ) tel que 1 (T (y)) soit maximal. Nous pouvons affirmer qu’une telle application T existe grˆace `a la relation 1 (T(z)) = 1 (z)/ | cz + d |

(o` u T est de la forme T (z) = (az + b)/(cz +d)) ; en effet le groupe z Z + Z ´etant discret, l’ensemble des nombres complexes de la forme cz + d admet un ´el´ement de module minimal diff´erent de 0. Il s’en suit que | T (y) | ≥ 1, sinon en utilisant l’in- version s(z) = − 1/z on aurait 1 (s ◦ T (y)) =

|T(y)|²

> 1 (T (y)), ce qui est une contradiction car 1 (T(y)) est maximal. Ainsi on peut trouver une application de P SL(2, Z ) qui envoie y dans F , et comme y a ´et´e choisi ar- bitrairement, on a bien que F contient au moins un repr´esentant de chaque orbite.

Pour terminer la d´emonstration, il nous faut encore prouver que ˚ F ∩ T (˚ F) =

∅ pour tout T ∈ P SL(2, Z ) − Id. Soit z

et z

deux ´el´ements de F qui v´eri-

fient z

= R(z

) o` u R est une application de P SL(2, Z ). On peut supposer

sans perte de g´en´eralit´e que 1 (z

) ≥ 1 (z

), et ainsi : 1 (z

)/ | cz

+d |

≥ 1 (z

)

d’o` u, | cz

+ d | ≤ 1. En regardant la partie imaginaire : 1 (cz

+ d) = c 1 (z

) ≥

c

, on obtient trois cas selon que c = − 1, 0 ou 1. Si c = 0 alors R est ou bien

une translation, ou bien l’identit´e. Si c = 1, alors d # = 0 car sinon R serait l’application identit´e. De l` a, l’in´egalit´e | z

+ d | ≤ 1 implique que z

= ρ, i ou ρ + 1. Il en est de mˆeme pour c=-1. Ainsi z

et z

se trouvent n´ecessairement sur le bord de F, ce qui termine la preuve.

Pour montrer l’existence d’un isomorphisme entre H /P SL(2, Z ) et C il paraˆıt naturel de construire une fonction analytique sur H et qui est constante sur chaque classe d’´equivalence. Pour cela nous allons introduire la fonction modulaire qui poss`ede ces deux propri´et´es :

D´ efinition 2.8. Soit J : H → C tel que : J (τ ) = g

(τ )

g

(τ )

− 27g

(τ )

, avec :

g

(τ ) = 60 #

m,n

(m + nτ )

, g

(τ ) = 140 #

m,n

(m + nτ )

.

Proposition 2.9. La fonction J : H → C est analytique sur H .

D´emonstration. Dans un premier temps, nous allons montrer que les s´eries g

et g

convergent sur tout compact de mathcalH. Pour cela, donnons nous un τ

∈ H , un δ =

1 (τ

) et soit K = B (τ

, δ) un disque compact. Il nous faut prouver la convergence normale de g

et g

sur K. Elle d´ecoule des in´egalit´es suivantes :

| m

n + τ

| ≥ 1 (τ

) = 2δ Et donc ∀ m, n ∈ Z et ∀ on a :

| (m + nτ ) − (m + nτ

| = | n || τ − τ

|

≤ | n | δ

≤ 1/2 | m + nτ

|

Par in´egalit´e triangulaire, il vient :

| (m + nτ ) | ≤ | m + nτ

| − | (m + nτ ) − (m + nτ

) | ≤ 1/2 | m + nτ

| . Ainsi pour tout r > 0 et pour tout τ ∈ K on a :

| m + nτ |

≤ 2

| m + nτ

|

Ce qui nous montre que la s´erie $

(m+nτ )

converge normalement sur K pour r > 1. On en d´eduit alors que J est m´eromorphe sur H . L’analycit´e d´ecoule alors du fait que g

(τ )

− 27g

(τ )

ne s’annule pas. Nous le verrons au cours de la d´emonstration de la proposition suivante.

Ainsi on a construit une fonction J qui est holomorphe sur le demi-plan sup´erieur. Il reste `a montrer qu’elle est invariante sous l’action du groupe P SL(2, Z ) :

Proposition 2.10. J(T (τ )) = J (τ ) pour tout τ ∈ H et T ∈ P SL(2, Z ) D´emonstration. Il faut ici se rappeler que la fonction de Weierstrass associ´ee

`

a un r´eseau Γ v´erifie l’´equation diff´erentielle P

= p( P ) o` u p est un polynˆ ome cubique de la forme :

p(z) = 4z

− g

z − g

, avec

g

= g

(Γ) = 60 #

γ∈Γ^∗

γ

, g

= g

(Γ) = 140 #

γ∈Γ^∗

γ

.

Le discriminant d’un polynˆome cubique p ayant pour racine e

, e

et e

est d´efinit par la formule : ∆

= 16(e

− e

)

(e

− e

)

(e

− e

)

. Clairement, ses racines sont distinctes si et seulement si ∆

# = 0. Or un calcul montre que dans notre cas ∆(Γ) = g

(Γ)

− 27g

(Γ)

(pour un calcul d´etaill´e, se r´ef´erer

`

a [JON], p.274). De plus nous avons vu auparavant que p est ` a racines distinctes, ce qui force son discriminant `a ˆetre non nul, on peut ainsi d´efinir la fonction :

J ˜ (Γ) = g

(Γ)

g

(Γ)

− 27g

(Γ)

On remarque imm´ediatement que ˜ J (λΓ) = ˜ J (Γ) pour tout λ ∈ Γ. Autre- ment dit, ˜ J prend la mˆeme valeur sur des r´eseaux similaires. Soit maintenant τ un module du r´eseau Γ, d’apr`es le th´eor`eme ´enonc´e en d´ebut de chapitre, les r´eseaux Γ et Γ

(1, τ ) sont similaires (ils ont le mˆeme module). Ainsi on peut consid´erer ˜ J comme une fonction J de τ , en d´efinissant g

et g

comme en 2.8. La fonction J poss`ede alors la propri´et´e ´enonc´ee : si τ

= T(τ ) pour un certain T ∈ P SL(2, Z ), alors les r´eseaux Γ(1, τ ) et Γ

(1, τ

) sont similaires et on a bien J(τ

) = ˜ J (Γ

) = ˜ J(Γ) = J (τ ).

Nous poss´edons d`es lors tous les outils pour montrer que H /P SL(2, Z )

et C sont isomorphes (au sens des surfaces de Riemann) :

Th´ eor` eme 2.11. La fonction modulaire J induit un isomorphisme de sur- face de Riemann entre H /P SL(2, Z ) et C .

D´emonstration. Dans un premier temps nous allons montrer que J induit une bijection de H /P SL(2, Z ) sur C . C’est-`a-dire que pour chaque c ∈ C il existe exactement une orbite de P SL(2, Z ) dans H sur laquelle J prend la valeur c. On a d´ej` a vu que chaque orbite rencontre le domaine fondamental F ou bien en un point unique ` a l’int´erieur de F ou bien en un ou deux points

´equivalents sur le bord de F . Commen¸cons par regarder o` u la fonction J en- voie le bord de F. Soit τ ∈ ∂F tel que 2 2 (τ ) = ± 1, alors τ est fix´e par la r´eflexion T : τ -→ ± 1 − τ ¯ , et un calcul montre que J(τ ) = J (T (τ )) = J(τ ) et J(τ ) ∈ R . Et si | τ | = 1, τ est fix´e par T : τ -→ 1/¯ τ , on en d´eduit pareillement que J(τ ) ∈ R . Par cons´equent J(∂F ) ⊆ R . On peut alors s´eparer deux cas selon que c ∈ C − R ou c ∈ R .

Soit c ∈ C − R , il nous faut montrer que l’´equation J(τ ) = c a une unique solution dans l’int´erieur de F . Comme J est analytique et non identiquement

´egale `a c, on peut affirmer que la fonction : G(τ ) = J

(τ )

J (τ ) − c

est m´eromorphe sur H . On va utiliser le mˆeme argument que celui avanc´e dans la d´emonstration du lemme 1.7 : τ ∈ H est une solution de multiplicit´e k de l’´equation J (τ ) = c si et seulement si G a un pˆole de r´esidu k en τ . Mais pour pouvoir d´eterminer la somme des r´esidus de la fonction G, il nous faut d’abord ´etudier le comportement de G quand 1 (τ ) tend vers l’infini. Pour cela, faisons le changement de variable q = exp(2πiτ), on obtient alors que (pour un calcul d´etaill´e, on pourra de r´ef´erer `a [JON], p.282) :

J (τ ) = 1 1728 ( 1

q + 744 + 196884q + ...)

Et donc que G est analytique pour | q | assez petit, c’est-`a-dire pour 1 (τ ) assez grand, disons 1 (τ ) ≥ K . Ainsi tous les pˆ oles de G dans F sont en fait dans l’int´erieur de l’ensemble E = { τ ∈ F |1 (τ ) ≤ K } . Par cons´equent la somme des r´esidus de G dans F est ´egale `a :

1 2πi

"

∂E

G(τ )dτ,

o` u l’on int´egrera dans le sens trigonom´etrique. Or comme J (τ + 1) = J(τ ), la fonction J, et donc la fonction G prend les mˆemes valeurs sur les cˆot´es 2 (τ ) = − 1/2 et 2 (τ ) = 1/2 de E, ce qui nous donne :

"

[−1/2+iK,ρ]

G(τ )dτ =

"

[−1/2+iK,ρ]

G(τ + 1)dτ = −

"

[ρ+1,1/2+iK]

G(τ )dτ

De mˆeme, en utilisant le fait que G(τ ) = G( − 1/τ ) on en d´eduit que :

"

[ρ,i]

G(τ )dτ = −

"

[i,ρ+1]

G(τ )dτ Et finalement on obtient :

"

∂E

G(τ )dτ =

"

[1/2+iK,−1/2+iK]

G(τ )dτ

De l`a, remarquons qu’en dehors des pˆ oles de G, n’importe quelle d´etermi- nation continue du logarithme complexe satisfait `a la relation :

(log(J (τ ) − c))

= J

(τ )

J (τ ) − c = G(τ ) et donc :

"

[1/2+iK,−1/2+iK]

G(τ )dτ = [log(J(τ ) − c)]

o` u [log(J(τ ) − c)]

est le changement de valeur de log(J (τ ) − c) provenant du prolongement analytique le long du segment γ = [1/2+ iK, − 1/2+ iK ]. Pour calculer cette valeur on reprend le changement de variable q = exp(2iπτ ), et on remarque que la fonction q →

q(J (τ ) − c) est alors analytique et non nulle pour 0 ≤ | q | ≤ exp( − 2iπK ). De plus, quand τ parcours le segment γ, alors q fait une fois le tour du le cercle de centre 0 et de rayon exp( − 2πK) en commen¸cant et finissant `a exp( − 2πK), la fonction Q est donc analytique le long d’un lacet dans un domaine simplement connexe, et par cons´equent :

[log(q(J (τ ) − c))]

= 0 d’o` u :

[log((J(τ ) − c))]

= [log((qJ (τ ) − c)) − log(q)]

= [ − log(q)]

= 2iπ Ce qui nous montre que la somme des r´esidus de G est dans F est 1. Ainsi l’´equation J(τ ) = c poss`ede une unique solution dans F pour c ∈ C − R . Supposons maintenant que c ∈ R . En premier lieu, montrons que l’´equa- tion J (τ ) = c poss`ede au moins une solution dans F. Pour cela notons :

L

= { τ ∈ H | | τ | ≥ 1, 2 (τ ) = − 1/2 } L

= { τ ∈ H | | τ | = 1, − 1/2 ≤ 2 (τ ) ≤ 0 } L

= { τ ∈ H | | τ | ≥ 1, 2 (τ ) = 0 }

L = L

∪ L

∪ L

i L

L

L

ρ

−

0

− 1

Si τ ∈ L

alors τ = iy avec y ≥ 1. De plus le changement de variable q = exp(2iπτ) = exp( − 2πy) nous montre que lorsque y tend vers l’infini (i.e q tend vers 0) alors J(τ ) =

(

+ 744 + 196884q + ...) tend vers + ∞ . De mˆeme on montre que sur L

, J(τ ) tend vers −∞ . Et comme J(L) ⊆ R , alors J est une fonction `a valeurs r´eelles. De plus, J(L) est connexe car L est connexe et J est analytique (et donc continue). Donc J(L) est un sous ensemble connexe de R sans borne sup´erieure ni inf´erieure, d’o` u J (L) = R . Il y a donc au moins une orbite de P SL(2, Z ) sur laquelle J prend la valeur c ∈ R . Il reste `a prouver que cette orbite est unique. Pour cela on va utiliser le lemme topologique suivant :

Lemme 2.12. Soit f une application ouverte d’un espace topologique s´epar´e X dans un espace topologique Y , et soit Y

une partie dense de Y telle que la restriction de f ` a f

(Y

) soit injective. Alors f est injective.

La fonction ˜ J : H /P SL(2, Z ) → C induite par passage au quotient est

injective restreinte ` a ˜ J

( C − R ) d’apr`es la premi`ere partie de la d´emons-

tration. Or comme l’application J est ouverte, il en est de mˆeme pour ˜ J car

la projection canonique H → H /P SL(2, Z ) est ouverte. De plus le quotient

H /P SL(2, Z ) est bien s´epar´e. Le lemme et la densit´e de C − R dans C per-

mettent alors de conclure sur l’injectivit´e de ˜ J.

En r´esum´e, la fonction J : H → C est holomorphe et l’´equation J(τ ) = c admet une unique solution modulo P SL(2, Z ). En passant au quotient, on voit donc que J induit un biholomorphisme entre H /P SL(2, Z ) et C . Ce qu’il fallait d´emontrer.

Nous avons ainsi d´emontr´e le th´eor`eme ´enonc´e lors de l’introduction : Th´ eor` eme 2.13. Il existe une structure complexe naturelle sur l’espace de modules, et un isomorphisme entre cette vari´et´e complexe et C .

Nous allons terminer ce TER en ´etudiant le comportement g´eom´etrique de la fonction modulaire J . Pour commencer, regardons quels sont les images adjacentes de F par l’action de P SL(2, Z ). Pour cela on d´efinit les trois applications suivantes de P SL(2, Z ) :

X : z -→ − 1/z, Y : z -→ − 1/(z + 1), Z : z -→ z + 1.

 



Les applications X et Y poss`edent respectivement i et ρ comme point fixe. En appliquant successivement ` a F des compos´ees bien choisies de ces applications, on obtient neuf r´egions adjacentes `a F , o` u i appartient

`

a deux r´egions simultan´ement (F et X(F )) et ρ appartient `a six r´egions (Z

(F ), Y

(F ), XY (F), Y (F), X(F ) et F).

F Z(F )

Z

(F )

X(F )

Y

(F ) ZX (F )

Y(F)

Y X(F) ZY X(F)ZY(F)

−

0

ρ i

Nous pouvons maintenant voir que J se comporte comme un revˆetement ramifi´e :

Th´ eor` eme 2.14. L’application J : H → C est un revˆetement ramifi´e poss´e-

dant une infinit´e de feuillets. Ses points de ramification sont d’ordre respec-

tivement 1 et 2 sur les orbites J

(1) et J

(0), en particulier, i et ρ = e

sont des points de ramification.

D´emonstration. Par d´efinition, un point a de H est un point de ramification d’ordre k − 1 si et seulement si J est localement k-sur-un dans un voisinage de a. Soit P = { z ∈ H| J

(z) = 0 } , un tel ensemble est discret d’apr`es le th´eor`eme des z´eros isol´es. Or, par th´eor`eme d’inversion local pour les fonc- tions holomorphes, J est localement un biholomorphisme au voisinage des points z tel que J

(z) # = 0, c’est-`a-dire en dehors des points de P . Il nous faut v´erifier que J est bien un revˆetement (non-ramifi´e) en dehors de ces points.

Pour cela donnons un point x ∈ C − J (P ), et remarquons que J

(x) est un orbite de P SL(2, Z ). Comme le groupe P SL(2, Z ) agit proprement dis- continument sur C , on peut donc trouver un voisinage U

de x assez petit pour que J

(U

) consiste en une r´eunion d’ouverts disjoints de H tel que J soit bijective restreinte ` a chacun de ces ouverts. On a ainsi construit un ouvert trivialisant pour J en dehors des points de P , ce qui prouve que J : H − J

(J(P )) : → C − J (P ) est un revˆetement holomorphe. Le nombre de feuillets est infini car pour tout c ∈ H , J

(c) est un orbite de P SL(2, Z ).

Il reste ` a d´eterminer les points de ramification de ce revˆetement. Soit a ∈ H , quitte `a appliquer un ´el´ement de P SL(2, Z ) on peut supposer que a ∈ F . Si a ∈ F, alors d’apr`es la d´emonstration du th´eor`eme 2.11 il existe ˚ un voisinage V ⊆ F ˚ de a tel que J restreinte `a V soit bijective. Il n’y a donc pas de points de ramification `a l’int´erieur de F . Supposons maintenant que a ∈ ∂F − { i, ρ, ρ + 1 } . Traitons en premier lieu le cas o` u 2 (a) = 1/2 et

| a | > 1. Soit D = D(a, min( | a | − 1,

)), alors D est contenu dans l’int´erieur de F ∪ Z (F ) o` u Z est la translation z -→ z+1. Il en r´esulte que J est bijective restreinte `a D. En effet, sinon il existerait deux ´el´ements congrus modulo P SL(2, Z ) dans D, disons τ et τ

, qui seraient n´ecessairement de la forme τ

= τ + 1. Cette situation est impossible car V est de diam`etre plus petit que 1. On raisonne d’une fa¸con similaire pour le cˆot´e 2 (a) = − 1/2 et | a | > 1 en utilisant la transformation z -→ z − 1. Pour le cˆot´e | a | = 1 et a # = ρ, ρ + 1, i on utilise la transformation z -→ − 1/z (qui est la r´eflexion d’axe imaginaire si | z | = 1) et un disque de rayon suffisamment petit.

Les seuls points de ramifications possibles dans F sont donc les points ρ, ρ + 1 et i. Mais ρ et ρ + 1 ´etant dans le mˆeme orbite du groupe modulaire, il n’y a que deux cas `a traiter. Soit (a

)

une suite de points de F qui tend vers i, comme i est un point fixe pour la transformation X : z -→ − 1/z, on a que (X(a

))

est une suite de points de X(F ) qui tend vers i. Il en r´esulte que l’on peut choisir un voisinage V de i arbitrairement petit tel que pour chaque τ ∈ V − i il existe un unique τ

= X(τ ) ∈ V − i.

Ainsi J est au moins localement deux-sur-un en i. Elle peut pas ˆetre plus

de deux-sur-un car i est adjacent ` a exactement deux domaines du pavage

de P SL(2, Z ) : F et son image par X. Ainsi, si deux points sont congrus

modulo P SL(2, Z ) dans un voisinage de i, ils le sont via l’application X et

seulement celle-ci. Cela fait de i un point de ramification d’ordre 1. Il en est

de mˆeme pour tous les points congrus ` a i modulo P SL(2, Z ). Reste le point

ρ. Il y a six images de F par l’action de P SL(2, Z ) adjacentes `a ρ, il s’agit

de : F, X(F ), Y (F ), Y X(F), Y

(F) et Z

(F ). Comme le montre le raison-

nement men´e pour le point i, J est au maximum six-sur-un en ρ, et le seul

moyen pour des points d’un voisinage de ρ d’ˆetre congrus ente eux est de

l’ˆetre via les applications cit´ees pr´ec´edemment. Mais ρ n’est un point fixe que

pour les applications Y et Y

. Ainsi on obtient que J est localement trois-

sur-un au point ρ. En effet, les suites (Y (b

))

et (Y

(b

))

tendent

vers ρ, tandis que (Z

(b

))

, (X(b

))

et (Y X(b

))

tendent res-

pectivement vers ρ − 1, ρ + 1 et − 1/(ρ + 2). On en conclut que tous les points

de l’orbite de ρ sont ramifi´es d’ordre 2.

Bibliographie

[JON] Gareth A. Jones, David Singerman

Complex functions, An algebraic and geometric viewpoint, Cambridge

University Press, 1987